微积分课件：极限运算法则

1、 第二章 二、二、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则 三、三、 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则 一一 、无穷小运算法则、无穷小运算法则 第四节机动 目录 上页 下页 返回 结束 极限运算法则时时, 有有,min21一、一、 无穷小运算法则无穷小运算法则定理定理1. 有限个无穷小的和还是无穷小有限个无穷小的和还是无穷小 .证证: 考虑两个无穷小的和考虑两个无穷小的和 . 设设,0lim0 xx,0lim0 xx,0,01当当100 xx时时 , 有有2, 02当当200 xx时时 , 有有2取取则当则当00 xx22因此因此.0)(lim0 xx这说明当这说明当0 xx 时时,

2、为无穷小量为无穷小量 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明: 无限个无限个无穷小之和不一定不一定是无穷小 !例如，例如，nnnnnn2221211lim1机动 目录 上页 下页 返回 结束 类似可证类似可证: 有限个有限个无穷小之和仍为无穷小无穷小之和仍为无穷小 . 定理定理2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小 . 证证: 设设, ),(100 xNxMu 又设又设,0lim0 xx即即,0,02当当),(200 xNx时时, 有有M取取,min21则当则当),(00 xNx时时 , 就有就有uuMM故故,0lim0uxx即即u是是0 xx 时的无穷小

3、时的无穷小 .推论推论 1 . 常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小 .推论推论 2 . 有限个无穷小的乘积是无穷小有限个无穷小的乘积是无穷小 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 oyx例例1. 求求.sinlimxxx解解: 1sinx01limxx利用定理利用定理 2 可知可知.0sinlimxxxxxysin说明说明 : y = 0 是是xxysin的渐近线的渐近线 .机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、二、 极限的四则运算法则极限的四则运算法则,)(lim,)(limBxgAxf则有则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf证证: 因因,)(lim,)

4、(limBxgAxf则有则有BxgAxf)(,)(其中其中,为无穷小为无穷小) 于是于是)()()()(BAxgxf)()(BA由定理由定理 1 可知可知也是无穷小也是无穷小, 再利用极限与无穷小再利用极限与无穷小BA的关系定理的关系定理 , 知定理结论成立知定理结论成立 .定理定理 3 . 若机动 目录 上页 下页 返回 结束 推论推论: 若若,)(lim,)(limBxgAxf且且),()(xgxf则则.BA ( P41 定理定理 6 )()()(xgxfx利用保号性定理证明利用保号性定理证明 .说明说明1: 定理定理 3 可推广到有限个函数相加、减的情形可推广到有限个函数相加、减的情形

5、.提示提示: 令机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明2: 类似数列的情形有类似数列的情形有:若若lim f(x)lim g(x),则在则在a的某个去心邻域内有的某个去心邻域内有f(x)g(x)。 ( P41 定理定理5 ）定理定理 4 . 若若,)(lim,)(limBxgAxf则有则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf提示提示: 利用极限与无穷小关系定理及本节定理利用极限与无穷小关系定理及本节定理2 证明证明 .说明说明: 定理定理 4 可推广到有限个函数相乘的情形可推广到有限个函数相乘的情形 .推论推论 1 .)(lim)(limxfCxfC( C 为常数为常数 )

6、推论推论 2 .nnxfxf )(lim)(lim( n 为正整数为正整数 )例例2. 设设 n 次多项式次多项式,)(10nnnxaxaaxP试证试证).()(lim00 xPxPnnxx证证:)(lim0 xPnxx0axaxx0lim1nxxnxa0lim)(0 xPnBA机动 目录 上页 下页 返回 结束 为无穷小为无穷小(详见详见P44)B2B1)(1xg)(0 xx定理定理 5 . ,)(lim,)(limBxgAxf且且 B0 , 则有则有)()(limxgxf)(lim)(limxgxf证证: 因因,)(lim,)(limBxgAxf有有,)(,)(BxgAxf其中其中,设设B

7、Axgxf)()(BABA)(1BB)(AB无穷小有界BA因此因此由极限与无穷小关系定理由极限与无穷小关系定理 , 得得BAxgxf)()(lim)(lim)(limxgxfBAxgxf)()(为无穷小为无穷小,机动 目录 上页 下页 返回 结束 x = 3 时分母为时分母为 0 !31lim3xxx例例3. 设有分式函数设有分式函数,)()()(xQxPxR其中其中)(, )(xQxP都是都是多项式多项式 ,0)(0 xQ试证试证: . )()(lim00 xRxRxx证证: )(lim0 xRxx)(lim)(lim00 xQxPxxxx)()(00 xQxP)(0 xR说明说明: 若若,

