复合函数的导数学习教案

1、会计学1复合函数的导数复合函数的导数第一页，编辑于星期一：十五点 十分。复合函数的微分法和隐函数的微分法呢？复合函数的微分法和隐函数的微分法呢？这主要是对于没有具体给出式子的所谓抽象函数这主要是对于没有具体给出式子的所谓抽象函数如如),(22xyyxfz 它是由它是由),(vufz xyvyxu ,22及复合而成的复合而成的由于由于 f 没有具体给出没有具体给出时时在求在求yzxz , 一元复合函数的微分法则就无能为力了，为一元复合函数的微分法则就无能为力了，为此还要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的此还要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的微分法。微分法。第1页/共33页第二页，编辑于星期一：

2、十五点 十分。一、链式法则一、链式法则证证第2页/共33页第三页，编辑于星期一：十五点 十分。第3页/共33页第四页，编辑于星期一：十五点 十分。上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.如如以上公式中的导数以上公式中的导数 称为称为dtdz 上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多上定理还可推广到中间变量不是一元函数而是多元函数的情况：元函数的情况：第4页/共33页第五页，编辑于星期一：十五点 十分。链式法则如图示链式法则如图示zuv第5页/共33页第六页，编辑于星期一：十五点 十分。 uz vz称为标准法则或称为标准法则或 这个公式的特征：这个

3、公式的特征：函数函数有两个自变量有两个自变量 x 和和 y故法则中包含故法则中包含两个公式；两个公式；第6页/共33页第七页，编辑于星期一：十五点 十分。由于在复合过程中有两个中间变量由于在复合过程中有两个中间变量 u 和和 v故法则中每一个公式都是两项之和，这两故法则中每一个公式都是两项之和，这两项分别含有项分别含有 每一项的构成与一元复合函数的链导法则类似，每一项的构成与一元复合函数的链导法则类似，即即“函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变函数对中间变量的导数乘以中间变量对自变量的导数量的导数”多元复合函数的求导法则简言之即：多元复合函数的求导法则简言之即：“分道相加，连线相乘分道相加，

4、连线相乘” 第7页/共33页第八页，编辑于星期一：十五点 十分。zwvuyx第8页/共33页第九页，编辑于星期一：十五点 十分。特殊地特殊地其其中中即即令令两者的区别两者的区别区别类区别类似似第9页/共33页第十页，编辑于星期一：十五点 十分。注注 此公式可以推广到任意多个中间变量和任意多此公式可以推广到任意多个中间变量和任意多个自变量的情形个自变量的情形如如则则 从以上推广中我们可以得出：所有公式中两两从以上推广中我们可以得出：所有公式中两两乘积的项数等于中间变量的个数，而与自变量的个乘积的项数等于中间变量的个数，而与自变量的个数无关数无关第10页/共33页第十一页，编辑于星期一：十五点 十

5、分。关于多元复合函数求偏导问题关于多元复合函数求偏导问题这是一项基本技能，要求熟练掌握，尤其是求二阶这是一项基本技能，要求熟练掌握，尤其是求二阶偏导数，既是重点又是难点。对求导公式不求强记偏导数，既是重点又是难点。对求导公式不求强记，而要切实做到彻底理解。注意以下几点将会有助，而要切实做到彻底理解。注意以下几点将会有助于领会和理解公式，在解题时自如地运用公式于领会和理解公式，在解题时自如地运用公式用图示法表示出函数的复合关系用图示法表示出函数的复合关系函数对某个自变量的偏导数的结构函数对某个自变量的偏导数的结构（项数及项的构成）（项数及项的构成）第11页/共33页第十二页，编辑于星期一：十五点

6、 十分。 的结构是求抽象的复的结构是求抽象的复合函数的二阶偏导数的关键合函数的二阶偏导数的关键 ),(),(vufvufvu弄清弄清 ),(),(vufvufvu仍是复合函仍是复合函数数且复合结构与原来的且复合结构与原来的 f ( u , v ) 完全相同完全相同即仍是以即仍是以 u , v 为中间变量，以为中间变量，以 x , y 为自变量的为自变量的复合函数复合函数因此求它们关于因此求它们关于 x , y 的偏导数时必须使链式法则的偏导数时必须使链式法则第12页/共33页第十三页，编辑于星期一：十五点 十分。在具体计算中最容易出错的地方是对在具体计算中最容易出错的地方是对 ),( vufu

