通信原理 第2章 确知信号

1、1第第2章章 确知信号确知信号信号的描述：信号的描述：物理上：物理上： 信号是信息寄寓变化的形式信号是信息寄寓变化的形式数学上：数学上： 信号是一个或多个变量的函数信号是一个或多个变量的函数形态上：信号表现为一种波形形态上：信号表现为一种波形自变量：时间、位移、周期、频率、幅度、相位自变量：时间、位移、周期、频率、幅度、相位按信号的规律性分为：确知信号与随机信号按信号的规律性分为：确知信号与随机信号确知信号：确知信号：其取值在任何时间都是确定的和可预知的其取值在任何时间都是确定的和可预知的信号。能以确定的时间函数表示的信号，如正弦信号；信号。能以确定的时间函数表示的信号，如正弦信号；随机信号：

2、随机信号：不能以确定的时间函数而只能以其统计特不能以确定的时间函数而只能以其统计特性描述的信号，如通信中传输的信号等。性描述的信号，如通信中传输的信号等。2第第2章章 确知信号确知信号确知信号的类型确知信号的类型频域性质频域性质 时域性质时域性质 32.1 确知信号的类型确知信号的类型 1、按照周期性区分、按照周期性区分n 周期信号周期信号_依一定的时间间隔周而复始的信号依一定的时间间隔周而复始的信号n连续时间周期信号连续时间周期信号(周期为周期为T)S( t ) = S( T + T0 ) t 0 常数常数离散时间周期信号离散时间周期信号(周期为周期为N)n 非周期信号非周期信号 不具有周期

3、性的信号不具有周期性的信号 ,1, 2,f kf knN n 42.1 确知信号的类型确知信号的类型 2、按照能量区分、按照能量区分n功率信号功率信号：若若S(t)在区间在区间(-,+)的能量无限，但在有限区间的能量无限，但在有限区间(-T/2,T/2)满足平均功率有限的条件满足平均功率有限的条件则称为功率信号。如各种周期信号、常值信号、阶跃信号等。则称为功率信号。如各种周期信号、常值信号、阶跃信号等。 2221limTTTPst dtTn 能量信号能量信号：信号总能量为有限值而信号平均功率为零；当信号总能量为有限值而信号平均功率为零；当S(t)满足满足下式下式 时，则信号的能量有限，称为能量

4、有限信号，简称能时，则信号的能量有限，称为能量有限信号，简称能量信号。满足能量有限条件，实际上就满足了绝对可积条件。量信号。满足能量有限条件，实际上就满足了绝对可积条件。20( )Es t dt 在非电量测量中，常将被测信号转换为电压或电流信号来处理。在非电量测量中，常将被测信号转换为电压或电流信号来处理。显然，电压信号加在单位电阻（显然，电压信号加在单位电阻（R=1时）上的时）上的瞬时功率瞬时功率为为P(t)= x2(t)/R=x2(t)。瞬时功率对时间积分即是信号在该时间内的。瞬时功率对时间积分即是信号在该时间内的能量能量。通常不考虑量纲，而直接把通常不考虑量纲，而直接把信号的平方信号的平

5、方及其及其对时间的积分对时间的积分分别分别称为称为信号的功率信号的功率和和能量能量。5 2.2 确知信号的频域性质确知信号的频域性质 频域表述频域表述：以频率作为独立变量的方式，也就是所谓：以频率作为独立变量的方式，也就是所谓信号的频谱分析。信号的频谱分析。 时域表述时域表述：描述信号的幅值随时间的变化规律，可直：描述信号的幅值随时间的变化规律，可直接检测或记录到的信号。接检测或记录到的信号。时域表述和频域表述为从不同的角度观察、分析信号时域表述和频域表述为从不同的角度观察、分析信号提供了方便。运用提供了方便。运用傅里叶级数、傅里叶变换傅里叶级数、傅里叶变换及其反变及其反变换，可以方便地实现信

6、号的时、频域转换。换，可以方便地实现信号的时、频域转换。傅里叶的两个最主要的贡献傅里叶的两个最主要的贡献“周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和周期信号都可表示为谐波关系的正弦信号的加权和”傅里叶的第一个主要论点；傅里叶的第一个主要论点；“非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示非周期信号都可用正弦信号的加权积分表示”傅里叶的第二个主要论点。傅里叶的第二个主要论点。信号的频率特性有四种：信号的频率特性有四种：功率信号的频谱、能量信号功率信号的频谱、能量信号的频谱密度、能量信号的能量谱密度、功率信号的功的频谱密度、能量信号的能量谱密度、功率信号的功率谱密度率谱密度。6 2.2 确知信号的频域

