专题对数函数知识点总结及类型题归纳

1、专题：对数函数知识点总结1 .对数函数的定义：一般地，函数 y log a X （）叫做对数函数 .定义域是 2 .对数函数的性质为a>10<a<1251F -一2|-121-“-图1 1产1050i一!。:1 3467n11 1!1r-豕-152252.-1-定义域：（0, +°0）值域：R过点（1, 0）,即当x 1时，y 0 性入 x (0,1)时y 0x (1,)时 y 0.x(0,1)时 y0 .x(1,)时丫0*在（0, +00）上是增函数.在（0, +8）上是减函数.思考：函数y logax与函数y ax （a0且a1）的定义域、值域之间有什么关系？对

2、数函数的图象与指数函数的图象关于 对称。一般的，函数y=ax与y=logax（a>0且aw 1）互称相对应的反函数，它们的图象关于直线 y=x对称y=f（x）存在反函数，一般将反函数记作 y=f-1（x）如:f（x）=2 x,则f-1（x）=log 2x,二者的定义域与值域对调，且图象关于直线y=x对称函数与其反函数的定义域与值域对调，且它们的图象关于直线y=x对称一、求下列函数的定义域(1)y logo.2(4 x)；2(3)y log(2x 1)( x 2x 3)1 y=ig 一-(6) y= log3 xx 1专题应用练习(2) y loga Jx 1 (a 0,a 1).；(4)

3、 y ，log2(4x 3)1.y=log(5x-1)(7x-2)的定义域是 2 .y= Jlg(8 x2)的定义域是 3 .求函数y 10g2(2x 1)的定义域4 .函数y= Jog1(2x 1)的定义域是 5 .函数 y= log 2(32 4x)的定义域是 , 值域是 6 .函数y 10g 5 x(2x 3)的定义域 27 .求函数y loga(x x )(a 0,a 1)的定义域和值域。8 .求下列函数的定义域、值域：22(1) y 10g2(x 3)；(2) y log 2(3 x)；(3) y loga(x 4x 7) ( a 0 且 a 1).9 .函数 f (x) =Ln (

4、Mx2 3x 2 x x2 3x 4)定义域 x10 .设f(x)=lg U,则f(3 f(2)的定义域为 2 x 2 x11 .函数 f(x)= ： |x 2| 1的定义域为 10g 2(x 1)212 .函数 f(x)= 1g(x 2x)的7E义域为 ；9 9 x13.函数 f (x) =1 ln ( 4x2 3x 2 ! x2 3x 4 )的定义域为 x14y 10g210g210g2x 的定义域是 1.设 f (x)= 1g( ax2 2x+ a),(1)如果f (x)的定义域是(8, +8),求a的取值范围；(2)如果f (x)的值域是(8, +8),求a的取值范围.15 .已知函数

5、 f(x) log 1 (x2 2ax 3) 2(1)若函数的定义域为R,求实数a的取值范围(2)若函数的值域为R,求实数a的取值范围(3)若函数的定义域为(,1) (3,),求实数a的值；(4)若函数的值域为(，1,求实数a的值.16 .若函数y f 2x的定义域为1,0 ,则函数y f log2x的定义域为17 .已知函数f(2x)的定义域是-1, 1,求f(log2x)的定义域.18若函数y=lg(4-a 2x)的定义域为R,则实数a的取值范围为 219 已知 x 满足不等式(log 2 x) 7log2x 6 0,函数 f(x) (log24x)?(log42x)的值域是220 求函数

6、 y (log1 x) log 1 x 1 (1 x 4)的值域。 2221 已知函数 f(x)=log 2+log2(x-1)+log 2(p-x).(1)求 f(x)的定义域; (2)求 f(x)的值域.x 1口 0，x 1解：f(x)有意义时，有 x 1 0，p x 0，p>1,f(x)的定义域是(1,p).由、得x>1,由得xvp,因为函数的定义域为非空数集，故(2) f(x)=log 2 (x+1)(p-x) =log2 - (x-U ) 2+ (p 1) (1<x<p), 24当 1< 一 <p,即 p>3 时，0<-(x-2_J)2

