清华 波的能量衍射干涉

1、 在波的传播方向上任取一段质量在波的传播方向上任取一段质量 dm 的小体积元的小体积元 dV 且：且：20-6 波的能量、能流、能流密度波的能量、能流、能流密度一、波的能量和能量密度：一、波的能量和能量密度： 波不仅是振动状态的传播，而且也伴随着振动能量的传播。波不仅是振动状态的传播，而且也伴随着振动能量的传播。)(cos VxtAyVmdd )(sin VxtAtyV波的能量及其特点：波的能量及其特点： 设此波的传播方向为设此波的传播方向为ox ，x为所取微元的位置，某刻波线上任为所取微元的位置，某刻波线上任意点在任意时刻意点在任意时刻t沿沿y方向的位移：方向的位移：VtymVEkd21d2

2、1d22 VVxtAd)(sin21222 体积元内质点的势能为弹性势能，有：体积元内质点的势能为弹性势能，有：VVxtAykEpd)(sin21)d(21d2222 体积元内媒质质点的总能量为：体积元内媒质质点的总能量为：VVxtAd)(sin222 ： 在波动的传播过程中在波动的传播过程中，同时达到最大，同时等于零；，同时达到最大，同时等于零；。pkEEEddd VtymVEkd21d21d22 VVxtAd)(sin21222 y=0 、dEp最大最大 dEk y最大最大 、dEp为为 0 dEk显然，这与振动的情况是截然不同的。分析之。显然，这与振动的情况是截然不同的。分析之。 做波形

3、图、能量随时间变化曲做波形图、能量随时间变化曲线线如图，线线如图，dEk 、dEp 均随均随 时间时间t 同同步周期变化，且步周期变化，且其周期其周期为波动周期的一半。为波动周期的一半。dEk = dEp 任意时刻任意时刻 波动能量中，其势能与动能同步变化的主要原因在于：波的波动能量中，其势能与动能同步变化的主要原因在于：波的传播过程中的任意质元的势能是传播过程中的任意质元的势能是，它不取决于质元的位，它不取决于质元的位移，而是移，而是：xy yx = x0otTVVxtAEkd)(sin21d222 VVxtAEpd)(sin21d222 VVxtAEd)(sind222 ),(txfy 可

4、见：可见：左图作出某时刻的波形曲线。左图作出某时刻的波形曲线。max y0 VP点处的质元状态为点处的质元状态为 因而因而P质元有：质元有：dEk = = 0但是但是P P点两侧相邻质元沿同一侧发生形变点两侧相邻质元沿同一侧发生形变, ,结果使其两侧结果使其两侧0 xy的相对形变的相对形变 ，因此势能有，因此势能有 dEp =0 同步同步 同理对同理对Q点处质元点处质元，因而有，因而有dEk =max同时，其两侧形变的位移方向相反，同时，其两侧形变的位移方向相反，因此其相对形变：因此其相对形变：max xy从而有从而有 dEp =max同步同步 0 ymax VQyx P 可见在波动的传播过程

5、中，确是可见在波动的传播过程中，确是。）波的传播过程中波的传播过程中 可见，在波传动过程中，任意体积元的能量不守恒，与其可见，在波传动过程中，任意体积元的能量不守恒，与其动能、势能一样作着周期性的变化，且其周期也为波传播周期动能、势能一样作着周期性的变化，且其周期也为波传播周期的一半。下面具体分析。的一半。下面具体分析。根据能量方程，可作出任意时刻的能量曲线如下：根据能量方程，可作出任意时刻的能量曲线如下：pkEEEddd VVxtAd)(sin222 xdEkdEpdEk dEp V 任意时刻任意时刻 在任意位在任意位置置x，两曲线间的垂直距，两曲线间的垂直距离即为此位置的机械能离即为此位置

