分类好题(抽屉原理和构造及逻辑)(共29页)

1、抽 屉 原 理1.小刚家有材料相同的白、黄、红三种颜色的筷子各3双。这些筷子混放在筷子笼里。（1）在黑暗中，小刚至少要拿出多少根才能保证有颜色一样的一双筷子？（2）在黑暗中，小刚至少要拿出多少根才能保证有颜色一样的两双筷子？（3）在黑暗中，小刚至少要拿出多少根才能保证有颜色不一样的两双筷子？2、（前苏联竞赛题）从数1，2，3，。，200中任意取出101个数。证明：在这101个数中一定可以找出两个数来，其中一个可被另一个整除。回复：200个数首先任取101个数，记为：a1、a2、a101，把每个数中2的因子提出，则每个数可记为2的n次×b（i），i是下标，显然b（i）一定是奇数，1到2

2、00共100个奇数，在上述情况下必有2个数的b（i）是相等的，则此两数存在倍数关系。第一题解答：1.小刚家有材料相同的白、黄、红三种颜色的筷子各3双。这些筷子混放在筷子笼里。（1）在黑暗中，小刚至少要拿出多少根才能保证有颜色一样的一双筷子？（注意哦：筷子一双=2根）也就是笼里有白黄红各6根。（四年级下周的课-求最值，我们就会学习这类题。大家好着急呀）解： “保证”=“最倒霉的情况”+1最倒霉的情况：三色各取了1根，1*3=3。所以至少拿4根。（2）在黑暗中，小刚至少要拿出多少根才能保证有颜色一样的两双筷子？最倒霉情况：每个颜色都取了3根。所以至少取3*3+1=10根（3）在黑暗中，小刚至少要拿

3、出多少根才能保证有颜色不一样的两双筷子？最倒霉情况：把一种颜色都取完，另外两个颜色各取了1根。至少要取=6+1*2+1=9根。3、试卷上共有4道选择题，每题有3个可供选择的答案。一群学生参加考试，结果是对于其中任何3人，都有一个题目的答案互不相同。问参加考试的学生最多有多少人。（答案是9人）任注：还没想明白。4、把325个桃分给若干只猴子，每只猴子分得的桃不超过8个问：至少有只猴子得到的桃一样多回复：325/(1+2+3+4+5+6+7+8)=9余1所以是9+1=10  至少有10只猴子得到的桃一样多。5、核心考点：遇到类似抽屉原则的问题，要尽可能多的构造比“至少”少1的数

4、。真题讲解：（2007年”迎春杯”决赛试题）有22个装乒乓球的盒子，如果不管怎么装都至少有4个盒子里的乒乓球相同（不装算0个），那么装球最多的盒子中装_个乒乓球。解答：我们构造比4少1的数，故用三个盒子一组一组的装。于是有三个装“0” 个球， 三个装“1”个球，三个装“2”个球，三个装“3”个球，三个装“4”个球，三个装“5”个球，三个装“6”个球，这样我们用了21个盒子。余下的一个盒子只要装06中的任何一个数量的乒乓球即可满足要求，这样我们得到，装球最多的盒子中装6个乒乓球。你可以尝试一下，如果把盒子数换成52呢？6、证明：任取8个自然数，必有2个数的差是7的倍数。任评：构造7个抽屉。7、从

5、2，4，6，8，。，30这15个偶数中，任选9个数，证明其中一定有2个数之和是34.任评：构造8个抽屉。8、从1，2，3，4，。19，20这20个自然数中，至少任选几个数，就可以保证其中一定包括2个数，它们的差是12.任评 ：构造12个抽屉：20,8,19,7,18,6,17,5,16,4,15,3,14,2,13,1,9,10,11,12.9、任意给定7个不同的自然数，求证其中必有2个数，其和或差是10的倍数。任评：以除以10的余数构造10个抽屉。但是有7个元素，抽屉数比元素数多，无法应用抽屉原理，怎么办？调整为6个抽屉：0,1,9,2,8,3,7,4,6,5即可。10、从1到20 这20个

6、数中，任取11个数，必有2个数，其中一个数是另一个的倍数。任评：按照同一个抽屉中，任意两个数都具有倍数关系来构造抽屉。按奇数及其倍数进行分组，构成了10个抽屉：（1，2，4，8，16），（3，6，12），（5，10，20），（7，14），（9，18），（11），（13），（15），（17），（19）11、把1、2、3、10这十个数按任意顺序排成一圈，求证在这一圈数中一定有相邻的三个数之和不小于17解答：这道题方法很多，一种思路是一圈每相邻的3个数全找出来，共10组，把这10组全加起来，相当于每个数加了3遍，所以总和是（1+2+3+10）*3=165，而165=10*16+5，根据抽屉原理，至少

7、有一组相邻的三个数之和不小于16+1=17.12、圆周上有2000个点，在其上任意地标上0，1，2，3，.，1999（每点只标一个数，不同的点标上不同的数）。证明必然存在一点，与它紧相邻的两个点和这个点上所标的三个数之和不小于2999。解答：这道题就是把数改大了一点，方法和上道题是一样的。可以考虑一圈上的2000组相邻的3个数，它们的总和是（1+2+3+1999）*3=1999*1000*3=5997*1000=2998*2000+1000，根据抽屉原理，至少有一组相邻的三个数的和不小于2998+1=2999.当然这类题还有其他方法。解答二：设此2000点为a1,a2,a3,a2000。在此圆

