中考压轴题二次函数中的最(定)值问题

1、二次函数中的最(定)值问题【典例1】(2019?宜宾)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 y= ax2 - 2x+c与直线y= kx+b都经过A (0, - 3)、B (3, 0)两点，该抛物线的顶点为C.(1) 求此抛物线和直线 AB的解析式；(2) 设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点 M，过M作x轴的垂线交抛 物线于点N,使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点 M的坐标；若不存在，请说明 理由；(3) 设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当 PAB面积最大时，求点 P的坐标，并求 FAB面积 的最大值.【点拨】(1 )将A (0, -

2、3)、B (3, 0)两点坐标分别代入二次函数的解析式和一次函数解析式即可求解；(2) 先求出C点坐标和E点坐标，则CE = 2,分两种情况讨论：若点M在x轴下方，四边形 CEMN 为平行四边形，则 CE = MN ,若点M在x轴上方，四边形 CENM为平行四边形，则 CE= MN，设M(a, a- 3),则N (a, a2 - 2a- 3),可分别得到方程求出点M的坐标；(3) 如图，作 PG / y 轴交直线 AB 于点 G,设 P( m,m2- 2m- 3)，则 G( m,m - 3)，可由? ?=? g ?,? 得到m的表达式，利用二次函数求最值问题配方即可.【解答】解：(1)v抛物线

3、y= ax2 - 2x+c经过A (0, - 3)、B (3, 0)两点，?= -3，?= -3 ，.抛物线的解析式为 y= x2- 2x- 3,直线 y= kx+b 经过 A (0, - 3)、B (3, 0)两点,-3?+ ?= 0 ?= -3，解得：?= 1?= -3直线AB的解析式为y= x- 3,(2)：y= x2- 2x- 3=( x- 1) 2- 4,抛物线的顶点 C的坐标为（1 , - 4）,/ CE/ y 轴，- E (1,- 2), CE= 2,如图，若点 M在x轴下方，四边形 CEMN为平行四边形,设 M (a, a - 3),贝U N (a, a2 - 2a- 3),

4、MN = a- 3-( a2 - 2a- 3)=- a2+3a,CE= MN,2- a2+3a = 2,解得：a = 2, a= 1 (舍去)， M (2,- 1),如图，若点 M在x轴上方，四边形 CENM为平行四边形,CE= MN,a2 - 2a- 3),a1 SFAB= SaPGA+SaPGB= _?： - x (-? - 3a= 2,解得：a=竺孑辽,a= 笃辽（舍去），3+ V17-3+ "7 M (-T，),3+ VI7综合可得M点的坐标为（2，-1）或（一,-3+帀)2（3）如图，作PG/ y轴交直线AB于点G ,(m, m- 3),5/ PG = m - 3 -( m

5、2 - 2m- 3) =- m2+3m,3?) x 3 =-壬? + |?= - |(?- |)2 + 牛27315.当m= 3时， PAB面积的最大值是，此时P点坐标为（-,-）2 824【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，二次函数求最值问题，以及二次函数与平行四边形、三角形面积有关的问题.【典例2】（2019?绵阳）在平面直角坐标系中，将二次函数y = ax2 （a>0）的图象向右平移1个单位，再向F平移2个单位，得到如图所示的抛物线， 该抛物线与x轴交于点A、B （点A在点B的左侧），OA = 1,经过点A的一次函数y= kx+b （ kz 0）的图象与y轴

6、正半轴交于点 C,且与抛物线的另一个交点为D,AABD的面积为5.（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2） 抛物线上的动点 E在一次函数的图象下方，求 ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标;（3） 若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求 PE+ 3PA的最小值.:SfflS【点拨】(1 )先写出平移后的抛物线解析式，经过点A (- 1 , 0),可求得a的值，由 ABD的面积为5可求出点D的纵坐标，代入抛物线解析式求出横坐标，由A、D的坐标可求出一次函数解析式；(2) 作EM / y轴交AD于M，如图，利用三角形面积公式，由Smce= Same - Sacme构建二次函数， 利用二次

