复变函数与积分变换全集15北工大学习教案

1、会计学1复变函数与积分变换全集复变函数与积分变换全集15北工大北工大第一页，编辑于星期一：十点 五十五分。第1页/共40页第二页，编辑于星期一：十点 五十五分。, 2, 1, 0,)62keezikz第2页/共40页第三页，编辑于星期一：十点 五十五分。证明性质证明性质4）)exp(expexp2121zzzz 证明：证明： , , 222111iyxziyxz 设设21expexpzz 左端左端)sin(cos)sin(cos221121yiyeyiyexx )sincoscos(sin)sinsincos(cos2121212121yyyyiyyyyexx )sin()cos(212121

2、yyiyyexx .)exp(21右端右端 zz第3页/共40页第四页，编辑于星期一：十点 五十五分。 , exp ,的周期性的周期性可以推出可以推出根据加法定理根据加法定理z,2expikz 的周期是的周期是. 22zikzikzeeee 即即)(为任何整数为任何整数其中其中k . 所没有的所没有的该性质是实变指数函数该性质是实变指数函数xe例例1 );Re()3(;)2(;)1( , 122zzzieeeiyxz 求求设设解：解：)sin(cos yiyeeexiyxz 因为因为 .cos)Re( , yeeeexzxz 实部实部所以其模所以其模第4页/共40页第五页，编辑于星期一：十点

3、五十五分。zie2)1( )(2iyxie ,)21(2yixe ;22xziee 2)2(ze2)(iyxe ,222xyiyxe ;222yxzee ze1)3(yixe 1,2222yxyiyxxe .cos)Re(22122yxyeeyxxz 第5页/共40页第六页，编辑于星期一：十点 五十五分。例例2 的周期的周期求函数求函数. )( 5zezf 解解,2ikez 的周期是的周期是5)(zezf ikze 25510ikze 的周期是的周期是故函数故函数.10 )( 5ikezfz ),10(ikzf 第6页/共40页第七页，编辑于星期一：十点 五十五分。第7页/共40页第八页，编辑

4、于星期一：十点 五十五分。第8页/共40页第九页，编辑于星期一：十点 五十五分。.sin)(cos,cos)(sinzzzz第9页/共40页第十页，编辑于星期一：十点 五十五分。第10页/共40页第十一页，编辑于星期一：十点 五十五分。第11页/共40页第十二页，编辑于星期一：十点 五十五分。第12页/共40页第十三页，编辑于星期一：十点 五十五分。第13页/共40页第十四页，编辑于星期一：十点 五十五分。第14页/共40页第十五页，编辑于星期一：十点 五十五分。第15页/共40页第十六页，编辑于星期一：十点 五十五分。第16页/共40页第十七页，编辑于星期一：十点 五十五分。例例2 2解解

5、, iyxz 设设 . 1sinhsin iz 解方程解方程)sin(sinyixz yxiyxsinhcoscoshsin , 1sinhi 0,coshsin yx故有故有1sinsinhcos yx, 0cosh y因为因为, 0sin x所以所以, kx 代入代入将将 kx 1sinsinhcos yx, 1sinh)1(sinhky , 3, 1, 1, 4, 2, 0, 1kky, 2, 1, 0,)12(,2 nininz 即即第17页/共40页第十八页，编辑于星期一：十点 五十五分。第18页/共40页第十九页，编辑于星期一：十点 五十五分。第19页/共40页第二十页，编辑于星期

6、一：十点 五十五分。例例1 解解 . )1(Ln , 2Ln 以及与它们相应的主值以及与它们相应的主值求求 ,22ln2Ln ik 因为因为 ln2. Ln2 的主值就是的主值就是所以所以)1(Arg1ln)1(Ln i因为因为 )()12(为整数为整数kik . 1)Ln( i 的主值就是的主值就是所以所以 注意注意: 在实变函数中在实变函数中, 负数无对数负数无对数, 而复变数对数函而复变数对数函数是实变数对数函数的拓广数是实变数对数函数的拓广.第20页/共40页第二十一页，编辑于星期一：十点 五十五分。例例2解解. 031 iez解方程解方程,31 iez 因为因为)31(Ln iz 所

7、以所以 kii2331ln ki232ln), 2, 1, 0( k第21页/共40页第二十二页，编辑于星期一：十点 五十五分。例例3解解).3(Ln)3();33(Ln)2();32(1)Ln : ii求下列各式的值求下列各式的值)32(1)Lni )32(Arg32lniii .223arctan13ln21 ki), 2, 1, 0( k第22页/共40页第二十三页，编辑于星期一：十点 五十五分。.6232ln ki), 2, 1, 0( k)3(Ln)3( )3(Arg3ln i.)12(3lnik ), 2, 1, 0( k)33(Ln)2(i )33(Arg33lniii ki23

8、3arctan32ln第23页/共40页第二十四页，编辑于星期一：十点 五十五分。其它其它性质：性质：,LnLn)(Ln)1(2121zzzz ,LnLnLn)2(2121zzzz 且且处处可导处处可导和其它各分支处处连续和其它各分支处处连续主值支主值支的复平面内的复平面内包括原点包括原点在除去负实轴在除去负实轴 , , ,)( )3(.1)Ln(,1)(lnzzzz 第24页/共40页第二十五页，编辑于星期一：十点 五十五分。证证 (3) , iyxz 设设,0时时当当 x,arglim0 zy,arglim0 zy. ln , ,处处连续处处连续在复平面内其它点在复平面内其它点除原点与负实

