第1章被控对象数学模型

1、过程控制过程控制第一章第一章 被控对象的数学模型被控对象的数学模型 要实现过程控制，首先要了解和掌握被控对象的过程特性，而用数学语言对过程特性进行描述就是被控对象的数学模型。被控对象的数学模型在过程控制系统的分析与综合中起着至关重要的作用。本章在介绍被控对象数学模型的基本概念、作用和要求的基础上，详细阐述利用机理法建模和实验法建模的原理、方法和步骤。 第一章第一章 被控对象的数学模型被控对象的数学模型目目 录录l被控对象的数学模型l被控对象的数学模型的建立l机理法建立被控对象的数学模型l实验法建立被控对象的数学模型1.1.1 被控对象的数学模型被控对象的数学模型 的概念的概念 被控对象就是正在

2、运行着的各种各样的被控制的生产工艺设备，例如各种加热炉、锅炉、发酵罐、热处理器、精馏塔等。 被控对象的数学模型就是被控对象的动态特性的数学表达式，即被控对象的输出量（被控量）在输入量（控制量和扰动量）作用下变化的数学函数关系式。1.1 被控对象的数学模型被控对象的数学模型 数学模型的分类: 自动调整系统、程序控制系统、随动系统（伺服控制系统） 线性系统和非线性系统 连续系统与离散系统 单输入单输出系统与多输入多输出系统 确定系统与不确定系统 集中参数系统和分布参数系统 1.1 被控对象的数学模型被控对象的数学模型 1.1.2 被控对象数学模型的作用被控对象数学模型的作用 设计过程控制系统和控制

3、参数整定 指导设计生产工艺设备 进行仿真试验研究 实施工业过程的优化 实现工业过程的故障检测和诊断 培训系统运行操作人员 1.1 被控对象的数学模型被控对象的数学模型 1.1.3 被控对象数学模型的要求被控对象数学模型的要求 实际生产工程的特性是非常复杂的，为了建立被控对象的数学模型，有时需要做一些合理的假设，突出主要因素，忽略次要因素。并在此假设条件下，得到被控对象的数学模型。作为被控对象的数学模型，总的要求是简单且准确可靠。 在过程控制中实际应用的数学模型（传递函数）的阶次一般不高于三阶，一般采用的是带有纯滞后的一阶惯性环节和带有纯滞后的二阶振荡环节的形式，其中最常用的是带有纯滞后环节的一

4、阶惯性环节形式。1.1 被控对象的数学模型被控对象的数学模型 自（平）衡过程自（平）衡过程：被控对象受到干扰作用后平衡状态被破坏，无须外加任何控制作用，依靠对象本身自动趋向平衡的特性称为自衡。具有这种特性的被控过程称为自衡过程。 如果被控量只需稍微改变一点就能重新恢复平衡，该过程的自衡能力强。自衡能力的大小由对象静态增益K的倒数衡量，称为自衡率()，=1/ K。 常见的4类工业过程模型类型，即自衡非振荡过程、无自衡非振荡过程、自衡振荡过程、具有反向特性的过程。1.1.4 典型的工业过程动态特性典型的工业过程动态特性1.1 被控对象的数学模型被控对象的数学模型 1 自衡非振荡过程自衡非振荡过程1

5、2( ) 1( ) ( )(1)(1)(1)sssnKG seTsKKG seG seT sT sTs其中为过程的纯滞后时间 1.1 被控对象的数学模型被控对象的数学模型 2 无自衡非振荡过程无自衡非振荡过程( ) ( )(1)ssKKG seG seTss Ts 或 1.1 被控对象的数学模型被控对象的数学模型 3 自衡振荡过程自衡振荡过程22( ),0121sKG seT sTs1.1 被控对象的数学模型被控对象的数学模型 4 具有反向特性的过程具有反向特性的过程12(1)( ) ,0(1)(1)sddKT sG seTT sT s1.1 被控对象的数学模型被控对象的数学模型 1.2.1

6、机理法建模机理法建模 机理法建模就是根据生产过程中实际发生的变化机理，写出各种相关的平衡方程，如：物质平衡方程、能量平衡方程、动量平衡方程、相平衡方程以及反映流体流动、传热、化学反应等基本规律的运动方程、物性参数方程和某些设备的特性方程，从中获得所需的被控过程的数学模型。1.2 被控对象的数学模型被控对象的数学模型 的建立的建立 一般情况下，由机理推导的微分方程往往比较复杂，需要对模型进行简化，以获得实用的数学模型。 简化模型方法有以下三种：一是在开始推导时就引入简化假定，使推导出的方程在符合过程主要客观事实的基础上尽可能简单；二是在得到较复杂的高阶微分方程时，用低阶的微分方程或差分方程来近似

7、；三是对得到的原始方程利用计算机仿真，得到一系列的响应曲线（阶跃响应曲线或频率特性），根据这些特性，再用低阶模型去近似。如有可能，对所得的数学模型进行验证，若与实际过程的响应曲线差别较大，则需要对数学模型进行修改和完善。 1.2 被控对象的数学模型被控对象的数学模型 的建立的建立l实验法建模是根据被控对象输入/输出的实验测试数据通过数学处理后得出数学模型。此方法又称为系统辨识。 l系统辨识是根据测试数据确定模型结构（包括形式、方程阶次以及时滞情况等），在已定模型结构的基础上，再由测试数据确定模型的参数即为参数估计。 1.2.2 实验法建模实验法建模1.2 被控对象的数学模型被控对象的数学模型

