2020年北京市海淀区高三数学二模试卷及参考答案

1、2020年北京市海淀区高三二模试卷数 学 2020.6本试卷共 6页， 150分。考试时长 120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷 上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。第一部分（选择题 共 40 分）一、选择题共 10 小题，每小题 4分，共 40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题 目要求的一项。（1）若全集 U R ， A x|x 1 ， B x|x 1 ，则（A） A B（B） B A（C） B eU A（D）eU A B（2）下列函数中，值域为 0, ） 且为偶函数的是（A） y x2（B） y |x 1|（C） y cosx（D） y ln x（3）若抛物线

2、 y2 12 x的焦点为 F ，点 P 在此抛物线上且横坐标为 3，则|PF|等于（A）4（B） 6（C）8（D） 104）已知三条不同的直线 l,m,n 和两个不同的平面，下列四个命题中正确的为（ A）若 m/， n/ ，则 m/n (B）若 l /m ， m，则 l/（C）若 l / ，l / ，则 / (D）若 l / ， l，则5）在 ABC 中，1若 a 7 ， b 8 ， cosB，则A 的大小为7（A）（ B ）（C）（D）64326）将函数 f（x） sin（2 x ）的图象向左平移 个单位长度，得到函数 g（x） 的图象，则63g(x)A) sin(2 x )6C) cos2

3、xB) sin(2 x 2 )3D ) cos2x1，那么该三棱锥的体7）某三棱锥的三视图如图所示，如果网格纸上小正方形的边长为 积为（A）2（B）433（C）2（D）48）对于非零向量 a,b ，“(a b) a22a2”是“a = b”的俯视图A）充分而不必要条件B）必要而不充分条件C）充分必要条件D）既不充分也不必要条件9）如图 ,正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 2，点 O 为底面 ABCD的中心，点 P 在侧面 BB1C1C 的边界及其内部运动 若 D1O OP ，则 D1C1P 面积的最大值为（A） 2 5（B）4 555（C） 5（D） 2 510）为了预防新型冠状病

4、毒的传染，人员之间需要保持一米以上的安全距离. 某公司会议室共有四行四列座椅，并且相邻两个座椅之间的距离超过一米，为了保证更加安全，公司规定在此会议室开会时，每一 行、每一列均不能有连续三人就座 . 例如下图中第一列所示情况不满足条件（其中表”示就座人员）. 根据该公司要求，该会议室最多可容纳的就座人数为A) 9B)10(C) 11D)12第二部分(非选择题 共 110 分)、填空题共 5小题，每小题 5 分，共 25分。11 )若复数 (2 i)( a i) 为纯虚数，则实数 a 12)已知双曲线 E 的一条渐近线方程为 y x ，且焦距大于 4，则双曲线 E 的标准方程可以为 .(写出一个

5、即可)13)数列 an中， a1=2，an+1=2an，n? N*. 若其前 k项和为 126，则 k =.uuur uuur uuur uuur14)已知点 A(2,0) ， B(1,2) ， C(2,2) ，|AP| | AB AC|，O 为坐标原点，则 |AP| uuur uuur， OP 与 OA夹角的取值范围是 .15)已知函数 f(x)ax 1, x |lnx|, x0, 给出下列三个结论：0.5 / 20x1x2x31. 当a 2时，函数 f (x) 的单调递减区间为 ( ,1)； 若函数 f(x) 无最小值，则 a的取值范围为 (0, ) ；f (x) b恰有 3个零点 x1,

6、x2,x3，且 若 a 1且 a 0，则 b R ，使得函数 y其中，所有正确结论的序号是 三、解答题共 6小题，共 85 分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。(16)(本小题共 14 分)已知 an 是公差为 d 的无穷等差数列，其前 n项和为 Sn. 又 ，且 S5 40 ，是否存 在大于 1的正整数 k,使得 Sk S1？若存在，求 k的值；若不存在，说明理由 .从a1 4， d 2这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分。4 / 2017）（本小题共 14 分）在四棱锥 P ABCD 中，底面 ABCD 为直角梯形， BC /A

7、D， ADC 90 ，1BC CD AD 1，E为线段 AD的中点 . PE 底面 ABCD ，点 F是棱 PC的中点，平 2面 BEF与棱 PD 相交于点 G.（）求证： BE / FG ；（）若 PC与 AB 所成的角为 ，求直线 PB与平面 BEF 所成角的正弦值4C9 / 2018）（本小题共 14 分）为了推进分级诊疗，实现 “基层首诊、双向转诊、急慢分治、上下联动 ”的诊疗模式， 某地区自 2016年起全面推行家庭医生签约服务 . 已知该地区居民约为 2000万，从 1岁到101岁的居民年龄结构的频率分布直方图如图1所示. 为了解各年龄段居民签约家庭医生的情况，现调查了 1000名