8、周上共有2000组和，即a1+a2+a3,a2+a3+a4,a1999+a2000+a1,a2000+a1+a2，总和为（a1+a2+a3）+(a2+a3+a4)+(a2000+a1+a2)=3*(a1+a2+a3+a2000)=3*(1999*2000)/2=3*19990=5997000=2998*2000+1000根据抽屉原理，可知必有一组和不小于2999。解答三：其他思路还有这样的：还是拿1到10的那道题来说，去掉一个最小的1，剩下9个数（210）也必然是相邻的9个数，把它们分成3组，每组相邻3个数。由于这9个数的总和是54，那么必然有一组3个数的和不小于18，当然更不小于17了。前面

9、的方法是从整体考虑，把所有的相邻3个数都考虑了一遍，这里是从部分出发，只考虑较大的那些数。这道题也是一样：先去掉最小的0，还剩下1999个数，分成666个相邻3数组，还剩下一个数。剩的这个数最大是1999，所以那666个相邻3数组的总和至少是1+2+3+1998=1999*999=666*2998.5=666*2998+333，所以至少有相邻3个数的和不小于2999.解答四（肖京园老师）：叫我说，根据抽屉原理不如根据平均数最大值总是大于平均值0到1999，共有2000个“三数和”这些“三数和”平均值是（2000×1999×3）/（2×2000）=2998.5因此总

10、存在最大值大于等于299913、（复杂抽屉原理，学案上的一道题，向专家请教，09年清华附中考题）在时钟的表盘上任意做9个120度的扇形，使得每一个扇形都恰好覆盖4个数，且每两个扇形覆盖的数不全相同。求证：一定可以找到3个扇形，恰好覆盖整个表盘上的数。并举一个反例说明，做8个扇形将不能保证上述结论成立。回复（任）：一共有12种情况：（1，2，3，4），（2，3，4，5），（3，4，5，6），（4，5，6，7），（5，6，7，8），（6，7，8，9），（7，8，9，10），（8，9，10，11），（9，10，11，12），（10，11，12，1），（11，12，1，2），（12，1，2，3）。8个

11、扇形不保证。例如取（1，2，3，4），（2，3，4，5），（3，4，5，6），（4，5，6，7），（5，6，7，8），（6，7，8，9），（7，8，9，10），（8，9，10，11），那么12这个数字就覆盖不了。3个扇形恰好覆盖整个表盘上的数，只有4种组合：（1，2，3，4），（5，6，7，8），（9，10，11，12），（2，3，4，5），（6，7，8，9），（10，11，12，1），（3，4，5，6），（7，8，9，10），（11，12，1，2），（4，5，6，7），（8，9，10，11），（12，1，2，3）这4种组合作为4个抽屉，要取9个扇形，至少有一个抽屉的3个扇形要都取到。从而证明

12、了9个扇形，一定可以找到3个扇形，恰好覆盖整个表盘上的数。回复二：根据问题“覆盖整个表盘的3个120度扇形”构造抽屉，第一个抽屉有【1/2/3/4,5/6/7/8,9/10/11 /2】三个扇形，第二个抽屉有【2/3/4/5,6/7/8/9,10/11/12/1】三个扇形，第三个抽屉有【3/4/5/6,7/8/9/10，11/12/1/2】三个扇形，第四个抽屉有【4/5/6/7,8/9/10/11,12/1/2/3】四个扇形，所有扇形都在这四个抽屉中。从中选取9个必有一个抽屉至少有9/4=21即3个扇形，因此可以覆盖整个表盘。反例可以每个抽屉选前两个即可。14、(帅帅老师答疑帖)在对角线长为5

13、0米的长方形草坪上，有10个同学在踢足球，无论他们怎么跑动，至少会有两个同学之间的距离不会超过（    ）米？【分析与解】这是道抽屉原理的题目，我们如图把长、宽都三等分，把这个长方形分成9份，这样现在有10个点分布在9个抽屉里，必有两个点在一个抽屉里，那么这两个点最远距离在小长方形的对角两个顶点上，这时距离是50/3,所以至少有2个同学距离不会超过50/3.【总结】抽屉原理的难点在于构造抽屉，如果构造好了抽屉题目就解决了。任评：我刚开始构造的是长、宽都两等分，把这个长方形分成4份，做出来的是至少有2个同学距离不会超过50/2.。15、将3121本书任意分给160名学生，每个

14、学生分到的书少于40本，那么，不论怎样分法，至少有多少多学生得到的书一样多？解答（魏老师）：根据题意，每人得到的书为0本-39本，共40种情况。总共需要0+1+2+3+.+39=780本.  共有3121本书，3121÷7804人1本  所以必有5人得到的书一样多。具体的方法也可以实现：比如1-40，41-80,81-120,121-160号同学分别拿0-39本书剩下的一本书，随便分给任何一个同学即可关键点：(1)书的情况种类，共计40种(2)从最不利原则出发,每个人拿的书尽量不一样(3)具体的构造方法一定要给出.（网友提问）：那么这个题的抽屉

