相似矩阵PPT课件

1、一、相似矩阵与相似变换的概念.,., , 111的相似变换矩阵的相似变换矩阵变成变成称为把称为把可逆矩阵可逆矩阵进行相似变换进行相似变换称为对称为对行运算行运算进进对对相似相似与与或说矩阵或说矩阵的相似矩阵的相似矩阵是是则称则称使使若有可逆矩阵若有可逆矩阵阶矩阵阶矩阵都是都是设设定义定义BAPAAPPABAABBAPPPnBA 第1页/共21页1. 等价关系等价关系二、相似矩阵与相似变换的性质.本身相似本身相似与与AA.,相似相似与与则则相似相似与与若若ABBA.,相相似似与与则则相相似似与与相相似似与与若若CACBBA反身性反身性)1()2(对称性对称性传递性传递性)3(第2页/共21页()

2、. ,.:若若则则为为常常数数为为正正整整数数4mmABkAkB ABkm. ,.=:若若则则2ABAB. ,.-:若若且且可可 逆逆 ， 则则也也 可可 逆逆 ，且且113ABABAB第3页/共21页证明证明相相似似与与BA PEPAPPEB 11 PEAP 1PEAP 1.EA BAPPP 1,使得使得可逆阵可逆阵., 1的特征值亦相同的特征值亦相同与与从而从而式相同式相同的特征多项的特征多项与与则则相似相似与与阶矩阵阶矩阵若若定理定理BABABAn第4页/共21页推论推论 若若 阶方阵阶方阵A A与对角阵与对角阵n n 21.,21个特征值个特征值的的即是即是则则相似相似nAn 第5页/

3、共21页., 1对角化对角化这就称为把方阵这就称为把方阵为对角阵为对角阵使使若可找到可逆矩阵若可找到可逆矩阵阶方阵阶方阵对对AAPPPAn 证明,1为对角阵为对角阵使使假设存在可逆阵假设存在可逆阵 APPP .,21npppPP 用其列向量表示为用其列向量表示为把把三、利用相似变换将方阵对角化.)( 2个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量有有的充分必要条件是的充分必要条件是能对角化能对角化即即与对角矩阵相似与对角矩阵相似阶矩阵阶矩阵定理定理nAAAn第6页/共21页 nnnppppppA 212121,即即 .,2211nnppp nnApApAppppA,2121 ., 2 , 1nip

4、Apiii 于是有于是有 nppp ,211 ,1 PAPAPP得得由由第7页/共21页., 的的特特征征向向量量的的对对应应于于特特征征值值就就是是的的列列向向量量而而的的特特征征值值是是可可见见iiiApPA .,21线线性性无无关关所所以以可可逆逆又又由由于于npppP命题得证命题得证., PAPPnnnA使使阵阵个特征向量即可构成矩个特征向量即可构成矩这这个特征向量个特征向量得得并可对应地求并可对应地求个特征值个特征值恰好有恰好有由于由于反之反之第8页/共21页说明说明 如果如果 阶矩阵阶矩阵 的的 个特征值互不相等，个特征值互不相等，则则 与对角阵相似与对角阵相似推论nAAn如果 的

5、特征方程有重根，此时不一定有 个线性无关的特征向量，从而矩阵 不一定能对角化，但如果能找到 个线性无关的特征向量， 还是能对角化AAnnA第9页/共21页总结矩阵对角化的条件：总结矩阵对角化的条件： n阶矩阵阶矩阵A可对角化的充分必要条件是可对角化的充分必要条件是A有有n个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量 n阶矩阵阶矩阵A可对角化的充分必要条件是可对角化的充分必要条件是A的每的每一个特征值对应的线性无关的特征向量的个数一个特征值对应的线性无关的特征向量的个数恰好等于该特征值的重数恰好等于该特征值的重数若若n阶矩阵阶矩阵A有有n个互不相同的特征值，则个互不相同的特征值，则A可可对角化对角化

6、补充：实对称矩阵可对角化补充：实对称矩阵可对角化第10页/共21页例例1 1 判断下列实矩阵能否化为对角阵？判断下列实矩阵能否化为对角阵？ 242422221)1(A 201335212)2(A解解EA 由由)1( 722 0 242422221. 7, 2321 得得第11页/共21页 得方程组得方程组代入代入将将, 02121 EA 04420442022321321321xxxxxxxxx解之得基础解系.110,10221 第12页/共21页 , 0, 73 xEA 由由对对求得基础解系求得基础解系 2 , 2 , 13T , 0211210102 由于由于.,321线性无关线性无关所以

7、所以 .,3 化化可对角可对角因而因而个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量有有即即AA,同理同理第13页/共21页 201335212EA 31 201335212)2(A. 1321 的特征值为的特征值为所以所以A , 01 xEA 代入代入把把解之得基础解系解之得基础解系,) 1, 1 , 1 ( T 故故 不能化为对角矩阵不能化为对角矩阵.A第14页/共21页矩阵对角化的方法：矩阵对角化的方法：第15页/共21页 163053064A设设A能否对角化？若能对角能否对角化？若能对角,P则则求求出出可可逆逆矩矩阵阵化化例例2 2.1为为对对角角阵阵使使APP 解解 163053064EA 212 . 2, 1321 的全部特征值为的全部特征值为所以所以A第16页/共21页 得方程组得方程组代入代入将将0121 xEA 063063063212121xxxxxx解之得基础解系,0121 .1002 第17页/共21页 解解系系得得方方程程组组的的基基础础代代入入将将, 02 3 xEA .1 , 1 , 13 T .,321线性无关线性无关由于由于 110101102, 321 P令令.200010001 1 APP则则有有所以 可对角化.A第18页/共21页注意注意 , ,213 P若令若令111 012 100. 1 APP则有则有00 00002 11即矩阵即矩阵