《医药数理统计方法》练习册学习指导

1、第一章 数据的描述和整理一、学习目的和要求1. 掌握数据的类型及特性；2. 掌握定性和定量数据的整理步骤、显示方法；3. 掌握描述数据分布的集中趋势、离散程度和分布形状的常用统计量；4. 能理解并熟练掌握样本均值、样本方差的计算；5. 了解统计图形和统计表的表示及意义；6. 了解用excel软件进行统计作图、频数分布表与直方图生成、统计量的计算。二、 内容提要（一） 数据的分类数据类型定性数据（品质数据）定量数据定类数据（计数数据）定序数据（等级数据）数值数据（计量数据）表现形式类别（无序）类别（有序）数值(×÷)对应变量定类变量定序变量数值变量（离散变量、连续变量）主要统

2、计方法计算各组频数，进行列联表分析、c2检验等非参数方法计算各种统计量，进行参数估计和检验、回归分析、方差分析等参数方法常用统计图形条形图，圆形图（饼图）直方图，折线图，散点图，茎叶图，箱形图（二） 常用统计量1、描述集中趋势的统计量名 称公 式（原始数据）公 式（分组数据）意 义均值反映数据取值的平均水平，是描述数据分布集中趋势的最主要测度值, 中位数me中位数所在组：累积频数超过n/2的那个最低组是典型的位置平均数，不受极端值的影响众数mo数据中出现次数最多的观察值众数所在组:频数最大的组测度定性数据集中趋势，对于定量数据意义不大2、描述离散程度的统计量名 称公 式（原始数据）公 式（分组

3、数据）意 义极差rr = 最大值-最小值r最高组上限值最低组下限值反映离散程度的最简单测度值，不能反映中间数据的离散性总体方差s2反映每个总体数据偏离其总体均值的平均程度，是离散程度的最重要测度值, 其中标准差具有与观察值数据相同的量纲总体标准差s样本方差s2反映每个样本数据偏离其样本均值的平均程度，是离散程度的最重要测度值, 其中标准差具有与观察值数据相同的量纲样本标准差s变异系数cvcv=反映数据偏离其均值的相对偏差，是无量纲的相对变异性测度样本标准误反映样本均值偏离总体均值的平均程度，在用样本均值估计总体均值时测度偏差3、描述分布形状的统计量名 称公 式（原始数据）公 式（分组数据）意

4、义偏度sk反映数据分布的非对称性sk=0时为对称；sk >0时为正偏或右偏；sk <0时为负偏或左偏峰度ku（原始数据）（分组数据）反映数据分布的平峰或尖峰程度ku=0时为标准正态；ku0时为尖峰分布；ku0时为扁平分布* 在分组数据公式中，mi， fi分别为各组的组中值和观察值出现的频数。三、综合例题解析例1证明：各数据观察值与其均值之差的平方和（称为离差平方和）最小，即对任意常数c，有证一：设 由函数极值的求法，对上式求导数，得令 f ¢(c)=0，得唯一驻点由于，故当时f (c)y有最小值，其最小值为。证二：因为对任意常数c有故有 。四、习题一解答1在某药合成过程中

5、，测得的转化率（%）如下：94.3 92.8 92.7 92.6 93.3 92.9 91.8 92.4 93.4 92.692.2 93.0 92.9 92.2 92.4 92.2 92.8 92.4 93.9 92.093.5 93.6 93.0 93.0 93.4 94.2 92.8 93.2 92.2 91.892.5 93.6 93.9 92.4 91.8 93.8 93.6 92.1 92.0 90.8（1）取组距为0.5，最低组下限为90.5，试作出频数分布表；（2）作频数直方图和频率折线图；（3）根据频数分布表的分组数据，计算样本均值和样本标准差。解：（1）所求频数分布表：转化

6、率的频数分布表转化率分组频数频率累积频率90.510.0250.02591.000.000.02591.530.0750.1092.0110.2750.37592.590.2250.6093.070.1750.77593.570.1750.9594.094.520.051.00（2）频数直方图：频率折线图：（3）由频数分布表可得转化率分组组中值mi频数90.590.75191.091.25091.591.75392.092.251192.592.75993.093.25793.593.75794.094.594.252则 =(90.7592.825)2×1+(91.2592.825)