15、数应该是39吧？这题算不算抽屉原理的一种典型题型？（帅帅老师回复网友提问）：这个题目是抽屉里比较典型的问题，这个题目的抽屉不是40，如果是40的话我们就用总数除以40了，很多学生做错问题就出在这里！    虽说有0-到39这40钟情况，但这些情况各出现一次用的总量是0到39的和,所以抽屉是780。16、对于任意的五个自然数，证明其中必有3个数的和能被3整除.证明任何数除以3所得余数只能是0，1，2，不妨分别构造为3个抽屉：   0，1，2    若这五个自然数除以3后所得余数分别分布在这3个抽屉中，我们从这三个抽屉

16、中各取1个，其和必能被3整除.    若这5个余数分布在其中的两个抽屉中，则其中必有一个抽屉，包含有3个余数（抽屉原理），而这三个余数之和或为0，或为3，或为6，故所对应的3个自然数之和是3的倍数.    若这5个余数分布在其中的一个抽屉中，很显然，必有3个自然数之和能被3整除.拓展1：8个数中肯定能找到6个数，使得这6个数的和是3的倍数。拓展2：11个数中肯定能找到9个数，使得这9个数的和是3的倍数。17、九条直线中的每一条直线都将正方形分成面积比为2:3的梯形，证明：这九条直线中至少有三条经过同一点. 证明：如图，设直线EF将正方

17、形分成两个梯形，作中位线MN。由于这两个梯形的高相等， 故它们的面积之比等于中位线长的比，即|MH|:|NH| 。于是点H有确定的位置（它在正方形一对对边中点的连线上，且|MH|:|NH|:）. 由几何上的对称性，这种点共有四个（即图中的H、J、I、K）.已知的九条适合条件的分割直线中的每一条必须经过H、J、I、K这四点中的一点.把H、J、I、K看成四个抽屉，九条直线当成个物体，即可得出必定有条分割线经过同一点.18、在一次足球循环赛中，胜一场得3分，平一场得一分，负一场得0分，结果冠军队剩的场次最少，得分却最高，那么冠军队至少得多少分？(分析与解答:     

18、  设球队为N队, 首先说明一下比赛中的几个数量关系:       1, 单循环的话,确定每队的比赛场数为(N-1)       2, 总胜场数必须等于总负场数    对于这个题目来说,很显然,要满足题目条件,冠军队必须平场数尽量多,其他队必须胜场数尽量少,即最理想的情况就是比冠军队多胜一场,冠军队分数必须大于其他队中最高分,    下面根据冠军队的胜场数,进行分类讨论:    一, 冠军队一场不胜,(N-1)场全是平场,那么此时得分为(N-1)

19、分.       那么其他队都胜1场,根据胜负场相等的原理及抽屉原理,至少有一队(最高分队)至多负一场,其他(N-3)场都为平场,得分为3+(N-3)=N分.       显然,无论N取几,都无法满足冠军队分数大于这支队.    二, 冠军队胜1场,(N-2)场全是平场,那么此时得分为3+(N-2)=N+1分.            那么其他队都胜2场,根据胜负场相等的原理及抽屉原理,至少有一队(最高分队)至多负2场

20、,其他(N-5)场都为平场,得分为6+(N-5)=N+1分            显然,无论N取几,都无法满足冠军队分数大于这支队(至多等于).    三, 冠军队胜2场,(N-3)场全是平场,那么此时得分为6+(N-3)=N+3分            那么其他队都胜3场, 根据胜负场相等的原理及抽屉原理,至少有一队(最高分队)至多负3场,其他(N-7)场都为平场,得分为9+(N-7)=N+2. 

21、60;    此时,可以满足冠军队分数N+3大于这支队的分数N+2.       但是注意到过程中必须满足(N-7)1,即N8,       所以取N=8即所求球队数,此时冠军队分数为11分. 完毕。    实际上可以构造出符合要求的一组得分情况:(唯一可能性)   冠军队(2胜5平,11分),其他7队中有5队(3胜3负一平,10分),2队(3胜4负,9分).   对阵肯定是可以满足的，这里不再详叙。点评：    1

22、，这道题目非常之难，我没上希望杯初赛辅导班，由于手上没有答案，问了好几位老师，都说课堂上没有讲，讲义上的答案也非常之复杂。说实话，我也是费尽脑汁才想出来的，而且总体上思路还是比较清晰的（呵呵，我是这么觉得的 ）。主要是一开始找不对思路，不知道如何下手。    2，这个题目实际上是一个关于比赛的逻辑推理题目，有一些基本数量关系首先必须明确，这是这类题目必须要用到的，包括：一：总比赛场数，总分数（无平局确定，有平局不确定但有范围），二：每队比赛场数，最高分，最低分，可能分数，三：对应关系（总胜场数等于总负场数，平局数为偶数等）。    3，此题中有两个变量，

23、球队数和冠军队胜场数都不确定，一个用未知数表示，一个分类讨论，注意这种分析方法的运用。    4，题目中用到了抽屉原理，这是本题最难理解的地方。因为要满足冠军队的分数，不可能与其他队一个个比较，只要找出最高分就可以，这就要用到抽屉原理。建议小孩没达到一定的程度，不要学习这道题目。19、新年联欢会上，六年级一班的21名同学参加猜谜活动，他们一共猜对了44条谜语，那么21名同学中，至少有多少人猜对的谜语一样多分析与解答:    此题属于抽屉原理的一种特殊形式题型,应该用极端假设法进行逐步尝试.      1,首先假设只