8、0)(0 xQ不能直接用商的运算法则不能直接用商的运算法则 .例例4.934lim223xxxx)3)(3() 1)(3(lim3xxxxx6231 若若机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例5 . 求求.4532lim21xxxx解解: x = 1 时时3245lim21xxxx0312415124532lim21xxxx分母分母 = 0 , 分子分子0 ,但因但因机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例6 . 求.125934lim22xxxxx解解: x时时,分子分子.22111125934limxxxxx分子分母同除以分子分母同除以,2x则则54分母分母“ 抓大头抓大头”原式原式机动

9、 目录 上页 下页 返回 结束 一般有如下结果：一般有如下结果：为非负常数为非负常数 )nmba,0(00mn 当mmmxaxaxa110limnnnbxbxb110,00ba,0,机动 目录 上页 下页 返回 结束 mn 当mn 当三、三、 复合函数的极限运算法则复合函数的极限运算法则定理定理7. 设设,)(lim0axxx且且 x 满足满足100 xx时时,)(ax 又又,)(limAufau则有则有 )(lim0 xfxxAufau)(lim证证: Aufau)(lim,0,0当当au0时时, 有有 Auf)(axxx)(lim0,0,02当当200 xx时时, 有有ax)(对上述对上述

10、取取,min21则当则当00 xx时时ax )(au 故故0Axf)(Auf)(,因此因此式成立式成立.机动 目录 上页 下页 返回 结束 定理定理7. 设设,)(lim0axxx且且 x 满足满足100 xx时时,)(ax 又又,)(limAufau则有则有 )(lim0 xfxxAufau)(lim 说明说明: 若定理中若定理中,)(lim0 xxx则类似可得则类似可得 )(lim0 xfxxAufu)(lim机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例7. 求求解解: 令令.93lim23xxx932xxu已知已知ux3lim61 原式原式 =uu61lim6166机动 目录 上页 下页 返

11、回 结束 例例8 . 求求解解: 方法方法 1.11lim1xxx,xu 则则, 1lim1ux令11112uuxx1 u 原式原式) 1(lim1uu2方法方法 211lim1xxx1) 1)(1(lim1xxxx) 1(lim1xx2机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例9 . 求求.sinsin2coslim222/xxxlx解解: 作代换作代换,sin xt 当当时2x,1t于是于是22121limtttlt)2)(1() 1)(1(lim1ttttt21lim1ttt32内容小结内容小结1. 极限运算法则极限运算法则(1) 无穷小运算法则无穷小运算法则(2) 极限四则运算法则极限四

12、则运算法则(3) 复合函数极限运算法则复合函数极限运算法则注意使用条件注意使用条件2. 求函数极限的方法求函数极限的方法(1) 分式函数极限求法分式函数极限求法0) 1xx 时时, 用代入法用代入法( 分母不为分母不为 0 )0)2xx 时时, 对对00型型 , 约去公因子约去公因子x)3时时 , 分子分母同除最高次幂分子分母同除最高次幂(2) 复合函数极限求法复合函数极限求法设中间变量设中间变量Th1Th2Th3Th4Th5Th7机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考及练习思考及练习1.,)(lim,)(lim不存在存在若xgxf)()(limxgxf是否存在是否存在 ? 为什么为什么 ?

13、答答: 不存在不存在 . 否则由否则由)()()()(xfxgxfxg利用极限四则运算法则可知利用极限四则运算法则可知)(limxg存在存在 , 与已知条件与已知条件矛盾矛盾.?321lim2222nnnnnn解解: 原式22) 1(limnnnn)11(21limnn212.问问机动 目录 上页 下页 返回 结束 3. 求求. )1(lim2xxxx解法解法 1 原式原式 =xxxx1lim21111lim2xx21解法解法 2 令令,1xt tttt1111lim2021则则原式原式 =22011limttt111lim20tt 0t机动 目录 上页 下页 返回 结束 4. 试确定常数试确定常数 a .0)1(lim33xaxx解解 : 令令,1xt 则则tatt33011lim001atatt3301lim01lim