选修1111.2命题及四种命题关系

1、1.1.1-1.1.2命题命题与四种命题与四种命题高二数学高二数学 选修选修1-1 第一章第一章 常用逻辑用语常用逻辑用语 “数学是思维的科学数学是思维的科学” 逻辑是研究思维形式和规律的科学逻辑是研究思维形式和规律的科学. . 逻辑用语是我们必不可少的工具逻辑用语是我们必不可少的工具. . 通过学习和使用常用逻辑用语通过学习和使用常用逻辑用语, ,掌握常用逻掌握常用逻辑用语的用法辑用语的用法,纠正出现的逻辑错误纠正出现的逻辑错误, ,体会运用体会运用常用逻辑用语表述数学内容的准确性、简捷性常用逻辑用语表述数学内容的准确性、简捷性. .命题及其关系命题及其关系1.1.1 命题思考思考下列语句的

2、表述形式有什么特点下列语句的表述形式有什么特点? ?你能判断你能判断它们的真假吗它们的真假吗? ?l（1 1） 125;125;l（2 2） 3 3是是1212的约数的约数; ; l（3 3） 0.50.5是整数是整数; ;l（4 4）对顶角相等）对顶角相等; ;l（5 5）3 3能被能被2 2整除整除; ;l（6 6）若）若x x2 2=1,=1,则则x=1.x=1.语句都是陈述句，语句都是陈述句，并且可以判断真假。并且可以判断真假。命题的概念命题的概念l用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。句叫做命题。l判断为真的语句叫做真命题

3、。判断为真的语句叫做真命题。l判断为假的语句叫做假命题。判断为假的语句叫做假命题。 l理解：理解： 1 1）命题定义的核心是判断，切记：判断的标准）命题定义的核心是判断，切记：判断的标准 必须确定，判断的结果可真可假，但真假必居其一。必须确定，判断的结果可真可假，但真假必居其一。 2 2）含有变量且在未给定变量的值之前无法确定语）含有变量且在未给定变量的值之前无法确定语句的真假。句的真假。（1） 125; （2） 3是是12的约数的约数; （3） 0.5是整数是整数; （4）对顶角相等）对顶角相等;（5）3 能被能被2整除整除; （6）若）若x2=1,则则x=1.用语言、符号或式子表达的，可以

4、判断真假的陈述句用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。如何判断一个语句是不是命题叫做命题。如何判断一个语句是不是命题？1)7是23的约数吗? 2)X5. 3)-2a343。6)6) x4x4。看看下列语句是不是命题？看看下列语句是不是命题？不是（疑问句）不是（疑问句）不是（疑问句）不是（疑问句）不是（感叹句）不是（感叹句）是（否定陈述句）是（否定陈述句）是（肯定陈述句）是（肯定陈述句）不是（开语句）不是（开语句）例例1 1 判断下面的语句是否为命题判断下面的语句是否为命题? ?若是命题，若是命题，指出它的真假。指出它的真假。(1)(1)空集是任何集合的子集空集是任何集合的子集

5、. .(2)(2)若整数若整数a a是素数是素数, ,则则a a是奇数是奇数. .(3)(3)指数函数是增函数吗指数函数是增函数吗? ?(4)(4)若平面上两条直线不相交若平面上两条直线不相交, , 则这两条直线平行则这两条直线平行. .(5)(5)2(2)2 (6)(6)x15.15.（是，真）（是，真）（是，真）（是，真）（是，假）（是，假）（是，假）（是，假）（不是命题）（不是命题）（不是命题）（不是命题）练习练习 判断下列语句是否是命题判断下列语句是否是命题 .（1 1）求证）求证 是无理数。是无理数。（2 2）（3 3）你是高二学生吗？）你是高二学生吗？（4 4）并非所有的人都喜欢苹

6、果。）并非所有的人都喜欢苹果。（5 5）一个正整数不是质数就是合数。）一个正整数不是质数就是合数。（6 6）若）若 ，则，则（7 7）x+30.32210.xx xR2470.xx(1)(3)(7)不是命题，不是命题，(2)(4)(5)(6)是命题。是命题。“若若p p则则q”q”形式的命题形式的命题 命题命题“若整数若整数a a是素数，则是素数，则a a是奇数。是奇数。”具具有有“若若p p则则q”q”的形式。的形式。 qpl通常通常, ,我们把这种形式的命题中的我们把这种形式的命题中的p p叫做命题叫做命题的的条件条件,q,q叫做命题的叫做命题的结论结论。l“若若p p则则q”q”形式的命