24、有1人猜对的一样,即所有人都不一样,那么此时21人最少猜对的谜语数为:0+1+2+20=210 显然大于44,不可能成立.      2,假设2人猜对一样,那么此时谜语数至少有:(0+1+2+9)×2+10=100,大于44,不符合.   3,依次类推,当4人猜对一样时,谜语数最少为(0+1+2+3+4)×4+5=45,还是大于44   4,所以当5人猜对一样时,谜语数最少为(0+1+2+3)×5+4=34,小于44了,所以可以成立,此时把其中的4换成14,谜语总数就是44了.完毕.2

25、0、电影院共24排座位，每排有30个座位，某校师生共650人去看电影，入座后发现，有些排座位上的人数相等，最多的有n排座位上坐的人数一样多，求n的最小值？分析与解答:此题与上面题目的思路完全一样:1,假设24排人数都不一样,那么总人数最多30+29+7=444,小于650.不成立.2,假设24排中都是2排的人数一样,那么总人数最多为(30+29+19)×2=588.不成立.3,依次类推,24排中都是3排的人数一样,总人数最多为30+29+23)×3=636,不成立.4,24排中都是4排的人数一样,总人数最多为30+29+25)×4=660,大于650了,可以成立,

26、把其中的一个25变成15就可以了.完毕.21、从前30个自然数中最少要（不看这些数而以任意方式）取出几个数，才能保证取出的数中能找到两个数，其中较大的数是较小数的倍数？（看成扑克牌）解答：抽3张呢？如果抽出了4、5、22，那很遗憾。抽4张呢？如果抽出了16、3、7、11，也不成。这样想下去，不容易找出题目所说的“至少取几个数”中的最小数，看来要想个好办法。把前30个自然数分成下列15组：1，2，4，8，163，6，12，245，10，207，14，289，1811，2213，2615，3017；19；21；23；25；27；29。根据抽屉原则知：任意取出16个数，至少有两个取出的数落入同一个组

27、内，当然是落入前面8组中的某组，这两个数就有倍数关系。这说明任意取出16个数后可以满足题目的要求，所以，从前30个自然数中至少取16个数，就可保证取出的数中有两个数，它们之间有倍数关系。任评 ：以奇数分类。22、从前25个自然数中任意取出7个数，证明：取出的数中一定有两个数，这两个数中大数不超过小数的1.5倍。23、从1至200这些自然数中，  （1）最多可以取出多少个数，使其中任何两个数都不成2倍关系？（2）最多可以取出多少个数，使其中任何两个数都不成倍数关系？回复：是抽屉原理的题先说第二问，因为这个第二问我感觉还稍微好操作一些，因为不知道抽屉个数，所以就得根据题目意思来

28、构造抽屉了，我们最后每个抽屉里选出一个数，这样就是说每个抽屉里的每两个数都是成倍数关系的，让每个抽屉里的后一个数都是前一个数的二倍，那么第一个抽屉就是（1,2,4128），下一个是(3,6,12192) 能发现其实每个奇数都对应一个抽屉，一共是100个抽屉，而且在每个抽屉里，任取两个数都是倍数关系，于是就知道，这样的数最多有100个，如果去101个，根据抽屉原理，一定有两个数在同一抽屉，是倍数关系，那么就找找看，是不是真的能找到这么100个数；最终还是不难发现的，101到200这100个数就都不存在倍数关系了，同样的，100到199这100个数也不存在，第二问就解决了。（任评：以奇数为依据构造

29、抽屉。思路与第21题类似。）第一问，其实还是构造抽屉，因为是2倍，那么还是可以按着上一问方法来构造抽屉，2倍关系的数还是都在一个抽屉里面。但是注意的是，在同一个抽屉里，有很多数之间都不是2倍的关系，那我们怎样找最多，就怎样找就可以了。第一个抽屉就是（1,2,4128），其实把第一个选上，后面的隔一个选一个就行了，每一个抽屉都这样做之后，题目就做出来了，不过相当的麻烦，100个抽屉呢。不过有更简单的想法，其实就是把每个抽屉里面的第奇数个数都选出来，而这样的数对应的特征就是：他们的分解因式里都含有偶数个2，其实这个不难理解的，后一个都比前一个多两个2嘛，那么含0个2（即奇数）的有100个，含2个2

30、的有25个，含4个2（从16、48到176）的有6个，含有6个2（64、192）的有2个，含有8个2的就不存在了。于是最多有100+25+6+2=133个24、在图中的12个圆圈内填入1至12这12个自然数，证明：无论怎么放，一定存在同一条直线上的三个相邻圆圈内的三个数之和不小于20。回复：看着是数阵图的题目，但主要考察的还是抽屉原理，这种题目都不着急上来去试，而是看看一共有多少个和，每个圆圈被算了几次。这道题目还挺仁慈的，一共是算了8次和，并且每个圆圈刚好都算过两次，所以8个数的和为（1+2+3+12）×2=156，而156÷8=194，也就是说不可能8个和都小于20，也