8、的建立的建立系统辨识的一般步骤 ：明确数学模型的应用目的及要求 掌握足够多的验前知识 实验设计 辨识方法应用 用阶跃响应、频率响应、频谱分析、相关函数或参数估计等方法来建立过程的数学模型。对于模型结构，包括模型形式、时滞情况及方程阶次的确定等，通常总是先作假定，再通过实验加以验证。 模型验证 1.2 被控对象的数学模型被控对象的数学模型 的建立的建立 当用单一的机理法或实验法建立复杂的被控对象的数学模型比较困难时，可采用将机理法和实验法相结合的方法来建立数学模型。 一是部分采用机理法推导相应部分的数学模型，该部分往往是工作机理非常熟悉的部分。对于其它尚不熟悉或不很肯定的部分则采用实验法得出其数

9、学模型。二是先通过机理分析确定模型结构形式，再通过实验数据来确定模型中各个参数的具体数值。这种方式实际上是机理法建模和参数估计两者的结合。 1.2.3 机理法与实验法建模相结合机理法与实验法建模相结合1.2 被控对象的数学模型被控对象的数学模型 的建立的建立 从机理出发，用理论的方法得到被控对象数学模型，主要是依据物料平衡和能量平衡，一般用下式表示： 单位时间内进入对象的物料量（或能量） 单位时间内由对象流出的物料量（或能量） 系统内物料（或能量）蓄藏量的变化率1.3 机理法建立被控对象的数学模型机理法建立被控对象的数学模型 机理法建模的基本步骤如下： 根据建模过程和模型使用目的做出合理假设。

10、 根据被控对象的结构以及工艺生产要求进行基本分析，确定被控对象的输入变量和输出变量。 根据被控对象的内在机理，列写原始动态方程组。 消去中间变量，得到只含有输入变量和输出变量的微分方程式或传递函数。 在满足控制工程要求的前提下对动态数学模型进行必要的简化。 1.3 机理法建立被控对象的数学模型机理法建立被控对象的数学模型 1.3.2 单容过程的数学模型单容过程的数学模型 单容过程是指只有一个储存容量的过程。单容过程可以分为自平衡单容过程和无自平衡单容过程。1. 自平衡单容过程自平衡单容过程 单容液位控制过程如图所示。其流入量为Q1，其大小 由阀门1的开度控制。流量为流出量Q2，它取决于用户的需

11、要，其大小由阀门2的开度控制。以储存罐中液位的高度h为被控量，即输出，流入量Q1为输入，来建立其输入输出关系的数学模型。 1.3 机理法建立被控对象的数学模型机理法建立被控对象的数学模型 根据物料平衡关系，即在单位时间内储存罐的液体流入量与单位时间内储存罐的液体流出量之差，应等于储存罐中液体储藏量的变化率。故有： dtdVQQ21)(121QQAdtdh即：其中A是横截面积。 1.3 机理法建立被控对象的数学模型机理法建立被控对象的数学模型 由上可见，液位变化dh/dt由两个因素决定：一是储存罐的截面积A；一是流入量与流出量之差Q1-Q2。 A越大，dh/dt越小；Q1-Q2越大，dh/dt越

12、大。 在过程控制系统中，被控对象一般都有一定储存物料或能量的能力，储存能力的大小通常用容量或容量系数表示，其表示符号为C。其物理意义是：引起单位被控量变化时被控对象储存能量、物料量变化的大小。1.3 机理法建立被控对象的数学模型机理法建立被控对象的数学模型 本例中A是决定液位变化率大小的因素。 若以增量形式表示各变量相对于稳态值的变化量，可得： 假设Q2与h近似成线性正比关系，与阀门2处的液阻R成反比关系，即则可得： 其中2/Qh R dthdAQQ211.3 机理法建立被控对象的数学模型机理法建立被控对象的数学模型 1QRhdthdRCCA 对上式取Laplace变换，可得液位变化与流入量之

13、间的传递函数： 1)()(1RCsRsQsH 令T=RC，K=R，可得：1)()()(1TsKsQsHsG 其中T为过程时间常数，K为过程放大系数或增益。1.3 机理法建立被控对象的数学模型机理法建立被控对象的数学模型 )1 (/1TteQKh 液位控制过程的阶跃响应如图所示。当t时，液位变化趋于稳态值。对于该过程，输入量的变化经过储存罐这个对象后，放大了K倍，故K称为放大系数。液阻R不但影响液位过程的时间常数T，而且影响放大系数K；而容量系数C仅影响液位过程的时间常数T。时间常数T是表征液位过程响应快慢的重要参数。 1.3 机理法建立被控对象的数学模型机理法建立被控对象的数学模型 2 2无自

14、平衡单容过程无自平衡单容过程 所谓无自平衡过程是指受扰过程的平衡状态被破坏后，在没有操作人员或仪表等干预下，依靠被控过程自身能力不能重新回到平衡状态。如图所示为无自平衡单容液位过程 。 1.3 机理法建立被控对象的数学模型机理法建立被控对象的数学模型 因阀门2换成计量泵，使在任何情况下Q2都保持不变，即与液位h的大小无关，故有： dtdhCQQ21因为Q2=0，则可得：1QdthdC 对上式取Laplace变换，可得液位变化与流入量之间的传递函数： TssQsHsG1)()()(1其中T=C为被控对象的积分时间常数。 1.3 机理法建立被控对象的数学模型机理法建立被控对象的数学模型 当输入发生

15、阶跃扰动后，输出量将无限制地变化下去，不会停止。这与实际物理过程是相吻合的。因为当流入量Q1阶跃变化后，液位h将随之而变，而流出量不变，所以储存罐的液位h要么一直上升直至液体溢出，要么一直下降直至液体被抽干。1.3 机理法建立被控对象的数学模型机理法建立被控对象的数学模型 无自平衡单容过程阶跃响应曲线如图所示。当过程具有纯滞后时，如图所示：seTsKsQsHsG1)()()(1其中为过程的纯滞后时间 有自平衡过程的传递函数为： 无自平衡过程的传递函数为：seTssQsHsG1)()()(11.3 机理法建立被控对象的数学模型机理法建立被控对象的数学模型 有自平衡过程的阶跃响应过程如图所示 ：1

