弹性力学有限元第五章 变分法解平面问题

1、河海大学河海大学 机电工程学院机电工程学院 力学教研室力学教研室第五章第五章 变分法解平面问题变分法解平面问题第五章变分法解平面问题第五章变分法解平面问题第五章第五章 变分法解平面问题变分法解平面问题5-1 变分法简介变分法简介函数的变分函数的变分函数 y的微分： xyy xxyydd假想函数 y(x)的形式发生改变成为新函数Y(x), 如果对应于x的一个定值，y具有微小的增量： xyxYy则称 y为函数 y(x)的变分变分,如图所示。假定AB 表示某梁的一段挠曲线，而y是梁截面的真实位移，则CD可表示该梁发生虚位移以后的挠曲线，而虚位移 y就是真实位移y(x)的变分。第五章第五章 变分法解平

2、面问题变分法解平面问题5-1 变分法简介变分法简介函数的变分函数的变分函数 y的导数 y的变分：函数 y的变分的导数： xyxYy导数的变分等于变分的导数导数的变分等于变分的导数因此总有关系式 xyxYxyxYy)( )(yy)(ddddyxxy第五章第五章 变分法解平面问题变分法解平面问题5-1 变分法简介变分法简介泛函及其变分泛函及其变分如果对于某一类函数 y(x)中的每一个函数y(x)，变量I 有一个值和它对应，则变量I称为依赖于函数y(x)的泛函，泛函，简单的说，泛函就是函数的函数函数的函数。例如：曲线AB的长度可写为：长度L是依赖于函数 y(x)的泛函。 baxxyLd12一般情况下

3、，泛函具有如下的形式： baxyyxfxyId,其中被积函数：yyxf,也是 y(x)的泛函。第五章第五章 变分法解平面问题变分法解平面问题5-1 变分法简介变分法简介泛函及其变分泛函及其变分泛函 f 的变分表示为：yOyOyyfyyfyyxfyyyyxf,高阶项泛函 f 的变分yyfyyff当函数y(x)具有变分 y，导数具有变分 y。对泛函 进行泰勒级数展开，并求其增量：yyxf,第五章第五章 变分法解平面问题变分法解平面问题5-1 变分法简介变分法简介泛函及其变分泛函及其变分考察泛函 baxyyxfxyId,babaxyyxfxyyyyxfd,d,baxyyxfyyyyxfd,baxyO

4、yOfd增量的主要部分定义为泛函的变分，则baxfId代入 f，则baxyyfyyfId显然，存在关系式：xfxfbabadd只要积分的上下限不变，变分的运算和定积分运算可以交换次序只要积分的上下限不变，变分的运算和定积分运算可以交换次序第五章第五章 变分法解平面问题变分法解平面问题5-1 变分法简介变分法简介泛函的极值问题泛函的极值问题变分问题变分问题函数 y(x)在 x =x0取极值的条件是 00 xxxy0d y对于泛函I y(x)，如果在 y =y0(x)的邻近任意一根曲线上的值都不大于或都不小于I y0(x)，也就是： 000orxyIxyII则称泛函I y(x) 在曲线y =y0(

5、x) 上达到极大值或极小值：泛函达到极值的必要条件是：0I曲线y =y0(x) 称为泛函I y(x) 的极值曲线。第五章第五章 变分法解平面问题变分法解平面问题5-1 变分法简介变分法简介泛函的极值问题泛函的极值问题变分问题变分问题设图中 y = y(x)所示曲线通过A,B两点， y(x)具有边界条件： nbymay由泛函 I 的极值条件求出函数y(x)，其中解：首先导出 I的具体形式xyyxfIbad,考虑其第二部分，baxyyfyyfIdbabaxyxyfxyyfdddd对其进行分部积分第五章第五章 变分法解平面问题变分法解平面问题5-1 变分法简介变分法简介泛函的极值问题泛函的极值问题变

6、分问题变分问题bababaxyfxyyyfxyxyfdddddd代入式按照边界条件，x =a,x=b, y不变，因此:0,bxaxy则有：babaxyfxyxyxyfddddddbaxyyfyyfId得到：babaxyfxyfyxyfxyyyfIdddddd第五章第五章 变分法解平面问题变分法解平面问题5-1 变分法简介变分法简介泛函的极值问题泛函的极值问题变分问题变分问题根据 y的任意性,由 I =0 得出极值条件：0ddyfxyf由此得出函数 y(x)的微分方程，该微分方程的解答给出函数 y(x) 的表达式。第五章第五章 变分法解平面问题变分法解平面问题5-1 变分法简介变分法简介泛函的极

