生活中优化问题举例

1、3.4 3.4 生活中的优化问题举例生活中的优化问题举例 生活中经常遇到求生活中经常遇到求利润最大利润最大、用用料最省料最省、效率最高效率最高等问题，这些问题等问题，这些问题通常称为通常称为优化问题优化问题，通过前面的学习，通过前面的学习，知道，导数是求函数最大（小）值的知道，导数是求函数最大（小）值的有力工具，本节我们运用导数，解决有力工具，本节我们运用导数，解决一些生活中的优化问题。一些生活中的优化问题。问题问题1:海报版面尺寸的设计海报版面尺寸的设计dmx128128)2128)(4()( xxxs 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，现让你

2、设计一张如图所示的竖向张进行宣传，现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为贴的海报，要求版心面积为128dm2,上下边各上下边各空空2dm,左右空左右空1dm,如何设计海报的尺寸，才如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？能使四周空白面积最小？解：设版心的高为解：设版心的高为xdm,则宽为则宽为此时四周空白面积为此时四周空白面积为0, 85122 xxx 学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣学校或班级举行活动，通常需要张贴海报进行宣传，现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，传，现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报，要求版心面积为要求版心面积为128dm2,上下边各空

3、上下边各空2dm,左右空左右空1dm,如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最如何设计海报的尺寸，才能使四周空白面积最小？小？,128dmx128)2128)(4()( xxxs解：设版心的高为解：设版心的高为xcm,则宽为则宽为此时四周空白面积为：此时四周空白面积为：0,85122 xxx求导数，有求导数，有,5122)( 2xxs , 05122)( 2 xxs令令解得，解得，x=16 (x=-16舍去）舍去）816128128 x于是宽为于是宽为; 0)( ,)16, 0( xsx时时当当; 0)( ,),16( xsx时时当当因此，因此，x=16是函数是函数s(x)的极小值点，也的极小

4、值点，也是最小值点。是最小值点。 所以，当版心高为所以，当版心高为16dm,宽宽为为8dm时，能使四周空白面积最小。时，能使四周空白面积最小。答：当版心高为答：当版心高为16dm,宽为宽为8dm时，海报时，海报四周空白面积最小。四周空白面积最小。练习练习1：将一段长为：将一段长为12cm的铁丝围成一个矩的铁丝围成一个矩形，则这个矩形面积的最大值为多少？形，则这个矩形面积的最大值为多少？解：解：2229,:9) 3(3)()6 , 3()(,) 3 , 0()(30,0)(30)()6026)()60666cmcmscmxxsxsxsxxsxxsxxxsxxxxxxsscmxxcm它的面积最大为

5、当矩形是正方形时答处取到最大值在是单调递减的在上是单调递增的在得时当，解得令（）（）（，面积为），则另一边为（设矩形的一边为结论：周长为定值的矩形中，正方形的面积最结论：周长为定值的矩形中，正方形的面积最大。大。练习练习2 2、一条长为、一条长为l l的铁丝截成两段，分别弯成两个正的铁丝截成两段，分别弯成两个正方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长方形，要使两个正方形的面积和最小，两段铁丝的长度分别是多少？度分别是多少？则两个正方形面积和为则两个正方形面积和为2221)4()4(xlxsss)22(16122llxx解：设两段铁丝的长度分别为解：设两段铁丝的长度分别为x,l- -x,其

6、中其中0 x2时，时，f(r)0,它表示它表示f(r)单调递单调递增，即半径越大，利润越高；增，即半径越大，利润越高；当当r2时，时，f(r)0,它表示它表示f(r)单调递减，即单调递减，即半径越大，利润越低。半径越大，利润越低。（1）半径为）半径为2时，利润最小。这时时，利润最小。这时f(2)0;当当x(40,60)时时,v(x)0.函数函数v (x)在在x=40处取得极大值处取得极大值,这个这个极大值就是函数极大值就是函数v (x)的最大值的最大值.32)(16000)24060(40)40(cmv答答 当箱箱底边长为当箱箱底边长为40cm时时,箱子容积最大箱子容积最大, 最大值为最大值为