6、的机械能dE . . 即此图中的机械能即此图中的机械能区为动能、势能两曲线区为动能、势能两曲线间的间的“包包”，称为，称为“能能包包”。l l/2 且一个波长范围（一个周期）内有两个且一个波长范围（一个周期）内有两个“能包能包”。再作出（再作出（t+dt）时刻的能量曲线）时刻的能量曲线. .t+dt 对于某一体元，如图中的对于某一体元，如图中的x0 位置位置,xo 它的能量从零达到最大，它的能量从零达到最大，过程，过程，周而复始。周而复始。这是这是能量的输入过程，然后又从最大减到零，这是能量输出的能量的输入过程，然后又从最大减到零，这是能量输出的媒质所在位置本身并不积累能量。媒质所在位置本身并

7、不积累能量。是能包是能包带着能量以带着能量以波速在媒质中传播。波速在媒质中传播。 孤立振动系统的质元动能最大时，势能最小，总机械能守恒，孤立振动系统的质元动能最大时，势能最小，总机械能守恒，不向外传播能量。能量方程为：不向外传播能量。能量方程为：上述结论与振动的情况是截然不同的，下面作图比较上述结论与振动的情况是截然不同的，下面作图比较振动的能量曲线为：振动的能量曲线为：PEty)(sin2121222 tkAmVEk)(cos2121222 tkAkxEpkEE 能量能量极大极大 能量能量极小极小 波动波动 ：任一质元总机械能随时间周期性的变化，动能最大：任一质元总机械能随时间周期性的变化，

8、动能最大时，势能也最大，动能为零时，势能也为零。能量方程为：时，势能也最大，动能为零时，势能也为零。能量方程为：)(sin21222 VxtVAEk)(sin21222 VxtVAEpxyy2 能量密度能量密度： 平均能量密度：平均能量密度：可见：可见： ，),(txfw 22021d1 AtwTwT 时间平均时间平均空间平均空间平均22021d1 l ll lAxww 平均能量密度平均能量密度 2221 Aw 介质中单位体积内的波动能量。介质中单位体积内的波动能量。)(sindd222 VxtAVEw T2dsin02 一个周期内能量密度的平均值。一个周期内能量密度的平均值。即：它是时间和空

9、间的周期函数。即：它是时间和空间的周期函数。能流能流: :单位时间内通过介质中某一单位时间内通过介质中某一 面积的能量称为波通过该截面积的能量称为波通过该截 面的能流。面的能流。1. 能流和平均能流能流和平均能流平均能流平均能流：在一个周期内能流的平均值。在一个周期内能流的平均值。V SL=Vt=V x二、能流：二、能流：VSwP 其中：其中： 为平均能量密度为平均能量密度w2 . （波的强度）：（波的强度）：通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能量。通过垂直于波动传播方向的单位面积的平均能量。即：即：VAVwSSVwSPI2221dddd 平面简谐波平面简谐波注意：注意： I 是一矢量，其

10、方向即为波速的方向。是一矢量，其方向即为波速的方向。 I 的大小实际上反映了波所携带的能量的多少，的大小实际上反映了波所携带的能量的多少，即反映了它的强弱。由其计算式可见：即反映了它的强弱。由其计算式可见：在声波、光波中称为声强、光强。在声波、光波中称为声强、光强。3. 介质无吸收时平面波与球面波的振幅：介质无吸收时平面波与球面波的振幅：平面波：平面波： 无吸收意味着无能量损失，各处能流密度相同，无吸收意味着无能量损失，各处能流密度相同，有：有：I=常量常量 。球面波：球面波：有有 A = =常量常量 。2AI 12212211rrAArArA 即即：2114 rS 由于振动的相位随距离由于振

11、动的相位随距离的增加而落后的关系与的增加而落后的关系与平面波类似，球面简谐平面波类似，球面简谐波的波函数：波的波函数：)(cos VrtrAy222212122121VSAVSA 同样各波面的平均能流都相等，则有：同样各波面的平均能流都相等，则有：2224 rS 所以振幅与离波源的所以振幅与离波源的距离成反比。如果距距离成反比。如果距波源单位距离的振幅波源单位距离的振幅为为A则距波源则距波源r处的振处的振幅为幅为rA/VAVwSSVwSPI2221dddd 1r2r1 1 、原理：、原理：20-7 惠更斯原理惠更斯原理 波的衍射与折射波的衍射与折射一、惠更斯原理一、惠更斯原理 波前上的各点都可