16、.3 机理法建立被控对象的数学模型机理法建立被控对象的数学模型 1.3.3 多容过程的数学模型多容过程的数学模型 具有一个以上存储容量的过程称为多容过程。在实际生产过程中被控对象大多具有一个以上的存储容量。 如图所示的液位过程由管路分离的两个储存罐组成，它有两个储水的容器称为双容过程。 1.3 机理法建立被控对象的数学模型机理法建立被控对象的数学模型 不计两个储存罐之间管路所造成的时间延迟，以阀门1的流量Q1为输入量，第二个储存罐的液位h为输出量，求此两容过程的数学模型根据物料平衡关系，可以列写出下列增量方程 dthdCQQ1121212RhQdthdCQQ2232323RhQ式中：Q1、 Q

17、2 、 Q3为流过阀门1、阀门2、阀门3的流量；h1、h2为储存罐1和2的液位；C1、C2为其溶液系数； R1、R2 为阀门2、阀门3的液阻。 1.3 机理法建立被控对象的数学模型机理法建立被控对象的数学模型 对上式进行Laplace变换，整理可得双容过程的数学模型) 1)(1(111)()()()()(212312212sTsTKsTRsTsQsHsQsQsG 如图所示为该双容过程的阶跃响应曲线。 由图可见，与自平衡单容过程的阶跃响应曲线相比，双容过程的单位阶跃响应曲线从一开始就变化较慢。这是因为在两个储存罐之间存在液体流通阻力，延缓了输出量的变化。显然，如果依次相接的储存罐越多，过程容量越

18、大，这种延缓就会越长。 1.3 机理法建立被控对象的数学模型机理法建立被控对象的数学模型 若储存罐1与储存罐2之间管道长度有延迟，则传递函数为： sesTsTKsG) 1)(1()(21 若将阀门3改为定量泵，使该过程的输出量与液位的高低无关，则无自平衡双容过程的传递函数如下：sTsTKsGC) 1()(1式中TC=C21.3 机理法建立被控对象的数学模型机理法建立被控对象的数学模型 若改为如图所示的串接并联，Q2的大小不仅与液位h1有关，而且与后接储存罐的液位h2有关。此时过程的传递函数为：1)()()()(1221221012sTTTsTTKsQsHsG式中：T1=R2C1、T2=R3C2

19、、T12=R3C1、K0=R3。1.3 机理法建立被控对象的数学模型机理法建立被控对象的数学模型 实验测试法建模是根据被控过程输入、输出的实测数据进行数学处理后得到数学模型。与机理法建模相比，测试法建模的主要特点是在预先设计一个合理的测试方案下，无需深入了解被控过程机理，通过试验数据以获得被控过程的数学模型。实验测试法建模是把被研究的被控过程视为一个黑匣子，完全从外特性上测试和描述它的动态性质。对于一些复杂的工业过程，测试方案设计显得尤为重要。 1.4 实验法建立被控对象的数学模型实验法建立被控对象的数学模型 非参数模型辨识方法，或称经典辨识方法： 测试的动态特性是以时间或频率为自变量的实验曲

20、线，称为非参数模型。 是在假定被控过程是线性的前提下，不必事先确定模型的具体结构。这类方法可适用于任意复杂的过程，应用比较广泛。 为了获得动态特性，必须加入激励信号使被控对象处于被激励的状态。根据激励信号和数据分析方法的不同，实验方法要有以下几种： 1.4 实验法建立被控对象的数学模型实验法建立被控对象的数学模型 时域方法：输入阶跃信号，通过被控对象的阶跃响应曲线求出传递函数。频域方法：输入不同频率的正弦波，测出输入变量与输出变量的幅值比和相位差，通过获得的被控对象的频率特性，求得传递函数。统计相关法：输入某种随机信号或直接利用本身存在的随机噪声进行观察和记录，应用统计分析方法研究被控对象的动

21、态特性。1.4 实验法建立被控对象的数学模型实验法建立被控对象的数学模型 参数模型辨识方法，称为现代辨识方法 ： 假定一种模型结构，通过极小化模型与被控过程之间的误差准则函数来确定模型的参数。 最小二乘法 梯度校正法 极大似然法1.4 实验法建立被控对象的数学模型实验法建立被控对象的数学模型 1.4.1 阶跃响应曲线法建立被控对象的模型阶跃响应曲线法建立被控对象的模型 阶跃响应曲线法是对处于开环、稳态的被控过程，使其控制输入量产生一阶跃变化，测得被控过程的阶跃响应曲线，然后再根据阶跃响应曲线，求取被控过程输入与输出之间的动态数学关系传递函数。1.4 实验法建立被控对象的数学模型实验法建立被控对

22、象的数学模型 为得到可靠的测试结果，做测试时应注意以下几点：试验测试前，被控过程应处于相对稳定的工作状态。否则，就容易将被控过程的其它动态变化与试验时的阶跃响应混淆在一起，影响辨识结果；输入的阶跃变化量不能太大，以免对生产的正常进行造成影响，但也不能太小，以防其它干扰影响的比重相对较大。一般阶跃变化在正常输入信号最大幅值的515之间，大多取10；完成一次试验测试后，应使被控过程恢复原来工况并稳定一段时间，再做第二次试验测试；在相同条件下应重复多做几次试验，从几次的测试结果中选择两次以上比较接近的响应曲线作为分析依据，以减少随机干扰因素的影响；分别做阶跃输入信号为正、反方向两种变化情况的试验对比