7、2×0+(94.2592.825)2×2=0.584或者 =0.76422测得10名接触某种病毒的工人的白细胞（109/l）如下：7.1，6.5，7.4，6.35，6.8，7.25，6.6，7.8，6.0，5.95（1）计算其样本均值、方差、标准差、标准误和变异系数。（2）求出该组数据对应的标准化值；（3）计算其偏度。解：（1），n=10462.35样本均值方差标准差=0.609标准误变异系数cv=8.99%；（2）对应的标准化值公式为对应的标准化值为0.534,-0.452,1.026,-0.698,0.041,0.78,-0.287,1.683,-1.273,-1.35

8、5；（3）=0.204。3. 已知某年某城市居民家庭月人均支出分组数据如下表所示按月人均支出分组（元）家庭户数占总户数的比例（%）200以下2005008001000以上1.518.246.825.38.2合计100试计算（1）该市平均每户月人均支出的均值和标准差；（2）并指出其月人均支出的中位数与众数所在组。解：（1）由原分组数据表可得支出分组（元）组中值比例（%）200以下2005008001000以上10035065090011001.518.246.825.38.2则 ； （2）由原分组数据表可得支出分组（元）比例（%）累积比例（%）200以下2005008001000以上1.518.

9、246.825.38.21.519.766.591.8100中位数所在组，即累积比例超过50的那个最低组，即为500组。众数所在组是频数即比例最大的组，也是500组。4设x1, x2, ，xn和y1, y2, ，yn为两组样本观察值，它们有下列关系： i=1,2,n其中a、b为常数且b0，求样本均值与及样本方差和之间的关系。解：。五、思考与练习（一）填充题1 统计数据可以分为 数据、 数据、 数据、据等三类，其中 数据、 数据属于定性数据。2 常用于表示定性数据整理结果的统计图有 、 ；而 、 、 、 等是专用于表示定量数据的特征和规律的统计图。3. 用于数据整理和统计分析的常用统计软件有 等

10、。4. 描述数据集中趋势的常用测度值主要有 、 、 和 等，其中最重要的是 ；描述数据离散程度的常用测度值主要有 、 、 、 等，其中最重要的是 、 。（二）选择题1. 各样本观察值均加同一常数c后( )a样本均值不变，样本标准差改变 b样本均值改变，样本标准差不变c两者均不变 d. 两者均改变2关于样本标准差，以下哪项是错误的（ ）。a反映样本观察值的离散程度 b度量了数据偏离样本均值的大小c反映了均值代表性的好坏 d不会小于样本均值3比较腰围和体重两组数据变异度大小宜采用（ ）a变异系数（cv） b方差（s2） c极差（r） d标准差（s）（三）计算题1. 在某次实验中，用洋地黄溶液分别注

11、入10只家鸽内，直至动物死亡。将致死量折算至原来洋地黄叶粉的重量。其数据记录为（单位：mg/kg）97.3，91.3，102，129，92.8，98.4，96.3，99.0，89.2，90.1试计算该组数据的样本均值、方差、标准差、标准误和变异系数。六、思考与练习参考答案（一）填充题1. 定类，定序，数值，定类，定序2. 条形图、圆形图；直方图、频数折线图、茎叶图、箱形图3. sas、spss、excel4. 均值、众数、中位数，均值，极差、方差、标准差、变异系数，方差、标准差（二）选择题1. b； 2.d；3.a（三）计算题1均值98.54、方差132.27、标准差11.501、标准误3.6

12、37、变异系数11.67%。第二章 随机事件与概率一、学习目的和要求1. 掌握事件等的基本概念及运算关系；2. 熟练掌握古典概率及计算；3. 理解统计概率、主观概率和概率的公理化定义；4. 熟练掌握概率的加法公式、乘法公式及计算；5. 理解并掌握条件概率与事件独立性的概念并进行计算；6. 掌握并应用全概率公式和贝叶斯公式进行计算。二、内容提要（一）基本概念概 念符 号概率论的定义集合论的含义随机试验（试验）e具有以下特征的观测或试验：1试验在相同的条件下可重复地进行2试验的所有结果事先已知，且不止一个3每次试验恰好出现其中之一，但试验前无法预知到底出现哪一个结果。样本空间w试验所有可能结果组成