31、就证明出来了。任评：找平均数。25、將正九邊形的九個頂點任意塗上紅色或白色，求證：存在兩個以這九個頂點為頂點的全等三角形，對應頂點的顏色都相同。回复：對於正九邊形九個三角形彼此兩兩全等又三頂點之塗色法只有種故由抽屜原理本題得證。北大附小习题：1、 从整数1、2、3、99、100中任选51个数，求证在选出的这些自然数中至少有两个数，其中的一个是另一个的倍数.答案：把这100个数分类如下： （1）1，1×2，1×22，1×23，1×26， （2）3，3×2，3×22，3×23，3×25， （3）5，5×2，5

32、×22，5×23， 5×24， (50)99 以上共分为50组，即50个抽屉，根据抽屉原理，一定至少有两个数取自同一类，因此其中一个数是另一个数的倍数。2、 10个足球队进行单循环比赛，比赛已经进行了11场。请你说明：肯定有一个足球队至少赛了3场。答案：因为比赛进行了11场，所以各个足球队比赛场数总和为22场。把10个足球队看作是10个抽屉。根据抽屉原则，肯定有一个足球队至少赛了3场。3、 从10至20这11个自然数中，任取7个数，证明其中一定有两个数之和是29。答案：将10至20这11个自然数分为6组，看作6个抽屉。 9，20，10，19，11，18，

33、12，17，13，16，14，15，10 根据抽屉原则，任取的7个数，其中一定有两个数之和是29。4、 一个袋子里装着4中不同颜色的球，其中红球10个，蓝球9个，黄球7个，白球2个。从中至少取出多少个球，才能保证有2对颜色不同的球？答案：最坏的情况是首先取出了10个红球。根据抽屉原则，至少再取出4个球就又保证取出的球中有2个的颜色相同。因此，至少要取出14个球，才能保证有2对颜色不同的球。5、 从2、4、6、30这15个偶数中，任取9个数，证明其中一定有两个数之和是34。答案：将2、4、6、30这15个偶数分为8组，看作8个抽屉。 4，30，6，28，8，26，10，24，12，22，14，2

34、0，16，18，2 根据抽屉原则，任取的9个数，其中一定有两个数之和是34。6、 厨柜里有木筷子8根，竹筷子10根，从中最少摸出多少根筷子，才能保证有两双不同的筷子答案：最坏的情况是摸一根是竹筷子，再摸一根还是竹筷子，这样当摸出第10根时，竹筷子全部被拿了出来。如果再摸出两根筷子，肯定是一双木筷子。因此，至少摸出12根筷子，才能保证有两双不同的筷子。7、 在10×10的方格纸中任意填入1、2、3、4四个数之一，然后分别对每个2×2方格中的四个数求和。在这些和中，至少有多少个相同？答案：因为每个2×2方格中填的数的和  最小的和是4=1+1+1+1，

35、60; 最大的和是16=4+4+4+4。  在2×2方格中填的数的和共13种可能。  抽屉数：13  在10×10的方格中一共有9×9=81个2×2的方格  苹果数：81  81÷13=63  所以，在这些和中，至少有7个相同 8、 一次数学竞赛出了10道题目，评分标准为：答对一道得2分，答错一道不扣分，不答得分。要保证有人的分数相同，至少要有多少名同学参加这次比赛？答案：根据题目的评分标准可知，一共可以出现21种不同的分数（020），把这21种不同的分数看作21个

36、抽屉。 因为3×21164 所以，要保证有4人的分数相同，至少要有64名同学参加这次比赛。9、 学校图书馆里有A、B、C、D四类书，规定每个同学最多可以借2本书，在借书的85名同学中，可以保证至少几个人所借书的类型是完全一样的？答案：每个人借书种类的配组有以下14种：AA，BB，CC，DD，AB，AC，AD，BC，BD，CD，A，B，C，D， 把这14种不同的配组看作14个抽屉 因为85÷1461 所以，根据抽屉原则，可以保证至少有7人所借书的类型是完全一样的。10、 一个袋子里装着3种不同颜色的球，其中红球10个，蓝球9个，黄球7个。从中取出8个球，至少有几个球的颜色是相

37、同的？答案：球有红、蓝、黄三类，看作3个抽屉。 因为8÷322 所以，根据抽屉原则，至少有3个球的颜色是相同的。11、 从100这100个数中任意取出51个数，请你证明在这51个数中一定存在公约数大于的9个数。答案：最大公约数为2的数一共有50个（2、4、98），分为一组； 在剩下的数中，最大公约数为3的共17个（3、9、99），分为一组； 其余的33个数为一组。 在任意取出的51个数中，至少有513318个数在前两个数组中。根据抽屉原则，至少有9个数在同一个数组，这9个数的最大公约数为2或3（即大于1）。12、 放体育用品的仓库里有许多足球、排球和篮球。有66名同学来仓库拿球，要求

