多元函数微分学1学习教案

1、会计学1多元函数微分学多元函数微分学1第一页，编辑于星期一：十五点 四十三分。一、主要内容一、主要内容第1页/共60页第二页，编辑于星期一：十五点 四十三分。1、区域、区域(1) 邻域邻域(2) 区域区域 连通的开集称为区域或开区域连通的开集称为区域或开区域.(3) 聚点聚点.(4) n 维空间维空间.第2页/共60页第三页，编辑于星期一：十五点 四十三分。2、多元函数概念、多元函数概念(1) 二元函数二元函数.(2) 当当 n 2 时时, n 元函数统称为多元函数元函数统称为多元函数.3、多元函数的极限及求法、多元函数的极限及求法注意注意: 定义中定义中 P P0 的方式是任意的的方式是任意

2、的.4、多元函数的连续性、多元函数的连续性(1) 最大值和最小值定理最大值和最小值定理;(2) 介值定理介值定理.5、多元连续函数的性质、多元连续函数的性质第3页/共60页第四页，编辑于星期一：十五点 四十三分。6、偏导数概念及求法、偏导数概念及求法7、高阶偏导数及求法、高阶偏导数及求法二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. .8、全微分概念及求法、全微分概念及求法9、多元函数连续、偏导存在、可微的关系、多元函数连续、偏导存在、可微的关系第4页/共60页第五页，编辑于星期一：十五点 四十三分。函数可微函数可微函数连续函数连续偏导数连续偏导数连续偏导存在偏

3、导存在第5页/共60页第六页，编辑于星期一：十五点 四十三分。10、复合函数求导法则、复合函数求导法则(1) 复合函数的复合函数的中间变量均为一元函数的情形中间变量均为一元函数的情形;(2) 复合函数的复合函数的中间变量均为多元函数的情形中间变量均为多元函数的情形; (3) 复合函数的复合函数的中间变量既有一元函数中间变量既有一元函数, 又有多元函又有多元函数的情形数的情形.11、全微分形式不变性、全微分形式不变性12、隐函数的求导法则、隐函数的求导法则第6页/共60页第七页，编辑于星期一：十五点 四十三分。13、多元函数的极值与最值、多元函数的极值与最值(1) 定义定义及求法及求法(2) 条

4、件极值及求法条件极值及求法.第7页/共60页第八页，编辑于星期一：十五点 四十三分。二、典型例题分析二、典型例题分析第8页/共60页第九页，编辑于星期一：十五点 四十三分。 解题思路解题思路 (1) 利用多元初等函数的连续性求二元利用多元初等函数的连续性求二元函数的极限函数的极限 (如例如例 1); (3) 利用夹逼定理求二元函数的极限利用夹逼定理求二元函数的极限 (如例如例 3); (2) 利用变量替换将求二元函数极限的问题转化为利用变量替换将求二元函数极限的问题转化为求一元函数极限的问题求一元函数极限的问题 (如例如例 2); (4) 判定二元函数的极限不存在判定二元函数的极限不存在 (如

5、例如例 4).第9页/共60页第十页，编辑于星期一：十五点 四十三分。例例 1 求极限求极限解解第10页/共60页第十一页，编辑于星期一：十五点 四十三分。例例 2 求极限求极限解解第11页/共60页第十二页，编辑于星期一：十五点 四十三分。解解例例 3 求极限求极限 第12页/共60页第十三页，编辑于星期一：十五点 四十三分。例例 4 判定极限判定极限 是否存在是否存在.解解不存在不存在.第13页/共60页第十四页，编辑于星期一：十五点 四十三分。 (4) 利用利用多元复合函数的求导法则求函数的全导数多元复合函数的求导法则求函数的全导数或偏导数或偏导数 (如例如例 6 11);(5) 用隐函

6、数的求导公式求偏导数用隐函数的求导公式求偏导数 (如例如例 12 14). 解题思路解题思路 (1) 已知二元函数的偏导数已知二元函数的偏导数, 求二元函求二元函数数 (如例如例 1);(3) 利用利用全微分的概念求函数的全微分全微分的概念求函数的全微分 (如例如例 4 5);(2) 利用偏导数的概念求函数的偏导数利用偏导数的概念求函数的偏导数 (如例如例 2 3);第14页/共60页第十五页，编辑于星期一：十五点 四十三分。例例 1 设设 z(x, y) 满足满足 求求 z (x, y).解解两边对两边对 x 积分积分, 得得代入题设条件代入题设条件, 得得其中其中 (y) 为待定函数为待定

