【金学案】苏教高中数学必修2测试章末知识整合1含解析

1、章末知识整合一、数形结合思想“数形结合”是把代数中的“数”与几何中的“形”结合起来认识问题、理解问题并解决问题的思维方法， 是人们的一种普遍思维习惯在数学上的具体表现.数形结合一般包括两个方面，即以“形”助“数”和以“数”解“形”.解析几何研究问题的主要方法一一坐标法，就是数形结合的典范.在本章的学习中主要体现在以下两个方面：(1)直线的方程中有很多概念，如距离、倾斜角、斜率等都很容易转 化成“形”，因此题目中涉及这些问题时可以尝试用数形结合来解决.(2)与圆有关的最值问题、直线与圆的交点个数、圆与圆的位置关系 等都可能用到数形结合思想.例 1已知圆 Ci： x2+y2= 4和圆 C2： x2

2、 + (y 8)2=4,直线 y=手x+ b在两圆之间(不与圆相交或相切)，求实数b的取值范围.解：画出示意图如图所示，结合图形可知3Vb<5.5直线 y=fx+b,即15x 2y+ 2b= 0.当直线与圆Ci相切时,|2b| 5+4=2,解得b=i3;当直线与圆C2相切时,MJrf1 =2,解得 b= 5 或 b=11.A规律总结圆是一种几何特征非常明显的图形.在解圆的有关问题时，一般要根据题意在平面直角坐标系中画出图形，然后充分利用图形解决问题.变式训练1 .设点P(x, y)是圆x2+(y+ 4)2 = 4上的任意一点，则« (x-1) 2+ (y-1) 2的最大值为.解

3、析：因为点P(x, y)是圆x2 + (y+ 4)2 = 4上的任意一点，所以(x1) 2+ (y 1) 2表示点(1, 1)与该圆上任意一点的距离.易知点(1, 1)在圆x2 + (y+ 4)2 = 4外，如图所示，所以7 (x-1) 2+ (y-1) 2的最大值为7 (1 0) 2+ (1 + 4) 2 + 2 = 26+2.答案：26+22 .已知点A(3, 1),在直线y= 乂和丫=。上各找一点M和N,使 AMN的周长最短，并求出最短周长.解：由点A(3, 1)及直线y= x,可求得点A关于y= x的对称点B(1, 3),同理可得点A关于y=。的对称点C(3, 1),如图所示.则 AM

4、+AN+MN = BM + CN+MN ABC,当且仅当 B, M, N, C 四点共线时， AMN的周长最短，为BC=2 5.由点B(1, 3), C(3, 1)可得直线BC的方程为2x+ y-5=0.2x+y- 5 = 0, 由工ly= x,5 x= 3,5V= 3.对于 2x+ y 5=0,一 5令 y= 0,得 x= 2,故点M的坐标为35故点N的坐标为(2故点M(5, 5打点N(5, 0加所求，此时zAMN的周长最短，且最 3 32短周长为2 5.二、分类讨论思想分类讨论思想是数学的基本思想之一， 其实质就是把整体问题化为 部分问题，从而增加题设的条件来解决问题.例2过点P(1, 0

5、), Q(0, 2)分别作两条互相平行的直线，使它 们在x轴上截距之差的绝对值为1,求这两条直线方程.解：(1)当两条直线的斜率不存在时，两条直线的方程分别为x=-1, x= 0,它们在x轴上截距之差的绝对值为1,满足题意；(2)当直线的斜率存在时，设其斜率为 k,则两条直线的方程分别为 y= k(x+1), y= kx+2.，2令 y=0,分别得 x= 1, x= 2.，r一2一由定息-1 + 1 =1,即k=1.k所以这两条直线的方程分别为 y= x+1, y= x+2, 即 xy+ 1 = 0, x y+ 2 = 0.综上可知，所求的直线方程分别为x= 1, x= 0 或 x y+ 1

