初三二次函数动点问题(教师版)5页

1、二次函数动点问题1、如图，已知二次函数y=的图象与y轴交于点A，与x轴交于B、C两点，其对称轴与x轴交于点D，连接AC (1)点A的坐标为_ ，点C的坐标为_ ； (2)线段AC上是否存在点E，使得EDC为等腰三角形?若存在，求出所有符合条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点P为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接PA、PC，若所得PAC的面积为S，则S取何值时，相应的点P有且只有2个?2、已知抛物线经过点B（2，0）和点C（0，8），且它的对称轴是直线。 （1）求抛物线与轴的另一交点A坐标； （2）求此抛物线的解析式； （3）连结AC、BC，若点E是线段AB上的一个动点（与点A、点

2、B）不重合，过点E作EFAC交BC于点F，连结CE，设AE的长为m，CEF的面积为S，求S与m之间的函数关系式；（4）在（3）的基础上试说明S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点E的坐标，判断此时BCE的形状；若不存在，请说明理由。3、如图，四边形ABCD是平行四边形，AB=4，OB=2，抛物线过A、B、C三点，与x轴交于另一点D一动点P以每秒1个单位长度的速度从B点出发沿BA向点A运动，运动到点A停止，同时一动点Q从点D出发，以每秒3个单位长度的速度沿DC向点C运动，与点P同时停止（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的对称轴与AB交于点E，与x轴交于点F，当点P运动时间t

3、为何值时，四边形POQE是等腰梯形？（3）当t为何值时，以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似？4、如图1，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为 (2,4)；矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3.图2BCOADEMyxPN·图1BCO(A)DEMyx（1）求该抛物线的函数关系式；（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时间为t秒（0t3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）. 当t

4、=时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由； 设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由5.已知抛物线yax2bxc（a0）的图象经过点B（12,0）和C（0，6），对称轴为x2（1）求该抛物线的解析式；（2）点D在线段AB上且ADAC，若动点P从A出发沿线段AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，同时另一动点Q以某一速度从C出发沿线段CB匀速运动，问是否存在某一时刻，使线段PQ被直线CD垂直平分？若存在，请求出此时的时间t（秒）和点Q的运动速度；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的结论下，直线x1上是否存在点M使，MPQ为等腰

5、三角形？若存在，请求出所有点M的坐标，若不存在，请说明理由yABCOx6、如图，二次函数y= -x2+ax+b的图像与x轴交于A(-，0)、 B(2，0)两点，且与y轴交于点C； (1) 求该拋物线的解析式，并判断ABC的形状； (2) 在x轴上方的拋物线上有一点D，且以A、C、D、B四点为顶点的四边形是等腰梯形，请直接写出D点的坐标； (3) 在此拋物线上是否存在点P，使得以A、C、B、P四点为顶点的四边形是直角梯形？若存在，求出P点的坐标；若不存在，说明理由。7如图，抛物线yax2bxc经过原点O，与x轴交于另一点N，直线ykx4与两坐标轴分别交于A、D两点，与抛物线交于点B(1，m)、C

6、(2，2)(1)求直线与抛物线的解析式(2)若抛物线在x轴上方的部分有一动点P(x，y)，设PON，求当PON的面积最大时tan的值yP(x，y)ABCONDxykx4(3)若动点P保持(2)中的运动线路，问是否存在点P，使得POA的面积等于PON的面积的？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由答案：1、2、解（1）抛物线的对称轴是直线由对称性可得A点的坐标为（-6，0） （2）点C（0，8）在抛物线的图象上将A（-6，0）、B（2，0）代入表达式得解得 所求解析式为也可用代入C(0,8)求出 （3）依题意，AE=m，则BE=8-mOA=6，OC=8，AC=10EF/AC 过点F作FG

7、AB，垂足为G，则 （4）存在.理由如下：当m=4时，S有最大值，S最大值=8m=4点E的坐标为（-2，0）为等腰三角形3、解：（1）四边形ABCD是平行四边形，OC=AB=4A（4，2），B（0，2），C（4，0）抛物线y=ax2+bx+c过点B，c=2由题意，有 解得所求抛物线的解析式为（2）将抛物线的解析式配方，得抛物线的对称轴为x=2D（8，0），E（2，2），F（2，0）欲使四边形POQE为等腰梯形，则有OP=QE即BP=FQt=63t，即t= （3）欲使以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似，PBO=BOQ=90°，有或，即PB=OQ或OB2=PB&