13、的集合，即所有基本事件的全体全集基本事件（样本点）w试验的每个不可再分的可能结果，即样本空间的元素元素随机事件（事件）a试验中可能发生也可能不发生的结果，是由基本事件组成的样本空间的子集子集必然事件w在试验中一定发生的事件全集不可能事件Æ在试验中一定不发生的事件，不含任何基本事件空集（二）事件间的关系关 系符 号概率论的定义集合论的含义包含ab事件a的发生必然导致事件b的发生a是b的子集相等a=bab而且baa与b相等和(并) a+b(ab)事件a与b中至少有一个事件发生a与b的并积(交)ab(ab)事件a与b同时发生a与b的交差ab事件a发生同时b不发生a与b的差互不相容ab=&#

14、198;事件a与b不可能同时发生a与b不相交对立事件a不发生a的补集(余集)（三）事件的运算规律运算律公 式交换律a+b=b+a，ab=ba结合律(a+b)+c=a+(b+c)，(ab)c=a(bc)分配律(a+b)c=ac+bc，a+(bc)=(a+b)(a+c)差积转换律对立律a=Æ，a+=德·摩根对偶律，（四）概率的定义类 型定 义 公 式古典概率p(a)=统计概率p(a) = p ()公理化定义(基本性质)对样本空间中任意事件a对应的一个实数p(a)，满足公理1（非负性）：0p(a)1公理2（规范性）：p(w)1， p(Æ)0公理3（可加性）：若a1,a2

15、, ,an, 两两互不相容，p(a1+a2+an+)= p(a1)+ p(a2)+ + p(an)+ 则称p(a)为随机事件a的概率。（五）概率的计算公式名 称计算公式加法公式p(a+b)=p(a)+p(b)p(ab)若a、b互不相容（ab=Æ）：p(a+b)=p(a)+p(b)对立事件公式p(a)=1p()；p() =1p(a)事件之差公式p(ab)= p(a)p(ab)若bÌa, p(ab)= p(a)p(b)条件概率公式, (p(a)>0)乘法公式若p(a)>0, p(ab)=p(a)p(b|a) 若p(b)>0, p(ab)=p(b)p(a|b)当

16、p(a1a2an-1)>0时，有p(a1a2an)=p(a1)p(a2|a1)p(a3|a1a2) p(an|a1a2an-1)独立事件公式a、b相互独立：p(ab)=p(a)p(b)a1, a2, , an相互独立：p(a1a2an)= p(a1)p(a2)p(an)全概率公式若a1, a2, , an为完备事件组*，对事件b逆概率公式（贝叶斯公式）若a1, a2, , an为完备事件组*，p(b)>0*完备事件组a1, a2, , an1. a1, a2, , an互不相容且p(ai)>0(i=1, 2, , n)；2. a1+a2+an= w三、综合例题解析例1 从某鱼

17、池中取100条鱼，做上记号后再放入该鱼池中。现从该池中任意捉来50条鱼，发现其中有两条有记号，问池内大约有多少条鱼？解：设池内大约有n条鱼，令a=从池中捉到有记号鱼则从池中捉到有记号鱼的概率p(a)=由统计概率的定义知，它近似于捉到有记号鱼的频率fn (a) =，即解之得n=2500，故池内大约有2500条鱼。 例2 口袋里有两个伍分、三个贰分和五个壹分的硬币，从中任取五个，求总值超过一角的概率。解一：令a=总值超过一角，现将从10个硬币中任取5个的每种取法作为每个基本事件，显然本例属于古典概型问题，可利用组合数来解决。所取5个硬币总值超过一角的情形，其币值由大到小可根据其中有2个伍分、有1个

18、伍分和没有伍分来考虑。则=0.5。解二：本例也可以先计算其对立事件=总值不超过一角考察5个硬币总值不超过一角的情形，其币值由小到大先根据壹分硬币、贰分硬币的不同个数来计算其有利情形的组合数。则=0.5或 =0.5例3 将n个人等可能地分配到n（nn）间房中去，试求下列事件的概率：（1）a=某指定的n间房中各有一人；（2）b=恰有n间房，其中各有一人；（3）c=某指定的房中恰有m（mn）个人。解：把n个人等可能地分配到n间房中去，由于并没有限定每一间房中的人数，故是一可重复的排列问题，这样的分法共有nn种。（1）对事件a，对指定的n间房，第一个人可分配到该n间房的任一间，有n种分法；第二个人可分

