复变函数课程学习教案

1、会计学1复变函数课程复变函数课程第一页，编辑于星期一：十三点 三十八分。 应用应用共形映射共形映射成功地解决了成功地解决了流体力学流体力学、弹性力学弹性力学、电学理论电学理论、同轴测量线的设计问同轴测量线的设计问题题、3D3D模型变形模型变形、脑体映射脑体映射以及其他方面以及其他方面的许多实际问题。的许多实际问题。 20082008年，伦敦皇家大学应用数学系主年，伦敦皇家大学应用数学系主任达伦任达伦克劳迪克劳迪(Darren Crowdy)(Darren Crowdy)教授在著教授在著名的名的施瓦茨克里斯托费尔映射施瓦茨克里斯托费尔映射研究中研究中取得突破进展。取得突破进展。第1页/共41页第

2、二页，编辑于星期一：十三点 三十八分。0000( )()()limxxf xf xfxxx回顾实函数的导数：回顾实函数的导数：微分中值定：微分中值定理、函数单调性、理、函数单调性、极值与最值、凸性极值与最值、凸性等等yx0P( )f x0 x第2页/共41页第三页，编辑于星期一：十三点 三十八分。0000( )()()limzzf zf zfzzz复变函数的导数：复变函数的导数：第3页/共41页第四页，编辑于星期一：十三点 三十八分。 第4页/共41页第五页，编辑于星期一：十三点 三十八分。0000( )0,( ,),z ttPPCP Pt 若割线的正向对应于参数 增大的方向。tz增大时，点

3、移动的方向。:( ), ,C zz tt 设连续曲线其正向取oxy(z)00( )Pz tT)(tzz :CP0 z(t + t)1. 有向曲线的切向量有向曲线的切向量ttzttztzt )()(lim)( 0000第5页/共41页第六页，编辑于星期一：十三点 三十八分。0(1) ( ): CArgz t为曲线 在该点切向量的倾角； (2) 两条相交于一点的曲线正向之间的夹角就 是它们在交点处的两条切线正向切向量之间 的夹角。1:C1( )zz t2( )zz t2:Coxy(z)0z 第6页/共41页第七页，编辑于星期一：十三点 三十八分。00( ),()0,wf zDzDfz设在区域 内解

4、析且0000:( ), ,( ,), ( )0( )CDC zz t ttz tzz t 有向光滑曲线 ，000:( )( ( ),()( )w tf z twf zw t( )wf z2. 解析函数导数的几何意义解析函数导数的几何意义第7页/共41页第八页，编辑于星期一：十三点 三十八分。)(tzz :Co(z)xyov(w)u)(tzfw : )(zfw T T0z0w第8页/共41页第九页，编辑于星期一：十三点 三十八分。000( )() ( )0w tfzz t分析分析：000( ),.Cwf zzCzw规定：曲线 经过映射映射后在 的转动角即为 和映射后的曲线 在 和处的切线正向之间

5、的夹角 记作第9页/共41页第十页，编辑于星期一：十三点 三十八分。000( )ArgfzzCwf zz)是任意一条过 的曲线 经过映射后在点 的转动角。00( )f zzCz 解析函数在导数不为零的点具有转动角不变性。(即在 点的转动角不随曲线 的形状和方向的变化而改变，由 唯一结论2：决定。)第10页/共41页第十一页，编辑于星期一：十三点 三十八分。oxy(z)2C( )wf zovu(w)0w0z121C11010:( ),( )Czz tzz t22020:( ),( )Czztzzt11010:( ),( )ww tww t22020:( ),( )ww tww t( )wf z(

6、 )wf z第11页/共41页第十二页，编辑于星期一：十三点 三十八分。分析：01010()( )( )ArgfzArgwtArgzt2010( )( )ArgwtArgwt 00( )()0( )f zfzf zz性质1： 函数解析，且，则将 相交于 点的任意两条曲线映射后形成 两条曲线对应夹角不变。2010( )( )ArgztArgzt = 第12页/共41页第十三页，编辑于星期一：十三点 三十八分。00,iizzzrewwwe 设，Co(z)xyov(w)u )(zfw z w s w0w0zz第13页/共41页第十四页，编辑于星期一：十三点 三十八分。00limzCzs 称为曲线 在