7、值问题泛函的极值问题变分问题变分问题例：求图中AB曲线为最短时的函数 y(x)0ddyfxyf解： baxxyLId12 21xyf由极值条件 ： 01dd02yyx Cyy21解此方程，1Cy 因此函数： 21CxCxyy直线。第五章第五章 变分法解平面问题变分法解平面问题5-2 弹性体的形变势能弹性体的形变势能按照材料力学知识，弹性体只在某一方向上具有均匀的正应力sx和相应的正应变ex，其变形能密度(比能)为: 2/xxes弹性体只在某两个正交方向受有均匀的切应力txy和相应的切应变gxy，则其比能为：如果弹性体受到全部六个应力分量, sx, sy, sz, tyz, tzx, txy2/

8、xyxygt弹性体的全部比能为：xyxyzxzxyzyzzzyyxxUgtgtgteseses211平面问题考虑到tyz, tzx为0，平面应力问题有sz =0 ，平面应变问题有ez =0，则必能简化为：xyxyyyxxUgteses211第五章第五章 变分法解平面问题变分法解平面问题5-2 弹性体的形变势能弹性体的形变势能取z方向为单位长度，考虑到应力应变是坐标的函数，则形变势能为比能在弹性体内的积分：yxzyxUUxyxyyyxxdd21ddd1gteses引入物理方程(平面应力)：xyxyxyyyxxEEEgteesees121122代入比能U1的表达式，得：2222121212xyyx

9、yxEUgeeee对ex, ey, gxy求导：xyxyyyxxUUUtgsese111第五章第五章 变分法解平面问题变分法解平面问题5-2 弹性体的形变势能弹性体的形变势能弹性体每单位体积中的形变势能对于任一形变分量的改变率等于弹性体每单位体积中的形变势能对于任一形变分量的改变率等于相应的应力分量：相应的应力分量：xyxyyyxxUUUtgsese111考虑几何方程，则比能可用位移分量来表示。2222121212xvyuyvxuyvxuEU积分可得形变势能。平面应变问题作弹性常数的替换。第五章第五章 变分法解平面问题变分法解平面问题5-3 位移变分方程位移变分方程设有平面问题中的任一单位厚度

10、的弹性体，在外力作用下平衡。u,v为其实际位移分量，假设这些位移分量发生了位移变分(虚位移) u, v，成为：vvvuuu考察其能量方面的变化。假设弹性体在虚位移过程中没有热能或动能的改变，则形变势能形变势能的增加等于外力势能的减少，即外力所做的功，就是所谓的虚功的增加等于外力势能的减少，即外力所做的功，就是所谓的虚功。外力包括体力和面力。形变势能的变分写为：vsfusfvyxfuyxfUyxyxddddddsvfufyxvfufyxyxddd位移变分方程(拉格朗日变分方程)第五章第五章 变分法解平面问题变分法解平面问题5-3 位移变分方程位移变分方程由于虚位移微小，因此在虚位移过程中，外力大

11、小方向可认为保持不变，仅作用点发生改变，则由位移变分方程：svfufyxvfufUyxyxddd0dddsvfufyxvfufUyxyx0dddsvfufyxvfufUyxyx用V表示外力的势能(以u,v=0的自然状态下的势能为0)，它等于外力在实际位移上所做的功冠以负号，则：svfufyxvfufVyxyxddd代入上式，即得 0VU第五章第五章 变分法解平面问题变分法解平面问题5-3 位移变分方程位移变分方程U+V是形变势能和外力势能的总和，可以看出，在给定的外力作用下，实际存在的位移应使总势能的变分成为零。最小势能原理最小势能原理0VU 在给定的外力作用下，在满足位移边界条件的所有各组位

12、移中间，实际存在的一组应使总势能成为极值。第五章第五章 变分法解平面问题变分法解平面问题5-3 位移变分方程位移变分方程应用位移变分方程可导出虚功方程。yxUUdd1yxxyxyyyxxddgtesesyxUUUxyxyyyxxdd111ggeeee虚功方程：方程右边各项称为应力在虚应变上的虚功。如果在虚位移发生之前，弹性体是出于平衡状态，那么在虚位移过如果在虚位移发生之前，弹性体是出于平衡状态，那么在虚位移过程中，外力在虚位移上所做的虚功等于应力在虚应变上所做的虚功。程中，外力在虚位移上所做的虚功等于应力在虚应变上所做的虚功。svfufyxvfufyxyxdddyxUUUsvfufyxvfu

