电磁场数值计算及工程应用与有限元法

1、电磁场数值计算及其在工程中电磁场数值计算及其在工程中的应用的应用 1.What? 1.1数值计算数值计算自然界中的每一现象都可借助物理定律，按照与各种主要量相联系的代数方程、微分方程或积分方程来描述。 在科学研究及工程应用中，人们主要关心的量便是某个数学物理方程的解，包括解析解和数值解。 数值计算是研究各种数学问题的数值方法设计、分析、有关的数学理论和具体实现的一门学科。 1.2 电磁场理论电磁场理论 Maxwell方程组由Faraday定律、Ampere定律、两个Gauss定律一共4个方程构成的偏微分方程组，加上介质中的本构方程，以及两种媒质交界面的边界条件，还有Lorentz力公式，这些简

2、洁的公式几乎可以解释所有的电磁现象，我们的任务就是在各类工程电磁问题中尽可能精确地求解这些方程：qqFEvB12121212()0()()()0ssnEEnHHJnDDnBB0tt BEDHJDBDEBHJE1.3工程应用工程应用 电磁场数值计算在多个工程领域中都得到应用，例如：电力系统：高压(高压输电线、绝缘子)、电机、变压器、电缆等；电子与微波：高速PCB、波导、谐振腔、辐射、天线等；相关领域：感应加热、无损检测、电磁成形、电磁生物效应等； 2.How?2.1有限元法有限元法(Finite Element Method) 现代FEM第一个成功的尝试，是将刚架位移法推广应用于弹性力学平面问题

3、，这是Turner，Clough等人在分析飞机结构时于1956年得到的成果。 1960年Clough首次提出了“有限元法”的名称； 60年代，科学家证明了FEM是基于变分原理的Ritz法的另一种形式；并进一步利用加权余量法来确定单元特性和建立有限元方程，主要利用的是Galerkin法； 直到1968年，FEM才开始应用于电磁问题。FEM的基本思想是分片插值，即： 将连续的求解区域离散为一组有限个、且按一定方式相互联结在一起的单元的组合体； 利用每个单元内假设的近似函数来分片表示全求解域上待求的未知场函数； 单元内的近似函数通常由未知场函数及其导数在单元的各个节点的数值及其插值函数来表达； 这样

4、未知函数从一个连续的无限自由度问题变成离散的有限自由度问题。随着单元数目的增加，单元尺寸的缩小，或单元自由度的增加及插值函数阶数的提高，近似解将收敛于精确解。FEM相比其它数值方法的优点在于：理论基础成熟；计算格式规范统一，利于编程；适应性高，适合各种复杂形状的区域；求解精度高； 由于这些优异的特性，在短短几十年时间里，FEM成为了绝大多数物理和工程问题中(机械、航空、汽车、船舶、土木、海洋工程、电气电子、压力容器等)应用最广泛的一种计算机辅助分析方法。 在电磁分析领域，除了FEM以外，也有其它有效的数值方法，例如：矩量法(MOM)、边界元法(BEM)、时域有限差分法(FDTD)等等。 2.2

5、 有限元软件有限元软件 前处理程序(几何建模、赋材料属性、网格剖分)单元计算程序(包括单元刚度矩阵的计算和总体刚度矩阵的组装) 代数方程组求解程序(得到各个离散单元内的未知量值) 后处理程序(通过插值得到区域每点的值，将结果数据可视化以及进一步处理) ANSYS软件是使用最广泛的大型通用有限元分析软件，可应用于：结构分析、电磁分析、热分析、流体动力学分析等，还包含一些行业化定制模块等等，功能非常强大。其电磁场分析包括几个模块：低频、高频、电大尺寸高频(MOM)、电缆束EMC和SI、PCB的EMC和SI等。 ANSYS有限元分析软件有限元分析软件其他的分析软件 除了ANSYS以外，还有许多通用或

6、电磁分析专业软件，例如：ANSOFT公司的Maxwell 2D&3D、HFSS、飞箭公司的FEPG、COMSOL公司的FEMLAB等等，它们各有特点。3.Applications3.1 应用实例1准静电场架空线路分裂导线表面电场 203.2 应用实例2静磁场漏磁检测2AJ3.3 应用实例3趋肤效应光纤复合架空地线铝包层及钢芯电流密度分布 10zzzSIAjAjA dSaa3.4 应用实例43D涡流场铝板中的涡流分布1()0jV AAA()0jV A1()s AAJ4.Conclusion 有限元法用于电磁问题的分析已有30多年的历史，并在工程中得到了广泛的应用，各种商业软件也纷纷涌现，