7、函数的性质即可解决问题；(3) 作E关于x轴的对称点 F，过点F作FH丄AE于点H，交x轴于点P,则/ BAE = Z HAP = Z HFE ,3利用锐角三角函数的定义可得出EP+5AP = FP + HP，此时FH最小，求出最小值即可.【解答】解：(1)将二次函数y= ax2 (a>0)的图象向右平移1个单位，再向下平移 2个单位，得到的 抛物线解析式为y= a (x- 1) 2- 2,/ OA = 1,点A的坐标为(-1, 0),代入抛物线的解析式得,4a - 2= 0, ?=抛物线的解析式为 y= 1（?2 1）2 - 2，即y= 1?- ?- |.令 y = 0,解得 X1=-

8、 1, x2= 3,- B （3, 0）, AB= OA+OB = 4, ABD的面积为5,1 -? ? 2? = 5,设直线AD的解析式为y= kx+b. 4?+ ?= 2，解得：1,-?+ ?= 0?= 12直线AD的解析式为y=丄？?+ 1.2 23)，则 M (a,丄？?+2 2(2)过点E作EM / y轴交AD于M，如图，设 E (a, 1 ? - ?-2-1?+ 3?+ 2,1 SACE= SaAME - S"ME= 2 X ?11132(- 2? + 2?+ 2) x 1 =-冷-3?- 4),4(?- 3)2 + 2516，.当a= 3.时， ACE的面积有最大值，最

9、大值是253，此时E点坐标为(-，16215).8(3)作E关于x轴的对称点F,连接EF交x轴于点G,过点F作FH丄AE于点H,交x轴于点P,3 15、 E (- , - ), OA = 1 ,28AG = 1+ 3=5，EG=辱,2 2' 8 '5?24/ AGE = Z AHP = 90°? ? 53? 5 ?, E、F关于x轴对称, PE= PF,二 PE+ 3ap = FP+HP = FH，此时 FH 最小, EF=甘 X 2 =亍，/ AEG = Z HEF ,? ? 54 15 ?字 4 x15= 3.5 4 PE+ 3PA的最小值是3.5【点睛】主要考查

10、了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养要会利用数形结合的 思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决 相关问题.【精练1】(2019秋?河北区期末)在平面直角坐标系中， 抛物线y=- x2+bx+c经过点A、B, C,已知A (1, 0), C (0, 3).(1) 求抛物线的解析式；(2) 如图1, P为线段BC上一动点，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点D ,是否存在这样的P点， 使线段PD的长有最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由；(3) 如图2,抛物线的顶点为 E, EF丄x轴于点F, N是直线EF上一

11、动点，M ( m, 0)是x轴一个动点，1请直接写出CN+MN+；MB的最小值以及此时点 M、N的坐标，直接写出结果不必说明理由.gl图2【点拨】(1) y=- x2+ bx+c经过点C,贝U c= 3，将点A的坐标代入抛物线表达式：y =- x2+ bx+3，即可求解；(2) 设点 D(x，- x2+2x+3)，则点 P(x，- x+3)，贝U PD =( - x2+2x+3)-( - x+3)=- x2+3x，即 可求解；(3) 过点B作倾斜角为30°的直线BH，过点C作CH丄BH交于点H , CH交对称轴于点 N，交x轴于 点M，则点M、N为所求，即可求解.【解答】解：(1)

12、y=- x2+bx+c经过点C,贝U c= 3,将点A的坐标代入抛物线表达式：y=- x2+bx+3并解得：b= 2,抛物线的表达式为：y=- x2+2x+3；(2) 存在，理由：令 y = 0,则 x=- 1 或 3,故点 B (3, 0), 将点B、C的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线BC的表达式为：y=- x+3,设点 D (x, - x2+2x+3),则点 P (x,- x+3),则 PD =(- x2+2x+3)- (- x+3)=- x2+3x,3 9当x= 3时，PD最大值为：-；24(3) 过点B作倾斜角为30°的直线BH，过点C作CH丄BH交于点H , CH交对