13、fxyxyyyxxyxyxddddd111ggeeee第五章第五章 变分法解平面问题变分法解平面问题5-3 位移变分方程位移变分方程位移变分方程，极小势能原理表达式和虚功方程在本质上是一样的，它们都是弹性体从实际平衡状态发生虚位移时，能量守恒原理的具体应用。实际存在的位移，除了满足位移边界条件以外，还应当满足用位移表示的平衡微分方程和应力边界条件；或者说，实际存在的位移，除了满足位移边界条件以外，还应当满足位移变分方程。通过运算，还可以从位移变分方程中导出平衡微分方程和应力边界条件，于是可见，位移变分方程(极小势能原理，或虚功方程)，可以代替平衡微分方程和应力边界条件。第五章第五章 变分法解平

14、面问题变分法解平面问题5-4 位移变分法位移变分法位移变分方程，给弹性力学提供了一种近似解法：设定位移分量的表达式，使其满足位移边界条件，但其中包含若干个待定系数，然后利用位移变分方程决定这些系数。设位移分量的表达式：mmmmmmvBvvuAuu00,u0,v0为关于坐标的函数，且在边界上等于已知位移um,vm为关于坐标的函数，且在边界上等于0如此无论取何种系数，u,v总能满足位移边界条件Am, Bm为互不依赖的2m个系数；位移的变分只是由Am, Bm的变分来实现，而各个设定函数的值，只和坐标有关，与位移的变分无关。第五章第五章 变分法解平面问题变分法解平面问题5-4 位移变分法位移变分法位移

15、分量：mmmmmmvBvvuAuu00,变分：mmmmmmBvvAuu,形变势能的变分：mmmmmmmBBUAAUBAU,参考本章第一节代入位移变分方程经整理后得：mmmmymmxmmymmxmmmmmsBufAufyxBufAufBBUAAUddd移项，系数的变分合并：mmmymymmmmxmxmBsvfyxvfBUAsufyxufAU0dddddd第五章第五章 变分法解平面问题变分法解平面问题5-4 位移变分法位移变分法mmmymymmmmxmxmBsvfyxvfBUAsufyxufAU0dddddd变分Am, Bm是任意的，所以有： svfyxvfBUsufyxufAUmymymmxmx

16、mdddddd由形变势能的表达式和位移分量的表达式可知，上述方程是各系数的一次方程(U是系数Am,Bm的二次式)。系数互不依赖，可由次方程求得各系数，然后得到位移分量的表达式。该方法称为瑞次法瑞次法。求出位移后，通过几何方程求形变，再通过物理方程求应力。取不多的系数可以得到较为精确的位移，然而位移求导得到形变再得出的应力精度却不高，所以尽量取较多的系数。第五章第五章 变分法解平面问题变分法解平面问题5-5 位移变分法例题位移变分法例题 设有宽度a,高度 b的矩形薄板，如果所示在左边和下边有连杆支承，右边和上边分别收到均布压力q1,q2，不计入体力，求薄板的位移。例例1第五章第五章 变分法解平面

17、问题变分法解平面问题5-5 位移变分法例题位移变分法例题参照前一节，位移变量设定为：例例1解解yBxBByvyAxAAxu321321 不论上式中各系数取值如何，均能满足位移边界条件： 0000yxvu仅取A1,B1两个系数：yBvBvxAuAu1111111100ByvxvyuAxu2222121212xvyuyvxuyvxuEU代入：第五章第五章 变分法解平面问题变分法解平面问题5-5 位移变分法例题位移变分法例题例例1解解考虑：11212121212BABAEU不计体力，故fx, fy=01121212001121212212dd212BABAEabyxBABAEUab svfyxvfB

18、UsufyxufAUmymymmxmxmddddddsufxd1svfyd1第五章第五章 变分法解平面问题变分法解平面问题5-5 位移变分法例题位移变分法例题例例1解解薄板右边：ysaxuqfxdd11abqyaqsufbx1011dd薄板上边：xsbyvqfydd12abqxbqsvfay2021dd其余边界上，要么面力为零，要么位移为零，因此积分值均为0。abqsufAUmx11dabqsvfBUy211d第五章第五章 变分法解平面问题变分法解平面问题5-5 位移变分法例题位移变分法例题例例1解解abqABEabBU211212212abqBAEabAU1112122121121212212BABAEabU求解A1,B1EqqBEqqA121211得到位移分量：yEqqvxEqqu1221如果取A2,B2,.得进行与上相似的计算后，这些系数均为0 （同学们可计算验证）第五章第五章 变分法解平面问题变分法解平面问题5-5 位移变分法例题位移变分法例题 设有宽度2a,高度 b的矩形薄板，如图所示，其左边，右边和下边均固定，上边具有给定的位移：例例22210axvu 不计体力，求薄板的位移。第五章第五章 变分法解平面问题变分法解平面问题5-5 位移变分法例题位移变分法例题例例2解解bybyaxaxAu11221按照mmmmmmvBvvuAuu00,取 m = 1, 设位移分量