7、(p_j£(p.J£2244'./ p 1、2(p 1)2log2 (x -r2-)54，w 210g2(p+1)-2.当上二W1,即1vpW3时,2.1 0<-(x- -p-)2 ( p "2(p 1), - log2 (x p ) )2" I) V 1+log2(p-1).2424综合可知：当p>3时，f(x)的值域是(-8,2log2(p+1)-2当 1<pW3 时,函数 f(x)的值域是(-oo,1+log2(p-1).二、利用对数函数的性质，比较大小例1、比较下列各组数中两个数的大小:(1)log2 3.4, log2

8、3.8;(2) log0.5I.8 , log0.52.1;/c、， c ,3(3)log7 5, log67 ；(4) log2 3, log4 5,一20 91.1.1 ., logi.i0.9, logo.7 0.8 的大小关系是 2 .已知 a2>b>a>1,贝U m=logab, n=log ba, p= 10gbp 的大小关系是 a3 .已知10gm5>logn5,试确定 m和n的大小关系4 .已知 0v av 1,b>1,ab>1,则 logaLloga b. logb 1 的大小关系是 bb5 .已知 log 1 bvlog 1 avlog

9、1 c比较 2b,2a,2c 的大小关系. 2226 .设 a log3 ,b log2J3,c log3J2,则2 已知x 1,d，试比较 a logd x , b logd x c 10gd logd x 的大小。.22 ,。已知x 1,d 1试比较a log d x , b logdx的大小。8 .9 .设 0 <x <1 , a >0,且 aw1,试比较 | loga (1-x) |与| loga (1+x) |的大小。-1110.已知函数f(x) lg x ,则f 1 , f & , f (2)的大小关系 r三、解指、对数方程：(1) 33x 5 27(2)

10、 22x 12 (3) log5(3x) log5(2x 1) (4) lg Vx_7 lg(x 1)1 .已知3a=5b=A,且1 1=2.则A的值是 a b12 .已知 log7 log3(log2x)l =0,那么 x 2 等于 13 .已知 10g7 log3(log2x) =0,那么 x 2 等于 1.1. x C (e-1,1),a=lnx,b=2lnx,c=ln 3x,则 x5 .若f 10 x,那么f 3等于56 .已知 f (x ) lg x ,则 f (2) 7 .已知 loga(x2 4) loga(y2 1) log a5 loga(2xy 1)(a 0,且 a 1),

11、求 log8'的值. x四、解不等式：1.log 5(3x) 10g 5(2x 1)1.1 g(x 1) 13 .设a,b满足0 a b 1 ,给出下列四个不等式：aa ab,babb,aa ba,bb ab,其中正.确.的不等式有4 .已知：(1) f(x) logax在3,)上恒有| f(x)| 1 ,求实数a的取值范围。25 .已知函数f(x) x 3,g(x) a(1 x),当 2 x 2时，f(x) g(x)恒成立，求实数a的取值氾围。21、6 .求m的取值氾围，使关于 x的万程(lg x) 2mlg x (m ) 0有两个大于1的根.4(2008 全国)若 x C (e-1

12、,1),a=lnx,b=2lnx,c=ln 3x,则 ,一 11 j7 .已知 0< a< 7b>1,ab>1,则 loga ,log.b,10gb一 的大小关系 bb8 .已知函数f(x)=log ox(a>0,aw 1),如果对于任意 xC 3, +°°)都有|f(x)| > 1成立，试求a的取值范围9 .已知函数f (x) =log2(x2-ax-a)在区间(-°°, 1-*；3上是单调递减函数.求实数a的取值范围.10 .若函数ylog2(x2 ax a)在区间(,1 J3)上是增函数，a的取值范围 11 .已

13、知函数f(x) log 2(x2ax 3a)在区间1, 2上是增函数，则实数 a的取值范围是 log2x,x 0,12 .若函数f(x)= logi ( x),x 0 ,若f(a)>f(-a),则实数a的取值范围是 2一2x1 1, x 1一13.设,函数f(x)右f (Xo) 1 ,则Xo的取值范围是()lg x,x> 1,(x2 2x 3)14.设a>0且aw1,若函数f (x)=a1g有最大值，试解不等式loga(x2 5x 7) >0五、定点问题1 .若函数y=loga(x+b) (a>0,且a* 1)的图象过两点(-1, 0)和(0, 1),则 2 .若

