多元函数的导数学习教案

1、会计学1多元函数的导数多元函数的导数第一页，编辑于星期一：十九点 一分。第一章 多元函数微分学第三节 多元函数的导数正确理解多元函数的全增量、偏增量的概念。正确理解偏导数的概念。了解偏导数的几何意义。熟练掌握偏导数的计算方法。会利用定义计算偏导数。知道二元函数的微分中值定理。第1页/共43页第二页，编辑于星期一：十九点 一分。繁啦！烦 多元函数的偏导数是一元函数导数的 推广，其计算往往是借用一元函数的计算 公式和方法，但实际计算通常较繁。 在推广中有一些东西将起质的变化。 我们通常介绍二、三元函数的情形，所得 结果可以推广到更高元的函数中，一般不 会遇到原则性问题。第2页/共43页第三页，编辑

2、于星期一：十九点 一分。一. 偏增量和全增量二. 多元函数的偏增量和全增量三. 多元函数的偏导数请点击四. 偏导数的几何意义第3页/共43页第四页，编辑于星期一：十九点 一分。偏增量 或第4页/共43页第五页，编辑于星期一：十九点 一分。偏增量 或 : 2中中空间空间 R第5页/共43页第六页，编辑于星期一：十九点 一分。全增量 : 2中中空间空间 R或表示为第6页/共43页第七页，编辑于星期一：十九点 一分。第7页/共43页第八页，编辑于星期一：十九点 一分。例如:同学们不难将以上增量形式推广至空间) 3( nRn中.第8页/共43页第九页，编辑于星期一：十九点 一分。 函数的增量 的全增量

3、和偏增量的改变量称为函数的全增量和偏增量 .函数相应于自变量),(yxfz yx 和第9页/共43页第十页，编辑于星期一：十九点 一分。 : 2中中空间空间 R函数),(yxfz 在点),(00yx处的偏增量为:及第10页/共43页第十一页，编辑于星期一：十九点 一分。Oxyz0y沿此曲线计算的函数在点 P 处的增量为偏增量zx第11页/共43页第十二页，编辑于星期一：十九点 一分。 : 2中中空间空间 R或函数),(yxfz 在点),(00yx处的全增量为:第12页/共43页第十三页，编辑于星期一：十九点 一分。 : 2中中空间空间 R函数),(yxfz 在点),(000yxX处的全增量为:

4、函数),(yxfz 在点),(000yxX处的偏增量为:第13页/共43页第十四页，编辑于星期一：十九点 一分。对于) 3( nRn中的函数可仿此进行增量的定义其中第14页/共43页第十五页，编辑于星期一：十九点 一分。全增量 例第15页/共43页第十六页，编辑于星期一：十九点 一分。 函数的连续性能否用函数的全增量描述？想想：能 怎么描述？第16页/共43页第十七页，编辑于星期一：十九点 一分。第17页/共43页第十八页，编辑于星期一：十九点 一分。且极限内有定义在设 , ), U( ),( 00yxyxfz 第18页/共43页第十九页，编辑于星期一：十九点 一分。变量 x 和 y 的偏导数

5、均存在 , 则称函数若函数),(yxf在点),(00yx处关于),(yxf在点),(00yx处可偏导.在区域 内的任一点若函数),(yxf内可偏导.处均可偏导 , 则称函数),(yxf在区域 与一元函数的情况类似, 函数在区域上的偏导数构成一个偏导函数, 一般仍称为函数在区域上的偏导数.第19页/共43页第二十页，编辑于星期一：十九点 一分。下面讨论偏导数的计算方法第20页/共43页第二十一页，编辑于星期一：十九点 一分。xyxfyxxfxzx),(),(lim0可以看出: 定义xz时, 变量 y 是不变的, 实际上,是对函数),(yxf, 将 y 视为常数, 关于变量 x 按一元函数导数的定

6、义进行的：实质上是哇！爽！第21页/共43页第二十二页，编辑于星期一：十九点 一分。求多元函数的偏导数相应的一元函数的导数. 实质上是求忘记了, 请赶快复习一下.如果一元函数的求导方法和公式第22页/共43页第二十三页，编辑于星期一：十九点 一分。多元函数的偏导数的计算方法,没有任何技术性的新东西.求偏导数时,只要将 n 个自变量中的某一个看成变量,其余的 n1个自变量均视为常数, 然后按一元函数的求导方法进行计算即可 .第23页/共43页第二十四页，编辑于星期一：十九点 一分。 例解第24页/共43页第二十五页，编辑于星期一：十九点 一分。由定义,此例也可用下列方式求解000d),(d0),

7、(xxyxxyxfxz第25页/共43页第二十六页，编辑于星期一：十九点 一分。将 y 看成常数将 x 看成常数 例解第26页/共43页第二十七页，编辑于星期一：十九点 一分。 1yxyxz )( 1aaxax ln xxyzy ln)( aaaxx将 y 看成常数时, 是对幂函数求导.将 x 看成常数时, 是对指数函数求导. 例解第27页/共43页第二十八页，编辑于星期一：十九点 一分。以上的叙述虽然是对二元函数 元及其以上的多元函数中去.进行的, 但其结论可直接推广到三第28页/共43页第二十九页，编辑于星期一：十九点 一分。 例解第29页/共43页第三十页，编辑于星期一：十九点 一分。由

8、 k 的任意性及极限的唯一性可知该极限不存在, 例解),( yxf讨论函数讨论函数0 2222yxyxxy0 0 22 yx第30页/共43页第三十一页，编辑于星期一：十九点 一分。但是第31页/共43页第三十二页，编辑于星期一：十九点 一分。该例说明了一个重要问题：第32页/共43页第三十三页，编辑于星期一：十九点 一分。对多元函数来说,函数的偏导数存在与否与函数的连续性无必然关系.这是多元函数与一元函数的一个本质区别.第33页/共43页第三十四页，编辑于星期一：十九点 一分。在热力学中, 已知压强 P 、体积 V 和温度 T 之间满足关系 PV = k T ,其中, k为常数, 证明：.

9、1PTTVVP从而 例证第34页/共43页第三十五页，编辑于星期一：十九点 一分。 警告各位！偏导数的符号yx,是一个整体记号,z与yx ,的商.不能像一元函数那样将yzxz,看成是第35页/共43页第三十六页，编辑于星期一：十九点 一分。xyzO. tan ),( 00 0 xyxfyy上上在平面在平面0 x0y第36页/共43页第三十七页，编辑于星期一：十九点 一分。第37页/共43页第三十八页，编辑于星期一：十九点 一分。 二元函数的偏导数存在 , 只是表明函数沿 x 轴和 y 轴方向是连续的 , 而二元函数在一点处连续必须是沿空间的任何方向均连续, 故由偏导数存在不能推出函数连续.偏导数的几何意义说明了一个问题:第38页/共43页第三十九页，编辑于星期一：十九点 一分。定理第39页/共43页第四十页，编辑于星期一：十九点 一分。自己画画图就知道了由一元函数的拉格朗日中值定理, 得证第40页/共43页第四十一页，编辑于星期一：十九点 一