7、 的0()fz伸缩率: |分析分析：第14页/共41页第十五页，编辑于星期一：十三点 三十八分。例例120001( )22, ?wf zzzzizozw 试求函数对应的映射在点 处的转动角和伸缩率 此映射将过点 的平行于向量正 方向的切线方向变成 平面上哪一个切线方向解：解：1( )21(2 )4 ,2fzzfii 1(2 )(4 )22ArgfiArgi故旋转角：伸缩率：1(2 )42fi由导数辐角的几何意义,117() ,416zxxi xR映射将切线变化为： ，方向如图。yx0(z)z0174w 0第15页/共41页第十六页，编辑于星期一：十三点 三十八分。例例22121222ReImt

8、an.izcwezczcvucuve试证将互相正交的直线族与，依次变为互相正交的直线族与圆周族证明：证明：11Re,zczcti 其像为：111tan,t c ic iiztweee evuc 22Imz cz t ic 其像为：222222,citccizitweeeeuve,izwez而在 平面解析 且0,izdwiedz12ReImzczc因直线族与互相正交,22221tan.cvucuve故直线族与圆周族互相正交第16页/共41页第十七页，编辑于星期一：十三点 三十八分。()单叶注： 单叶映射就是解析映射一定是保确定一一对应角射。的函数映3. 共形映射共形映射第17页/共41页第十八页

9、，编辑于星期一：十三点 三十八分。第18页/共41页第十九页，编辑于星期一：十三点 三十八分。第19页/共41页第二十页，编辑于星期一：十三点 三十八分。xyoxyo例例32( )( )( )( ).zf zzf zazbf zzf ze讨论解析函数，和的保角性与共形性解解:(1)( )( )10f zzfzz 上共形；(2)( )( )0f zazbfzaz 如果，则在上共形；2(3)( )( )200( )0f zzfzzzf z z 当，即时上处处保角；1C2C122( )f zz( )0f zz 在在处注：显然不保角第20页/共41页第二十一页，编辑于星期一：十三点 三十八分。zwe因

10、此在上述带形区域内是共形的；(4)( )0.zzfzewez 在 平面处处保角2z但在宽度超过的平行于实轴的带形区域区域内是不共形的，因而在整个 平面是不共形的。2( )0arg0arg)f zzzz 而且由于在上半平面(上是单叶函数，故在上半平面构成一个共形映射xy2o第21页/共41页第二十二页，编辑于星期一：十三点 三十八分。0z)(zfw 1l2l0w1l2l第22页/共41页第二十三页，编辑于星期一：十三点 三十八分。设函数设函数w=f(z)在区域在区域D内单叶解析，则内单叶解析，则D D的像的像G G =f(D)也也是一个区域；并且其反函数是一个区域；并且其反函数z= (w)在区域

11、在区域G内单叶解析，并有内单叶解析，并有: 1f1 000001()( )(,( )( )fwzDwf zGf z 。第23页/共41页第二十四页，编辑于星期一：十三点 三十八分。1 钟玉泉钟玉泉. . 复变函数论复变函数论 M. M. 北京北京: : 高等教育出版社高等教育出版社, 1987, 19872 曹伟杰曹伟杰. 保形变换理论及其应用保形变换理论及其应用 M. 上海上海: 上海科学技术文献出版社上海科学技术文献出版社,1988 3 Tristan Needham,Visual Complex Analysis M. Clarenden Press, Oxford, 1997. 齐民友

12、译齐民友译 ( (可视复分析可视复分析). ).7Sen Wang, et.al., Conformal Geometry and Its Applications on 3D Shape Matching, Recognition, and Stitching J. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, 2007,29(7): 1209-1220.5 Miroslav Markovic,et.al.,Analyzing an Electromechanical Actuator by Schwarz-