23、，以反映非线性对被控过程的影响。1.4 实验法建立被控对象的数学模型实验法建立被控对象的数学模型 由阶跃响应曲线求出传递函数，首先要根据被控过程阶跃响应曲线的形状，选定模型传递函数的形式，然后再确定具体参数。在工业生产中，大多数过程的过渡过程都是有自平衡能力的非振荡衰减过程，其传递函数可以用一阶惯性环节加滞后、二阶惯性环节加滞后或n阶惯性环节加滞后几种形式来近似：seTsKsG1)(sesTsTKsG) 1)(1()(21sneTsKsG) 1()(1.4 实验法建立被控对象的数学模型实验法建立被控对象的数学模型 对于无自平衡特性的被控对象，可以选用以下传递函数近似：seTssG1)(sesT

24、sTKsG) 1()(21snesTsTKsG) 1()(21TssG1)() 1()(21sTsTKsGnsTsTKsG) 1()(211.4 实验法建立被控对象的数学模型实验法建立被控对象的数学模型 对于具体的被控对象，传递函数形式的选用一般从以下两方面考虑：u根据被控过程的先验知识选用合适的传递函数形式；u根据建立数学模型的目的及对模型的准确性要求，选用合适的传递函数形式。 在满足精度要求的情况下，尽量选用低阶传递函数的形式。大量的实际工业过程一般都采用一、二阶传递函数的形式来描述。 确定了传递函数形式之后，由阶跃响应曲线来求取被控对象动态特性的特征参数（即放大系数K、时间常数T、迟延时

25、间等），被控过程的数学模型（传递函数）就可确定。1.4 实验法建立被控对象的数学模型实验法建立被控对象的数学模型 过程的阶跃响应曲线如下图所示。t=0时曲线斜率最大，之后斜率减小，逐渐上升到稳态值y()，则该响应曲线可用一阶惯性环节来近似。此时，需要确定的参数只有T和K。 由阶跃响应曲线确定传递函数参数K和T的方法为：由阶跃响应曲线定出y()，然后确定K= y()/x0值，再在阶跃响应曲线的起点处做切线，该切线与y()的交点所对应的时间即为T。 1. 由由阶跃响应曲线确定一阶惯性环节的特性参数阶跃响应曲线确定一阶惯性环节的特性参数1.4 实验法建立被控对象的数学模型实验法建立被控对象的数学模型

26、 根据测试数据直接计算T：令 则2/Tt )(%39)2/(yTyTt )(%63)(yTy)(%5 .86)2(yTyTt2 在阶跃响应曲线上找到上述几个数据所对应的时间t1、t2、t3，则可计算出T。如果由t1、t2 和t3分别取的数值T有差异，可以用求平均值的方法对T加以修正。 1.4 实验法建立被控对象的数学模型实验法建立被控对象的数学模型 如果被控过程的阶跃响应曲线是一条如图所示的S形单调曲线，可以选用有纯滞后的一阶惯性环节作为该过程的传递函数。2. 由由阶跃响应曲线确定一阶惯性环节加滞后环节的阶跃响应曲线确定一阶惯性环节加滞后环节的特性参数特性参数1.4 实验法建立被控对象的数学模

27、型实验法建立被控对象的数学模型 已知阶跃响应曲线的稳态值与阶跃输入的幅值之比即为被控过程的放大系数，故常利用作图法和两点计算法确定被控过程时间常数与滞后时间。 作图法作图法 在上图中阶跃响应曲线斜率最大（A点）处作一条切线，该切线与时间轴交于B点，与y(t)的稳态值y()交于C点，C点在时间轴上的投影为D点，BD即为被控过程的时间常数T，OB即为被控过程的滞后时间。 由于阶跃响应曲线的最大斜率处不易找准，因而切线的方向会有较大的随意性，通过作图求得的时间常数T与滞后时间值会有较大误差。可以采用如下计算方法求取T与值。 1.4 实验法建立被控对象的数学模型实验法建立被控对象的数学模型 计算法计算

28、法 利用阶跃响应y(t)上两个点的数据计算T和。为了计算方便，首先将y(t)转换成无量纲形式y0(t)，如图所示。1.4 实验法建立被控对象的数学模型实验法建立被控对象的数学模型 )()()()(00ytyKxtyty 其阶跃响应无量纲的形式如下：tettyTt10)(0 在图中选取二个不同时刻 和 ，以及对应的 和，和 ，其中 ， ，通过计算可确定 和 。 1.4 实验法建立被控对象的数学模型实验法建立被控对象的数学模型 21tt01( )y t02( )y t1t2tT120102( )1( )1tTtTy tey te 21010220110201021( )1( )1( )1( )1(

29、 )1( )ttTlny tlny tt lny tt lny tlny tlny t1.4 实验法建立被控对象的数学模型实验法建立被控对象的数学模型 为了方便计算，可选 ，代入上两式可得 21122()2Ttttt 计算出T和后，还应该把计算的结果与实测曲线进行比较，以检验所得模型的准确性。 若计算结果与实测值的差距可以接受，表明所求得的一阶惯性加滞后环节传递函数满足要求。否则，表明用一阶惯性加滞后环节近似被控过程的传递函数不合适，应选用高阶传递函数。 1.4 实验法建立被控对象的数学模型实验法建立被控对象的数学模型 0102( )0.39, ( )0.632y ty t 对无滞后的二阶环节

30、，只需确定参数K、T1和T2。其相应的阶跃响应曲线如图所示。1.4 实验法建立被控对象的数学模型实验法建立被控对象的数学模型 2. 由由阶跃响应曲线确定二阶惯性环节的特性参数阶跃响应曲线确定二阶惯性环节的特性参数 化为无量纲形式的阶跃响应y0(t)后，传递函数如下表示： ) 1)(1(1)(21sTsTsG 其相应的单位阶跃响应为2112221101)(TtTteTTTeTTTty 根据上式，可以利用阶跃响应曲线上两个点的数据求出T1和T2。 1.4 实验法建立被控对象的数学模型实验法建立被控对象的数学模型 1112221212121212121212121 211220.60.21()2.1