13、称轴于点 N，交x轴于点M ,则点M、N为所求,当 x=1 时，y = 3- v3，当T，则直线CH的表达式为：y=-金+3，y= 0 时，x= ,故点N、M的坐标分别为:(1 , 3- v3)、(v3, 0),1CN+MN+ 2MB的最小值=CH = CM+FH= 3笃"【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、点的对称性等，其中(3),本题提供对的采取的用点的对称轴确定线段和的方法，是此类题目的一般方法.【精练2】(2020?郑州模拟)如图1,在平面直角坐标系中，直线y= x+4与抛物线y= - *x2+bx+c (b, c是常数)交于A、B两点，点A在x轴上，

14、点B在y轴上.设抛物线与 x轴的另一个交点为点 C.(1) 求该抛物线的解析式；(2) P是抛物线上一动点(不与点 A、B重合)，? 如图2,若点P在直线AB上方，连接 0P交AB于点D，求一的最大值；? 如图3,若点P在x轴的上方，连接 PC,以PC为边作正方形 CPEF，随着点P的运动，正方形的大【点拨】(1 )利用直线解析式求出点A、B的坐标，再利用待定系数法求二次函数解析式解答;? ?(2)作PF / B0交AB于点F，证 PFDOBD ,得比例线段= ，则PF取最大值时,? ?求得一2的?最大值；(3) (i)点F在y轴上时，过点 P作PH丄x轴于H,根据正方形的性质可证明 CPH

15、FCO，根据全等三角形对应边相等可得 PH = CO = 2，然后利用二次函数解析式求解即可；(ii)点E在y轴上时，过点PK丄x轴于K，作PS丄y轴于S,同理可证得 EPSA CPK，可得PS= PK，则P点的横纵坐标互为相反数，可求出P点坐标；点E在y轴上时，过点 PM丄x轴于M，作PN丄y轴于N,同理可证得 PENA PCM，可得PN= PM，贝U P点 的横纵坐标相等，可求出 P点坐标由此即可解决问题. A ( 4, 0), B (0, 4),把A, B两点的坐标代入解析式得,4? + ?=?= 48，解得,严-1?= 4【解答】解：(1)直线y= x+4与坐标轴交于 A、B两点,当

16、x = 0 时，y = 4, x= 4 时，y = 0,抛物线的解析式为？?= - 1?- ?+ 4;(2)如图1，作PF / BO交AB于点F , PFD OBD ,? ?= ?/ OB为定值，?当PF取最大值时， 一有最大值，?设 P (x, - 1?- ?+ 4),其中4V XV 0，贝y F (x, x+4), PF= ?- ?=-扌？- ? 4 - (?+ 4) = - 2?- 2?- 2 v0且对称轴是直线 x= 2,当x= 2时，PF有最大值，? ? 1此时 PF = 2,=-；? ? 2(3)v 点 C (2, 0), CO = 2,(i)如图2，点F在y轴上时，过点 P作PH

17、丄x轴于H ,在正方形 CPEF 中，CP = CF，/ PCF = 90°,Vyp °1 ”7 2/PCH + / OCF = 90°,/ PCH + Z HPC = 90°,/ HPC = / OCF ,/ ?/ ?在厶 CPH 和厶 FCO 中， / ?/ ?= ? CPH FCO (AAS),PH = CO= 2,点P的纵坐标为2, - I?- ?+ 4 = 2,解得，？?= -1 ±v5, ?(-1 + 需,2) , ?(-1 - v5 , 2),(ii)如图3,点E在y轴上时，过点 PK丄x轴于K,作PS丄y轴于S, 同理可证得 E