7、性质确知信号的频域性质 2.2.1 功率信号的频谱功率信号的频谱（对应频率上信号的幅度（单位（对应频率上信号的幅度（单位V）和相位（单位弧度，度）和相位（单位弧度，度） 周期性功率信号周期性功率信号 s(t) 频谱（函数）的定义频谱（函数）的定义(非周期功率信号不是绝对可积，所以，理论上，非周期功率信号不存在频谱非周期功率信号不是绝对可积，所以，理论上，非周期功率信号不存在频谱)000/220/201()( )Tjnf tnTCC nfs t edtT( 2.2 1 )式中，式中，f0 1/T0，n 为整数，为整数，- n + 。02/( )jnt Tnns tC e ( 2.2 2 )00/

8、 20/ 201( )TTCs t d tT( 2.2 3 )|Cn| 振幅，振幅， n相位相位双边谱，复振幅双边谱，复振幅njnneCC( 2.2 4 )7 周期性功率信号频谱的性质周期性功率信号频谱的性质 2.2 确知信号的频域性质确知信号的频域性质 对于物理可实现的对于物理可实现的 实信号实信号，由式，由式( 2.21 )有有000000/2/222*/2/20011( )( )TTjnf tjnf tnnTTCs t edts t edtCTT( 2.2 5 ) 正频率部分和负频率部分间存在复数共轭关系正频率部分和负频率部分间存在复数共轭关系n|Cn|(a) 振幅谱振幅谱102345-

9、2 -1-3-4-5Cn 的模偶对称的模偶对称n n(b) 相位谱相位谱102345-2-1-3-4-5Cn 的相位奇对称的相位奇对称2.2.1 功率信号的频谱功率信号的频谱8 2.2 确知信号的频域性质确知信号的频域性质 将式将式 ( 2.25 ) 代入式代入式 ( 2.22 )，得到实信号的傅氏级数展开，得到实信号的傅氏级数展开02/000122001( )cos 2/sin 2/cos 2/jnt Tnnnnnnnnns tC eCant Tbnt TCabnt T( 2.2 8 )式中，式中，1tan/nnnba2221nnnbaC， 实信号实信号s(t)的各次谐波的相位等于的各次谐波

10、的相位等于 n 实信号实信号s(t)的各次谐波的振幅等于的各次谐波的振幅等于22nnab称为单边谱。称为单边谱。 式式 ( 2.28 ) 表明：表明： 实信号可以表示成包含直流分量实信号可以表示成包含直流分量C0、基波、基波 ( n = 1时时 ) 和和 各次谐波各次谐波 ( n = 2, 3, )。 数学上数学上 |Cn| = ，频谱函数频谱函数Cn又称为双边谱。又称为双边谱。22nnab9若若s(t)是是实偶信号实偶信号，则，则 Cn为实函数。为实函数。 2.2 确知信号的频域性质确知信号的频域性质 000000000/22/20/200/2/2/200/2/21( )1( )cos(2)

11、sin(2)11( )cos(2)( )sin(2)Re()Im()Tjnf tnTTTTTTTnnCs t edtTs tnf tjnf t dtTs tnf t dtjs tnf t dtTTCjC= 0所以所以 Cn 为实函数。为实函数。10例例2-1 试求图试求图2-2(a)所示周期性方波的频谱。（所示周期性方波的频谱。（P.20 例例2-1） 2.2 确知信号的频域性质确知信号的频域性质 0/22/21jnf tnVnCVedtSaTTT0022( )jnf tjnf tnnnVns tC eSaeTTs(t)的傅氏级数表示：,/2/2( )0,/2(/2)( )(),Vts ttT

12、s ts tTt 解：11例例2-2 试求图试求图2-3所示周期性方波的频谱。所示周期性方波的频谱。 2.2 确知信号的频域性质确知信号的频域性质 022/0112jnf tjnTnVCVedteTjn 因为此信号不是偶函数，其频谱因为此信号不是偶函数，其频谱Cn是复函数。是复函数。,0( )0,( )(),Vts ttTs ts tTt 解：12例例2-3 试求图试求图2-4中周期波形的频谱。中周期波形的频谱。 2.2 确知信号的频域性质确知信号的频域性质 10222/2/2)14(2)sin()(10ndtetdtetsTCntjTTtnfjnnntjents221412)(由于此波形为偶