31、6(1.740.55)ttTTttTTTTeeTTTTTTeeTTTTTTttTTtTTt 若选取y0(t1)=0.4、y0(t2)=0.8两点，再从曲线上确定对应的t1和t2，即可得到方程组1.4 实验法建立被控对象的数学模型实验法建立被控对象的数学模型 上式的近似解为 采用上式来确定T1和T2时，应满足条件：1.4 实验法建立被控对象的数学模型实验法建立被控对象的数学模型 12/0.32tt 120.32/0.46tt 当 时，被控对象的数学模型可近似为一阶惯性环节。12/=0.32tt12()/ 2.12Ttt。 当 时，被控对象的数学模型可近似为一阶惯性环节，时间常数为 当 时，被控过

32、程数学模型可近似为 ，其时间常数为12/=0.46tt2( )/(1)G sKTs12()/4.36Ttt。 当 时，被控过程数学模型应用高于二阶的环节近似，即 ，其时间常数为 。式中的n可根据 由下表查出。 n n1 12 23 34 45 56 68 8101012121414t t1 1/t/t2 20.32 0.32 0.46 0.46 0.53 0.53 0.58 0.58 0.62 0.62 0.65 0.65 0.680.685 50.71 0.71 0.730.735 5 0.75 0.75 12/0.46tt ( )/(1)nG sKTs12()/ 2.16Tttn12/tt

33、高阶被控对象数学模型的阶数高阶被控对象数学模型的阶数 n 与与 的关系的关系12/tt1.4 实验法建立被控对象的数学模型实验法建立被控对象的数学模型 若用二阶惯性加滞后环节近似上图所示的阶跃响应曲线，静态放大系数K仍直接计算。纯滞后时间可根据阶跃响应曲线开始出现变化的时刻来确定，见下图；然后在时间轴上截去纯滞后，化为无量纲形式的阶跃响应y0(t)，利用上述方法计算出T1和T2。1.4 实验法建立被控对象的数学模型实验法建立被控对象的数学模型 对于无自平衡过程，其阶跃响应如图所示。无自平衡被控过程的阶跃响应随时间t将无限增大，但其变化速度会逐渐趋于稳定。 3. 由由阶跃响应曲线确定无自衡被控过

34、程数学模型的阶跃响应曲线确定无自衡被控过程数学模型的的特性参数的特性参数1.4 实验法建立被控对象的数学模型实验法建立被控对象的数学模型 20( ), ( )tan()y ttytt 若用式 来近似上图的阶跃响应曲线，为了从曲线确定时间常数T，作阶跃响应曲线的渐近线，即稳态部分的切线与时间轴交于t2，与时间轴的夹角为，如图所示。可得 0/ tanTxseTssG1)(则有： 这样就得到了被控过程的传递函数 1.4 实验法建立被控对象的数学模型实验法建立被控对象的数学模型 ( )/sG seTs 这个方法简单，但在在t1A时间段误差比较大。 从图可看出，在 0 t1 之间，可取纯滞后= t1。在

35、阶跃响应达到稳态后，主要是以积分作用为主，则有 在t1A时间段，惯性环节起主要作用，可取T2= t2-t1，则被控过程的传递函数为 sesTsTKsG) 1()(21 如果对时间段t1A有更高的精度要求，则可选高阶环节作为被控过程的传递函数。 1.4 实验法建立被控对象的数学模型实验法建立被控对象的数学模型 10/ tanTx 阶跃响应法是辨识过程特性最常用的方法。如前所述，阶跃响应曲线的获得是在过程正常输入的基础上再叠加一个阶跃变化而成。如果实际生产不允许由较长时间和较大幅值的输入变化，可以考虑采用矩形脉冲实验法来进行。即在正常基础上，给过程施加一个理想脉冲输入，测取输出量的变化曲线，并据此

36、估计过程参数。至于矩形脉冲的高低宽窄，可根据生产实际情况而定。 由于阶跃响应法比较简单，因此，可在实验获取矩形脉冲响应曲线后，先将其转换为阶跃响应曲线，然后再按照阶跃响应曲线法确定各个参数。1.4 实验法建立被控对象的数学模型实验法建立被控对象的数学模型 如图所示，矩形脉冲信号可以看成两个极性相反、幅值相同、时间相差的阶跃信号叠加而成。因此，其输出响应也是由两个时间相差、极性相反、形状完全相同的阶跃响应叠加而成。 在t=0之间，h1(t)=y(t)，阶跃响应曲线就是矩形脉冲响应曲线。T后，h1(t)=y(t)+h1(t-)，某时刻时的阶跃响应数值h1(t)，就等于当前时刻的脉冲响应数值y(t)

37、加上时间以前的h1(t-) 。依次类推，即可把脉冲响应曲线转换为阶跃响应曲线。 1.4 实验法建立被控对象的数学模型实验法建立被控对象的数学模型 用阶跃响应法辨识被控过程数学模型的方法在工程实际中应用最广泛，也比较简便有效。但是，相应曲线法需要进行专门的试验，生产过程需要由正常运行状态转入偏离正常运行的试验状态，对生产的正常运行或多或少会造成一定影响。1.4 实验法建立被控对象的数学模型实验法建立被控对象的数学模型 1.4.2 频域法建立被控对象的数学模型频域法建立被控对象的数学模型 用频率特性测试法可得到被控过程的频率特性曲线。其测试原理如图所示，在所测过程的输入端加入特定频率的正弦信号，同

