数学：第二章《推理与证明复习小结》课件(新人教A版选修12)

1、新课标人教版课件系列新课标人教版课件系列高中数学选修选修1-2第二章推理与证明复习小结推推理理与与证证明明推理推理证明证明合情推理合情推理演绎推理演绎推理直接证明直接证明数学归纳法数学归纳法间接证明间接证明 比较法比较法类比推理类比推理归纳推理归纳推理 分析法分析法 综合法综合法 反证法反证法知识结构知识结构b bc c + + c ca ac ca a + + a ab ba ab b + + b bc c= =+ + +2 22 22 22 22 22 2 a ab bc c+ +a a b bc c + +a ab b c c= =a a + +b b + +c c. . 法法1 1:

2、: a a、b b、c c 不不相相等等正正 ，且且a ab bc c = = 1 1，1 11 11 1 + + += = b bc c + + c ca a + + a ab ba ab bc c证证为为数数例例. .已已知知a a、b b、c c 不不相相等等正正 ，且且a ab bc c = =1 1，1 11 11 1 求求 ：a a + +b b + +c c + + +. .a ab bc c为为数数证证.1 11 11 1a a + +b b + +c c + + +成成立立a ab bc c一一.综合法综合法1 11 11 11 11 11 1+ + + +b bc cc c

3、a aa ab b + + +2 22 22 2111111=+.=+.abcabc 法法2 2: :a a、b b、c c 不不相相等等正正 ，且且a ab bc c= =1 1，1 11 11 1 a a + + b b+ + c c = =+ + +b bc cc ca aa ab b证证为为数数.111111 a +b +c +成a +b +c +成立立abcabc例例. .已已知知a a、b b、c c 不不相相等等正正 ，且且a ab bc c = = 1 1，1 11 11 1 求求 ：a a + +b b + +c c 5 5， 求求 ：a a - - 5 5 - -a a -

4、 - 3 3 a a - - 2 2 - -a a . .证证v证明证明: :v要证要证v只需证只需证v只需证只需证v只需证只需证v只需证只需证v因为因为 成立成立. .v所以所以 成立成立. .a a- -5 5 - - a a- -3 3 a a- -2 2 - - a a a a- -5 5a a a a- -2 2+ + a a- -3 3a a( (a a- -5 5) ) ( (a a- -2 2) )( (a a- -3 3) )a a( (a a- -5 5) ) ( (a a- -2 2) )( (a a- -3 3) )0 0 6 60 0 6 6a a- -5 5 - -

5、 a a- -3 3 ,1,2 211111+1,1+1,2323111111311111131+,1+,23456722345672111111111111111+21+22345671523456715你能得到怎样的一般不等式，并加以证明。你能得到怎样的一般不等式，并加以证明。例例: :平面内有平面内有n n条直线条直线, ,其中任何两条不平行其中任何两条不平行, ,任何三条任何三条不过同一点不过同一点, ,证明交点的个数证明交点的个数f(nf(n) )等于等于n(n-1)/2.n(n-1)/2.证证:(1):(1)当当n=2n=2时时, ,两条直线两条直线的交点只有的交点只有1 1个个,

6、 ,又又f(2)=2f(2)=2(2-1)/2=1,(2-1)/2=1,因此因此, ,当当n=2n=2时命题成立时命题成立. .(2)(2)假设当假设当n=k(kn=k(k2)2)时命题成立时命题成立, ,就是说就是说, ,平面内满足平面内满足 题设的任何题设的任何k k条直线条直线的交点个数的交点个数f(kf(k) )等于等于k(k-1)/2.k(k-1)/2.以下来考虑平面内有以下来考虑平面内有k+1k+1条直线的情况条直线的情况. .任取其中任取其中的的1 1条直线条直线, ,记作记作l.l.由归纳假设由归纳假设, ,除除l l以外的其他以外的其他k k条直线的条直线的交点个数交点个数f

7、(kf(k) )等于等于k(k-1)/2.k(k-1)/2.另外另外, ,因为已知任何两条直线不平行因为已知任何两条直线不平行, ,所以直线所以直线l l必与平面内其他必与平面内其他k k条直线都相交条直线都相交, ,有有k k个交点个交点. .又因为已知任何三条直线不过同一点又因为已知任何三条直线不过同一点, ,所以上面的所以上面的k k个交点两两不相同个交点两两不相同, ,且与平面内其他的且与平面内其他的k(k-1)/2k(k-1)/2个个交点也两两不相同交点也两两不相同. .从而平面内交点的个数是从而平面内交点的个数是k(k-1)/2+k=k(k-1)+2/2 =(k+1)(k+1)-1

8、/2.k(k-1)/2+k=k(k-1)+2/2 =(k+1)(k+1)-1/2.这就是说这就是说, ,当当n=k+1n=k+1时时, ,k+1k+1条直线的条直线的交点个数为交点个数为: :f(k+1)=(k+1)(k+1)-1/2.f(k+1)=(k+1)(k+1)-1/2.根据根据(1)(1)、(2)(2)可知可知, ,命题对一切大于命题对一切大于1 1的正整数都成的正整数都成立立. .说明说明: :用数学归纳法证明几何问题用数学归纳法证明几何问题, ,重难点是处理好当重难点是处理好当 n=k+1n=k+1时利用假设结合几何知识证明命题成立时利用假设结合几何知识证明命题成立. .注注:

9、:在上例的题设条件下还可以有如下二个结论在上例的题设条件下还可以有如下二个结论: :(1)(1)设这设这n n条直线互相分割成条直线互相分割成f(n)f(n)条线段或射线条线段或射线, ,-则则: f(n: f(n)=n)=n2 2. .(2)(2)这这n n条直线把平面分成条直线把平面分成(n(n2 2+n+2)/2+n+2)/2个区域个区域. .练习练习1:1:凸凸n n边形有边形有f(n)f(n)条对角线条对角线, ,则凸则凸n+1n+1边形的对角线边形的对角线 -的条数的条数f(n+1)=f(n)+_.f(n+1)=f(n)+_.n-1n-1练习练习2:2:设有通过一点的设有通过一点的k k个平面个平面, ,其中任何三个平面或其中任何三个平面或 三个以上的平面不共有一条直线三个以上的平面不共有一条直线, ,这这k k个平面将个平面将 空间分成空间分成f(kf(k) )个区域个区域, ,则则k+1k+1个平面将空间分成个平面将空间分成 f(k+1)=f(kf(k+1)=f(k)+_)