7、题是命题的一种形式而形式的命题是命题的一种形式而不是唯一的形式不是唯一的形式, ,也可写成也可写成“如果如果p,p,那么那么q” q” “只要只要p,p,就有就有q”q”等形式。等形式。l其中其中p p和和q q可以是命题也可以不是命题可以是命题也可以不是命题. .l“若若p p则则q”q”形式的命题的优点是条件与结论形式的命题的优点是条件与结论容易辨别容易辨别, ,缺点是太格式化且不灵活缺点是太格式化且不灵活. .“若若p p则则q”q”形式的命题的书写形式的命题的书写l了解命题表示的判断了解命题表示的判断, ,明确与判断有关的条明确与判断有关的条件与结论。件与结论。l对于一些条件与结论不明

8、显的命题对于一些条件与结论不明显的命题, ,一般采一般采取先添补一些命题中省略的词句取先添补一些命题中省略的词句, , 确定条确定条件与结论。件与结论。l如命题如命题: :“垂直于同一条直线的两个平面平垂直于同一条直线的两个平面平行行”。l写成写成“若若p p则则q”q”的形式为：的形式为： 若两个平面垂直于同一条直线，则这两若两个平面垂直于同一条直线，则这两个平面平行。个平面平行。例例2 2 指出下列命题中的条件指出下列命题中的条件p p和结论和结论q q：1)1)若整数若整数a a能被能被2 2整除，则整除，则a a是偶数；是偶数；2)2)菱形的对角线互相垂直且平分。菱形的对角线互相垂直且

9、平分。解：解：1) 1) 条件条件p p：整数：整数a a能被能被2 2整除，整除， 结论结论q q：整数：整数a a 是偶数。是偶数。 2) 2) 写成若写成若p p，则，则q q 的形式：若四边形是菱形，的形式：若四边形是菱形， 则它的对角线互相垂直且平分。则它的对角线互相垂直且平分。 条件条件p p：四边形是菱形，：四边形是菱形， 结论结论q q：四边形的对角线互相垂直且平分。：四边形的对角线互相垂直且平分。例例3 3 把下列命题改写成把下列命题改写成“若若p p则则q”q”的形式的形式, ,并判定真假。并判定真假。 (1) (1) 负数的平方是正数负数的平方是正数. . (2) (2)

10、 偶函数的图像关于偶函数的图像关于y y轴对称轴对称. . (3) (3)垂直于同一条直线的两条直线平行垂直于同一条直线的两条直线平行 (4) (4) 面积相等的两个三角形全等面积相等的两个三角形全等. . (5) (5) 对顶角相等对顶角相等. .真命题真命题真命题真命题假命题假命题假命题假命题真命题真命题练习练习1 1、将命题、将命题“a0a0时，函数时，函数y=ax+by=ax+b的值随的值随x x值的值的增加而增加增加而增加”改写成改写成“p p则则q”q”的形式，并判的形式，并判断命题的真假。断命题的真假。解答解答:a0:a0时，若时，若x x增加，则函数增加，则函数y=ax+by=

11、ax+b的值的值也随之增加，它是真命题也随之增加，它是真命题 在本题中，在本题中，a0a0是大前提，应单独给出，是大前提，应单独给出，不能把大前提也放在命题的条件部分内不能把大前提也放在命题的条件部分内2 2、把下列命题改写成、把下列命题改写成“若若p,p,则则q”q”的形式，的形式，并判断它们的真假并判断它们的真假. .（1 1）等腰三角形两腰的中线相等；）等腰三角形两腰的中线相等；（2 2）偶函数的图象关于）偶函数的图象关于y y轴对称；轴对称；（3 3）垂直于同一个平面的两个平面平行。）垂直于同一个平面的两个平面平行。(1)(1)若三角形是等腰三角形，则三角形两边上的若三角形是等腰三角形

