231双曲线及其标准方程

1、2.3.1双曲线及其双曲线及其 标准方程标准方程(第一、二课时第一、二课时)1. 1. 椭圆的定义椭圆的定义和和 等于常数等于常数2a ( 2a|f1f2|0) 的点的轨迹的点的轨迹.平面内与两定点平面内与两定点f1、f2的距离的的距离的1f2f 0, c 0, cxyo yxm,2. 引入问题：引入问题：差差等于常数等于常数的点的轨迹是什么呢？的点的轨迹是什么呢？平面内与两定点平面内与两定点f1、f2的距离的的距离的复习复习双曲线图象双曲线图象拉链画双曲线拉链画双曲线|mf1|+|mf2|=2a( 2a|f1f2|0) 注意：1.距离之和；2.2a2c0 两个定点两个定点f1、f2双曲线的双

2、曲线的焦点焦点; |f1f2|=2c 焦距焦距.距离之差的绝对值距离之差的绝对值；of2 2f1 1m 平面内平面内与两个定点与两个定点f1，f2的距离的差的距离的差的绝对值的绝对值等于常数等于常数（小于（小于f1f2)的点的轨迹叫做的点的轨迹叫做双曲线双曲线. 02a2c,则轨迹是什么？则轨迹是什么？注意：注意：（3）若）若2a=0,则轨迹是什么？则轨迹是什么？ | |mf1| - |mf2| | = 2a( (1) )两条射线两条射线( (2) )不表示任何轨迹不表示任何轨迹 试说明在下列条件下试说明在下列条件下动点动点m的轨迹各是什么图形？的轨迹各是什么图形？（f1、f2是两定点是两定点

3、, |f1f2| =2c (0a2c，动点，动点m的轨迹的轨迹 .已知已知f f1 1(-4,0)(-4,0)，f f2 2(4,0),(4,0),mfmf1 1mfmf2 2=2a,=2a,当当a=3a=3和和4 4时，点时，点m m轨迹分别为（轨迹分别为（ ） a.a.双曲线和一条直线双曲线和一条直线 b.b.双曲线和两条射线双曲线和两条射线 c.c.双曲线一支和一条直线双曲线一支和一条直线 d.d.双曲线一支和一条射线双曲线一支和一条射线 练一练练一练:df2 2f1 1mxoy求曲线方程的步骤：求曲线方程的步骤：双曲线的标准方程双曲线的标准方程1. 1. 建系建系. .以以f1,f2所

4、在的直线为所在的直线为x轴，线段轴，线段f1f2的中点为原点建立直角坐标系的中点为原点建立直角坐标系2.2.设点设点设设m（x , y）,则则f1(-c,0),f2(c,0)3.3.列式列式|mf1| - |mf2|=2a4.4.化简化简aycxycx2)()(2222即aycxycx2)()(2222222222)(2)(ycxaycx222)(ycxaacx)()(22222222acayaxac222bac)0, 0(12222babyax此即为此即为焦点在焦点在x轴上的轴上的双曲线双曲线的标准的标准方程方程12222byax12222bxayf2 2f1 1mxoyomf2f1xy)0

5、0(ba，若建系时若建系时,焦点在焦点在y轴上呢轴上呢?看看 前的系数，哪一个为正，前的系数，哪一个为正，则在哪一个轴上则在哪一个轴上22, yx定定 义义 方方 程程 焦焦 点点a.b.c的关的关系系f（c，0）f（c，0）a0，b0，但，但a不一不一定大于定大于b，c2=a2+b2ab0，a2=b2+c2|mf1|mf2|=2a |mf1|+|mf2|=2a 椭椭 圆圆双曲线双曲线f（0，c）f（0，c）22221(0)xyabab22221(0)yxabab22221(0,0)xyabab22221(0,0)yxabab分母大小系数正负例1：请判断那些方程表示双曲线？并指出a、b、c及焦

6、点坐标 0,50,5 22,022,0 63,063,021012mmmm或解：解：(1)(2)0mm12mm或1032012212mmmmmm 且1.已知方程已知方程 表示椭圆，则表示椭圆，则 的取值范围是的取值范围是_.22112xymmm若此方程表示双曲线，若此方程表示双曲线， 的取值范围？的取值范围？m解：解：例题讲解例题讲解22(2)33 a= b= c= xy则焦点坐标为2.已知下列双曲线的方程：已知下列双曲线的方程：22(1)1 a= b= c= 916yx则焦点坐标为345(0,-5),(0,5)312(-2,0),(2,0)知识总结：表示圆, 0nm表示椭圆且, 0, 0nm

