(完整版)勾股定理经典例题(含答案)

1、1勾股定理经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法1、在 Rt ABC 中，/ C=90(1) 已知 a=6， c=10，求 b， (2)已知 a=40, b=9，求 c； (3)已知 c=25，b=15，求 a.思路点拨：写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。解析:(1)在厶 ABC 中，/ C=90,在厶 ABC 中，/ C=90,在厶 ABC 中，/ C=90,a=6,c=10,b=-a=40,b=9,c= &Ic=25,b=15,a=-举一反三【变式】如图/B=ZACD90 ,AD=13,C!=12,B(=3,则 AB 的长是多少？【答案I：/AC

2、D90AD=13, CD=12 AC=ADJ-CD=132-122=25AC=5/ABC=90 且BC=3由勾股定理可得AB2=AC BC2 2=5 3=16AB=4AB 的长是4.类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在中，一弓二匚飞,匸二二二丄 U .求BC的长.角的直角三角形，为此作匸 i 一 -1-于D,则有思路点拨：由条件小X 阳=2曲=15BAD = ,2，再由勾股定理计算出AD DC的长，进而求出BC的长.解析：作于D,则因二二二巴,(的两个锐角互余)BD=-AB = 5- .o-(在中，如果一个锐角等于-L J那么它所对的直角边等于斜边的一半)根据勾股定理，在 二一工匸中，

3、血=JAB2-BD2=如-1亍=15 .根据勾股定理，在八匚中，23CD=JQ _的=J祁-15 = 65二上E二+匸 J 亠二举一反三【变式 1】如图，已知：一匚：二：，二 WX , _：二二一丄 于 p. 求证：Ji i；_.解析：连结 BM 根据勾股定理，在矗 ASMF 中，加二册_加.而在-中，则根据勾股定理有=曲亦.又二量=-T-1-（已知），.加二曲-曲+亦.在三二匚 27 中，根据勾股定理有?.囲=肘+血类型三：勾股定理的实际应用（一）用勾股定理求两点之间的距离问题3、如图所示，在一次夏令营活动中，小明从营地 A 点出发，沿北偏东 60方 向走了亠二-到达 B 点，然后再沿北偏西

4、 30方向走了 500m 到达目的地 C 点。/ A=60 AB=4, CD=2 求：四边形 ABCD 勺面积。分析：如何构造直角三角形是解本题的关键，可以连结AC,或延长 AB DC 交于 F,或延长 AD BC 交于点E,根据本题给定的角应选后两种，进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。解析：延长 AD BC 交于 E。/A=Z60/B=90,.ZE=30o.AE=2AB=8 CE=2CD=4.Bh=AE-AB2=82-42=48,BE=:：o/DE=CE2-CD2=42-22=12,.DE=：=o丄 丄S四边形 ABC=SAABES CDE= 2 AB- BE-2 CD- DE?【变式

5、 2】已知:4（1） 求 A、C 两点之间的距离。（2） 确定目的地 C 在营地 A 的什么方向。解析：（1）过 B 点作 BE/AD/ DAB=/ ABE=60/ 30 +/ CBA+Z ABE=180/ CBA=90即厶 ABC 为直角三角形由已知可得：BC=500m AB=m由勾股定理可得：1一丨-止亠所以-I I (2)在 Rt ABC 中，/ BC=500m AC=1000m/ CAB=30/ DAB=60 / DAC=30即点 C 在点 A 的北偏东 30的方向举一反三【变式】一辆装满货物的卡车，其外形高2.5 米，宽 1.6 米，要开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工

6、厂的厂门？【答案】由于厂门宽度足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于D 在离厂门中线 0.8 米处，且 CDLAB,与地面交于 H. 解：OC= 1 米（大门宽度一半），0.8 米（卡车宽度一半）Rt OCD 中，由勾股定理得：； =0.6米，=0.6+2.3=2.9（米）2.5（米）.高度上有 0.4 米的余量，所以卡车能通过厂门.（二）用勾股定理求最短问题4、国家电力总公司为了改善农村用电电费过高的现状，目前正在全国各地农村进行电网改造，某地有四 个村庄 A、B、C、D,且正好位于一个正方形的四个顶点，现计划在四个村庄联合架设一条线路，他们设计了CH 如图所示，点5四种架

7、设方案，如图实线部分请你帮助计算一下，哪种架设方案最省电线.思路点拨：解答本题的思路是： 最省电线就是线路长最短，通过利用勾股定理计算线路长，然后进行比较,得出结论.解析：设正方形的边长为 1，则图（1 ）、图（2）中的总线路长分别为AB+BC+CD = 3, AB+BC+CID3图（3 ）中，在 Rt ABC 中图（3）中的路线长为-图（4）中，延长 EF 交 BC 于 H,贝 UFHLBC, B 十 CH=-由/ FBHh及勾股定理得：里施玺EA = ED= FB= FC=二 EF= 1 2FH= 1 -此图中总线路的长为 4EA+EF= I IJ- -3 2.8282.732图（4）的连