13、函数，故其频谱为实函数。由于此波形为偶函数，故其频谱为实函数。( )sin()01( )(1)s ttts tf tt 解：13 2.2 确知信号的频域性质确知信号的频域性质 2.2.2 能量信号的频谱密度能量信号的频谱密度信号在单位频率的信号在单位频率的大小大小，单位：，单位：V/Hz 频谱密度的定义频谱密度的定义（能量信号绝对可积）（能量信号绝对可积）能量信号能量信号s(t) 的傅氏变换为频谱密度：的傅氏变换为频谱密度：2()( )jftSfs t edt2( )( )jfts tS f edfS( f ) 的傅里叶反变换为原信号：的傅里叶反变换为原信号： S ( f ) 和和 Cn 的主

14、要区别的主要区别 S ( f ) 是连续谱，是连续谱，Cn 是离散谱；是离散谱； S ( f ) 的单位是的单位是V/Hz，而，而Cn 的单位是的单位是V。 实能量信号实能量信号：负频谱和正频谱的模偶对称，相位奇对称，：负频谱和正频谱的模偶对称，相位奇对称，即复数共轭。即复数共轭。22( )( )jftjfts t edts t edt即即( )()S fSf14 2.2 确知信号的频域性质确知信号的频域性质 例例2-4 试求一个矩形脉冲的频谱密度。试求一个矩形脉冲的频谱密度。解： 设设1/ 2( )0/ 2atgtt单位门函数单位门函数其频谱密度为其频谱密度为图2-5 单位门函数 矩形脉冲的

15、带宽等于其脉冲持续时间的倒数，即等于(1/) Hz。15 2.2 确知信号的频域性质确知信号的频域性质 例例2-5 试求单位冲激函数试求单位冲激函数 ( 函数函数) 的频谱密度。的频谱密度。解：解： 函数的定义( )1( )0,0t dttt2()( )1( )1jftft edtt dt 函数的频谱密度图2-7 单位冲激函数的波形和频谱密度16 2.2 确知信号的频域性质确知信号的频域性质 例例2-6 试求无限长余弦波试求无限长余弦波 s(t) = cos2 f0t 的频谱密度。的频谱密度。 解： 其频谱密度其频谱密度S( f )按式按式计算，得计算，得2( )( )jftS fs t ed

16、t)()(21)(00fffffSf0f00t图2-9 无限长余弦波的波形和频谱密度（有时我们可以把功率信号当作能量信号看待，计算其频谱密度（有时我们可以把功率信号当作能量信号看待，计算其频谱密度)17 2.2 确知信号的频域性质确知信号的频域性质 2.2.3 能量信号的能量谱密度能量信号的能量谱密度定义：定义：由巴塞伐尔由巴塞伐尔(Parseval)定理定理dffSdttsE22)()( 2.2-37 )式中，式中， G( f ) = |S( f )|2 ( 2.2-39 )定义为定义为能量谱密度能量谱密度。则。则dffGE)( 2.2-38 ) 由于信号由于信号s( t )是一个实函数，所

17、以是一个实函数，所以|S( f )|是一个偶函数，是一个偶函数，因此上式可以改写成因此上式可以改写成0)(2dffGE( 2.2-40 )对于能量信号可用能量密度函数对于能量信号可用能量密度函数 描述其能量的频率特性，并称之为能量谱函数。描述其能量的频率特性，并称之为能量谱函数。能量谱能量谱 只与信号的频率有关，而与相位无关，单位为焦只与信号的频率有关，而与相位无关，单位为焦/赫赫(J/Hz)18 2.2 确知信号的频域性质确知信号的频域性质)(sin)()(fcfGfSa故由故由G( f ) = |S( f )|2 得出得出2222( )( )()()SaSaG fS fff 例例2.7 试