9、轴除原点与负实轴所以所以z , ln arg是单值的是单值的内的反函数内的反函数在区域在区域zwzezw wezzwdd1dlnd 证毕证毕.1z 第25页/共40页第二十六页，编辑于星期一：十点 五十五分。ba1） 乘幂的定义乘幂的定义 , , , Lnabbeaba定义为定义为乘幂乘幂复数复数为任意一个为任意一个为不等于零的一个复数为不等于零的一个复数设设 . Lnabbea 即即注意注意: :. , )2arg(lnLn 也是多值的也是多值的因而因而是多值的是多值的由于由于bakaiaa , )1(为整数时为整数时当当b Lnabbea )2arg(ln kaiabe 第26页/共40页

10、第二十七页，编辑于星期一：十点 五十五分。ikbaiabe 2)arg(ln ,lnabe .具有单一的值具有单一的值ba ,0) ,( )2(时时为互质的整数为互质的整数与与当当 qqpqpb)2arg(ln kaiaqpbea )2arg(ln kaqpiaqpe )2arg(sin)2arg(cos lnkaqpikaqpeaqp , 个值个值具有具有qab .)1( , 2 , 1 , 0 时相应的值时相应的值即取即取 qk第27页/共40页第二十八页，编辑于星期一：十点 五十五分。特殊情况特殊情况: ,)( )1时时正整数正整数当当nb Lnannea LnLnLnaaae ) (项

11、项指数指数 n LnLnLnaaaeee ) (个个因子因子n. aaa ) (个个因子因子n ,)( 1 )2时时分数分数当当nb Ln11annea nkainkaean2argsin2argcos ln1第28页/共40页第二十九页，编辑于星期一：十点 五十五分。 nkainkaan2argsin2argcos 1,na . )1( , 2 , 1 , 0 nk其中其中; , bzwza 就得到一般的幂函数就得到一般的幂函数为一复变数为一复变数如果如果. , 1 1nnnnzzwwzzwnnb 的反函数的反函数及及数数就分别得到通常的幂函就分别得到通常的幂函时时与与当当第29页/共40页

12、第三十页，编辑于星期一：十点 五十五分。例例1 1 . 1 2的值的值和和求求ii解解Ln1221e 22 ike)22sin()22cos( kik ., 2, 1, 0 k其中其中iiieiLn ikiie22 ke22 ., 2, 1, 0 k其中其中答案答案课堂练习课堂练习.3)( 5 计算计算), 2, 1, 0( .)12(5sin)12(5cos3)3(55 kkik第30页/共40页第三十一页，编辑于星期一：十点 五十五分。例例2 2 . )(1 的辐角的主值的辐角的主值求求ii 解解)Ln(1)1(iiiei ikiie242ln21 ., 2, 1, 0 k其中其中)1(A

13、rg1lniiiie 2ln2124 ike 2ln21sin2ln21cos 24iek ln2.21 )(1 的辐角的主值为的辐角的主值为故故ii 第31页/共40页第三十二页，编辑于星期一：十点 五十五分。2).幂函数的解析性幂函数的解析性 , )1(的的在复平面内是单值解析在复平面内是单值解析幂函数幂函数nz .)(1 nnnzz . , )2(1个分支个分支具有具有是多值函数是多值函数幂函数幂函数nzn它的它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的解析的, nnzz1 zneLn1.111 nzn第32页/共40页第三十三页，编辑于星期一

14、：十点 五十五分。它的它的 各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的解析的, ,) 1 ( (3)也是一个多值函数也是一个多值函数两种情况外两种情况外与与除去除去幂函数幂函数nnbzwb .)(1 bbbzz ., 是无穷多值的是无穷多值的为无理数或负数时为无理数或负数时当当b第33页/共40页第三十四页，编辑于星期一：十点 五十五分。次方的区别。的与讨论指数函数zeez).2exp()21 (exp)lnexp(zkiekizezzez次方的. 1)2exp() 1zkiz是整数时，例7解:. 1, 2 , 1 , 0).2exp()2mkmnkie

15、mnemnzmn次方的时，.0mnemnek次方的时，只有第34页/共40页第三十五页，编辑于星期一：十点 五十五分。.0.)2exp()3zezekzkiz次方的时，只有有无穷多值是无理数时，.0.)2exp(0)42ibbkeibekeibkiabibz次方的时，只有）时，（是纯虚数.0).2exp()(2exp0)52ibabkeibekakieibakiabibaz次方的时，只有）时，（第35页/共40页第三十六页，编辑于星期一：十点 五十五分。作业:P55: 241); 3), 261); 3), 271); 3), 第36页/共40页第三十七页，编辑于星期一：十点 五十五分。第一章第一章 复习提纲复习提纲1. 熟悉复数的定义熟悉复数的定义,模模,幅角幅角, 复数的指数表示复数的指数表示 和三角表示和三角表示.2. 掌握复数的运算: 四则运算, 乘方和开方.3. 熟悉实变和复变复值函数的极限, 连续, 可导等概念及性质和运算法则.第37页/共40页第三十八页，编辑于星期一：十点 五十五分。第一章第一章 复习提纲复习提纲4. 掌握函数在一点解析的定义掌握函数在一点解析的定义,熟悉函数在一熟悉函数在一点解析与可导的区别点解析与可导的区别.5. 掌握函数在一点可导的充要条件掌握函数在一点可导的充要条件.掌握