7、再求偏导数这一步再求偏导数这一步 是与是与 f ( u , v ) 具有相同结构的复合函数易被误认为仅是具有相同结构的复合函数易被误认为仅是 u 的函数，从而导致漏掉的函数，从而导致漏掉),(vufu这这一一项项uvf原因就是不注意原因就是不注意 求抽象函数的偏导数时，一定要设中间变量求抽象函数的偏导数时，一定要设中间变量注意引用这些公式的条件注意引用这些公式的条件外层函数可微（偏导数连续）外层函数可微（偏导数连续） 内层函数可导内层函数可导 vuuvff ,的合并问题的合并问题视题设条件视题设条件第13页/共33页第十四页，编辑于星期一：十五点 十分。解解 xz uzxu vzxv yz u

8、zyu vzyv 第14页/共33页第十五页，编辑于星期一：十五点 十分。解解例例3 设设),(),(),(),(),( ryyrxxyxvvyxuuvufw 均满足复合函数求偏导数的条件均满足复合函数求偏导数的条件 计算计算 wrw,（两重复合问题）（两重复合问题）解解由链式法则由链式法则第15页/共33页第十六页，编辑于星期一：十五点 十分。故故同理可得同理可得第16页/共33页第十七页，编辑于星期一：十五点 十分。解解令令记记同理有同理有第17页/共33页第十八页，编辑于星期一：十五点 十分。于是于是 zxw2二、全微分形式不变性二、全微分形式不变性第18页/共33页第十九页，编辑于星期

9、一：十五点 十分。全微分形式不变形的实质全微分形式不变形的实质： 无论无论 是自变量是自变量 的函数或中间变量的函数或中间变量 的函数，它的全微分形式是一样的的函数，它的全微分形式是一样的.zvu、vu、第19页/共33页第二十页，编辑于星期一：十五点 十分。 利用全微分形式不变性，在逐步作微分运算的利用全微分形式不变性，在逐步作微分运算的过程中，不论变量间的关系如何错综复杂，都可过程中，不论变量间的关系如何错综复杂，都可以不加辨认和区分，而一律作为自变量来处理以不加辨认和区分，而一律作为自变量来处理且作微分运算的结果对自变量的微分且作微分运算的结果对自变量的微分 来说是线性的来说是线性的从而

10、为解题带来很多方便，而且也不易出错从而为解题带来很多方便，而且也不易出错第20页/共33页第二十一页，编辑于星期一：十五点 十分。uxyxx例例5 设设各函数满足求导条件各函数满足求导条件求求解一解一变量间的关系如下图所示变量间的关系如下图所示第21页/共33页第二十二页，编辑于星期一：十五点 十分。这里变量间的关系比较混乱这里变量间的关系比较混乱用全微分来解用全微分来解由全微分定理由全微分定理注意到注意到 x , z 是独立自变量是独立自变量 解二解二第22页/共33页第二十三页，编辑于星期一：十五点 十分。由全微分定义由全微分定义注注解法二在实际计算中显得十分灵便且不易出错解法二在实际计算

11、中显得十分灵便且不易出错故故 第23页/共33页第二十四页，编辑于星期一：十五点 十分。三、小结三、小结1、链式法则、链式法则（分三种情况）（分三种情况）（特别要注意课中所讲的特殊情况）（特别要注意课中所讲的特殊情况）2、全微分形式不变性、全微分形式不变性（理解其实质）（理解其实质）第24页/共33页第二十五页，编辑于星期一：十五点 十分。思考题思考题第25页/共33页第二十六页，编辑于星期一：十五点 十分。思考题解答思考题解答第26页/共33页第二十七页，编辑于星期一：十五点 十分。练练 习习 题题一、填空题一、填空题: : 1 1、设、设xyyxzcoscos , ,则则 xz_； yz_. . 2 2、 设设22)23ln(yyxxz , ,则则 xz_； yz_._. 3 3、设、设32sinttez , ,则则 dtdz_._. 二二、设设uvuez , ,而而xyvyxu ,22，求求yzxz , . . 第27页