14、函数y=loga(x+b) (a>0,且aw1)的图象过两点(-1, 0)和(0, 1),则 3 .函数 f(x) loga(x 1) 1(a 0且a 1)恒过定点.六、求对数的底数范围问题41. (1) 右log a - 1 (a 0且 a 1),求 a的取值氾围 55 / 132. (2)若 log(2a 3)(1 4a) 2,求 a 的取值范围 3. .若loga2 1 (a 0且a 1),则a的取值范围 34 .函数f(x) loga(x 1)的定义域和值域都是0,1,则a的值为 .5 .若函数f(x) loga(a x)在2,3上单调递减，则a的取值范围是 6 .函数y=log

15、0.5(ax+a-1)在x>2上单调减，求实数 a的范围7.已知y= log a (2-ax)在0, 1上是x的减函数，求 a的取值范围.8 .已知函数y=log a2 (x2-2ax-3)在(-°°,-2)上是增函数，求a的取值范围.9 .已知函数f(x)=log ax(a>0,aw1),如果对于任意 xC 3, +8)都有|f(x)|>1成立， 试求a的取值范围.10 .若函数y loga(1 x)在0,1)上是增函数，a的取值范围是 111 .使log a 1成立的a的取值范围是212 .若定义在(一1, 0)内的函数f (x)=log2a(x+1)

16、满足f (x)>0,则a的取值范围是 七、最值问题1 .函数y=logax在2, 10上的最大值与最小值的差为1,则常数a=. 一一,22 .求函数y log1 x log1 x 5 x 2,4的最小值 最大值.。443 .设a> 1,函数f(x)=log ax在区间a,2a上的最大值与最小值之差为-2 ,则a= _4 .函数f (x) =ax+loga (x+1)在0, 1上的最大值和最小值之和为a,则a=5 .已知0 x 2,则函数y 4x 3 2x 4的最大值是 ,最小值是 .22 .6.已知f (x) 1 log2 x,(1 x 4),求函数g(x) f (x) f (x

17、)的最大值与最小值2x x 一 .7.已知 x满足 2(log0.5 x) 7log 0.5 x 3 0 ,求函数 f (x) (log 2一)(log 2一)的取值。24设x 0,y 0,且x 2y 1,求函数 u log 1 (8xy 4y2 1)的值域.8 .29 .函数f (x)=ax + loga (x+1)在0, 1上的最大值与最小值之和为a,则a=xx 110 .求函数y log 1 (1 3 ) log2(3一)的取小值11 .函数N = 工在区间RM上的最大值比最小值大2,则实数=_ =.八、单调性1 .讨论函数y lg(1 x) lg(1 x)的奇偶性与单调性2 .函数y

18、lg(2x x2)的定义域是 ，值域是,单调增区间是 3 .函数f(x) ln(x2 4x 3)的递减区间是 .4 .函数y=log 1/3(x2-3x)的增区间是 5 .证明函数f(x) log2(x2 1)在(0,)上是增函数.,_2._6 .函数f(x) 10g 2 (x 1)在(，0)上是减函数还是增函数？.，27 .求函数y 10gl (x 2x 3)的单调区间，并用单调定义给予证明 2.2 .一、一.8.求y= log 0.3 ( x -2x)的单倜递减区间9.求函数y= log 2 ( x2-4x)的单调递增区间*10 .函数y=1og 1 (x2-3x+2)的递增区间是 2一一

19、211 .函数y 1g(2x x )的值域是,单调增区间是12 .若函数y10g2(x2 ax a)在区间(,1 J3)上是减函数，求实数a的取值范围21 .证明函数y=10gl (x +1)在(0, +8)上是减函数； 22 .已知函数f (x) =1og2(x2-ax-a)在区间(-°°, 1-*13上是单调递减函数.,求实数a的取值范围3 .已知函数f (x) 1g(4 k 2x),(其中k实数)(I)求函数f(x)的定义域；(n)若f(x)在 ，2上有意义，试求实数 k的取值范围小结：复合函数的单调性f (x), g(x)的单调相同，y f(g(x)为增函数，否则为