38、时记录输入和输出的稳定波形（幅度与相位），在所选定范围的各个频率重复上述测试，便可测得该被控过程的频率特性。1.4 实验法建立被控对象的数学模型实验法建立被控对象的数学模型 用正弦输入信号测定频率特性的优点是能直接从记录曲线上求得频率特性。稳态正弦激励实验利用线性系统频率保持性，即在单一频率输入时，系统的输出也是单一频率，而把系统的噪声干扰及非线性因素引起输出畸变的谐波分量都看作干扰，在实验过程中容易发现干扰的存在和影响。实验测量装置应能滤出与激励频率一致的正弦信号，显示其响应幅值与相对于激励信号的相移，或者给出其同相分量及正交分量。通过测出被测过程通频带内抽样频点的幅、相值，就可画出Nyqu

39、ist图或Bode图，进而获得被控过程的传递函数。 1.4 实验法建立被控对象的数学模型实验法建立被控对象的数学模型 1.4.3 统计相关法建立被控对象的数学模型统计相关法建立被控对象的数学模型 利用统计相关分析法辨识被控过程的数学模型可在正常运行的生产过程中使用。 首先给被控过程输入一种特殊的、对正常生产过程影响不大的随机测试信号，通过对被控过程的输入、输出数据进行相关分析得到被控过程的数学模型。 相关分析法的基本方法是：向被控过程输入随机信号x(t)，测量输出信号y(t)，计算出输入信号的自相关函数Rxx()和输入信号与输出信号的互相关函数Rxy() ；再通过Rxx()和Rxy() 求出被

40、控过程的冲激响应g(t)，最后通过Laplace变换求出传递函数G(s)。 1.4 实验法建立被控对象的数学模型实验法建立被控对象的数学模型 1. 有关随机过程的基本概念有关随机过程的基本概念 1) 随机变量、随机信号及随机过程 在研究被控过程的特性时，常常需要进行某种试验，如果试验重复多次，即使试验条件完全相同，每次观测结果也会有所差别。对于这种现象，通常称之为随机现象或概率现象。 一般来说，在相同条件下重复观测同一事件，若用X表示观测数据x1,x2,xn，X会随不同观测而变化。这种变化是随机的，没有什么确定规则。但是，对于大量观测来说，X的变化可能遵循某种概率统计规律，则称X为随机变量。

41、1.4 实验法建立被控对象的数学模型实验法建立被控对象的数学模型 在图中，x1(t)是随时间随机变化的信号，称为随机信号。同样， x2(t) xn(t)都是随机信号，用X(t)表示这一信号簇 x1(t), x2(t) xn(t) 。 X(t)不仅随不同的观测曲线有所不同，还会随时间变化。将X(t)称为随机函数或随机过程，把xi(t)称为随机过程的一个实现。 1.4 实验法建立被控对象的数学模型实验法建立被控对象的数学模型 2) 随机过程的统计描述总体平均值和均方值 随机过程一般只能用统计描述方法来刻画它的数学特征。若有K个随机信号实现，K又足够大，就可以用随机信号在t=T1时刻的总体平均值和总

42、体均方值来描述随机过程的统计规律，即KiiTxKTx111)(1)(KiiTxKTx11212)(1)( 随机信号的总体平均值和总体均方值，体现了随机过程的统计特性。 1.4 实验法建立被控对象的数学模型实验法建立被控对象的数学模型 3) 各态历经的平稳随机过程 如果随机过程的统计特性在各个时刻都不变，即有 )()()()()()(322212321TxTxTxTxTxTx这样的随机过程称为平稳随机过程。 如果平稳随机过程在任一时刻的总体平均值与任意一个随机信号的时间平均值相等，则称其为各态历经的平稳随机过程。 1.4 实验法建立被控对象的数学模型实验法建立被控对象的数学模型 4) 自相关函数

43、与互相关函数 若信号x(t)在时刻t的值总是在一定程度上影响时刻t+的值x(t+)，则称x(t)与x(t+)是相关的。一个信号的未来值与现在值之间的依赖关系，即相关程度可用“自相关函数”Rxx()来度量。 Rxx()定义如下： TTTxxdttxtxTR)()(21lim)( 两个信号x(t)和y(t)之间的互相关函数Rxy()的定义如下： TTTxydttytxTR)()(21lim)(1.4 实验法建立被控对象的数学模型实验法建立被控对象的数学模型 5) 功率谱密度 信号x(t)的自相关函数Rxx()是对信号时域特性的描述，对于Rxx() （时间函数）进行Fourier变换，就得到信号特性

44、的频域描述。在Fourier变换中，考虑到Rxx()是的偶函数这一性质，其变换结果事实上是的实函数。用Sxx()表示即为 dRSxxxxcos)()( Sxx()称为信号x(t)的谱密度函数，或称能量谱密度。 1.4 实验法建立被控对象的数学模型实验法建立被控对象的数学模型 6) 白噪声 白噪声具有特殊的物理性质，是系统辨识中具有重要意义的激励信号。白噪声的定义是：如果平稳随机信号x(t)的能量谱密度Sxx()恒定不变，即常数，)(xxS则称x(t)为白噪声。 白噪声信号只是理论抽象，实际并不存在。但是，当某个实际随机信号的频带远远大于物理系统的频带，且在该物理系统的通频带内实际信号的Sxx(

45、)幅值基本不变时，就可近似看作白噪声信号。辨识被控过程的数学模型时，若采用白噪声作为输入信号，将会使辨识的计算变得非常简单。 1.4 实验法建立被控对象的数学模型实验法建立被控对象的数学模型 7) 伪随机M序列 虽然采用白噪声作为输入信号辨识被控过程的数学模型时，会使辨识工作变得非常简单。但用物理方法产生白噪声信号非常困难，因此人们就研究探讨了另一种信号作为替代，这就是所谓的伪随机二位式最大周期长度序列信号，简称M序列信号。人们研究发现，M序列信号的自相关函数比较接近函数，其统计特性也很接近白噪声，而且容易产生。此外，用M序列信号作为过程辨识的输入测试信号，具有抗干扰能力强、对系统正常运行影响