19、配到余下的n1间房中的任一间，有n1种分法，以此类推，得到a共含有n!个基本事件，故（2）对事件b，因为n间房没有指定，所以可先在n间房中任意选出n间房（共有种选法），然后对于选出的某n间房，按照上面的分析，可知b共含有·n！个基本事件，从而（3）对于事件c，由于m个人可从n个人中任意选出，故有种选法，而其余nm个人可任意地分配到其余的n1间房中，共有(n1)n-m种分配法，故c中共含有·(n1)n-m个基本事件，因此注意：可归入上述“分房问题”来处理的古典概型的实际问题非常多，例如：（1）生日问题：n个人的生日的可能情形，这时n=365天（n365）；（2）乘客下车问题：

20、一客车上有n名乘客，它在n个站上都停，乘客下车的各种可能情形；（3）印刷错误问题：n个印刷错误在一本有n页的书中的一切可能的分布（n不超过每一页的字符数）；（4）放球问题：将n个球放入n个盒子的可能情形。值得注意的是，在处理这类问题时，要分清什么是“人”，什么是“房”，一般不能颠倒。例4（1994年考研题）设a，b为两事件，且p(a)=p，p(ab)=，求p(b)。解：由于现因为p(ab)=，则又p(a)=p，故。 注意：事件运算的德·摩根律及对立事件公式的恰当应用。例5 设某地区位于河流甲、乙的交汇处，而任一何流泛滥时，该地区即被淹没。已知某时期河流甲、乙泛滥的概率分别为0.2和0

21、.3，又当河流甲泛滥时，“引起”河流乙泛滥的概率为0.4，求（1）当河流乙泛滥时，“引起”河流甲泛滥的概率；（2）该时期内该地区被淹没的概率。解：令a=河流甲泛滥，b=河流乙泛滥由题意知 p(a)=0.2，p(b)=0.3，p(b|a)=0.4再由乘法公式 p(ab)=p(a)p(b|a)=0.2×0.4=0.08，则（1）所求概率为 （2）所求概率为p(a+b)=p(a)+p(b)p(ab) =0.2+0.30.08=0.42。例6 设两个相互独立的事件a和b都不发生的概率为1/9，a发生b不发生的概率与b发生a不发生的概率相等，求p(a)。解：由题设可知因为a和b相互独立，则p(

22、ab) = p(a)p(b)，再由题设可知，又因为 ，即 p(ab) = p(ba)，由事件之差公式得则有p(a) = p(b)，从而有故有即 。例7（1988年考研题） 玻璃杯成箱出售，每箱20只，假设各箱含0，1，2只残次品的概率相应为0，0.8，0.1和0.1，一顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随意取一箱，而顾客开箱随机地查看4只，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回。试求（1）顾客买下该箱的概率；（2）在顾客买下的一箱中，确实没有残次品的概率。解：由于玻璃杯箱总共有三类，分别含0，1，2只残次品。而售货员取的那一箱可以是这三类中的任一箱，顾客是在售货员取的一箱中检查的，顾客是否买

23、下这一箱是与售货员取的是哪一类的箱子有关系的，这类问题的概率计算一般可用全概率公式解决，第二问是贝叶斯公式也即条件概率问题。首先令 a=顾客买下所查看一箱；b=售货员取的箱中恰好有i件残次品，i=0，1，2。显然，b0，b1，b2构成一组完备事件组。且（1）由全概率公式，有（2）由逆概率公式，得注意：本题是典型的全概率公式与贝叶斯公式的应用。例8（小概率事件原理）设随机试验中某事件a发生的概率为，试证明，不论>0如何小，只要不断独立重复地做此试验，事件a迟早会发生的概率为1。证：令 ai=第i次试验中事件a发生, i=1,2,3,由题意知，事件a1, a2, , an, 相互独立且p(a