7、函数.第15页/共60页第十六页，编辑于星期一：十五点 四十三分。例例 2 设设 求求 .解解第16页/共60页第十七页，编辑于星期一：十五点 四十三分。例例 3 设设 求求 .解解第17页/共60页第十八页，编辑于星期一：十五点 四十三分。第18页/共60页第十九页，编辑于星期一：十五点 四十三分。例例 4 求函数求函数 的全微分的全微分.解解第19页/共60页第二十页，编辑于星期一：十五点 四十三分。 例例 5 设设 z = z(x, y) 是由方程是由方程 所确定的函数所确定的函数, 其中其中 具有二阶导数且具有二阶导数且 ,(1) 求求 dz ;(2) 记记 , 求求 .解解(1)由所

8、给方程的两边求全微分由所给方程的两边求全微分, 得得第20页/共60页第二十一页，编辑于星期一：十五点 四十三分。(2)第21页/共60页第二十二页，编辑于星期一：十五点 四十三分。解解例例 6 设函数设函数 u (x) 由方程组由方程组 所确定所确定, 且且 试求试求方程组各方程两边对方程组各方程两边对 x 求导求导, 得得第22页/共60页第二十三页，编辑于星期一：十五点 四十三分。由由 (3) 得得代入代入 (2) 得得代入代入 (1) 得得第23页/共60页第二十四页，编辑于星期一：十五点 四十三分。 例例 7 设设 u = f (x, y, z) 有连续的一阶偏导数有连续的一阶偏导数

9、, 又函数又函数 y = y (x) 及及 z = z (x) 分别由下列两式确定分别由下列两式确定:.ddxu解解由由 e xy - - xy = 2 两边对两边对 x 求导求导, 得得和和求求第24页/共60页第二十五页，编辑于星期一：十五点 四十三分。由由 两边对两边对 x 求导求导, 得得第25页/共60页第二十六页，编辑于星期一：十五点 四十三分。解解例例 8 设设 f 具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数, 求求第26页/共60页第二十七页，编辑于星期一：十五点 四十三分。第27页/共60页第二十八页，编辑于星期一：十五点 四十三分。函数函数 都可微都可微, 求求例例 9 设设 其

10、中其中解法解法 1由多元复合函数的求导法则由多元复合函数的求导法则, 得得第28页/共60页第二十九页，编辑于星期一：十五点 四十三分。解法解法 2由全微分形式的不变性由全微分形式的不变性, 得得于是于是第29页/共60页第三十页，编辑于星期一：十五点 四十三分。 例例 10 设设 z = f (u), 方程方程 确定确定 u 是是 x, y 的函数的函数, 其中其中 f (u), (u) 可微可微, 连续连续, 且且 , 求求 .解解由方程由方程 z = f (u) 可得可得第30页/共60页第三十一页，编辑于星期一：十五点 四十三分。即即第31页/共60页第三十二页，编辑于星期一：十五点

11、四十三分。例例 11 设函数设函数 f (u, v) 具有二阶连续偏导数具有二阶连续偏导数, 且满足且满足解解又又求求第32页/共60页第三十三页，编辑于星期一：十五点 四十三分。第33页/共60页第三十四页，编辑于星期一：十五点 四十三分。例例 12 设函数设函数 z = z (x, y) 由方程由方程 所确所确定定, 试求试求解法解法 1利用隐函数求导公式利用隐函数求导公式.令令则则第34页/共60页第三十五页，编辑于星期一：十五点 四十三分。解法解法 2方程两边分别对方程两边分别对 x, y 求导求导, 得得解得解得第35页/共60页第三十六页，编辑于星期一：十五点 四十三分。解法解法

12、3由所给方程的两边求全微分由所给方程的两边求全微分, 得得即即解得解得e.eeyzxyzzzzyxy 第36页/共60页第三十七页，编辑于星期一：十五点 四十三分。 例例 13 试证由方程试证由方程 所确定的所确定的函数函数 z = z (x, y) 满足满足证明证明令令则则第37页/共60页第三十八页，编辑于星期一：十五点 四十三分。第38页/共60页第三十九页，编辑于星期一：十五点 四十三分。 例例 14 设函数设函数 z = z (x, y) 由方程由方程 所确定所确定, 证明证明证明证明令令则则第39页/共60页第四十页，编辑于星期一：十五点 四十三分。xzFzxF yzFzyF 第4

13、0页/共60页第四十一页，编辑于星期一：十五点 四十三分。第41页/共60页第四十二页，编辑于星期一：十五点 四十三分。 解题思路解题思路 (1) 利用函数极值的定义讨论函数的利用函数极值的定义讨论函数的极值极值 (如例如例 1);(2) 求函数的无条件极值求函数的无条件极值 (如例如例 2 3);(3) 利用拉格朗日乘数法求条件极值利用拉格朗日乘数法求条件极值 (如例如例 4 7).第42页/共60页第四十三页，编辑于星期一：十五点 四十三分。 例例 1 设函数设函数 f (x, y) 在点在点 O (0, 0) 及其邻域内连续及其邻域内连续, 且且讨论讨论 f (x, y) 在点在点 O