20、减函数*九、奇偶性1 .函数f x In J1 x2 x的奇偶性是 。2 .若函数f x是奇函数，且x 0时，f x lg x 1 ,则当x 0时，f x 13 .偶函数f x在0,2内单倜递减，a f 1 ,b f log 05- , c f lg 0.5 ,则a,b,CN间的大小关系414 .已知f(x)是定义在R上的偶函数，且在0,)上为增函数，f() 0,则不等式f (log 1 x) 0的解集为 381 x15.已知函数 f (x) lg，若 f(a) Mf( a).1 x2* /(log 2 256 .已知奇函数 /1X)满足八/ 2) /，当工巨Ml)时，函数/=2* ,则 =.

21、7已知f(x) lg(x Jx2 1)(1)判断f(x)奇偶性(2)判断f(x)的单调性 .8 .知函数f(x)=loga土上(a>0,且aw 1, b>0) (1)求f(x)定义域；(2)讨论f(x)奇偶性；(3)讨论f(x) x b单调性9 .a,bC R,且aw2,定义在区间(-b,b)内的函数f(x)= lgU是奇函数 1 2x1)求b取值范围2)讨论函数f(x)单调性.10 .设a,bC R,且aw2,定义在区间(-b,b)内的函数f(x)= lgx是奇函数. 1 2x(1)求b的取值范围；(2)讨论函数f(x)的单调性.11 .已知函数 f (x) loga(1 x),

22、 g(x) loga(1 x)其中(a 0 且a 1),设 h(x) f (x) g(x).(1)求函数h(x)的定义域，判断h(x)的奇偶性，并说明理由；(2)若f(3) 2,求使h(x) 0成立的x的集合.十、对称问题与解析式1.已知函数f X的定义域是0,且对任意的Xi,X20满足fXif Xif X2 ,当X 1时有X2f X 0 ,请你写出一个满足上述条件的函数f X 。2 2X2.已知函数f x满足f x 3 log a2 a 0, a 16 x(1)求f X的解析式；(2)判断f X的奇偶性；(3)讨论f X的单调性；(4)解不等式f X loga 2x3.已知 定义域为(，0)

23、(0,)的函数y f (X)满足条件：对于 定义域 内任意X1,X2都有f(XX2) f(X1) f(X2).(1)求证：f(2) f(x),且f(x)是偶函数；(2)请写出一个满足上述条件的函数.X5.已知函数f(x)=loga(x+1)(a>1),若函数y=g(x)图象上任意一点P关于原点对称点Q的轨迹恰好是函数f(x)的图象.(1)写出函数g(x)的解析式；(2)当xC 0, 1)时总有f(x)+g(x)m成立，求m的取值范围.解 (1)设P (x, y)为g(x)图象上任意一点，则Q (-x, -y)是点P关于原点的对称点，Q (-x, -y)在 f(x)的图象上, -y=log

24、 a (-x+1),即 y=g(x)=-log a(1-x).(2) f(x)+g(x) >m,!P loga-1Am.1 X设F(X)=loga,xC 0, 1),由题意知，只要 F(X)min > m即可.1 XF(X)在0, 1 )上是增函数，F(X)min=F (0) =0.故m< 0即为所求1)证明 设点A、B的横坐标分别为 X1、X2,由题设知X>1,X2> 1,则点A、B的纵坐标分别为10g8X1、10g8X2.因为A、B在过点。的直线上，所以10g8X110g8 X2点C D的坐标分别为(X1,log2x1)、(X2,log2x2),X1X2由于