8、接线路最短，即图（4）的架设方案最省电线.举一反三【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm,高 AE 为 4cm, EC 是上底面的直径.一只蚂蚁从点A 出发,沿着圆柱的侧面爬行到点C,试求出爬行的最短路程.6图，在 RtABC中，EC=底面周长的一半=10cm,根据勾股定理得（提问：勾股定理）AC=丄_丄10.77（cm）（勾股定理） 答：最短路程约为1 0.77cm.类型四：利用勾股定理作长为而的线段5、作长为：、广的线段。思路点拨：由勾股定理得，直角边为 1 的等腰直角三角形，斜边长就等于/ ，直角边为和 1 的直角 三角形斜边长就是,类似地可作作法：如图所示举一反三 【变式】在数轴上

9、表示 |的点。解析：可以把看作是直角三角形的斜边， ,为了有利于画图，让其他两边的长为整数，而 10 又是 9 和 1 这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3 和 1。作法：如图所示在数轴上找到 A 点，使 0A=3 作 AC 丄 OAAC=1,以 0C 为半径，0 为圆心做弧，弧与数轴的交点 B 即为-。五：逆命题与勾股定理逆定理6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确1 原命题：猫有四只脚.（正确）2 .原命题：对顶角相等（正确）3 原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等.4 原命题：角平分线上的点，到这个角的两边距离相等.（1）作直角边为 1 （单位长）的等腰直角ACB,

10、使 AB 为斜边;（2）以 AB 为一条直角边，作另一直角边为1 的直角卩丄。斜边为广;（3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形宀八二 这样斜边二占、4-、】、的长度就是7思路点拨：掌握原命题与逆命题的关系。解析：1.逆命题：有四只脚的是猫(不正确)2.逆命题：相等的角是对顶角(不正确)3.逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.？(正确)4.逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.(正确)总结升华：本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。7、如果 ABC 的三边分别为 a、b、c,且满足 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,判断 ABC 的形状。思路点拨：要

11、判断厶 ABC 的形状，需要找到 a、b、c 的关系，而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,故只有从该条件入手，解决问题。2 2 2解析：由 a +b+c +50=6a+8b+10c,得：2 2 2a -6a+9+b -8b+16+c -10c+25=0, (a-3)2+(b-4)2+(C-5)2=0。/ (a-3)2 0, (b-4)2 0, (c-5)2 0。 a=3 , b=4, c=5。/ 32+42=52,2.2 2 a +b =c。由勾股定理的逆定理，得ABC 是直角三角形。总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的，在证明中也常要用到。举

12、一反三 【变式 1】四边形 ABCD 中，/ B=90, AB=3 BC=4, CD=12, AD=13 求四边形 ABCD 勺面积。【答案】：连结 AC/ B=90 , AB=3 BC=4AC=AB+BC=25（勾股定理） AC=5/ AC+CD=169 , AD=169AC+CD=AD / ACD=90 （勾股定理逆定理）=(w?所以ABC是直角三角形.【变式 2】已知：ABC勺三边分别为形.mi- n2,2mn,m2+ n2(m,n 为正整数，且 mn),判断 ABC 是否为直角三角2 2 2只要证明：a+b=c即可证明:8【变式 3】如图正方形 ABCD E 为 BC 中点，F 为 A

13、B 上一点，且 BF AB请问 FE 与 DE 是否垂直？请说明。【答案】答：DEI EF。明：设 BF=a,则 BE=EC=2a, AF=3a, AB=4a, EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2;DE=cU+cD=4a2+16a2=20a2。连接 DF （如图）DF=AF2+AD）=9a2+16a2=25a2。DFMF+DE, FE 丄 DE经典例题精析类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法1、若直角三角形两直角边的比是3: 4,斜边长是 20，求此直角三角形的面积。思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根据 勾股定理列出方程，求出未

14、知数的值进而求面积。解析：设此直角三角形两直角边分别是3x, 4x，根据题意得：2 2 2(3x) + (4x)= 20化简得 x2= 16;1直角三角形的面积=二X3xX4x =6X2=96总结升华： 直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程(组)求解。举一反三 【变式 1】等边三角形的边长为 2，求它的面积。【答案】如图，等边 ABC 作 AC 丄 BC 于 D2贝 BD-二 BC (等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合) AB= AC= BC= 2 (等边三角形各边都相等) BD- 1在直角三角形 ABD 中, AB= AD+BD,即：AD= AB- BD=