8、年满 18周岁的居民，各年龄段被访者签约率如图2 所示 .频率 组距图1图2）估计该地区年龄在7180 岁且已签约家庭医生的居民人数；）若以图 2中年龄在 7180 岁居民签约率作为此地区该年龄段每个居民签约家庭医 生的概率，则从该地区年龄在 7180 岁居民中随机抽取两人，求这两人中恰有1人已签约家庭医生的概率；）据统计，该地区被访者的签约率约为 44%. 为把该地区年满 18 周岁居民的签约 率提高到 55%以上，应着重提高图 2 中哪个年龄段的签约率？并结合数据对你的结 论作出解释 .x2 y2已知椭圆 W : x2 y2 1(aa2 b219）（本小题共 15 分）3 b 0) 过 A

9、(0,1), B(0, 1) 两点，离心率为2）求椭圆 W 的方程；）过点 A的直线 l与椭圆 W的另一个交点为 C，直线 l 交直线 y 2于点 M ，记直 线 BC ， BM 的斜率分别为 k1 ， k2 ，求 k1k2 的值 .7 / 2020) (本小题共 14 分)已知函数 f(x) ex (sin x cosx) .()求 f (x) 的单调递增区间；)求证：曲线 y f(x) 在区间 (0, )上有且只有一条斜率为 2的切线 .221) (本小题共 14 分)在平面直角坐标系中， O为坐标原点 . 对任意的点 P(x,y)，定义 |OP | |x| | y|.任取 点 A( x1

10、, y1), B(x2, y2 ) ，记 A'(x1, y2 ), B '(x2 , y1 ) ，若此时 |OA|2 |OB |2 | OA ' |2 | OB ' |2成 立，则称点 A,B 相关 .()分别判断下面各组中两点是否相关，并说明理由； A( 2,1),B(3,2) ； C(4, 3), D(2,4) .()给定 n N* ， n 3 ，点集 n ( x,y) | n x n, n y n,x,y Z .()求集合 n 中与点 A(1,1)相关的点的个数；()若Sn ，且对于任意的 A,B S，点 A, B相关，求 S中元素个数的最大值28 / 2

11、02020北京海淀高三二模数学注：第 12题答案不唯一，写出一个形如x2 y2 1或 y2 x2 1( a2 2 )的方程即可；a2 a2a2 a2参考答案、选择题共 10小题，每小题 4 分，共 40分。题号12345678910答案DABDCCABCC、填空题共 5小题，每小题 5分，共 25 分。题号1112131415答案122x2 y2 161， 0, 2446222 2第 14 题第一空 3 分，第二空 2 分；第 15 题全部选对得 5 分，不选或有错选得 0 分， 其他得 3 分。三、解答题共 6小题，共 85 分。(16)(本小题共 14 分)解：选择条件 ，不存在正整数 k

12、(k 1),使得 Sk S1.解法 1理由如下：54在等差数列 an中， S5 5a1 5 4d 5a1 10d2又 a1 4 ， S5 40 .所以由 a1 4, 得 d 2.5a1 10d 40所以 an a1 (n 1)d 4 2(n 1) 2n 2.又因为 Sn 1 Sn an 1 0 ，所以数列 Sn 为递增数列 .即 k 1，都有 Sk S1.1),使得 Sk S1 .所以不存在正整数 k(k解法 25 4d 5a1 10d21理由如下：在等差数列 an中， S5 5a1又a1 4，S5 40 .所以由a14,得d5a110d40所以 Skka1k(k1)d 4k22.2令 Sk

13、S1 4 ，即 k 3k 4 解得 k 1或 k 4.因为 k 1 ，所以 k 1与 k 所以不存在正整数 k(kk(k 1) 2 k2 3k . 20.4均不符合要求1),使得 Sk S1 .12,使得 Sk S1.选择条件 ，存在正整数 k 理由如下：5 4d 5a1 10d2在等差数列 an 中， S5 5a1 又d 2， S5 40.所以由d2,得 a15a110d40 1所以 Skka1k(k1)d 12k212.k(k 1) ( 2) k2 13k .2令 SkS112 ，即2k2 13k 12 .整理得2k213k 120 . 解得 k 1或 k 12因为 k1，所以 k12.所