12、，则三角形两边上的中线相等。这是真命题。中线相等。这是真命题。(2)(2)若函数是偶函数，则函数的图象关于若函数是偶函数，则函数的图象关于y y轴对称，轴对称，这是真命题。这是真命题。(3)(3)若两个平面垂直于同一平面，则这两个平面若两个平面垂直于同一平面，则这两个平面互相平行。这是假命题。互相平行。这是假命题。命题及其关系命题及其关系1.1.2 四种命题回顾回顾l交换原命题的条件和结论，所得的命题是交换原命题的条件和结论，所得的命题是_ _ l同时否定原命题的条件和结论，所得的命同时否定原命题的条件和结论，所得的命题是题是_ _ l交换原命题的条件和结论，并且同时否定，交换原命题的条件和结

13、论，并且同时否定，所得的命题是所得的命题是_ _ 逆命题。逆命题。否命题。否命题。逆否命题。逆否命题。原命题原命题, ,逆命题逆命题, ,否命题否命题, ,逆否命题逆否命题四种命题形式四种命题形式: :l 原命题原命题: : l 逆命题逆命题: :l 否命题否命题: : l 逆否命题逆否命题: :若若p, p, 则则q q 若若q q, , 则则p p若若p p, , 则则q q若若q, q, 则则p p观察与思考观察与思考？( )( )f xf x1 1）若若是是正正弦弦函函数数，则则是是周周期期函函数数。( )( )f xf x2 2）若若是是周周期期函函数数，则则是是正正弦弦函函数数。(

14、 )( )f xf x3 3）若若不不是是正正弦弦函函数数，则则不不是是周周期期函函数数。( )( )f xf x4 4）若若不不是是周周期期函函数数，则则不不是是正正弦弦函函数数。你能说出其中任意你能说出其中任意两个命题之间的关两个命题之间的关系吗系吗?课 堂 小 结课 堂 小 结原命题原命题若若p则则q逆命题逆命题若若q则则p否命题否命题若若 p则则 q逆否命题逆否命题若若 q则则p互为逆否互为逆否 同同真真同同假假互为逆否互为逆否 同同真真同同假假互逆命题互逆命题 真假真假无关无关互逆命题互逆命题 真假真假无关无关互否命题真假互否命题真假无关无关互否命题真假互否命题真假无关无关2）原命题

15、：若）原命题：若a=0, 则则ab=0。逆命题：若逆命题：若ab=0, 则则a=0。否命题：若否命题：若a 0, 则则ab0。逆否命题：若逆否命题：若ab0,则则a0。(真真)(假假)(假假)(真真)(真真)2.四种命题的真假四种命题的真假看下面的例子：看下面的例子：1）原命题：若）原命题：若x=2或或x=3, 则则x2-5x+6=0。逆命题：若逆命题：若x2-5x+6=0, 则则x=2或或x=3。否命题：若否命题：若x2且且x3, 则则x2-5x+60 。逆否命题：若逆否命题：若x2-5x+60，则，则x2且且x3。(真真)(真真)(真真)假假假假假假假假3）原命题：若）原命题：若xAB，则

16、，则x U A UB。逆命题逆命题:若x UA UB ，则则 xAB 。逆否命题：逆否命题：若若xUA UB ，则则xAB 。否命题：否命题： 若若xAB，则则x UA UB。四种命题的真假四种命题的真假,有且只有下面四种情况有且只有下面四种情况:原命题原命题逆命题逆命题否命题否命题逆否命题逆否命题真真真真真真真真真真假假假假真真假假真真真真假假假假假假假假假假想一想？想一想？（2） 若其逆命题为真，则其否命题一定为真。但若其逆命题为真，则其否命题一定为真。但其原命题、逆否命题不一定为真。其原命题、逆否命题不一定为真。由以上三例及总结我们能发现什么？由以上三例及总结我们能发现什么？即即 原命题

17、与逆否命题同真假。原命题与逆否命题同真假。原命题的逆命题与否命题同真假。原命题的逆命题与否命题同真假。（1） 原命题为真，则其逆否命题一定为真。但原命题为真，则其逆否命题一定为真。但其逆命题、否其逆命题、否命题不一定为真。命题不一定为真。(两个命题为互逆命题或互否命题两个命题为互逆命题或互否命题,它们的真假性没有关系它们的真假性没有关系).几条结论几条结论:1.判断下列说法是否正确。判断下列说法是否正确。1）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真；）一个命题的逆命题为真，它的逆否命题不一定为真；（对）（对）2）一个命题的否命题为真，它的逆命题一定为真。）一个命题的否命题为真，它的逆命题一