6、= 0, x y+ 2=0.A规律总结研究直线要善于从斜率的角度去考虑问题，即从斜率存在和斜率不 存在两个方面分类讨论.这是隐含在题中的一个分类因素，易被忽视, 也是犯“对而不全”错误的根源之一.变式训练3 .已知直线l: 4x ysin 0+ 1 = 0,求它的斜率及斜率的取值范围.解：直线l的方程中y的系数是一sin 0,而sin 0的值域是一1,1, sin 0的值可取零，但sin 0=。的直线的斜率不存在，故视 sin 0为研究 对象，分类讨论.(1)当 sin 0= 0,即 0= k兀k6 Z)时,直线l的斜率不存在，倾斜角oc=2；（2）当 sin -0,即-k兀k Z）时,4直线

7、l的斜率k=s肃 k的取值范围为（s, 4U4, + s）.三、函数与方程思想函数与方程思想在圆中应用较广泛， 求圆的方程、直线与圆的交点 及圆与圆的交点等都要用到函数与方程思想.分析:例3已知过点（3,0）的直线l与圆x2 + y2 + x-6y+ 3= 0相交于P, Q两点，且OPLOQ（其中。为坐标原点），求直线l的方程.已知 OPXOQ,若设 P(x1, w), Q(x2, y2),则刈乂2+丫佻=0,由点P, Q在圆及直线l上，可联立方程，借助根与系数的关系求解.解：设直线l的方程为x + ay 3=0,由题意知a#0.(*)x2 + y2+x-6y+ 3= 0, 由lx+ ay-

8、3 = 0,一 2 一 y 23 x消去 y,得 x2+ Tf+x6、工+3=0,即(a, + 1)x + (a2 + 6a 6)x + 3a2 18a + 9 = 0,、门r3a2-18a+9设 PM, y) Q(x2, 为，则 xix2="由方程组(*)消去 x,得(3 ay, +y+3ay 6y+ 3 = 0,即(a? + 1)y(7a+6)y+15=0,所以 yiy2=a215i依题意知op，OQ,所以xix2+yiy2=0.3a2- 18a+915将代入，得 一口一 +a2151= 0.整理，得a26a+8 = 0,解得a=2或a = 4,经检验知a=2和a=4都满足题意，

9、所以直线l的方程为x+2y 3=。或x+ 4y-3=0.A规律总结函数思想的实质是用联系和变化的观点提出问题的数学特征，建立 各变量间的函数关系.通过函数形式，利用函数的有关性质，使问题得到解决.方程的思想多用于曲线方程的求解和两直线位置关系的判定.变式训练1 一4 .已知直线l: y= 2x和两个定点A(1, 1), B(2, 2),向直线l上 是否存在一点P,使得|PA|2+|PB|2取得最小值，若存在，求出点P的坐 标和|PA|2+ |PB|2的最小值；若不存在，说明理由.解：假设存在一点P,使得|PA|2+ |PB|2取得最小值，设此点为P(2X0, X0),则|PA|2+ |PB|2

10、 = (2X0 1)2+(X0-1)2 + (2x0-2)2+ (x。 2)2 = 10x2 18x0+ 10.因为X06R,所以当 = 10,即点p的坐标为(5, 190时,PA2 + PB2可取得最小值，且最小值为1910.四、转化与化归思想把代数问题几何化、几何问题代数化, 体化、简单化，从而使问题快速得到解决.可使较复杂问题直观化、具例4已知实数x, y满足y= x2-2x+2(-1<x< 1),试求的最大值和最小值.解：设丫= x2-2x + 2(-1<x< 1)表示曲线段AB.由岩：的几何意义可知，它表示定点P(2, 3)和曲线段AB上任一点(x, y)的连线的斜 率k,如图所示，可知由已知可得A(1, 1), B( 1, 5),所以kPA= 1 _1 一 ( 3)(2)=3, kPB=5 ( 3)1 (2)=8.所以8,故号的最大值是8,最小值是3.y2 yic+ dx对于形如k=的分式函数y=的值域问题，可利用定点x2 x1a+bx与动点的相对位置，转化为求直线斜率的范围，利用数形结合进行求解.变式训练5 .已知实数x, y满足x+ y+ 1=0,求x