8、#183;QO若P、Q在y轴的同侧当PB=OQ时，t=83t，t=2当OB2=PB·QO时，t(83t)=4，即3t28t+4=0解得若P、Q在y轴的异侧当PB=OQ时，3t8=t，t=4当OB2=PB·QO时，t(3t8)=4，即3t28t4=0解得t=<0故舍去，t=当t=2或t=或t=4或t=秒时，以P、B、O为顶点的三角形与以点Q、B、O为顶点的三角形相似4、解：（1）（2）点P不在直线ME上依题意可知：P（,），N（，）当时，以P、N、C、D为顶点的多边形是四边形PNCD，依题意可得：=+=+=抛物线的开口方向：向下，当=，且时，=当时,点P、N都重合，此时

9、以P、N、C、D为顶点的多边形是三角形.依题意可得，=3综上所述，以P、N、C、D为顶点的多边形面积S存在最大值21/45、解：（1）方法一：抛物线过点C（0，6）c6，即yax2 bx6 由解得：， 该抛物线的解析式为方法二：A、B关于x2对称A（8，0） 设 C在抛物线上，6a×8×，即a1/16该抛物线解析式为：（2）存在，设直线CD垂直平分PQ，在RtAOC中，AC10AD 点D在抛物线的对称轴上，连结DQ，如图：显然PDCQDC，由已知PDCACD QDCACD，DQACDBABAD201010 DQ为ABC的中位线DQAC5 APADPDADDQ105

10、5t5÷15（秒） 存在t5（秒）时，线段PQ被直线CD垂直平分在RtBOC中，BC CQ点Q的运动速度为每秒单位长度（3）存在如下图，过点Q作QHx轴于H，则QH3，PH9 在RtPQH中，PQ MPMQ，即M为顶点，设直线CD的直线方程为ykxb（k0），则：，解得： y3x6 当x1时，y3 M1(1，3)当PQ为等腰MPQ的腰时，且P为顶点，设直线x1上存在点M（1，y），由勾股定理得：42y290，即y± M2（1，）；M3（1，） PQ为等腰MPQ的腰时，且Q为顶点过点Q作QEy轴于E，交直线x1于F，则F（1，3） 设直线x1存在点M（1，y）由勾股定理得：，

11、即y3±M4（1，3）；M5（1，3）综上所述，存在这样的五个点：M1(1，3)；M2（1，）；M3（1，）；M4（1，3）；M5（1，3）yABCOxP6、(1) 根据题意，将A(-，0)，B(2，0)代入y= -x2+ax+b中，得，解这个方程，得a=，b=1，该拋物线的解析式为y= -x2+x+1，当 x=0时，y=1，点C的坐标为(0，1)。在AOC中，AC=。在BOC中，BC=。yABCOPxAB=OA+OB=+2=，AC 2+BC 2=+5=AB 2，ABC是直角三角形。(2) 点D的坐标为(，1)。(3) 存在。由(1)知，ACBC。j 若以BC为底边，则BC/AP，如

12、图1所示，可求得直线BC的解析式为y= -x+1，直线AP可以看作是由直线 BC平移得到的，所以设直线AP的解析式为y= -x+b，把点A(-，0)代入直线AP的解析式，求得b= -，直线AP的解析式为y= -x-。点P既在拋物线上，又在直线AP上，点P的纵坐标相等，即-x2+x+1= -x-，解得x1=，x2= -(舍去)。当x=时，y= -，点P(，-)。k 若以AC为底边，则BP/AC，如图2所示。可求得直线AC的解析式为y=2x+1。 直线BP可以看作是由直线AC平移得到的，所以设直线BP的解析式为y=2x+b，把点B(2，0)代入直线BP的解析式，求得b= -4， 直线BP的解析式为

13、y=2x-4。点P既在拋物线上，又在直线BP上，点P的纵坐标相等，即-x2+x+1=2x-4，解得x1= -，x2=2(舍去)。当x= -时，y= -9，点P的坐标为(-，-9)。综上所述，满足题目条件的点P为(，-)或(-，-9)。7、解：（1）将点C（2，2）代入直线y=kx+4，可得k=-1所以直线的解析式为y=-x+4当x=1时，y=3，所以B点的坐标为（1，3）将B、C、O三点的坐标分别代入抛物线y=ax2+bx+c，可得 解得 ，所以所求的抛物线为y=-2x2+5x（2）因为ON的长是一定值，所以当点P为抛物线的顶点时，PON的面积最大，又该抛物线的顶点坐标为（ ），此时tanPON= （3）存在；把x=0代入直线y=-