38、每人至少拿1个球，至多拿2个球.问：至少有多少名同学所拿的球种类是完全一样的？答案：拿球的配组方式有9种，把这9种不同的配组方式看作9个抽屉。 足，排，篮，足，足，排，排，篮，篮，足，排，足，篮，排，篮。 因为66÷9=73， 所以，根据抽屉原则，至少有8名同学所拿的球的种类是完全一样的。13、 把两副扑克牌（去掉王牌），平均分给52人，在他们当中至少有多少人所得到的牌的花色情况是相同的？答案：把两副扑克牌（去掉王牌），平均分给52人，每人得到2张扑克牌。这两张扑克牌共有10种不同的花色配组，把这10种不同的花色配组看作10个抽屉。 红桃，红桃，黑桃，黑桃，梅花，梅花， 方块，方块，

39、红桃，黑桃，红桃，梅花，红桃，方块，黑桃，梅花，黑桃，方块， 梅花，方块 因为52÷1052 所以，根据抽屉原则，在他们当中至少有6人所得到的牌的花色情况是相同的。14、 至少有多少个自然数，才能保证有6个数除以8的余数相同？答案：任意一个自然数除以8余数有8种情况，把自然数按照余数的不同分为8类，看作8个抽屉。 因为8×5141 所以，至少有41个自然数，才能保证有6个数除以8的余数相同。15、 在边长为2的正方形中随意放入9个点，证明其中必有3个点构成的三角形的面积不大于1/2。答案：把边长为2的正方形分成4个边长为1的正方形（如图），把4个边长为1的正方形看作4个抽屉

40、。把9个点放入4个抽屉，根据抽屉原则，至少有3点在同一个抽屉，也就是在同一个边长为1的正方形中。 3个点在边长为1的正方形中，以这三个点为顶点所构成的三角形（如右图）面积最大等于正方形的一半，即1/2 。 所以，必有3个点构成的三角形的面积不大于1/2 。16、 求证：任意25个人中，至少有3个人的属相相同。 要想保证至少有5个人的属相相同，但不能有6个人属相相同，那么人的总数应在什么范围内？答案：把12种属相看作12个抽屉。 因为25÷1221 所以，根据抽屉原则，至少有3人的属相相同。 要保证有5个人的属相相同，总人数最少为：4×

41、12+1=49（人）。 不能保证有6个人属相相同的最多人数为：5×12=60（人）。 所以，总人数应在49人到60人的范围内。17、 有黑白围棋子若干，每人随意摸取4枚棋子。要想保证至少有4人摸取的棋子颜色配组是一样的，至少要有多少人来摸取围棋子？答案：4枚棋子的颜色配组工有5种：4白、3白1黑，2白2黑、1白3黑、4黑。 把这5种不同的颜色配组看作5个抽屉。根据抽屉原理，要保证至少4人摸取的颜色配组是一样的，3×51=16，至少要有16人来摸取围棋子。18、 某班有50名同学，其中年龄最小的14岁，最大的15岁。请你说明这个班至少有3名同学是同年同月出生的。答案：把两年的

42、24个月看作24个抽屉，50名学生是苹果数。 因为50÷2422 所以，根据抽屉原则，这个班至少有3名同学是同年同月出生的。19、总结1.如何更加简单的理解抽屉原理这里介绍一种易于理解的方法供同学们参考。我们借助于平均数的思想即可。比如说有100个苹果放入8个抽屉，平均是每个抽屉12.5个，那么至少有一个抽屉至少有13个苹果，否则如果每个抽屉都少于12的话，总数是不会到100的。2.抽屉原理难点在哪儿？一般考试中不会不会告诉你几个抽屉，几个苹果；命题者往往考察考生构造抽屉或者苹果的能力。另外一点就是抽屉原理往往需要结合最不利原则。【】一副扑克牌共有54张，其中四种花色的牌各有13张，

43、大小王各一张。问：至少需要摸出多少张牌，才能保证其中一定有四张牌的花色相同？【第三届走数 决赛6】【考点分析】:抽屉原理，最不利原则【切入点】这里题目要求至少，所以我们得考虑最不利的情况；如果要保证没有四张牌的花色相同，取的时候同一张花色的不能超过三张【解题】根据最不利原则，每种花色的牌可以选3张，加上大王和小王，共计11张，如果再多选一张，一定会出现四张牌花色相同的情况。          所以答案就是4*3+2+1=15【易错点】大王、小王两张牌忘记计算。【总结】本题难度系数低，结合最不利原则便可迎刃而解。【】六一班图书有科普、事

44、故和画报三类图书，规划每位同学最多可以借阅其中两类不同的图书。那么，至少有几位同学来借阅时就一定会有两位同借阅的种类相同？【第一届走数决赛6】【分析】每位同学借书的情况不一样，我们得求出有几种情况；而借书的情况我们可以看成是抽屉，相当于把人看成苹果往抽屉当中放。题目相当于是问我们苹果的数目。【解答】借书情况的数目：每人借两类，共3种情况；每人借一类，共3种情况；总共有6种情况，相当于有6个抽屉。所以苹果的数目只需要多出1就可以，能很快得出答案7【总结】这个题需要同学们自己去构造抽屉然后求相应的苹果的数量，这个是关键也是难点所在。【拓展1】任意11个自然数，一定能够找到其中的6个，使它们的和是6