7、然而新的问题和挑战依然存在，例如：运动物体的电磁问题、耦合场、并行计算等，尚不能够很好解决，需要广大的爱好者们的进一步努力和完善。 有限元法的理论基础一维有限元法一、回顾1、有限元计算的方法加权余量法中的迦辽金法和变分法中的里海 里兹法。2、有限元法的处理思想对一个整体问题进行局部化处理； 微分方程简化为求解代数方程组。3、有限元法的特点优点、缺点二、节点与单元对于一维问题来说，单元的形状是一条线段。图1一维问题的节点和单元三、一维单元的形函数1、一维单元形函数的定义形函数代表了单元上近似解的一种插值关系，它决定了近似解在单元上的形状；对于一维有限元来说，形函数分段线性。对于一维一阶有限元来说

8、，形函数为一个直线段，对于一维高阶有限元来说，形函数为一个曲线段；选择形函数时，可以使一个任意单元上的形函数只与该单元所对应的节点势函数有关而与其它各点的值无关； 对于任意一个节点的形函数在该节点上的值为1，并在与该节点相邻的两个单元上线性减小，直到在相邻的节点是分别减小为0。 任意一个节点的形函数如图2所示。图2对应于某节点的形函数2、形函数表达式中系数的确定任意一个一维单元有两个节点：和，这两个节点上的电势分别为和，它们为选定的未知量。 对于一维一阶有限元来说，其形函数可表示为： 由形函数的性质可知：ix1ixi1iiiiNx110iiixxNxx 将和代入形函数的表达式即可求得。四、整体

9、系数矩阵应用有限元法求解导出的矩阵方程可写为：其中，为阶系数矩阵，为 阶节点势函数矩阵， 为阶激励矩阵。 110iiiiiixxiiiNiN Kf Kn n 1n f1n 该方程表示了整个区域内未知势函数值与问题的几何结构和激励源的关系，系数矩阵中： 当 即激励为零时， 。11,2nijjiijiiiKKNN djnfqN d0q 0if 五、局部系数矩阵 由于形函数的分段线性的特殊形式，系数矩阵中系数的求解可以局部化处理。 整个区域被分为许多单元，系数矩阵的任意一个元素可以先针对每一个单元分别进行计算，然后将各单元的积分结果相加得到整体系数矩阵。若用m表示单元的个数，则 的计算过程可写成：

10、式中上标e表示对应于某个单元的量；表示对应于某个单元的子区域， 为局部系数矩阵中的元素。 ijKijK11emmeijijijeeKNN dK eeeeijijKNN deeijK 同样的原理可以将整体激励矩阵的某一元素表示为对应于各个单元的积分之和： 这样当计算整体系数矩阵和整体激励矩阵的元素时，只需依次对每一个单元进行“局部”的“单独”的计算。 11emmeiiieefqN df eeeiifq N d六、局部系数矩阵与整体系数矩阵一个一维有限元e对整体矩阵的贡献为： 其中矩阵元素 位于整体系数矩阵中的第i 行和第j 列，并与其他单元对该整体系数矩阵元素的贡献相加。矩阵元素 位于整体激励矩

11、阵的第i 行并与其他单元对该整体激励矩阵元素的贡献相加。 eeiiijeeejijjKKKKK eieiejfff eijKeif 223311123222333341112223311323343442122213123213213324KKKKKKKKKKKKKKKfffffffff 111112112221222223223332333334334344111222233334000000KKKKKKKKKKKKKfffffff矩阵方程可写为：1111111121211222222122222322332333233333433333443444000000fKKffKKKKKKKKffKKf 七、边界条件1、狄利克莱边界条件满足狄利克莱边界条件非常简单，只需要令狄利克莱边界上的各节点电势为给定的值即可。图1中，若节点1和节点4上分别有狄利克莱边界条件：，则加入边界条件后的矩阵方程为： 这样，狄利克莱边界上的势函数值不再是未知数了，而是由狄利克莱边界条件所确定的已知量。140,11111111212112222221222223223323332333334333334344400000100fKKffKKKKKKKKffKKf七、边界条件2、齐次诺伊曼边界条件在有限元法的处理过程中，齐次诺伊曼边界条件是