18、PSA CPK , PS= PK ,P点的横纵坐标互为相反数,S3 - 2?- ?+ 4= -?,解得 x= 2(舍去)，x=- 2v2, ?(-2 v2, 2v2),如图4,点E在y轴上时，过点 PM丄x轴于M，作PN丄y轴于N,同理可证得 PENPCM , PN= PM, P点的横纵坐标相等， - 1?- ?+ 4 = ?解得？?= -2 + 2 v3, ?= -2 - 2 v3 (舍去)， ?(-2 + 2 v3, - 2 + 2 v3),综合以上可得 P 点坐标为(-2 + 2 v3, - 2 + 2 V§) , (-2 v2, 2v2) , (-1+ 需,2) , (-1-

19、, 2).【点睛】此题主要考查了二次函数的综合应用，全等三角形的判定与性质以及待定系数法求二次函数解析式，正方形的性质的应用，解题的关键是正确进行分类讨论.【精练3】(2020?武汉模拟)如图1,抛物线Mi： y=- x2+4x交x正半轴于点A,将抛物线Ml先向右平移 3个单位，再向上平移 3个单位得到抛物线 M2 , Mi与M2交于点B,直线0B交M2于点C.(1) 求抛物线M2的解析式；(2) 点P是抛物线Mi上AB间的一点，作PQ丄x轴交抛物线 M2于点Q ,连接CP , CQ .设点P的横 坐标为m ,当m为何值时，使厶CPQ的面积最大，并求出最大值；?(3) 如图2,将直线OB向下平

20、移，交抛物线 M1于点E , F ,交抛物线 M2于点G , H ,则的值是否?为定值，证明你的结论.【点拨】(1)先将抛物线 Mi： y=- x2+4x化为顶点式，由平移规律“上加下减，左加右减”可直接写出 抛物线M2的解析式；(2) 分别求出点A,点B,点C的坐标，求出m的取值范围，再用含m的代数式表示出厶CPQ的面积， 可用函数的思想求出其最大值；(3) 设将直线OB向下平移k个单位长度得到直线 EH，分别求出点E, F, G, H的横坐标，分别过G,H作y轴的平行线，过 E，F作x轴的平行线，构造相似三角形 GEM与厶HFN，可通过相似三角形的?性质求出一的值为1.?【解答】解：(1

21、)T y=- x2+4x=-( x- 2) 2+4,将其先向右平移 3个单位，再向上平移 3个单位的解析式为：y=-( x- 5) 2+7 =- x2+10x- 18;(2)v抛物线M1与M2交于点B,- x2+4x=- x2+10x- 18,解得，x= 3, B (3, 3),将点B (3, 3)代入y= kx,得，k= 1,- yoB= x,抛物线M2与直线OB交于点C, x=- +10x- 18,解得，X1 = 3, X2= 6, C (6, 6),t点P的横坐标为m,点 P (m,- m2+4m),则 Q (m,- m2+iom- 18),2 2 QP =- m +I0m - 18 -

22、( - m +4m)= 6m - 18,1 SaPQC= 2 (6m- 18) (6 - m)2=-3m2+27m - 54,9=-3( m- 9)227+ 4,2在y=- m+4m中，当y = 0时,X1 = 0, X2= 4,- A (4, 0),B ( 3, 3), 3< mW 4,在 S=- 3 (m- |) 2+ 务中，根据二次函数的图象及性质可知，当m= 4时， PCQ有最大值，最大值为 6;?(3)的值是定值1，理由如下:?设将直线OB向下平移k个单位长度得到直线EH ,22贝U yEH = x - k,令 x- k=- x2+4x,解得,X1= 3+9+422,X2=3-