45、的倍数回复：设11个整数分别为 ，因为     （1）从11个整数中一定能找到三个数之和是3的倍数，即，不妨设    从剩下8个整数中一定能再找到三个数之和是3的倍数，即 ，不妨设     从剩下5个整数中也一定能再找到三个数之和是3的倍数，即 ，不妨设 .    （2） 都是3的倍数，一定会找到两个同奇或同偶，这两个数假设是 和 ，则有 ， 既是3的倍数，又是2的倍数，则一定是6的倍数，所以 ，也就证明了任意11个整数中，一定存在6个数之和是6的倍数。【拓展2】1,11,1

46、11,1111，111111（100个1组成）这100个数当中一定有一个是91的倍数逻辑推理1、甲乙丙丁四人猜运动会结果，甲说“若我进入决赛，那么乙也进入决赛”；乙说“若我进入决赛，那么丙也进入决赛”；丙说“若我进入决赛，那么丁也进入决赛”。结果大家都没有说错，但是只有两个人进入决赛，那么是谁？解答：甲说“若我进入决赛，那么乙也进入决赛”；把这句话改改：它的逆否命题就是-甲说：“如果乙没进决赛，那么我也没进决赛。”两句话是一样的意思。假设 甲进了决赛，那么乙也进；乙进，丙就进；丙进，丁也就进。这时候4个人都进了决赛，和条件2个人最终进决赛矛盾。可见 假设错误！所以，甲没进决赛。根据之前的逆否命

47、题，我们知道 甲没进，乙也就没进。所以： 最后 甲乙两人没进，丙丁两人进。2、有五个人一起吃饭，甲说我坐在乙的旁边，乙说坐在我左边的不是丙就是丁，丙说我的座位挨着丁，丁说丙坐在乙的右边。但是以上发言都是错的，这五个人是怎么坐的？一支没有发言的戊坐在什么地方？解答：3、（迎春杯）老师在3个小箱中各放了一个彩色球，让小明、小强、小亮、小佳四人猜一下各个箱子中放了什么颜色的球。小明说：“1号箱子中放的是黄色的，2号箱子中放的是黑色的，3号箱子中放的是红色的.”小亮说：“1号箱子中放的是橙色的，2号箱子中放的是黑色的，3号箱子中放的是绿色的.”小强说：“1号箱子中放的是紫色的，2好箱子中放的是黄色的，

48、3号箱子中放的是蓝色的。”小佳说：“1号箱子中放的是橙色的，2号箱子中方的是绿色的，3号箱子中放的是紫色的。”老师说：“你们中有一个人恰好猜对了两个，其余三人都只猜对了一个。”那么三个箱子中放的是什么颜 色的球？回复：这道题可以用对比分析法来解：                1号            2号           3号&#

49、160;                黄               黑             红                 橙     &

50、#160;         黑             绿                 紫               黄             蓝  &

51、#160;             橙               绿             紫因为有一个人恰好猜对了两个，其余三人都只猜对了一个。那么必有5个箱子被猜对了，那么至少有两个号码被猜对了两次，所以根据四个人的猜的情况知道1号为橙色，2号必为黑色，那么3号为蓝色小明 一个：2黑色小亮 两个：1橙色、2黑色小强 一个：3蓝色小

52、佳 一个：1橙色4、推理题：1、一条街上有5座不同颜色的房子，每个房子住着不同国籍的人，他们有最喜爱的饮料、烟和宠物。2、英国人住红色房子。3、瑞典人养狗。4、丹麦人喝茶。5、绿色房子在红色房子的左边。6、住在绿色房子的人喝咖啡。7、抽PALL MALL 烟的人养鸟。8、住黄色房子的人抽DUNHILL.9、挪威人住在第一间房子。10、住在中间房子的人喝牛奶。11、抽BLENDS的人住在养猫的人的隔壁。12、养马的人住在抽DUNHILL的隔壁。13、抽BLUE MASTER 的人喝啤酒。14、德国人抽PRINCE香烟。15、挪威人住蓝色房子隔壁。16、抽BLENDS香烟的人有个喝矿泉水的邻居。问

53、题是：那个国籍的人养鱼？回复：所以，德国人养鱼。本题突破口：在于  绿色+咖啡 ； 矿泉水+blends+猫。5、（帅帅老师答疑帖）请教对策问题: 有1996个棋子,两人轮流取棋子,每次允许取其中的2个、4个、或8个,谁最后取完棋子,就算谁获胜.那么先取的人为保证获胜,第一次他应取几个棋子?【思路分析】先找到所给几个数和的特点，现在给我们2,4,8，它们两两的和为6,12,10，有两个为6的倍数，要想赢，就去抢6的倍数，现在1996不是6的倍数，1992是6的倍数，所以可以让第一个人先报4。【解析】让第一个人先选4，这样剩下1992，接下来如果第二人报2，第一个人就报4&#

54、160;     如果第二人报4，第一个人就报2      如果第二人报8，第一个人就报4保证和为6的倍数，这样第一个人就一定可以取胜！【总结】对策问题一般都是去抢一个数的倍数，这个题目的难点在于看到2，4，8，这三个数两两和的特点。发现要抢6的倍数。6、6支足球队进行单循环赛，即每两队之间都比赛一场，每场比赛胜者得3分，负者得0分，平局各得1分。现在比赛已经进行了4轮，即每队都已与4个队比赛过，各队已赛4场的得分之和互不相同。已知总得分居第三位的队共得7分，并且有4场球踢成平局，那么总得分居第五位的队最多可得多少分？最少可