18、定为真。（对）（对）2.四种命题真假的个数可能为（四种命题真假的个数可能为（ ）个。）个。答：答：0个、个、2个、个、4个。个。如：原命题：若如：原命题：若AB=A, 则则AB=。逆命题：若逆命题：若AB=，则，则AB=A。否命题：若否命题：若ABA，则，则AB。逆否命题：若逆否命题：若AB，则，则ABA。（假）（假）（假）（假）（假）（假）（假）（假）3）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。）一个命题的原命题为假，它的逆命题一定为假。（错）（错）4）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。）一个命题的逆否命题为假，它的否命题为假。（错）（错）练一练练一练练习：分别写出下列命题的逆命题、

19、否命题、逆练习：分别写出下列命题的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假。否命题，并判断它们的真假。（1 1）若）若q1,2,那么那么q2-p,即即所以所以 3yx根据幂函数根据幂函数 的单调性，得的单调性，得33(2) ,qp3238 126,qppp3328 126pqpp216 (1),3p332.pq332.pq因此因此可能出现矛盾四种情况：可能出现矛盾四种情况：l与题设矛盾；与题设矛盾；l与反设矛盾；与反设矛盾；l与公理、定理矛盾；与公理、定理矛盾；l在证明过程中，推出自相矛盾的结论。在证明过程中，推出自相矛盾的结论。这些条件都与已知这些条件都与已知矛盾矛盾0 ba所以原命题所以

20、原命题成立成立ba 证明证明: 假设假设a不大于不大于b则则a 0,b0所以所以a baabaa bb bab0ab0，那么，那么 . . ba 练练 圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。圆的两条不是直径的相交弦不能互相平分。 已知：如图，在已知：如图，在 O中，弦中，弦AB、CD交于交于P，且，且AB、CD不是直径不是直径.求证：弦求证：弦AB、CD不被不被P平分平分.证明：证明：假设弦假设弦AB 、CD被被P平分，平分，P点一定不是圆心点一定不是圆心O，连接，连接OP，根据垂径定理的推论，有根据垂径定理的推论，有OPAB, OPCD即即 过点过点P有两条直线与有两条直线与OP都垂直，都垂

21、直，这与垂线性质矛盾，这与垂线性质矛盾，弦弦AB、CD不被不被P平分。平分。 若a2能被2整除，a是整数，求证：a也能被2整除.证：假设证：假设a不能被不能被2整除，则整除，则a必为奇数，必为奇数，故可令故可令a=2m+1(m为整数为整数),由此得由此得a2=(2m+1)2=4m2+4m+1=4m(m+1)+1,此结果表明此结果表明a2是奇数，是奇数，这与题中的已知条件（这与题中的已知条件（a2能被能被2整除）相矛整除）相矛盾盾,a能被能被2整除整除.62,32,22222 xzczybyxa练习题：若练习题：若a,b,c均为实数，且均为实数，且求证：求证：a,b,c中至少有一个大于中至少有一

22、个大于0若下列三个方程：若下列三个方程：; 03442 aaxx022;0)1(222 aaxxaxax中至少有一个方程有实根求实数中至少有一个方程有实根求实数a的取值范围的取值范围下列四个命题中，命题下列四个命题中，命题(1)与命题与命题(2)(3)(4)的条件和结论之间分别有什么关系？的条件和结论之间分别有什么关系？1.若若f(x)是正弦函数，则是正弦函数，则f(x)是周期函数；是周期函数；2.若若f(x)是周期函数，则是周期函数，则f(x)是正弦函数；是正弦函数；3.若若f(x)不是正弦函数，则不是正弦函数，则f(x)不是周期函数；不是周期函数；4.若若f(x)不是周期函数，则不是周期函