23、 9+4?2 ,xF=3+ 2+4?,xE=3- v9+4?令x-k=- x2+10x - 18,解得,X1= 9+严，X2=9- 2+4?xH=9+ 5?, xg= T4?,? ? ?3= = 一 = 1 ?3?二的值是定值1.?【点睛】本题考查了二次函数的图象平移规律，二次函数的图象及性质，相似三角形的判定与性质等， 解题关键是掌握用函数的思想求极值等.【精练4】(2019秋?南岗区期末)如图，抛物线y= ax2- 11ax+24a交x轴于C, D两点，交y轴于点B (0,44),过抛物线的顶点 A作x轴的垂线AE,垂足为点E,作直线BE .9(1) 求直线BE的解析式；(2) 点H为第一

24、象限内直线 AE上的一点，连接 CH，取CH的中点K，作射线DK交抛物线于点P, 设线段EH的长为m,点P的横坐标为n,求n与m之间的函数关系式.(不要求写出自变量 m的取值范 围)；(3) 在(2)的条件下，在线段 BE上有一点Q,连接QH , QC,线段QH交线段PD于点F，若/ HFD【点拨】(1 )根据抛物线可得对称轴，可知点E的坐标，利用待定系数法可得一次函数BE的解析式;(2)如图1，作辅助线，构建直角三角形，根据抛物线过点B (0,),可得a的值，计算y= 0时，x9的值可得C和D两点的坐标，从而知CD的值，根据P的横坐标可表示其纵坐标,根据 tan/ PDM =?_?=911

25、需(?-3)(?-8)11耳F=54(3-?,? 彳彳tan/ KDN = 需?=备=薯，相等列方程为 一(3 - >41554对称轴是：x=-11?2?112 ,2?)= ，可得结论；15(3) 如图2,延长HF交x轴于T,先根据已知得/ FDO = / FTO,由等角的三角函数相等和(2)中的 ? 2?结论得：tan/FDO = tan/FTO，则一=，可得ET和CT的长，令/ FDO = / FTO = 2a,表示角可 ?15得/ TCQ=/ TQC，贝U TQ= CT = 5,设 Q 的坐标为(t, - 9t+ 44),根据定理列方程可得：TS2+QS2= TQ2, (2+t)

26、2+ (- 9?,+ 44) 2= 52，解得t1=, t2= 1 ;根据两个t的值分别求n的值即可.【解答】解：(1 )抛物线 y= ax2 - 11ax+24a,11.E ( , 0),244 B(0, 丁),设直线BE的解析式为：y = kx+b,!?+ ?= o2?=449，解得:?= ?=44直线BE的解析式为：y= - 9x+辛；(2)如图1，过K作KN丄x轴于N，过P作PM丄x轴于 M ,244t抛物线 y= ax2 11ax+24a 交 y 轴于点 B (0,),944 24a= 丁, a= 1154' y= ttx2- 121x+545444116= 54 (x-3)

27、 (x 8),当 y= 0 时，1154(x 3) ( x 8)= 0,解得：x= 3或8,二 C (3, 0), D (8,0), OC = 3, OD = 8, CD = 5, CE = DE =52, P点在抛物线上, Pn,1154(n 3) (n 8), PM =1154(n 3) (n 8), DM = 8 n, tan/pdm=空?=隸?-3)(?-8)=口(3 - ?,8-?8-?54 '卜/ AE丄x轴, / KNC = / HEC = 90°, KN / EH,?=5 CN = EN= 2CE= 5,1115 KN= 2?= 2m, ND= -4-,?寸

28、2?在厶 KDN 中，tan/ KDN 中，tan/ KDN=祐?聶=犒，T11 2? 544（3- ?）=荷n=36 c-5m+3 ；(3)如图2，延长HF交x轴于T,2/ HFD = 2/FDO，/ HFD =/ FDO+ / FTO , / FDO =/ FTO , tan/ FDO = tan/ FTO,在 Rt HTE 中,tan / FTO=?2? 15 ET=15 CT= 5,令/ FDO =/ FTO = 2a,1 / HQC = 90° + 丄 / ?90 ° + ?2 ，/ TQC= 90°- a, / TQC= 180°/ HQC