14、以当k12时， SkS1.17)(本小题共 14 分)1 )证明：因为 E为 AD 中点，所以 DE 1 AD 1.2又因为 BC 1，所以 DE BC.在梯形 ABCD中， DE/BC ，所以四边形 BCDE为平行四边形 .所以 BE/CD.又因为 BE 平面 PCD，且 CD 平面 PCD，所以 BE/ 平面 PCD.因为 BE 平面 BEF ，平面 BEFI 平面 PCD FG，所以 BE / FG . )解：(解法 1)因为 PE 平面 ABCD，且 AE,BE 平面 ABCD，所以 PE AE ，且 PE BE.因为四边形 BCDE为平行四边形， ADC 90 ，所以 AE BE.以

15、 E 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系 E xyz.则E(0,0,0) ， A(1,0,0) ， B(0,1,0) ， C( 1,1,0) ， D( 1,0,0) .设 P(0,0, m) ( m 0 )，uuur uuur所以 CP (1, 1,m) ， AB ( 1,1,0) .因为 PC与 AB 所成角为 ，4uuur uuur 所以 cos CP,ABuuuruuurCPABuuur uuurCP AB=cos4所以 m 2 .则 P(0,0, 2)， F( 1,1, 2).2 2 222 m22uuur uuur 1 1 2 uuur 所以 EB (0,1,0) ， EF ( 1,

16、1, 2) ，PB (0,1, 2).2 2 2设平面 BEF的法向量为 n (x,y,z)，0，0.uuurEBuuurEFy 0，即 1 1 2 x y z 0.2 2 2令 x 2 ，则 z 1，所以 n ( 2,0,1) .uuur所以 cos PB,nuuurPB nuuur |PB |n|所以直线 PB与平面 BEF 的所成角的正弦值为 2 . 3）（解法 2）连结 EC,PFDEBy因为 AE/BC且 AE BC ，所以四边形 ABCE为平行四边形所以 AB/CE.因为 PC与 AB 所成角为 ，所以 PC与CE所成角为 .44即 PCE .4因为 PE 平面 ABCD，且 CE

17、 平面 ABCD，所以 PE CE.又因为 EDC 2 ，所以平行四边形 BCDE是矩形 .所以在等腰直角三角形 PEC 中， PE CE 2 .因为 PE 平面 ABCD，且 AE,BE 平面 ABCD，所以 PE AE ，且 PE BE.又因为 AE BE ，以 E 为坐标原点，如图建立空间直角坐标系E xyz则 E(0,0,0) ， B(0,1,0) ， P(0,0, 2) ， C( 1,1,0)， F( 1,1, 2) .2 2 2uuur uuur 所以 EB (0,1,0) ， EF22uuurPB(0,1, 2).设平面 BEF 的法向量为 n(x,y,z)，则0，0.uuur

18、n EBuuur n EFy 0，0.11 xy22令 x 2 ，则 z 1，所以 n ( 2,0,1) .uuur所以 cos PB,nuuuruuur|PB |n|PB n所以直线 PB与平面 BEF 的所成角的正弦值为2 .3（18）（本小题共 14 分）解: （）由图 1可知，该地区居民中年龄在 7180 岁的频率为 0.004 10=4%.由图 2可知，样本中年龄在 7180 岁居民家庭医生的签约率为 70.0%，因为该地区居民人数约为 2000 万， 所以该地区年龄在 7180 岁，且已签约家庭医生的居民人数约为2000 4% 70.0%=56(万人)）由题意，从该地区年龄在 71

19、80 岁居民中随机抽取一人，其签约家庭医生的概率为 710.设 Ai 表示事件 “从该地区年龄在7180 岁居民中随机抽取两人，其中第i 个人已签约家庭医生 ”（ i 1,2），77则P(Ai)， P(Ai) 1i 10 i 103( i 1,2) .10设事件 C 为 “从该地区年龄在 约家庭医生 ”，7180 岁居民中随机抽取两人 ,这两人中恰有 1人已签则C A1A2U A2A1.所以 P(C) P(A1)P(A2) P(A1)P(A2 )7 3 3 7 2110 10 10 10 50所以这两人中恰有 1 人已签约家庭医生的概率为2150）应着重提高年龄在 3150 岁居民的签约率理由