15、4 1 = 3 AC=【变式 2】直角三角形周长为 12cm 斜边长为 5cm,求直角三角形的面积。 【答案】设此直角三角形两直角边长分别是X, y，根据题意得：+ + 5 = 12、丁 4 才=53(2)由(1)得：x+y =乙(x+y)2= 49, x2+2xy+y2= 49 (3)-(2),得：xy = 12 ABC=BC- AC=注：等边三角形面积公式：若等边三角形边长为a,则其面积为-a。9直角三角形的面积是二 xy = 2x12= 6 (cmi)【变式 3】若直角三角形的三边长分别是n+1, n+2, n+3，求 n。思路点拨： 首先要确定斜边(最长的边)长n+3,然后利用勾股定理

16、列方程求解。解：此直角三角形的斜边长为n+3，由勾股定理可得：2 2 2(n+1) + (n+2)=( n+3)化简得：n2= 4 n= 2，但当 n= 2 时，n+1= 10,二 n= 2总结升华： 注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给出哪条是直角边哪条是斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。【变式 4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是()A、8, 15, 17 B 、4, 5, 6 C、5, 8, 10 D 、8, 39, 40解析：此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，对数据较大的可以用 c2= a2+b2的变形：b2= c2 a2=( c a

17、) (c+a)来判断。 例如：对于选择 D,2/ 8 工(40+39)X(4039),以 8, 39, 40 为边长不能组成直角三角形。同理可以判断其它选项。【答案】：A【变式 5】四边形 ABCD 中，/ B=90 AB=3 BC=4, CD=12 AD=13 求四边形 ABCD 勺面积。解：连结 AC/B=90 , AB=3 BC=4AC=AB+BC=25（勾股定理） AC=5/ AC+CD=169 , AD=169AC+CD=AD/ACD=90 （勾股定理逆定理）1 1 S四边形 ABC=SAABC+SAACt= AB 类型二：勾股定理的应用2、如图，公路 MN 和公路 PQ 在点 P

18、处交汇，且/ QPN= 30,点 A 处有一所中学，AP= 160m。假设拖拉机 行驶时，周围 100m 以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN 上沿 PN 方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h ,那么学校受影响的时间为多少秒？思路点拨：(1)要判断拖拉机的噪音是否影响学校A,实质上是看 A 到公路的距离是否小于 100m,小于 100m则受影响，大于 100m 则不受影响，故作垂线段 AB 并计算其长度。(2)要求出学校受影响的时间，实质是要 求拖拉机对学校 A 的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点

19、后结束 影响学校。解析：作 AB 丄 MN 垂足为 B。在 Rt ABP 中，/ ABP= 90,/ APB= 30, AP = 160,1 AB = AP= 80。(在直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半) 点 A 到直线 MN 的距离小于 100m,这所中学会受到噪声的影响。如图，假设拖拉机在公路MN 上沿 PN 方向行驶到点 C 处学校开始受到影响，那么AC= 100(m),由勾股定理得：2 2 2BC = 100 -80 = 3600, BC= 60。10同理，拖拉机行驶到点 D 处学校开始脱离影响，那么，AD- 100(m), BD- 60(m), CD- 120(m)。拖拉

20、机行驶的速度为：18km/h 5m/st 120m 5m/s 24s。答：拖拉机在公路 MN 上沿 PN 方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24 秒。总结升华：勾股定理是求线段的长度的很重要的方法，若图形缺少直角条件，则可以通过作辅助垂线的方法构造直角三角形以便利用勾股定理。举一反三【变式 1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条路”。他们仅仅少走了 _步路(假设 2 步为 1m),却踩伤了花草。73【答案】(1)单位正三角形的高为-，面积是-(2)如图可直接得出平行四边形ABCD 含有 24 个单位正三角形，因此其面积类型三：数学思

21、想方法(一)转化的思想方法我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问 题来解决.3、如图所示， ABC 是等腰直角三角形， AB=AC D 是斜边 BC 的中点，E、F 分别是 AB AC 边上的点，且解析：他们原来走的路为3+4- 7(m)设走“捷径”的路长为 xm,则.厂故少走的路长为 7-5 - 2(m)又因为 2 步为 1m,所以他们仅仅少走了 4 步路。【答案】4【变式 2】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1 的正三角形,这样的三角形称为单位正三角形。(1)直接写出单位正三角形的高与面积。(2)图中的平行四边形ABCD 含有多少个单位正三角形？平行四边形ABCD 勺面积是多少?24x =斗(3)过 A 作AKLBC 于点 K (如图所示)，1+1 = 1心以曲，故=-尼11思路点拨： 现已知 BE CF,要求 EF,但这三条线段不在冋一三角形中，所以关键是线段的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接AD.解：连接 AD.因为/ BAC=