分类讨论思想在中学数学中的应用(共10页)

1、期中论文课程：中学数学解题研究题目：分类讨论思想在中学数学中的应用姓名：沙瑞珠学号：20111021226班级：2011级数学与应用数学2班分类讨论思想在中学数学中的应用摘要：分类讨论是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法，它在人的思维发展中有着重要的作用，它贯穿于整个中学数学它能揭示数学对象之间的内在规律，有助于总结归纳数学知识，使所学知识条理化本文依次阐述分类讨论思想的含义，分类讨论思想的标准和分类讨论的原则并重点举例说明分类讨论思想在三角形，一元二次方程，集合，绝对值问题，不等式，函数，数列和排列组合中的应用等关键词：分类讨论

2、数学思想 解题策略 中学数学 1 引言数学思想史对数学理论和内容的本质认识，是对数学规律的理性思考有位著名的教育家曾经说过：真正的教育旨趣在于即使学生把教给他的所有知识都忘记了，但还有能使得他受用终生的东西，那种教育才是最高最好的教育这里“受用终生的东西”在数学里就是指数学的基本思想方法从而在数学教学中注重数学思想方法的渗透是极其重要的分类讨论思想是一种非常重要的数学思想，它又称“逻辑化分思想”，它是把所要研究的数学对象划分为若干不同的情形，然后再分别进行研究和求解的一种数学思想.有关分类讨论的题目具有明显的逻辑性、综合性、探索性的特点.难度有易，有中，也有难.题型可涉及任何一种题型，知识领域

3、方面，可以“无孔不入”地渗透到每个数学知识领域.所以探讨分类讨论思想在中学数学中的应用是具有实际意义的2 简述分类讨论思想每个数学结论都有其成立的条件，每一种数学方法的使用也往往有其适用范围，在我们所遇到的数学问题中，有些问题的结论不是唯一确定的，有些问题的结论在解题中不能以统一的形式进行研究，还有些问题的已知量是用字母表示数的形式给出的，这样字母的取值不同也会影响问题的解决，由上述几类问题可知，就其解题方法及转化手段而言都是一致的，即把所有研究的问题根据题目的特点和要求，分成若干类，转化成若干个小问题来解决，这种按不同情况分类，然后再逐一研究解决的数学思想，称之为分类讨论思想通过对复杂多变的

4、事物按照一定的标准进行恰当的分类，有助于更为准确完整地认识事物，恰当的分类应该是既不重复又不遗漏3 分类讨论思想的标准一般地，在集合A上讨论某一数学问题时，可根据某个标准P，把A划分为子类，这时，在上实施对问题的讨论等价于在A上实施对问题的讨论，把P就叫做分类讨论的标准例如，对方程及来说，判断方程实根的情况其分类讨论的标准是还是还是，这时我们可以简单的说按分类又如，讨论函数的单调性，其分类讨论标准是还是，可以理解为按分类又如的值，其分类讨论标准可确定为是奇数还是偶数，并可简单的认为按分类4 分类讨论的原则为了解决数学问题中的矛盾，分类旨在化大为小，化小为了，操作程序是各个击破一般地，在集合A上

5、讨论某一数学问题有困难时，可按某一分类标准P把A划分为的并集，而后，分别在上讨论这个数学问题与在A上讨论这个数学问题相比较，其效果是一样的分类时，要遵循以下三条原则： ；下面阐述这三条原则各自的作用.“”可以保证问题不是在空集上讨论的，否则的话也就没有什么意义了；“”可以保证问题不会重复，也就是说，在上讨论问题，肯定不含中的元素；在上讨论问题，肯定不含中的元素；“”可以保证问题不会遗漏，也就是说，分别在上讨论问题，其总和等于在A上讨论同一问题5 分类讨论思想在中学数学中的应用5.1分类讨论思想在三角形中的应用5.1.1 三角形的边长不明确时需分类讨论例1 如果三角形的两边长分别是 23 cm

6、和 10 cm , 第三边与其中的一边长相等，那边第三边的长是多少？分析：由于题中所求的第三边与其中一边相等, 不明确具体,因此需分两种情况讨论解 当第三边的长为 23cm 时, 其三边长分别为 23cm 、23 cm 、10 cm ,它们满足三角形三边关系:两边之和大于第三边.因此, 这三边构成三角形.所以第三边的长为 23 cm ； 当第三边的长为 10 cm 时, 其三边长分别为 10cm 、10 cm 、23 cm , 因为，所以它不能构成三角形,故第三边长不能为 10cm综上所述,第三边的长为 23cm 例2:已知直角三角形两条边长为3和4，则第三边长为_.分析：分类讨论：当4为直角

7、边时，则另外一直角边为3。则第三边长为5。当4为斜边时，则另一直角边为3，那么第三边长为7.评注 题中的条件：“第三边与已知两边的其中一边相等”，存在两种情况,这就是我们需进行分类讨论的依据.若不作两种情况的分类讨论就是思维不慎密, 将会出现漏解或错解5.1.2 三角形的高不明确时需分类讨论例1 在三角形 A BC中,AB= 8， A C= 5，则 B C等于多少？分析 根据题意可知，A BC不是边AB和边AC的夹角，所以三角形A BC 的形状不确定，因此需进行分类讨论，才能正确、圆满地解决问题解 i）当AD落在的内部时，如图（1）所示，在中，因为，所以 ，同理，在中，所以 图（1）ii）当A