12、以看作新的波前上的各点都可以看作新的 波源波源2. 2. 举例举例 : :t 时刻波面时刻波面 t+ t 时刻波面时刻波面波的传播方向波的传播方向 新波源将发出子波新波源将发出子波 各子波的包络（即公切面）各子波的包络（即公切面）就是下一时刻的新波前就是下一时刻的新波前成功之处：成功之处：3. 适用于任何波动过程，在很广泛的范围内适用于任何波动过程，在很广泛的范围内解决了波的传播问题。解决了波的传播问题。不足：不足：只是一个定性的粗略解释。只是一个定性的粗略解释。二二. . 惠更斯原理应用举例：惠更斯原理应用举例：1. 衍射现象：衍射现象：平面波平面波t+ t时刻波面时刻波面 V t波传播方向

13、波传播方向t 时刻波面时刻波面 球面波球面波 t + t t定义：定义：波传播过程中当遇到障碍物时波传播过程中当遇到障碍物时, ,能绕过障碍物的边缘能绕过障碍物的边缘而传播的现象。又称而传播的现象。又称“绕射绕射”。用惠更斯原理作图解释：用惠更斯原理作图解释：以平面波遇阻为例作图解释以平面波遇阻为例作图解释 从图中可以很明显地看出，波线已不再是平行射线，出从图中可以很明显地看出，波线已不再是平行射线，出现了衍射现象。现了衍射现象。缝足够大小缝足够大小 2 折射现象：折射现象： 上图仅只说明了为什么衍射区也有波，但并不能解释衍射上图仅只说明了为什么衍射区也有波，但并不能解释衍射 现象发生后所出现

14、的条纹，反映了惠更斯原理的局限性。现象发生后所出现的条纹，反映了惠更斯原理的局限性。说明说明：衍射现象发生是有条件的。上例中，应使衍射现象发生是有条件的。上例中，应使“缝足够大小缝足够大小”， 即指障碍物大小可与波长比拟。即指障碍物大小可与波长比拟。 波速取决于介质的性质。故当波动从一种介质传递入另一波速取决于介质的性质。故当波动从一种介质传递入另一种介质时，其传播情况会有所变化：在界面传播方向发生偏折，种介质时，其传播情况会有所变化：在界面传播方向发生偏折，并遵从折射定律。利用惠更斯原理分析之：并遵从折射定律。利用惠更斯原理分析之： 为简单，仍分析平面波。设：为简单，仍分析平面波。设：V1、

15、V2 为两介质中的波速，为两介质中的波速，界面为界面为MN. . 某时刻以某时刻以i角入射的波阵面中只有角入射的波阵面中只有A 点到达界面，点到达界面，并首先进入第二介质以并首先进入第二介质以 V2传播。传播。r1 i A B C V1 dt A1 A2 13123132rrrr D i 设折射角设折射角i ，可有：，可有：M N 1 2 V2 V1 BC=V1 dt r1=V2 dt设设 V1V2 则则 BC r1tViACBCtVriACADdsindsin121 sinsinsinsin1221iicVVciiVV Vcn 又又：ininsinsin12 一、波的迭加原理一、波的迭加原理

16、 独立性原理：独立性原理：20-8-1 波的干涉波的干涉相遇前、后：相遇前、后：两列波各自的传播状况两列波各自的传播状况不发生任何变化不发生任何变化波的独立性原理波的独立性原理相遇区：相遇区：波的迭加原理波的迭加原理 即：若有几列波同时在介质中传播，则它们各自将以即：若有几列波同时在介质中传播，则它们各自将以原有的振幅、频率和波长独立传播；在几列波相遇处，质原有的振幅、频率和波长独立传播；在几列波相遇处，质元的位移等于各列波单独传播时在该处引起的位移的矢量元的位移等于各列波单独传播时在该处引起的位移的矢量和。这种波动传播过程中出现的各分振动独立地参与迭加和。这种波动传播过程中出现的各分振动独立