46、小、接近于最佳测试信号等优点。由于M序列信号是人为产生的，具有某些随机信号的统计特性，故称伪随机信号。1.4 实验法建立被控对象的数学模型实验法建立被控对象的数学模型 伪随机二位式M序列信号（简称PRBS）具有下列特征： PRBS只有a两个电平，正负电平切换总是发生在时间间隔t的整数倍上。此处t称作码元宽度，具体大小可根据被辨识系统的截止频率确定。 PRBS是周期性信号，周期T=Nt ，N取奇整数。若PRBS为最大长度序列（M序列），则应取N=2n-1，其中n为整数，N相应是7，15，31等，称为周期长度。n取不同数值，PRBS则有不同周期长度。在一个周期中，PRBS有(N+1)/2个码元宽度

47、为“1”电平，另外(N-1)/2个码元宽度为“0”电平。实际使用中，常将+a电平规定为“0”电平，-a电平规定为“1”电平。 1.4 实验法建立被控对象的数学模型实验法建立被控对象的数学模型 作为随机序列信号，可能会接连出现若干个“0”或若干个“1”。我们把两个“1”之间所夹的“0”的个数称作“0”游程长度，两个“0”之间所夹的“1”的个数称作“1”游程长度。 对于PRBS M序列信号，游程个数和长度的规律是：每一个周期中，各种长度的游程总数为2n-1个，其中“1”游程的总个数与“0”游程总个数各占一半。长度为n的“1”游程和长度为n-1的“0”游程各有一个。长度为i的游程个数为2n-i-1个

48、，其中“1”游程个数和“0”游程个数各占1/2。 一旦掌握了游程个数和长度的出现规律，M序列的确定就只剩下各种长度的“1”游程和“0”游程怎么排列的问题了。因此，游程问题对于M序列信号的判断和确定都十分重要。 1.4 实验法建立被控对象的数学模型实验法建立被控对象的数学模型 在实际应用中，总把M序列的逻辑“0”和逻辑“1”变换成幅度为a和-a的序列，如下图所示，该信号为111100010011010。 1.4 实验法建立被控对象的数学模型实验法建立被控对象的数学模型 M序列信号的自相关函数：tNtNatttNNaRxx) 1(11)(22其相应图形如下图所示：由图可见，若N够大，t足够小时，图

49、中三角波的水平线与横坐标之间的距离将趋于零，自相关函数Rxx()就近似为理想脉冲，此时的M序列信号则近似于白噪声。 1.4 实验法建立被控对象的数学模型实验法建立被控对象的数学模型 2. 相关函数法辨识被控过程的数学模型的基本原理相关函数法辨识被控过程的数学模型的基本原理 相关函数法辨识被控过程数学模型的基本依据是Wiener-Hopf方程。 duuRugduuRugRxxxxxy00)()()()()(这就是著名的Wiener-Hopf方程。 由Wiener-Hopf方程可知，只要知道输入的自相关函数以及输入和输出之间的互相关函数，即可推求出被控过程的单位脉冲响应g(t)。对g(t)进行La

50、place变换，可求得被控过程的传递函数G(s)，也就辨识出了过程的数学模型。 1.4 实验法建立被控对象的数学模型实验法建立被控对象的数学模型 3. 3. 用白噪声信号辨识被控过程的数学模型用白噪声信号辨识被控过程的数学模型 用白噪声信号作为被控过程的输入，由于白噪声信号的自相关函数Rxx()=K()，将其代入Wiener -Hopf方程中可得 0)()()()(KgduuKugRxy即有)(1)(xyRKg 可见，只要在被控过程输入端加上白噪声试验信号，测取输入与输出之间的互相关函数Rxy()，由上式求取g(t)是很简单的。 1.4 实验法建立被控对象的数学模型实验法建立被控对象的数学模型

51、 3. 3. 用白噪声信号辨识被控过程的数学模型用白噪声信号辨识被控过程的数学模型 Rxy()的测取方法是先对x(t)和 y(t)进行采样，然后按下式计算101( )nxyii niRnx yN 理论上要求N无穷大，实际中不可行。解决的方法是采用周期性的白噪声。周期性白噪声的Rxx()=K (-nT)是周期性函数。在周期白噪声输入下，互相关函数也是周期性的，其计算也只要在一个周期内进行就可以了。 如果周期白噪声输入信号的周期T足够大，被测过程的脉冲响应在一个周期内可以衰减为零，在周期内则有 1.4 实验法建立被控对象的数学模型实验法建立被控对象的数学模型 )()(KgRxy 因此，采用周期白噪

52、声作为输入测试信号， Rxy()的计算显得特别简单。 采用周期白噪声输入信号虽然简化了计算，但是，周期白噪声的产生却很困难。白噪声本身是随机信号，要使两两周期内的信号形式和状态完全相同，这几乎是不可能的。所以，上述关于周期白噪声作为输入试验信号的讨论，只有理论上的意义，并无实用价值。实际中常常采用的是二电平M序列伪随机信号。 1.4 实验法建立被控对象的数学模型实验法建立被控对象的数学模型 4. 采用二电平采用二电平M序列伪随机信号辨识数学模型序列伪随机信号辨识数学模型1.4 实验法建立被控对象的数学模型实验法建立被控对象的数学模型 1) M序列信号的产生 M序列信号可以用线性移位寄存器产生。