13、Christoffel Mapping J. IEEE Transactions on Magnetics, 2004,40, (4):1858-1863.4 R.Schinzinger, Patricio A.A.Laura, Conformal Mapping: Methods and Applicati- ons, Dover Publications M, Inc.Mineola,New York,2003.6 E.B. Saff,A.D.Snider,Fundamentals of Complex Analysis with Applications to Engineering a

14、nd Science (Third Edition) M. Pearson Education, Inc., 2003. (复分析基础及工程应用复分析基础及工程应用机械工业出版社，机械工业出版社，2007)4.参考文献参考文献第24页/共41页第二十五页，编辑于星期一：十三点 三十八分。8K. Abdella, X. Yu, I. Kucuk, Application of the Sinc method to a dynamic elasto-plastic problem J. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2009,

15、(223): 626645.7Yves-Marie Scolan,Stphane Etienne, On the use of conformal mapping for thecomputation of hydrodynamic forces acting on bodies of arbitrary shapeinviscous Flow, Part 1: simply connected body J. Journal of Engineering Mathematics, 2008,(60):209220.第25页/共41页第二十六页，编辑于星期一：十三点 三十八分。 第26页/共4

16、1页第二十七页，编辑于星期一：十三点 三十八分。1. 1. 分式线性映射的定义分式线性映射的定义定义定义.,是是复复常常数数其其中中称称为为分分式式线线性性映映射射dcba(0)(1)azbwadbcczd 映射 0adbc。是是必必要要的的2(1)()adbcwczd注： (2) 补充定义：.0/0 wzczcacdzwc时，定义时，定义，在，在，时时时时当当当当第27页/共41页第二十八页，编辑于星期一：十三点 三十八分。(3)()()0azbdwbwzdabcczdcwa 逆映射仍为分式线性映射 故又称双线性映射。, , 1( )()(0)()IwzbIIwaz aIIIwz 称为：称为

17、：1-azbadawbczdcczdc分解：（）第28页/共41页第二十九页，编辑于星期一：十三点 三十八分。( ) Iwzb几何表示： wzb 是一个平移映射()IIwaz 旋转和伸缩合成的映射12wuivzxiybbib()iiizreaewr e ，第29页/共41页第三十页，编辑于星期一：十三点 三十八分。2,.PoP oPrPzr若在射线上有两点P满足则称 与P 关于圆周对称定义：定义：两点关于圆周对称两点关于圆周对称roxyPP注：注： 规定无穷远点的对称点为圆心规定无穷远点的对称点为圆心oPzrP作图：由 得到关于圆周的对称点TPPo第30页/共41页第三十一页，编辑于星期一：十

18、三点 三十八分。1()IIIwz 11iwwerizre设 1111z wrzwr 与关于单位圆对称111)12)zzwww作图：（同一个平面） 作点 关于圆周的对称点 ； 作点关于实轴对称的点即得 。w111iwerz令zoxy11w反演变换第31页/共41页第三十二页，编辑于星期一：十三点 三十八分。2. 2. 分式线性映射的性质分式线性映射的性质.接着以上三种特殊映射的性质，从而得出一般分式线性映射的性质(1) 保角性1()IIIwz对于 ( )( )0;0wf zwf zzwzw ( )()(0)IIIwazb a 和构成的映射显然 是共形映射。第32页/共41页第三十三页，编辑于星期一：十三点 三十八分。01( )|10( )( )0www zzzw zz 在是共形的，反之在是共形的。10z 规定：两条伸向无穷远的曲线在 点处的夹角等于其经过映射下所映成的通过原点 的两条像曲线的夹角。定理定理1.分式线性映射在扩充复平面上是共形映射第33页/共41页第三十四页，编辑于星期一：十三点 三十八分。(2) 保圆性wazb显然，是平移，旋转，伸缩的合成映射。注：把直线看作是半径无穷大的圆周。.wazb在扩充复平面上把圆周映射成圆周，即具有保圆性1(III) wz 特殊的，第34页/共41页第三十五页，编辑于星期一：十三点 三十八分。1,zxiywuivz令代入2222uvxyu