18、求例试求例2.4中矩形脉冲的能量谱密度。中矩形脉冲的能量谱密度。解：在例在例2.4中，已经求出其频谱密度：中，已经求出其频谱密度：19 2.2 确知信号的频域性质确知信号的频域性质 2.2.4 功率信号的功率谱密度功率信号的功率谱密度定义：定义：首先将信号首先将信号s( t ) 截短为截短为sT( t )，-T/2 t T/2 sT(t)是一个能量信号，可以用傅里叶变换求出其能量谱是一个能量信号，可以用傅里叶变换求出其能量谱密度密度 |ST(t)|2，由巴塞伐尔定理有，由巴塞伐尔定理有/222/2( )( )TTTTEs t dtSfdf( 2.2-41 )则信号则信号s( t )的功率谱密度

19、可以定义为的功率谱密度可以定义为21()lim()TTPfSfT ( 2.2-42 )功率信号的功率信号的E为无穷大所以不能计算功率信号的能量谱，但可以为无穷大所以不能计算功率信号的能量谱，但可以计算其功率谱密度，单位为计算其功率谱密度，单位为W/Hz20 2.2 确知信号的频域性质确知信号的频域性质 周期信号的功率谱密度：周期信号的功率谱密度：令令T 等于信号的周期等于信号的周期T0 ，于是有，于是有00/ 2/ 222/ 2/ 2011lim( )( )TTTTTPst dtst dtTT( 2.2-45 )由周期函数的巴塞伐尔由周期函数的巴塞伐尔(Parseval)定理定理:00/222

20、/201( )TnTnPs t dtCT( 2.2-46 )式中式中 |Cn|2 第第n次谐波的功率。次谐波的功率。上式中的被积因子就是此信号的功率谱密度上式中的被积因子就是此信号的功率谱密度P( f )，即，即20()()() nPfCffnf( 2.2-48 ) 利用利用 函数可将上式表示为函数可将上式表示为20()()PCffnfdf( 2.2-47 )0()0nCfnfCf其 他式中，式中，21 2.2 确知信号的频域性质确知信号的频域性质例例2.8 试求例试求例2-1中周期性信号的功率谱密度。中周期性信号的功率谱密度。0/22/21jnf tnVnCVedtSaTTT解：由例由例2-

21、1可知，该信号的频谱为可知，该信号的频谱为所以由所以由得功率谱密度为得功率谱密度为20( )( )()nP fC ffnf22200()()()()nnVP fC ffnfSaffnfT 2.3 确知信号的时域性质确知信号的时域性质能量信号的自相关函数能量信号的自相关函数功率信号的自相关函数功率信号的自相关函数能量信号的互相关函数能量信号的互相关函数功率信号的互相关函数功率信号的互相关函数23 2.3 确知信号的时域性质确知信号的时域性质2.3.1 能量信号的自相关函数能量信号的自相关函数 定义：定义：dttstsR)()()( 2.3-1 ) 性质：性质： 自相关函数自相关函数R( )和时间

22、和时间t 无关，只和时间差无关，只和时间差 有关。有关。自相关函数自相关函数R( )和其能量谱密度和其能量谱密度|S( f )|2是一对傅里叶变换是一对傅里叶变换 当当 = 0时，时，R(0)等于信号的能量：等于信号的能量： R( )是是 的偶函数的偶函数: R( ) = R( - )22( )( )jfS fRed 22( )( )jfRS fedf 20Rst dtE( 2.3-2 )24 2.3 确知信号的时域性质确知信号的时域性质2.3.2 功率信号的自相关函数功率信号的自相关函数 定义：定义：/2/21( )lim( ) ()TTTRs t s tdtT ( 2.3-10 ) 性质：

23、性质：当当 = 0时，自相关函数时，自相关函数R(0)等于信号的平均功率。等于信号的平均功率。 功率信号的自相关函数也是偶函数。功率信号的自相关函数也是偶函数。/22/21(0)lim( )TTTRst dtPT( 2.3-11 )25 2.3 确知信号的时域性质确知信号的时域性质 周期性功率信号周期性功率信号 自相关函数定义：自相关函数定义： R( )和功率谱密度和功率谱密度P( f )之间是傅里叶变换关系：之间是傅里叶变换关系：( 2.3-12 )00/2/201( )( ) ()TTRs t s tdtT 2( )()jfRP f edf2()( )jfP fRed26 2.3 确知信号的时域性质确知信号的时域性质2.3.3 能量信号的互相关函数能量信号的互相关函数 定义定义 R12( )和时间和时间 t 无关，只和时间差无关，只和时间差 有关。有关。 R12( )和两个信号相乘的前后次序有关：和两个信号相乘的前后次序有关： R21( ) = R12(- )( 2.3-12 )1212( )( ) ()