概率论与数理统计：7-3区间估计

1、概率论与数理统计第七章第七章 参参 数数 估估 计计 7.3 7.3 区间估计区间估计概率论与数理统计概率论与数理统计概率论与数理统计本书只讨论正态总体均值与方差的区间估计。本书只讨论正态总体均值与方差的区间估计。由由定理定理，),(2nNX 因此因此)1 , 0(/NnX ),(2 N 12 概率论与数理统计) , (22 znXznX 1P222znXPznXz 1 22znXznXP即即概率论与数理统计寻寻求求未未知知参参数数 的的置置信信区区间间的的主主要要步步骤骤： 概率论与数理统计 1 1)(t 1)-(t 22nnSXnnSXP) 1)(t ,1)(t (22 nnSXnnSX

2、由于由于2S是是2 无偏估计，而无偏估计，而 )1( ntnSX 由定义可知由定义可知， 的的置信度置信度为为 1的的置信区间为置信区间为 1)1()1( 22ntnSXntP所以所以2 概率论与数理统计506，508，499，503，504，510，497，512，514，505，493，496，506，502，509，496解：解：根据所给数据计算得根据所给数据计算得2022. 6,75.503 Sx 151 ,025.02 ,05.0 ,95.01 n 则则例例1 有一大批袋装糖果，现随机抽取有一大批袋装糖果，现随机抽取16袋，称得质量袋，称得质量（以克计）如下：（以克计）如下：概率论与

3、数理统计查表查表得得1315. 2)15(025. 0 t 于是于是均值均值 的的置信度为置信度为 0.95 的的置信区间为置信区间为 )1 .507,4 .500() 1)(t ,1)(t (22 nnSXnnSX 若以若以区间区间内内任任一一值值作为作为均值均值的的近似值近似值，其误差其误差不大于不大于 概率论与数理统计)1()1(222 nSn 1)1()1()1(P2222221nSnn即即得到得到： 1)1()1()1()1(22122222nSnnSnP2 1概率论与数理统计)1()1(,)1()1(2212222 nSnnSn 概率论与数理统计),(),(222211 NN222

4、1, 21 1概率论与数理统计)1 , 0(22212121NnnYX ）（所以所以于于是是21 的的置置信信度度为为 1的的置置信信区区间间为为 ) ,(22212122221212nnzYXnnzYX 概率论与数理统计) ,(22212122221212nSnSzYXnSnSzYX ,11)2(21212nnSnntYXW ) 11)2(21212nnSnntYXW 当当21,nn大于大于 50 时，时，21 的置信度为的置信度为 1的置信区间的置信区间为为 2221, 22221 概率论与数理统计)1, 1(2122222121 nnFSS 2)1()1( 21222211 nnSnSn

5、SW式中式中)1()1( 1221211 nSn )1()1( 2222222 nSn 由由且且2222221211)1(,)1( SnSn 相相互互独独立立，则则 2221 1概率论与数理统计)1, 1()1, 1(212222221212121 nnFSSnnFP 1)1, 1(1,)1, 1(1(212122212122221 nnFSSnnFSS 得得到到2221 的的置置信信度度为为 1的的置置信信区区间间为为 概率论与数理统计口速度口速度,Y表示表示型子弹枪口速度。设型子弹枪口速度。设X,Y满足正态分布，满足正态分布，例例3 今有今有，两种型号的子弹，以两种型号的子弹，以X表示表示

6、型子弹枪型子弹枪求求21 的的置置信信度度为为 0.95 的的置置信信区区间间 概率论与数理统计解解 ：由假设可知：由假设可知0484. 2)28(,05. 0,20,10025. 021 tnn 1.1688 2)1()1(21222211 nnSnSnSW概率论与数理统计（2）若）若2221 的置信区间包含的置信区间包含 1，则在实际应用中我们就，则在实际应用中我们就认为认为2221, 没有显著差别。没有显著差别。 概率论与数理统计正态总体参数的置信区间如下表：正态总体参数的置信区间如下表：一个置信区间置信区间 对应随对应随 机变量机变量 条条 件件待估待估参数参数总总体体个个数数 2 已

7、知已知 未未知知 1 , 0 NX 1 ntnSX 11222 nSn nzXnzX 22, nSntXnSntX1,122 11,112212222nSnnSn 概率论与数理统计总总体体个个数数待估待估参数参数条件条件对应随机变量对应随机变量 置信区间置信区间两两个个21 2221 已已知知21 2121, 未未知知但但 1 , 022212121NnnYX 211212121 nntnnSYXw 1, 12122212221 nnFSS 22212122212122,nnzYXnnzYX 21212121112,11222nnSnntYXnnSnntYXww 1,11,1,11211222

8、121222122 nnFSSnnFSS （续表）（续表）概率论与数理统计7.3.3 单侧置信区间单侧置信区间 1P 1P则称随机区间则称随机区间),( 为置信度为为置信度为 1的的单侧置信区间单侧置信区间（one-sided confidence interval）, 称为称为单侧置信下限单侧置信下限（one-sided confidence lower limit） 又又若若统计量统计量),(21nXXX 满足满足 概率论与数理统计 1 ntnSX 则称随机区间则称随机区间),( 为置信度为为置信度为 1的的单侧置信区间单侧置信区间（one-sided confidence interva