23、数，则f(x)不是正弦函数。不是正弦函数。观察命题观察命题(1)(1)与命题与命题(2)(2)的条件和结论之间分的条件和结论之间分别有什么关系？别有什么关系？1.1.若若f(x)f(x)是正弦函数，则是正弦函数，则f(x)f(x)是周期函数；是周期函数；2.2.若若f(x)f(x)是周期函数，则是周期函数，则f(x)f(x)是正弦函数；是正弦函数；互逆命题互逆命题：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的：一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，这两个命题叫做互逆命题。结论和条件，这两个命题叫做互逆命题。原原 命命 题题：其中一个命题叫做原命题。：其中一个命题叫做原命题。逆逆 命命 题

24、题：另一个命题叫做原命题的逆命题。：另一个命题叫做原命题的逆命题。pqqp即即 原命题原命题:若若p,则则q逆命题逆命题:若若q,则则p例如，命题例如，命题“同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行”的逆命题是的逆命题是“两两直线平行，同位角相等直线平行，同位角相等”。观察命题观察命题(1)(1)与命题与命题(3)(3)的条件和结论之间分的条件和结论之间分别有什么关系？别有什么关系？1.1.若若f(x)f(x)是正弦函数，则是正弦函数，则f(x)f(x)是周期函数；是周期函数；3.3. 若若f(x)f(x)不是正弦函数，则不是正弦函数，则f(x)f(x)不是周期函数不是周期函数. .pqp

25、 原命题原命题:若若p,则则qq 为书写简便为书写简便,常把条件常把条件p的否定和结论的否定和结论q的否定分的否定分别记作别记作 “p” “q”否命题否命题:若若p,则则q互否命题互否命题 原命题原命题 (原命题的原命题的)否命题否命题例如，命题例如，命题“同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行”的否命题是的否命题是“同同位角不相等，两直线不平行位角不相等，两直线不平行”。观察命题观察命题(1)与命题与命题(4)的条件和结论之间的条件和结论之间分别有什么关系？分别有什么关系？1.若若f(x)是正弦函数，则是正弦函数，则f(x)是周期函数；是周期函数；4. 若若f(x)不是周期函数，则不是

26、周期函数，则f(x)不是正弦函数不是正弦函数.pqq 原命题原命题: 若若p, 则则qp逆否命题逆否命题: 若若q, 则则p 互为逆否命题互为逆否命题 原命题原命题 (原命题的原命题的)逆否命题逆否命题例如，命题例如，命题“同位角相等，两直线平行同位角相等，两直线平行”的逆否命题是的逆否命题是“两直线不平行，同位角不相等两直线不平行，同位角不相等”。、互否命题：互否命题：如果第一个命题的条件和结论是第二个命题如果第一个命题的条件和结论是第二个命题的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做的条件和结论的否定，那么这两个命题叫做互否命题互否命题。如果。如果把其中一个命题叫做把其中一个命题叫做原命题原命

27、题，那么另一个叫做，那么另一个叫做原命题的否命原命题的否命题题。、互为逆否命题：互为逆否命题：如果第一个命题的条件和结论分别是第如果第一个命题的条件和结论分别是第二个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做二个命题的结论的否定和条件的否定，那么这两个命题叫做互为逆否命题互为逆否命题。、互逆命题：互逆命题：如果第一个命题的条件（或题设）是第二个如果第一个命题的条件（或题设）是第二个命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那命题的结论，且第一个命题的结论是第二个命题的条件，那么这两个命题叫么这两个命题叫互逆命题互逆命题。如果把其中一个命题叫做。如果把其中一个命题叫做原命题原命题，那么另一个叫做原命题的那么另一个叫做原命题的逆命题逆命题。三个概念三个概念原命题原命题, ,逆命题逆命题, ,否命题否命题, ,逆否命题逆否命题四种命题形式四种命题形式: :l 原命题原命题: : l 逆命题逆命题: :l 否命题否命题: : l逆否命题逆否命题: :若若 p, p, 则则 q q 若若 q q, , 则则 p p若若p p, , 则则q q若若q, q, 则则p p判断正误判断正误, ,并说明理由并说明理由: :(1)(1)若原命题是若原命题是“对顶角相等对顶角相等”, , 它的否命题是它的否命题是“对顶角不相等对顶角不相等”。(2)(2)若原命题是若原命题是“对顶角相