7、nm表示双曲线, 0mn为什么1.a=4,b=3,焦点在焦点在x轴上轴上;2.焦点为焦点为(0,-6),(0,6),过点过点(2,5)1162022xy利用定义得利用定义得2a= |mf1|mf2|191622yx求适合下列条件的双曲线的标准方程。求适合下列条件的双曲线的标准方程。 焦点在在轴焦点在在轴 上，上， ； 焦点在在轴焦点在在轴 上，经过点上，经过点 .xx3,4ba)2,315(),3,2(答案答案: 191622yx)0, 0(12222babyax设双曲线的标准方程为设双曲线的标准方程为代入点代入点 得得)2,315(),3,2(12351322222baba令令221,1bn

8、am则则1235132nmnm解得解得311nm故所求双曲线的标准方程为故所求双曲线的标准方程为.1322yx例例2 已知双曲线的焦点在已知双曲线的焦点在x轴上，并且双曲线上轴上，并且双曲线上 的两点的两点p1、p2的坐标分别（的坐标分别（ ），）， （ ），求双曲线的标准方程。），求双曲线的标准方程。 设法一：设法一：22221(0,0)xyabab-=设法二：设法二：221(0,0)xymnmn-=设法三：设法三：221(0,0)mxnymn-=)0( 122mnnxmy3,2 2,315变式变式 已知双曲线上的两点已知双曲线上的两点p1、p2的坐标分别为的坐标分别为 （ ），（），（ ）

9、，求双曲线的），求双曲线的 标准方程。标准方程。 3,2 2,3154103(4)a=4,(4)a=4,过点过点(1, )(1, )2 ,3153-2-，过点1322yx221(0)mxnymn由题可设双曲线的方程为： 使使a、b两点在两点在x轴上，并轴上，并且点且点o与线段与线段ab的中点重合的中点重合解解: : 由声速及在由声速及在a a地听到炮弹爆炸声比在地听到炮弹爆炸声比在b b地晚地晚2 2s, ,可知可知a a地与爆炸点地与爆炸点的距离比的距离比b b地与爆炸点的距离远地与爆炸点的距离远680680m. .因为因为|ab|680|ab|680m, ,所以所以爆炸点爆炸点的轨迹是以的

10、轨迹是以a a、b b为焦点的双曲线在靠近为焦点的双曲线在靠近b b处的一支上处的一支上. . 例例3 3. .已知已知a,ba,b两地相距两地相距800800m, ,在在a a地听到炮弹爆炸声比在地听到炮弹爆炸声比在b b地晚地晚2 2s, ,且声速为且声速为340340m/ /s, ,求炮弹爆炸点的轨迹方程求炮弹爆炸点的轨迹方程. .如图所示，建立直角坐标系如图所示，建立直角坐标系xo oy, ,设爆炸点设爆炸点p的坐标为的坐标为( (x, ,y) )，则则340 2680papb即即 2a=680，a=340800ab 8006800 ,0papbx1(0)11560044400 xyx

11、22222800,400,cc xyopba因此炮弹爆炸点的轨迹方程为因此炮弹爆炸点的轨迹方程为44400bca 2 22 22 2答答: :再增设一个观测点再增设一个观测点c，利用，利用b、c（或（或a、c）两处）两处测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方测得的爆炸声的时间差，可以求出另一个双曲线的方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的程，解这两个方程组成的方程组，就能确定爆炸点的准确位置准确位置. .这是双曲线的一个重要应用这是双曲线的一个重要应用. .pba cxyo例题例题3：已知两点：已知两点a（5,0）b（5，0），动点），动点m满满足足kamkbm。求。求m点的

12、轨迹。点的轨迹。945110092522xyx解：设解：设m(x,y),则则()ambm4k5559yykxxx=贡+-224925yx=-224(25)9xy-=2249100 xy-=()2291525100 xyx-=贡3 sinsinsin,5bca解解: 在在abc中中, ,| |bc|=10|=10，33106 1055acabbc 由由正正弦弦定定理理得得故顶点故顶点a的轨迹是的轨迹是以以b、c为焦点的双曲线的左支为焦点的双曲线的左支又因又因c=5，a=3，则，则b=41 (3)916xyx 2 22 2则顶点则顶点a的轨迹方程为的轨迹方程为创新设计创新设计 p31法三()()()126,0 ,6,0 ,5,2ffm-122amfmf=-()(