9、l）, 称为称为单侧置信上限单侧置信上限（one-sided confidence upper limit） 1)1(ntnSXP有有概率论与数理统计 ,1ntnSX 11ntnSXP即即于于是是得得到到 的的一一个个置置信信度度为为 1的的单单侧侧置置信信区区间间为为 11222 nSn 又由又由 1112122nSnP有有 1112122nSnP即即概率论与数理统计 110212nSn ， 例例4 从一批灯泡中随机地抽取从一批灯泡中随机地抽取5只做寿命测试，只做寿命测试，测测得数据（以小时计）为：得数据（以小时计）为： 1050 1100 1120 1250 1280设灯泡寿命服从正态分布

10、，求灯泡寿命平均值的置信设灯泡寿命服从正态分布，求灯泡寿命平均值的置信度为度为0.95的单侧置信下限。的单侧置信下限。概率论与数理统计解解: 10651 ntnsx 已已知知 95011601318. 2)4(1505. 095. 01205. 0 sxtntn 概率论与数理统计 查查（）个个游游客客？元元，问问至至少少需需要要随随机机调调绝绝对对误误差差小小于于的的的的置置信信度度，确确信信这这估估计计行行估估计计，为为了了能能不不小小于于进进客客的的平平均均消消费费额额元元，今今要要对对该该地地每每一一游游且且的的游游客客的的消消费费额额、假假定定一一个个到到某某地地旅旅游游50%9550

11、0,12 NX50.100.385.400.DCBA本节习题查看本题答案查看本题答案概率论与数理统计 。平均含汞量的置信区间平均含汞量的置信区间组织中组织中的置信度求这一批鱼的的置信度求这一批鱼的未知，以未知，以设设均含汞量的置信区间；均含汞量的置信区间；求这一批鱼的组织中平求这一批鱼的组织中平的置信度的置信度，以，以据以往历史资料知道据以往历史资料知道均含汞量的点估计值；均含汞量的点估计值；求这一批鱼的组织中平求这一批鱼的组织中平为：为：含汞量含汞量织的织的条进行检测，测得鱼组条进行检测，测得鱼组出出现从一批鱼中随机地抽现从一批鱼中随机地抽。的组织中含汞量的组织中含汞量、设鱼被汞污染后，鱼、

12、设鱼被汞污染后，鱼%953%9510. 02195. 198. 116. 212. 293. 106. 26,22 ppmNX查看本题答案查看本题答案概率论与数理统计的置信区间。的置信区间。的的态分布，求总体均值态分布，求总体均值被测总体近似地服从正被测总体近似地服从正，并设，并设样本标准差样本标准差定值的平均值定值的平均值个独立测个独立测醛的浓度，取样得醛的浓度，取样得、为确定某种溶液中甲、为确定某种溶液中甲%95%03. 0%,34. 843 sx 的置信区间。的置信区间。的的求求并且两样本相互独立，并且两样本相互独立，样本均值样本均值的样本，其的样本，其得到容量为得到容量为自总体自总体均

13、值均值的样本，其样本的样本，其样本得到一容量为得到一容量为、设自总体、设自总体%90, 0 .241236,; 8 .191025,42121 yNxN查看本题答案查看本题答案查看本题答案查看本题答案概率论与数理统计 置信区间。置信区间。的的。求两总体方差比。求两总体方差比，依次为依次为本方差本方差的两独立样本，测得样的两独立样本，测得样和和依次取容量为依次取容量为的参数都未知的参数都未知，、，、两正态总体、两正态总体%9015. 538. 61525,62221222211 NN查看本题答案查看本题答案查看本题答案查看本题答案的置信区间。的置信区间。的的总体均值差总体均值差求两求两程知它们的

14、方差相等。程知它们的方差相等。正态的，并且由生产过正态的，并且由生产过（小时）。设总体都是（小时）。设总体都是小时，标准差小时，标准差只，测得其平均寿命只，测得其平均寿命型灯泡型灯泡小时；随机抽取小时；随机抽取，标准差，标准差小时小时只，测得其平均寿命只，测得其平均寿命灯泡灯泡型型随机抽取随机抽取两种型号灯泡的寿命，两种型号灯泡的寿命，、为比较、为比较%9932980728)(100055BABASyBSxABA 概率论与数理统计 的的置置信信区区间间。的的置置信信度度为为未未知知。求求若若，小小时时）若若由由以以往往经经验验知知（，态态分分布布设设干干燥燥时时间间总总体体服服从从正正别别为为

15、分分以以小小时时计计个个样样品品，其其干干燥燥时时间间、设设某某种种清清漆漆的的95. 0)2()(6 . 010 . 51 . 66 . 53 . 60 . 75 . 68 . 57 . 50 . 6:)(972 N的置信区间。的置信区间。的置信度为的置信度为准差准差种炮弹的炮口速度的标种炮弹的炮口速度的标布，求这布，求这设炮口速度服从正态分设炮口速度服从正态分本标准差本标准差度的样度的样发做试验，测得炮口速发做试验，测得炮口速、随机地取某种炮弹、随机地取某种炮弹95. 0),/(1198 smS 查看本题答案查看本题答案查看本题答案查看本题答案概率论与数理统计本节习题解答 16.38496. 15095. 050,95. 0501025. 0 nznnnXPXPnB 由由，客人数为客人数为至少需要随机调查的游至少需要随机调查的游、选、选返回第返回第1题题概率论与数理统计 13. 2 ,93. 1311. 2 ,95. 12.03. 2,122ppmxN 有有法还是