29、= 90° a, / TCQ= 180°/ HTC - / TCQ=/ TQC, TQ= CT= 5,.点Q在直线y= - 8x+ 44上,99可设q的坐标为(t, - 9t+ 44),过 Q 作 QS丄 x 轴于 S,则 QS= - 8t+ 44 , TS= 2+t, 在 Rt TQS 中，TS2+QS2= TQ2,( 2+t)2+(-8?. 44) 2= 52,解得tl=籌，t2= 1 ；当 t= 49时，QS=曙，TS= 105在 Rt QTH 中，tan/ QTS=卷29"29 '1002021，2? 20 50 =,m=1521 n= - 55

30、X 5° + 3=-55712977，当t= 1时，QS= 4,TS= 3,QQQQ在 Rt QTH 中，tan/QTS= ?=2?415 = 3，m= 10, n = - 36 x 10 + 3= - 395511【点睛】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、三角函数、平行线分线段成比例定理、解直角三角形等，其中(3),运用方程的思想，求解 t的值，难度很大.【精练5 (2019秋?大东区期末)如图，在平面直角坐标系中， 抛物线y= ax2+bx+c与x轴交于点A (- 2,0),点B (4, 0),与y轴交于点C (0, 2v3),连接BC ,位于y轴右侧且垂直于 x轴的

31、动直线I，沿x 轴正方向从O运动到B (不含O点和B点)，且分别交抛物线、线段 BC以及x轴于点P , D , E ,连接AC , BC , PA , PB , PC .(1) 求抛物线的表达式；(2) 如图1 ,当直线l运动时，求使得 PEA和厶AOC相似的点P点的横坐标；(3) 如图1 ,当直线1运动时，求厶PCB面积的最大值；(4) 如图2,抛物线的对称轴交 x轴于点Q ,过点B作BG/ AC交y轴于点G .点H、K分别在对称轴 和y轴上运动，连接 PH、HK,当厶PCB的面积最大时，请直接写出PH + HK+才心 的最小值.21/ 12/O1Yo0 e'/團1Ad/2【点拨】(

32、1)根据A和B的坐标设抛物线的解析式为：y= a (x+2) (x- 4),把点C (0, 2v3)代入可v3得：a=-寸即可求解；(2) 只有当/ PAE=Z ACO时， PEAAOC，可得方程，解方程可得 P的横坐标；(3) 如图1,先确定PCB的面积最大时，PD最大，设P(x, -Jx2+為x+2V3),D(x,-身x+2v3),表示PD的长，根据二次函数的最值可得PD的最大值，最后利用三角形面积公式可得结论；(4) 由(3)知： PCB的面积最大时，P (2, 2v3),则OP= v22+ (2昉)2 =4,如图2，将直线 GO 绕点G逆时针旋转60°,得到直线a,作PM丄直

33、线a于M, KM '丄直线a于M '，贝U PH + HK+ KG =PH+HK+KM PM，求出PM即可解决问题.【解答】解：(1厂点A (- 2, 0),点B (4, 0),设抛物线的解析式为：y= a (x+2) (x- 4),把点 C (0, 2 v3 )代入得：a= - -43,故抛物线的表达式为： y= - 3 (x+2) (x - 4) = - 3x2+ ；3x+2 V3;442v3 2 v3(2)设 P (x, - xx + yx+2v3),动直线l在y轴的右侧，P为抛物线与I的交点， Ovxv 4,点 A (- 2, 0)、C ( 0, 2 V3), - OA

34、 = 2 , OC = 2 V3 , I丄x轴，/ PEA =Z AOC= 90°, / PAEZ CAO,只有当/ PAE = Z ACO 时， PEAs AOC , 此时竺竺;即仝土兰 .33 3 C =2,? ?+22 V33x二 PD =( -+ 23x+2 v3)-(-亍？? 2 v3) = - -47 ? + - 2x - 16= 0,(x+2) (3x 8)= 0, x=- 2 (舍)或 8,3OB = 4是定值,8则点P的横坐标为-；3当PD的值最大时， PCB的面积最大, B(4，0)，C(0, 2v3),设直线BC的解析式为:y= kx+b,4?+ ?= 0 则?