8、D落在外部时，如图（2）所示，此时为钝角三角形，同上，在中，在，所以， 图（2）综上所述，边BC的长为5.2分类讨论思想在集合中的应用例1 同时满足：（1）；（2）若的非空集合M有多少个？并写出这写出这些集合来解: 按集合M中元素个数分类讨论：i）M中只有1个元素时，若，所以；ii）M中有2个元素时，满足条件的M有2个：；iii）M中有3个元素时，满足条件的M有2个：；iv）M中有4个元素时，满足条件的M只有1个：；v）M中有5个元素时，满足条件的M也只有1个：；所以适合条件的集合M共有7个例2 设求集合A中所有元素之和解: 当时，此时集合A中所有元素之和为-1；当时，集合A中含两个元素，此时

9、，由韦达定理知，集合A中所有元素之和为 例3 设，其中，如果，求实数的取值范围 解: ，因为 i) ii)即 此时方程化为即所以满足条件 iii）由韦达定理知，得 综上所述，实数的取值范围为5.3分类讨论思想在绝对值问题中的应用绝对值的代数定义：例1 若，求的值解: 因为所以当时，；当时，；当时，；当时，例2 有理数到有理数-1的距离是3，有理数到3的距离是5，且，求的值分析: 在数轴上，到有理数-1的距离是3的有理数有两个，一个是-4，另一个是2，即；到3的距离是5的数也有两个，一个是-2，另一个是8，即解: 依题意得，解得因为，所以所以的值为-5或1，的值为1或7例3 解不等式分析: 解这

10、个不等式的关键在于确定的符号，由于的不同取值，可能为正，可能为负数，也可能为零，所以这个时候要分类讨论，常运用零点分类讨论解: 令，得；令，得；所以在实数集内应以为分类标准，分成三个区间来讨论：i）当时，原不等式可化为，解得；ii）当时，原不等式可化为，解得（舍去）；iii）当时，原不等式可化为，解得；综上，原不等式的解集合为评注 可见分类讨论思想关键在于怎么分类，要由题意确定分类的标准，要周密考虑，做到不重不漏5.4分类讨论思想在不等式中的应用例1 解关于的不等式分析: 因为，所以此不等式可以转化为一元二次不等式因大小不能确定，故需分类讨论解: 由题意得等价于 （1）若，则，不等式变为，无解

11、； （2）若，则，不等式变为，无解； （3）若，则，所以； （4）若，则，所以 综上所述，当或时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为例2：解方程 x+2+3-x=5解：对于绝对值问题，往往要对绝对值符号内的对象区分为正数、负数、零三种，在此方程中出现两个数的绝对值；即x+2和3-x，对于x+2应分为x=-2，x-2,x-2；对3-x应分为x=3，x3，x3，把上述范围画在数轴上，可见对这一问题应划分为三种情形：x-2，-2x3，x3，得解如下：当x-2时，化简-（x+2）+3-x=5 得x=-2，这与 x-2矛盾，故x-2时方程无解。当-2x3时，原方程x+3

12、+3-x=5恒成立，故满足-2x3的一切实数x都是方程的解。当x3时，化为x+2-（3-x）=5，得x=3，这与x3矛盾，故x3时无解。综上所述，原方程的解为满足-2x3范围内的任意实数评注 此题是含参型不等式题，属于一级分类讨论问题,通过正确的分类 ，可以使复杂的问题得到清晰、完整 、严密的解答应注意最后要将结果归纳总结5.6分类讨论思想在函数中的应用例1 已知关于的函数的图像与轴总有交点，求的取值范围解: （1）当，即时，函数为一次函数，图像与轴有一个交点； （2）当时，此时函数为二次函数，解得，所以当且时，函数图像与轴有交点综合（1）（2），当时，图像与轴总有交点评注 函数中最高项的系数

13、是含字母的不确定代数式，决定了它的取值的多种可能性 ，这时就需要分类讨论本题是函数图象与轴总有交点 ，并没有说明有几个交点，所以未知数最高项的系数要分类讨论6 避免分类讨论的一般方法1、消去问题中的参数，则有的讨论可避免分类讨论.2、运用反面求解法是避免分类讨论的重要途径。3、反客为主，变更主元的求解方法，往往能避免分类讨论。4、若用合理选择公式法求解，则可以有效地避免分类讨论。5、运用几何法求解，就可避开讨论。6、运用判别式法求解，常常可以避免分类讨论。7、若运用变量代换法求解，则可避开分类讨论。8、若用命题等价转换法求解，则可回避分类讨论。9、利用二次方程实根的分布法求解，就可以回避分类讨

14、论。10、若运动函数奇偶性求解，则可以避免分类讨论。11、若用构造实系数二次方程求解，则可避开分类讨论。12、若从化简已知条件入手求解，则可简化讨论甚至避开分类讨论。13、利用整体讨论法求解，就可简化分类讨论。14、若用化参数为函数的方法求解，则可简化讨论。15、若能运用数形结合的方法求解，则可使问题讨论简化，乃至避免分类讨论。通过以上的例子我们可以发现分类法，在数学中的应用是相当多的，它能使许多看似非常复杂的问题简单化因此在用分类讨论解决数学问题时要遵循一定的规则，注意合理的分类，对全体对象的分类必须做到不重不漏，每次分类必须保持在同一标准但要注意的是，在运用时，不要盲目或机械地进行分类讨论有的题目虽然含有分类因素,但不要急于分类讨论，要首先对问题作深人研究，充分挖掘题目的已知量与未知量之间的关系