7、16000cm3 2、若函数、若函数 f ( x )在定义域内在定义域内只有一个极值点只有一个极值点x0 ，则不需与端点比较，则不需与端点比较， f ( x0 )即是所求的最大值或即是所求的最大值或最小值最小值.说明说明1、设出变量找出函数关系式；、设出变量找出函数关系式；(所说区间的也适用于开区间或无穷区间所说区间的也适用于开区间或无穷区间)确定出定义域；确定出定义域；所得结果符合问题的实际意义所得结果符合问题的实际意义练习练习3:某种圆柱形的饮料罐的容积一定时某种圆柱形的饮料罐的容积一定时,如何确定它如何确定它的高与底半径的高与底半径,使得所用材料最省使得所用材料最省?rh解解 设圆柱的高

8、为设圆柱的高为h,底面半径为底面半径为r.则表面积为则表面积为 s(r)=2rh+2r2.又又v=r2h(定值定值),.2rvh则2222)(rrvrrs.222rrv.042)(2rrvrs由.23vr 解得3222vrvh从而即即h=2r.可以判断可以判断s(r)只有一个极值点只有一个极值点,且是最小值点且是最小值点.答答 罐高与底的直径相等时罐高与底的直径相等时, 所用材料最省所用材料最省.例例2、某商品每件、某商品每件60元时，每星期能卖元时，每星期能卖出出300件；如果调整价格，每涨价件；如果调整价格，每涨价1元，元，每星期要少卖每星期要少卖10件。已知每件商品成本件。已知每件商品成

9、本为为40元，问：如何定价才能使利润最大？元，问：如何定价才能使利润最大？例例3、已知海岛、已知海岛a与海岸公路与海岸公路bc的距离的距离ab为为50km，b、c间的距离为间的距离为100km，从，从a到到c，先乘船，船速为先乘船，船速为25km/h，再乘车，车速为再乘车，车速为50km/h，登陆点选在何处所用时间最登陆点选在何处所用时间最少？少？abcdx50 问题3:如何使一个圆形磁盘储存更多信息?解解:存储量存储量=磁道数磁道数每磁道的比特数每磁道的比特数.设存储区的半径介于设存储区的半径介于r与与r之间之间,由于磁道之间的宽由于磁道之间的宽度必须大于度必须大于m,且最外面的磁道不存储任

10、何信息且最外面的磁道不存储任何信息,所以磁道数最多可达所以磁道数最多可达(r-r)/m。由于每条磁道上的比特数相同，为了获得最大的存由于每条磁道上的比特数相同，为了获得最大的存储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比储量，最内一条磁道必须装满，即每条磁道上的比特数可达到特数可达到 ,nr 2nrmrrrf 2)( 所以，磁道总存储量为：所以，磁道总存储量为：)(2rrrmn (1) 它是一个关于它是一个关于r的二次函数，从函数的解的二次函数，从函数的解析式可以判断，不是析式可以判断，不是r越小，磁盘的存储量越小，磁盘的存储量越大。越大。解：存储量=磁道数每磁道的比特数)(22)(rrrmn

11、nrmrrrf(2) 为求f(r)的最大值，先计算0)( rf)2(2)(rrmnrf0)(,2;0)(,2rfrrrfrr时当时当0)( rf令mnr，rr2,2,2最大存储量为磁盘具有最大存储量时当因此2rr 解得解得如何解决优化问题?优化问题优化问题优化问题的答案优化问题的答案用函数表示的数学问题用函数表示的数学问题用导数解决数学问题用导数解决数学问题例例1： 从长从长8cm，宽，宽5cm的矩形薄铁板的四的矩形薄铁板的四角剪去相等的正方形，做一个无盖的箱子，角剪去相等的正方形，做一个无盖的箱子，问剪去的正方形边长为多少时，箱子容积问剪去的正方形边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？最大？最大容积是多少？ 8cm5cmxx.18cm其最大 值时，箱子的容积最大，1cm即剪去