25、log2X1= log±*=3log8X1,log2X2=3log8X2,OC的斜率为k1= log 2X1310g 8X1, OD 的斜率为 k210g 2 X2310g8 X2,由此可知log 8 2X1xX2X2k1=k2,即O、C、D在同一直线上.(2)解 由于 BC 平行于 X 轴，知 10g2X1=log8X2,即得 10g2x1=log2X2,x2=x31,3 V代入X2l0g8X1=Xll0g8X2,得X3llOg8X1=3xilOg8X1，由于 X1 > 1,知lOg8X1 W 0,故X31=3x 1,又因 X1>1,解得X1 = J3,于是点 A 日

26、坐标为（& , 10g 8百）.6 .已知过原点。的一条直线与函数y=1og8X的图象交于A、B两点，分别过A、B作y轴的平行线与函数y=1og2 的图象交于C、D两点.（1）证明：点C、D和原点。在同一直线上；（2）当BC平行于X轴时，求点A的坐标.7 .设函数，/（幻且塘也 用3%+胤3-工）.求以）的解析式，定义域； 讨论于5）的单调性，并求产（外的值域.十一、对数函数图象1 .函数 y 1og3（X 2）的图象是由函数 y 1og3X的图象 得到。2 .函数y 1og3（X 2） 3的图象是由函数 y 1og3X的图象 得到。3 .函数y 1oga（X b） c （a 0, a

27、 1）的图象是由函数 y 1ogaX的图象当b 0,c 0时向 单位得到;当b 0,c 0时向 单位得到;当b 0,c 0时向 单位得到；当b 0,c 0时向 单位得到。尝试总结：平移变换y f（X） y f（X a） b的法则1 .将函数y=2X的图象向左平移 1个单位得到01,将C1向上平移1个单位得到02,而C3与C2关于直线y=X对称,则03对应的函数解析式是 2 .函数的图像与对数函数y log3X的图像的关系，并画出它们的示意图，由图像写出它的单调区间： y 1og31X|； （2） y |1og3X|； y 1og3（ x）; （4） y1og3 x1.已知X1是方程x+ lgx

28、=3的根，X2是方程x+ 10x=3的根求函数f （x）=log21x2 x 12|的单调区间_ I也,2 .如图，曲线是对数函数 y口工的图象，已知修的取值3 5 10则相应于曲线GJQC的整值依次为（）.x3 .万程log ax a （a 1）的解的个数为4 .已知关于x的方程lg2 x 2alg x 2 a 0的两根均大于1,则实数a的取值范围是25 .方程10g2 |x| x的实根个数是个.则 Xl+X2 =6 .已知 f(x)= 1 + logx3,g(x) = 2logx2,比较 f(x)与 g(x)的大小7 .设a>0且a w 1,求证:x方程a ax-x=2a的根不在区间

29、卜1,1内8 .若log 工彳- I。 0，且10g"二一1。£#"，则0出满足的关系式是9 .若值0口 =1出工）是偶函数，则佻工）-R证啜（ng）的图象是（）.（A）关于五轴对称（B）关于二轴对称（C）关于原点对称(D)关于直线尸二工对称一1十bg 3工10方程5实数解所在的区间是(). (A)（均（C）（5（D）（6，）11.已知x、y为实数，满足（log4y）2= log/,2试求二的最大值及相应的yx、y的值.十二、附加内容（补充）本节主要介绍以下几个问题、反函数的定义f （x）中解出x二、反函数的求法三、反函数存在的条件求原函数值域（反函数定义域）x与

30、y互换，加注定义域等价条件：x, y一对应在定义域内单调一定存在反函数原函数与反函数定义域与值域对调-1- 1 -四、反函数的性质ff (y) y, f f(x) x原函数与反函数的图象关于直线y x对称原函数在定义域内单调，反函数与之具有相同的单调性x用y表示xx、y互换y 2 x log 2 yy log 2 xx R,y 0,y R,x 0,y=ax及y=log ax互为反函数，反函数的定义一般的，如果y是x的一个函数(y=f(x),另一方面，x也是y的函数(x=g(y),将此函数称作函数y=f(x)的反函数。一般仍用x表示自变量，y表示函数值 这样y=f(x)的反函数记作y=f-1(x),y=f-1(x)与y=f(x)互为反函数y=ax与y=|og ax互