17、地参与迭加的事实称为的事实称为波的迭加原理波的迭加原理。此区内各点同时参与两种振此区内各点同时参与两种振动，结果为其矢量迭加动，结果为其矢量迭加 叠加原理的重要性在于可以将任一复杂的波分解为叠加原理的重要性在于可以将任一复杂的波分解为简谐波的组合。简谐波的组合。说明：说明：波的迭加原理成立的条件：波的迭加原理成立的条件： 波的强度（或振幅）不很大波的强度（或振幅）不很大 运动规律线性（反映在波动的微分方程线性）运动规律线性（反映在波动的微分方程线性）同时满足同时满足分为分为 相干迭加相干迭加非相干迭加非相干迭加二、波的干涉现象二、波的干涉现象-相干迭加：相干迭加：1 、相干波源、相干波源：振动

18、方向相同振动方向相同频率相同频率相同相位差恒定相位差恒定两波源两波源 相干条件相干条件 产生产生相干波相干波空间相遇空间相遇相干迭加相干迭加结果结果干涉现象干涉现象 干涉现象：干涉现象： 具体讲，在迭加区某些点的位置处振幅始终最大，另一些具体讲，在迭加区某些点的位置处振幅始终最大，另一些点的位置处振幅始终最小，而其它位置，振动的强弱介乎二者点的位置处振幅始终最小，而其它位置，振动的强弱介乎二者之间，保持不变，称这种稳定的叠加图样为干涉现象。之间，保持不变，称这种稳定的叠加图样为干涉现象。)2cos(),(:222rtAtrysl l 2、对相干现象的分析：、对相干现象的分析：)2cos(),(

19、:111rtAtrysl l 同向同向 同频同频 相位差恒定相位差恒定 传播到传播到 P 点引起的振动分别为：点引起的振动分别为：)2cos(1111rtAypl l )2cos(2222rtAypl l P点同时参与这点同时参与这两个振动两个振动P点振动方程：点振动方程：2S1S2r1rP2S1S2r1rP21pppyyy cos22122212AAAAA其中：其中：)(2)(1212rr l l 由于波的强度正比于振幅平方，所以合振动的强度为：由于波的强度正比于振幅平方，所以合振动的强度为：cos22121IIIII)2cos()2cos()2sin()2sin(tan2221112221

20、111rArArArAl l l l l l l l P点确定点确定r1、r2确定确定P点相位差恒定点相位差恒定P点强度不变点强度不变P点任意点任意干涉现象干涉现象 对空间不同的位置，都有恒定的对空间不同的位置，都有恒定的 ，因而合强度在空间形成，因而合强度在空间形成稳定的分布稳定的分布干涉现象干涉现象 )2cos(1111rtAypl l )2cos(2222rtAypl l )cos( tA,.3,2, 1 ,0,221212 kkrr l l ）（21maxAAAA 2121max2IIIIII ,.3 , 2 , 1 , 0,)12()(2)(1212 kkrr l l |21minA

21、AAA 2121min2IIIIII 干涉加强干涉加强(相长干涉）的条件：相长干涉）的条件：干涉减弱（相消干涉）的条件：干涉减弱（相消干涉）的条件：与振动相似与振动相似, ,波的干涉情况取决于相位差波的干涉情况取决于相位差)(2)(1212rr l l cos22122212AAAAA)(2)(1212rr l l cos22121IIIII当两相干波源为同相波源时，相干条件写为：当两相干波源为同相波源时，相干条件写为：推论：推论： l l 2 且：且：,.3 , 2 , 1 , 0,2212 kkrrl l ,.3 , 2 , 1 , 0,2)12(12 kkrrl l ,.3,2, 1 ,0,2)(2)(1212 kkrr l l ,.3 , 2 , 1 , 0,)12()(2)(1212 kkrr l l 干涉加强干涉加强(相长干涉相长干涉)的条件：的条件：干涉减弱干涉