概率论极限定理

1、平德一一.定义定义: a.X a,X 1,X Plim 0, , a ,r.v.) 2, 1,(nX 1.Pnnnnn 记记作作依依概概率率收收敛敛于于则则称称序序列列有有若若对对于于数数是是一一个个常常序序列列是是设设 a性质性质: b). g(a,)Y ,g(X ,b) (a, y) g(x, b,Y a,X PnnPnPn则则连连续续点点在在又又设设函函数数设设1. 1. 大数定律大数定律 平德).(1|11|lim ,0,11 , .211n11或或大大数数法法则则服服从从大大数数定定律律则则称称序序列列恒恒有有即即对对任任意意的的若若设设是是随随机机变变量量序序列列定定义义nniin

2、iiniiPniinXEXnXnPEXnXnX 平德 切比雪夫大数定律切比雪夫大数定律：设随机变量设随机变量 X1, X2, , Xn, ,相互独立或两两不相关相互独立或两两不相关, 期望与方差都存在期望与方差都存在, 并且方差有公共的上界并且方差有公共的上界.则序列则序列Xn服从大数定律服从大数定律 切比雪夫大数定律的特殊情况：切比雪夫大数定律的特殊情况：设设r.v.X1, X2, , Xn, 相互独立相互独立, 且具有相同的数学期且具有相同的数学期望和方差望和方差:,i ,DXEXii212 则序列则序列Xn服从大数定律服从大数定律二二. . 大数定律大数定律 平德.pnn , 0 pnn

3、 Plim 1 pnn Plim 0,PAAnAn 即即或或有有对对于于设设nA是是n次独立重复试验中次独立重复试验中A发生的次数发生的次数, p是事件是事件A在每次试验中发生的概率在每次试验中发生的概率, 则则2. 2. 伯努利定理伯努利定理: :平德3. 辛钦定理辛钦定理: : 设设 r.v. X1, X2, , Xn, 相互独立相互独立, 服从同一分布服从同一分布, 且具且具数学期望数学期望 1. Xn1 Plim 0, ), 2, , 1k( ,)X(En1kknk 有有则对则对平德 PniinXnn,X,X,X.v .r122112时时，则则指指数数分分布布，且且相相互互独独立立的的

4、均均服服从从参参数数为为设设例例（03年）年）平德服服从从中中心心极极限限定定理理。则则称称即即：标标准准正正态态分分布布函函数数的的分分布布函函数数序序列列收收敛敛于于若若令令都都存存在在，与与定定义义：设设XexYPlimY,n,DXEXXY,iDXEX,X,X,X.v . rntxnnnniiniiniiniin2111212212121 2. 中心极限定理中心极限定理 平德服服从从中中心心极极限限定定理理。则则随随机机变变量量序序列列数数学学期期望望和和方方差差都都存存在在同同一一分分布布相相互互独独立立且且服服从从设设随随机机变变量量理理独独立立同同分分布布的的中中心心极极定定),.

5、(,. 121nnXdiiXXX平德11111111 niiniiniiniiniiniiniiniiDXEXbDXEXXDXEXaPbXaP)()(1111 niiniiniiniiDXEXaDXEXb平德2. 2. 德莫佛德莫佛-拉普拉斯定理拉普拉斯定理: : dt.e21x)p1(npnpPlim x, p), n,(b) 2, , 1n(.v . r 2t-x-nnn2 恒恒有有对对于于服服从从参参数数为为设设平德1npqnpbnpqnpXnpqnpaPbaPniin )()(npqnpanpqnpb 平德3. 李雅普诺夫定理李雅普诺夫定理: 则则随随机机变变量量时时使使得得当当若若存

6、存在在记记差差具具有有数数学学期期望望和和方方相相互互独独立立设设随随机机变变量量 , 0-X EB1 ,n 0, ,B 2, 1,k, 0)X(D,)X(E: ,) 2, 1,(nXn1k2kk2nn1k2k2n2kkkkn .dt2te21 xBXPlim )x(Flim x)x(FB)X)X(D)X(EXZx2nn1kkn1kknnnnnn1kkn1kkn1kkn1kkn1kkn 满满足足任任意意的的对对的的分分布布函函数数平德例：对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一例：对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，设一个学生无家长、个随机变量，设一个学生无家长、1名家

7、长、名家长、2名家长来名家长来参加会议的概率分别为参加会议的概率分别为0.05， 0.8，0.15。若学校共有。若学校共有400名学生，设各学生参加会议的家长数相互独立，且服从名学生，设各学生参加会议的家长数相互独立，且服从同一分布。求：同一分布。求：(1)参加会议的家长数超过参加会议的家长数超过450的概率；的概率；(2)有一名家长来参加会议的学生人数不多于有一名家长来参加会议的学生人数不多于340的概率。的概率。平德例例1. 设考研辅导班听课的学生人数设考研辅导班听课的学生人数X是服从参数为是服从参数为200的的泊松随机变量，负责这门课的教授决定，如果报名人数泊松随机变量，负责这门课的教授

8、决定，如果报名人数不少于不少于200人，就分成两个班授课，否则在一个班授课。人，就分成两个班授课，否则在一个班授课。试求该教授分两个班授课的概率。试求该教授分两个班授课的概率。平德例例2. 在一家保险公司里有在一家保险公司里有10000人参加保险人参加保险, 每人每年付每人每年付12元保费元保费, 在一年内一个人死亡的概率为在一年内一个人死亡的概率为0.006, 死亡者其死亡者其家属可向保险公司领得家属可向保险公司领得1000元赔偿费元赔偿费. 求：求：(1) 保险公司没有利润的概率为多大？保险公司没有利润的概率为多大？(2) 保险公司一年的利润不少于保险公司一年的利润不少于60000元的概率

9、为多大？元的概率为多大？例例3. 设某车间有设某车间有200台车床台车床, 每台车床开工率为每台车床开工率为0.6, 假定假定每台车床开工与否相互独立每台车床开工与否相互独立. 若每台车床开工时耗若每台车床开工时耗电电1kw, 问要以问要以99.9%以的概率保证这个车间不致因供电不以的概率保证这个车间不致因供电不足而影响生产，需供应多少电足而影响生产，需供应多少电量量？平德练习练习:1. 抽样检查产品质量时，如果发现次品多于抽样检查产品质量时，如果发现次品多于10个，则认为个，则认为这批产品不能接受，问应检查多少个产品，可使次品率为这批产品不能接受，问应检查多少个产品，可使次品率为10%的一批产品不能被接受的概率达到的一批产品不能被接受的概率达到0.9? ()2. 一个复杂的系统，由一个复杂的系统，由n个相互独立起作用的部件组成，个相互独立起作用的部件组成，每个部件的可靠度为每个部件的可靠度为0.9，且必须至少有，且必须至少有80%的部件工作的部件工作才能使整个系统工作，问才能使整个系统工作，问n至少为多少才能使系统的可靠至少为多少才能使系统的可靠度为度为0.95? 3. 设