53、 如图所示，将n个具有移位功能的触发器连接成一排，组成移位寄存器。 图中，每个方块代表一级触发器，可存放一位二进制数“0”或“1”，并用Ci表示。在移位脉冲作用下，一排数码C1, C2, , Cn都右移一位。每级的状态经过模2域求和后反馈第一级的输入端并作为第一级的移位数码输入，而第n级Cn每移位一次输出一个数码。这样，在移位脉冲作用下，就会在输出端形成一个二位式序列。1.4 实验法建立被控对象的数学模型实验法建立被控对象的数学模型 在上图中，Fi表示各级是否参与反馈， Fi为“l”表示该级参与反馈， Fi为“0”表示不参与反馈。 Fi取不同的值，就组成不同的反馈逻辑，移位寄存器就有不同的二位

54、式序列输出。 如下图所示的四级移位寄存器，C3与C4作模2求和后输入第一级的输入端。 1.4 实验法建立被控对象的数学模型实验法建立被控对象的数学模型 A. 若(C1,C2,C3,C4)初始状态为(0,0,0,0)时，在移位脉冲的激励下，输出序列为： 000000000000000000000 B. 若(C1,C2,C3,C4)初始状态为(1,0,0,0)时，在移位脉冲的激励下，输出序列为： 000100110101111， 000100110101111， 000100110101111， 000100110101111， C. 若(C1,C2,C3,C4)初始状态为(0,0,1,0)时，在

55、移位脉冲的激励下，输出序列为： 010011010111100， 010011010111100， 010011010111100， 010011010111100, D. 若(C1,C2,C3,C4)初始状态为(1,1,1,1)时，在移位脉冲的激励下，输出序列为： 111100010011010， 111100010011010， 111100010011010， 111100010011010, 。 1.4 实验法建立被控对象的数学模型实验法建立被控对象的数学模型 除了初始状态全为零时，输出序列全为“0”之外，其余三种初始状态的输出序列顺序每隔15位重复一次，构成周期长度为15的周期序列；

56、在给定的反馈逻辑条件下，任一非零初始状态所得到的一个序列都可以通过其它序列的平移得到。反馈组合逻辑不同，同样级数的移位寄存器输出序列周期长度不一样。 1.4 实验法建立被控对象的数学模型实验法建立被控对象的数学模型 2) M序列信号有关参数的确定 产生M序列信号还需确定周期长度N、脉冲宽度t以及电平幅度a等参数，这几个参数的确定原则如下： 脉冲宽度（码元宽度、步长） t的确定，一般取t =(23) C， C为被测过程的截止周期。也可根据被测过程的频带宽度确定。 N的确定，N应根据被测过程的过渡过程时间ts而定。只有使M序列信号周期T大于ts ，才能保证一个周期内计算所得的Rxx()具有足够的准

57、确度。因此，一般取N t=(1.21.5) ts。 电平幅度a的确定，a的大小应根据被测过程的动态线性范围以及生产工艺要求而定，a的最大幅值不应超过被测过程的线性变化范围。在此基础还要考虑生产工艺允许的输出偏离大小。在二者均满足的前提下，电平幅度a应尽量大一些，以便尽可能提高输出测量的准确度。 1.4 实验法建立被控对象的数学模型实验法建立被控对象的数学模型 利用相关函数法辨识过程的数学模型，主要是依据Wiener-Hopf方程，通过求取相关函数，计算出被测过程的脉冲响应，从而得到数学模型。3) 根据试验测试数据辨识过程的数学模型1.4 实验法建立被控对象的数学模型实验法建立被控对象的数学模型

58、 在被测过程正常运行情况下进行试验辨识时，施加在过程输入端的信号是M序列信号与正常运行输入的叠加，过程输出也相应为M序列信号正常运行输入引起的输出与引起的输出的叠加。由Wiener-Hopf方程可得： 1.4 实验法建立被控对象的数学模型实验法建立被控对象的数学模型 00011( )( ) ()( ) () ( ) ()TN txyNiRx t y tdtx t y tdtTN tasign x iy i tN 0)(10)(1)(ixixixsign式中tNxyxydRtxNaxaRtaNNg02)()()()() 1()( 式中，Rxy()是M序列信号与被测过程的总输出之间的互相关函数。根

59、椐下式计算Rxy() 再根据下式求取被测过程的单位脉冲响应 最后对上式取Laplace反变换即可确定出被测过程的传递函数模型。 tNxyxydRtxNaxaRtaNNg02)()()()() 1()(1.4 实验法建立被控对象的数学模型实验法建立被控对象的数学模型 1. 线性系统描述线性系统描述 对于一个单输入、单输出（SISO）线性定常系统，可以用连续时间模型描述，如微分方程、传递函数；也可用离散时间模型来描述，如差分方程、脉冲传递函数。 如果对被控过程的连续输入信号u(t)、输出信号y(t)进行采样，则可得到一组输入序列u(k)和输出序列z(k)，输入序列和输出序列之间的关系可用下面的差分

60、方程进行描述（不考虑纯滞后）： 1.4.4 最小二乘法建立被控对象的数学模型最小二乘法建立被控对象的数学模型1.4 实验法建立被控对象的数学模型实验法建立被控对象的数学模型 上式中，k为采样次数；u为被控过程输入序列；y为被控过程输出序列；n为模型阶数；a1,a2,an和b1,b2,bn为常系数。 被控过程建模（辨识）的任务，一是确定模型的结构，即确定模型的阶数n和滞后（在差分方程中用表示d ，d= /T ，T为采样周期）；二是确定模型结构中的参数。最小二乘法是在n和已知的前提下，根据输入、输出数据推算模型参数a1,a2,an及b1,b2,bn常用的方法之一。 1.4 实验法建立被控对象的数学