55、得多少分？回复：第五名最多3分，最少1分。总共赛了12场，其中平了4场，所以总得分为3*12-4=32分。不妨设名次依次为A，B，C，D，E，F。我们先算第五名得分最多的情况。A，B，C最少9+8+7=24分，所以D，E，F最多8分，第四名和第五名分不一样，所以第五名最多3分。这是存在的。比如   A胜D,C，F,负B                     

56、0;         B胜D,平C,E                               C胜E,F         &

57、#160;                     D胜F,平E                            

58、   E平F有12场，比较容易安排四轮。下面我们计算第五名得分最少的情况，假如最低分时是0分，也就是E,F都全负。由于C得了7分，只能是2胜1平1负，所以A,B，D三队之间的三场比赛只能是3场平局。也就是A至少2场平局，但是A最少是9分，A不可能有2场以上的平局，矛盾。所以第五名E至少有1分。这是可以的，比如    A平B,胜C,E，F                 

59、;               B平D,胜E,F                                C平D,胜E,F&

60、#160;                               D平E,胜F总共12场，比较容易安排四轮。任注："下面我们计算第五名得分最少的情况，假如最低分时是0分，也就是E,F都全负"这个假设不用作的，因为题目明确说了每队得分都不一样，所以E，F不可能都是0

61、分。7、华侨小学某班有60人，在收看“邓小平同志追悼大会”实况时，他们着装白色或黑色上衣，黑色或蓝色裤子。其中有12人穿白上衣蓝裤子，有34人穿黑裤子，29人穿黑上衣，那么穿黑上衣黑裤子的有多少人？解答：有34人穿黑裤子，那么穿蓝裤子的有60-34=26人，有12人穿白上衣蓝裤子，说明还有26-12=14人是穿黑上衣蓝裤子，有29人穿黑上衣，那么，有29-14=15人穿黑上衣黑裤子。8、一场数学游戏在小聪和小明间展开：黑板上写着自然数2，3，4，.， 2008，一名裁判现在随意擦去其中一个数，然后由小聪、小明轮流擦去其中的一个数，若最后剩下的两个数互质，则判小聪胜，否则判小明胜。问：小聪和小明

62、谁有必胜策略？说明理由。（答案：裁判取奇数时小明胜，取偶数时小聪胜）分析与解答:    此题目我分析的答案与家长给的答案有点出入，所以不知道是不是题目有问题还是我的思路哪里出错了，请家长帮忙思考！    博弈问题题型,也称为数学游戏与策略对策研究,利用的知识点还是一些奥数知识点,此题需要利用的知识点是:连续的两个自然数是互质的,两个偶数不可能互质.       22008共2007个数,其中1004个偶数,1003个奇数,偶数比奇数多一个.下面分类讨论:       1,若裁

63、判擦去一个奇数,那么还剩下1002个奇数和1004个偶数,偶数比奇数多2个,只要小明每次都坚持随意擦去一个奇数,那么最后必剩下两个偶数,小明胜利.       2,若裁判擦去一个偶数,那么还剩下1003个奇数和1003个偶数,偶数和奇数一样多,每人要擦1002个数。情况要复杂一些。    首先，我们可以确定小聪要想使最后剩下的两个数互质，那么自己擦的1002个数必须都是偶数，只要不是偶数，那么小明就一直擦奇数，转化为1中情形，小明胜利。    其次，小明肯定一直擦奇数，而且肯定可以使得最后剩下的两个奇数不互质，如剩

64、下（9，15），假设此时剩下的另外两个偶数为（4，8），轮到小聪擦了，很明显，无论小聪擦去谁，小明都可以取得胜利。    所以两种情况下，都是小明有必胜的把握。    补充说明，第二种情况下，如果是小明先擦，那么就是小聪必胜，此时可以把2006个数分为1003组（2，3）（4，5）。（998，999）（1001，1002）。（2007，2008），那么小明擦任何一个数，小聪就擦同一组中的另外一个数，这样最后剩下的两个数肯定是在同一组，且是互质的，小聪胜利。9、六年级思维导引构造与论证三第11题：+ k  g&a

65、mp; * ! 9 c7 . o4 z6 , R& t把正方体的六个表面分别剖分成9个相等的正方形，现用红、黄、蓝三种颜色去染这些小正方形，要求有公共边的正方形所染的颜色不同，那么染成红色的正方形的个数最多有多少个？分析与解答:最值构造问题,基本思路是分组讨论,找出不可能同时满足(或者最多能满足)的正方形个数,注意到正方体的对称性.1,先考虑8个角上的三个正方形(图中A处),显然这三个正方形两两相邻,所以最多只有一个能是红色,即此24个中最多有8个可以是红色.2,考虑12条棱边上的2个相邻正方形(图中B处),显然最多只能有1个是红色,即此24个中最多只能有12个是红色.3,最后考虑6个面中心的一个正方形,当其中一个C为红色时,那么B2必须为红色,则D不能是红色,同理,其他三个相邻面中心正方形也不能是红色,但是对面中心正方形可以是红色,即此6个正方形中最多能有2个是红色.所以,红色正方形的个数最多是8+12+2=22.