20、如下：依题意，该地区年满 18 周岁居民签约率从 44%提高到 55%以上，需至少提升 11%； 年龄在 3150 岁居民人数在该地区的占比约为：21%+16%=37%，占比大； 年龄在 3150 岁居民的医生签约率较低，约为 37.1%； 该地区年满 18 周岁居民的人数在该地区的占比约为：1-( 0.008+0.005 0.7) 10=0.885；所以，综合以上因素，若该年龄段签约率从37.1%提升至 100% ，可将该地区年满 18 周岁居民签约率提升 37% （1 37.1%） 0.885 37% 62.9% 23% ，大于 11%.（19）（本小题共 15 分）b 1，c3解：（ ）

21、由题意，a2a2 b2 c2.2,1.2W 的方程为 x y2 1.4）由题意，直线 l 不与坐标轴垂直 .解得 b所以椭圆设直线 l 的方程为： y kx 1（ k 0 ）y kx 1, 2 2由 2 2 得 (4k2 1)x2 8kx 0.x2 4y2 4.8k4k2 1得 y11 k28k4k2 11 4k24k2 1即C(8k4k2 11 4k2 )4k2 1)设 C(x1, y1 ) ，因为 x1 0 ，所以 x1)证明：要证曲线 y f(x) 在区间 (0, )上有且只有一条斜率为 2的切线，2又因为 B(0, 1) ，所以 k11 4k 2214k2 18k14k4k2 1kx2

22、.1, 得 x1 k 2.1所以点 M 的坐标为 ( ,2) .k所以 k22113k13所以 k1 k23k .1 2 4k 420)(本小题共 14 分)解：()f (x) ex(sinx cosx)+ex(cosx sinx)2ex cosx.令 f (x) 0,得 2kx 2k (k Z) .22所以 f (x) 的单调递增区间为 (2k2,2k 2) (k Z).即证方程 f '(x) 2在区间 (0, ) 上有且只有一个解2令 f (x) 2ex cosx 2，得 ex cosx 1.设 g(x) ex cosx 1，则 g (x) ex cosx ex sin x2ex

23、sin(x ) .4当x (0,2)时，令 g(x) 0，得 x 4.当 x变化时， g '(x), g( x) 的变化情况如下表：x(0, 4)4(4,2)g'(x)0g(x)Z极大值所以 g (x)在(0, )上单调增，在 ( , )上单调减 .4 4 2因为 g(0) 0,所以当 x (0, 时， g(x) 0；4又 g( ) 1 0，所以当 x ( , ) 时， g(x) 有且只有一个零点 .2 4 2所以当 x (0, ) 时， g(x) ex cosx 1有且只有一个零点 .2即方程 f (x) 2， x (0, ) 有且只有一个解 .2所以曲线 y f(x) 在区

24、间 (0, )上有且只有一条斜率为 2的切线 .2(21)(本小题共 14 分)解：()由题知 A'( 2,2), B'(3,1) ，进而有|OA|2 | OB |2 (2+1) 2 (3 2)2 34 ，2 2 2 2| OA' |2 |OB ' |2 (2+2) 2 (3 1)2 32，所以 | OA |2 |OB |2 |OA'|2 | OB ' |2 .所以 A, B两点相关；由题知 C '(4,4), D'(2, 3) ，进而有|OC |2 |OD|2=(4+3)2 (2 4)2 85 ，|OC'|2 | OD

25、' |2 (4+4) 2 (2 3)2 89 ，所以 |OC |2 |OD |2 |OC ' |2 |OD '|2 ，所以 C,D 两点不相关 .)()设 A(1,1)的相关点为 B(x,y)， x,y Z ， n x n, n y n, 由题意， A '(1,y) ， B '( x,1) .2 2 2 2因为点 A, B相关，则 4 x2 y2 2|x|y| 1 y2 2|y| 1 x2 2| x|. 所以 |x|y| |x| |y| 1 0.所以 (|x| 1)(| y | 1) 0.当 x 0时,|y| 0,1 ,则 A(1,1)相关点的个数共 3个;当|x| 1时,则 A(1,1)相关点的个数共 4n 2个;当|x| 2时, |y| 1，则 A(1,1)相关点的个数共 4n(n 1)个. 所以满足条件点 B 共有 4n(n 1) 4n 2 3 4n2 5(个).()集合 S 中元素个数的最大值为 8n 1.S (0,0),(0, 1),( 1, 1),L ( 1, n),( 2, n),L ,( n, n) 符合题