35、小, 解得：严?= 2 v3直线BC的解析式为:y=-设 P (x, - x2+ #x+2),a/3D (x, - 2"X+2v3)a/3-4 (x- 2) 2+ v3,V3/ v0,1 1 _ _当x= 2时，PD有最大值是 岳，此时 PCB的面积=2 ?= 2 Xv3 X4 = 2v3;(4)如图2中，杆!II! /E2 AOC 中，0A= 2, OC = 2v3, - AC= 4,/ ACO = 30°,/ BG / AC,/ BGO = Z ACO = 30°,Rt BOG 中，OB = 4, - OG = 4v3 ,由(3)知： PCB 的面积最大时，P

36、 ( 2, 2V3),则 OP= V22+(2 V3) 2 = 4,如图2,将直线GO绕点G逆时针旋转60°,得到直线a,作 PM 丄直线 a 于 M , KM '丄直线 a 于 M '，贝U PH + HK+ £kG = PH + HK + KMPM , P (2, 2v3),/ POB = 60°,/ MOG = 30°,/ MOG + Z BOC + / POB = 180° , P, O, M 共线，Rt OMG 中，OG = 4 v3, MG = 2v3 , OM = 6,可得PM = 10, PH+HK+唱KG的最小

37、值为10.【点睛】本题属于二次函数综合题，考查了一次函数的性质，二次函数的性质，垂线段最短，相似三角形的判定和性质，一元二次方程等知识，解题的关键是，学会用转化的思想思考问题，把最短问题转化为垂线段最短，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题.【精练6】(2016秋?集宁区期末)如图，对称轴为直线 x=- 1的抛物线y= a (x-h) 2 - 4 (0)与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C,其中点A的坐标为(-3, 0)(1) 求该抛物线的解析式；(2) 若点P在抛物线上，且 SaPOC= 4SaBOC,求点P的坐标；(3) 设点Q是线段AC上的动点，作 QD丄x轴交抛物线于点 D，求

38、线段QD长度的最大值.V【点拨】(1)由对称轴确定h的值，代入点A坐标即可求解；(2) 设出点P坐标并表示 POC的面积根据题意列出方程求解即可；(3) 设出点Q, D坐标并表示线段 QD的长度，建立二次函数，运用二次函数的最值求解即可.【解答】解：(1)由题意对称轴为直线 x=- 1,可设抛物线解析式：y= a (x+1) 2-4,把点A (- 3, 0)代入可得，a= 1, y=( x+1) 2- 4 = x2+2x - 3,(2)如图1 ,y= x2+2x 3，当 x = 0 时，y= 3,所以点 C (0, 3) , 0C= 3,令 y = 0,解得：x =- 3，或 x= 1,点 B

39、 (1, 0), OB = 1 ,设点 P ( m, m2+2m 3),13此时 Sa poc= 2 XOC x |m|= 2|m|,13Sa BOC= 2 x?x ? 2,由 SaPOC= 4SaBOC 得3|m|= 6 ,解得：m = 4或m=- 4,22m+2m 3= 21,或 m+2m 3 = 5 ,所以点P的坐标为：(4 , 21),或(-4 , 5); (3)如图2 ,设直线AC的解析式为：y= kx+b ,把 A (- 3 , 0), C (0, - 3)代入得：0= -3?+ ? -3 = ?解得：虞-3所以直线AC:y= x- 3,所以：39DQ = n 3 ( n2+2 n 3)= n2 3n =( n+ ) 2+ ，24n 3),点 D (n, n2+2n- 3)设点Q (n,39所以当n=-时，DQ有最大值一.24【点睛】此题主要考查二次函数综合问题，会求函数解析式，会根据面积相等建立方程并准确求解，知道运用二次函数可