14、(0, 0) 是否有极值是否有极值, 若有若有, 是极大值是极大值还是极小值？还是极小值？解解第43页/共60页第四十四页，编辑于星期一：十五点 四十三分。存存在点在点 O (0, 0) 的某个邻域内的某个邻域内, 使得在该邻域内有使得在该邻域内有故函数故函数 f (x, y) 在点在点 O (0, 0) 处有极大值处有极大值., 0cossin1)0 , 0(),(lim22)0,0(),( Ayyxxfyxfyx且且即即第44页/共60页第四十五页，编辑于星期一：十五点 四十三分。 例例 2 证明函数证明函数 有无穷有无穷多个极大值多个极大值, 但无极小值但无极小值.证明证明其二阶偏导数为

15、其二阶偏导数为第45页/共60页第四十六页，编辑于星期一：十五点 四十三分。函数函数 f (x, y) 取得极大值取得极大值;0,B 函数函数 f (x, y) 无极值无极值,故故 f (x, y) 有无穷多个极大值有无穷多个极大值, 但无极小值但无极小值.第46页/共60页第四十七页，编辑于星期一：十五点 四十三分。 例例 3 某厂家生产的一种产品同时在两个市场销某厂家生产的一种产品同时在两个市场销售售, 售价分别为售价分别为 p1 和和 p2 , 销售量分别为销售量分别为 q1 和和 q2 , 需求需求函数分别为函数分别为 和和 , 总成本总成本函数为函数为 . 试问试问: 厂家如何确定两

16、个厂家如何确定两个市场的售价市场的售价, 才能使得获得的总利润最大才能使得获得的总利润最大 ? 最大利润最大利润为多少为多少 ?解解总收入函数与总利润函数分别为总收入函数与总利润函数分别为第47页/共60页第四十八页，编辑于星期一：十五点 四十三分。由函数取得极值的必要条件得由函数取得极值的必要条件得解方程组得唯一驻点解方程组得唯一驻点 (80, 120). 由问题的实际意义知由问题的实际意义知, 当当 p1 = 80, p2 = 120 时时, 厂家厂家所获得的总利润最大所获得的总利润最大, 其最大总利润为其最大总利润为第48页/共60页第四十九页，编辑于星期一：十五点 四十三分。解解 例例

17、 4 求函数求函数 在附加条件在附加条件下的极值下的极值作拉格朗日函数作拉格朗日函数则由则由解得驻点为解得驻点为第49页/共60页第五十页，编辑于星期一：十五点 四十三分。 当当 时时, 函数取得最大值函数取得最大值 u = 3, 从而也是极大值从而也是极大值;122,333xyz 当当 时时, 函数取得最小值函数取得最小值 u = 3, 从而也是极小值从而也是极小值.122,333xyz 所给函数在闭球面上连续且不为常数所给函数在闭球面上连续且不为常数,必取得最大值与最小值且二者不相等必取得最大值与最小值且二者不相等.又条件极值点只有两个又条件极值点只有两个,第50页/共60页第五十一页，编

18、辑于星期一：十五点 四十三分。 例例 5 求函数求函数 在约束条件在约束条件和和 下的最大值和最小值下的最大值和最小值.解解 作拉格朗日函数作拉格朗日函数则由则由解得解得或或第51页/共60页第五十二页，编辑于星期一：十五点 四十三分。 该函数在所给旋转抛物面及平面上连续且不为该函数在所给旋转抛物面及平面上连续且不为常数常数,该函数必取得最大值与最小值且二者不相等该函数必取得最大值与最小值且二者不相等,即可能极值点为即可能极值点为 (- -2, - -2, 8), (1, 1, 2).第52页/共60页第五十三页，编辑于星期一：十五点 四十三分。 例例 6 当当 x 0, y 0, z 0 时

19、时, 求函数求函数 u = ln x + 2ln y + 3ln z 在球面在球面 上的最大值上的最大值, 并并证明对任意的正实数证明对任意的正实数 a, b, c, 不等式不等式成立成立.解解由函数取得极值的必要条件由函数取得极值的必要条件, 得得设设第53页/共60页第五十四页，编辑于星期一：十五点 四十三分。第54页/共60页第五十五页，编辑于星期一：十五点 四十三分。第55页/共60页第五十六页，编辑于星期一：十五点 四十三分。 例例 7 某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某某公司可通过电台及报纸两种方式做销售某商品的广告商品的广告. 根据统计资料根据统计资料, 销售收入销售收入 R (万元万元) 与电台与电台广告费用广告费用 x (万元万元) 及报纸广告费用及报纸广告费用 y (万元万元) 之间的关之间的关系有如下的经验公式系有如下的经验公式: (1) 在广告费用不限的情况下在广告费用不限的情况下