24、i)=e，i=1,2,3,，则在n次试验中事件a发生的概率p()=1p()=1 当n+, 即为事件a迟早会发生的概率p()=1。四、习题二解答1考察随机试验：“掷一枚骰子，观察其出现的点数”。如果设i=掷一枚骰子所出现的点数为i , i=1,2,6试用i来表示该试验的基本事件、样本空间和事件a =出现奇数点和事件b=点数至少是4。解：基本事件：0，1，2，3，4，5，6。样本空间= 0，1，2，3，4，5，6。事件a=1，3，5；b=4，5，6。2用事件a、b、c表示下列各事件：（1）a出现，但b、c不出现； （2）a、b出现，但c不出现；（3）三个都出现；（4）三个中至少有一个出现；（5）三

25、个中至少有两个出现；（6）三个都不出现；（7）只有一个出现；（8）不多于一个出现；（9）不多于两个出现。解：（1） （2） （3） （4）或a+b+c或 （5） （6）或w(a+b+c)或（7） （8） （9）或wabc或 3从52张扑克牌中，任取4张，求这四张花色不同的概率。解：现将从52张扑克牌中任取4张的每种取法作为每个基本事件，其结果与顺序无关，故可用组合数来解决该古典概型问题。4在一本标准英语词典中共有55个由两个不同字母组成的单词，现从26个英文字母中任取两个字母排成一个字母对，求它恰是上述字典中单词的概率。解：现将从26个英文字母中任取两个字母件的每种取法作为每个基本事件，其结果

26、与顺序有关，故可用排列数来解决该古典概型问题。5某产品共20件，其中有4件次品。从中任取3件，求下列事件的概率。（1）3件中恰有2件次品；（2）3件中至少有1件次品；（3）3件全是次品；（4）3件全是正品。解：现将从20件产品中任取3件的每种取法作为每个基本事件，其结果与顺序无关，故可用组合数来解决该古典概型问题。（1）；（2）或；（3）；（4）。6房间里有10个人，分别佩戴着110号的纪念章，现等可能地任选三人，记录其纪念章号码，试求：（1）最小号码为5的概率；（2）最大号码为5的概率。解：设a=任选三人中最小号码为5，b=任选三人中最大号码为5 （1）对事件a，所选的三人只能从510中选取

27、，而且5号必定被选中。； （2）对事件b，所选的三人只能从15中选取，而且5号必定被选中。7某大学学生中近视眼学生占22%，色盲学生占2%，其中既是近视眼又是色盲的学生占1%。现从该校学生中随机抽查一人，试求：（1）被抽查的学生是近视眼或色盲的概率；（2）被抽查的学生既非近视眼又非色盲的概率。解：设 a=被抽查者是近视眼，b=被抽查者是色盲；由题意知，p(a)=0.22，p(b)= 0.02，p(ab)= 0.01，则（1）利用加法公式，所求概率为p(a+b)=p(a)+p(b)p(ab)=0.22+0.020.01=0.23；（2）所求概率为p()=p()=1p(a+b)=10.23 =0.

28、77。注意：上述计算利用了德·摩根对偶律、对立事件公式和（1）的结果。8设p(a)=0.5，p(b)=0.3且p(ab)=0.l。求：（1）p(a+b)；（2）p(+b)。解：（1）p(a+b)=p(a)+p(b)p(ab)=0.5+0.30.1=0.7；（2）p(+b)= p()+p(b)p(b)=1p(a)+p(b)p(ba)=1p(a) +p(b)p(b) p(ab)= 1p(a) + p(ab)=10.5+0.1=0.6。注意：上述计算利用了加法公式、差积转换律、对立事件公式和事件之差公式。9假设接受一批药品时，检验其中一半，若不合格品不超过2，则接收，否则拒收。假设该批药品

29、共100件，其中有5件不合格，试求该批药品被接收的概率。解：设 a=50件抽检药品中不合格品不超过1件，据题意，仅当事件a发生时，该批药品才被接收，故所求概率为。10设a,b为任意两个事件，且p(a)0，p(b)0。证明：（1）若a与b互不相容，则a和b不独立；（2）若 p(b|a)=p(b|)，则a和b相互独立。证明：（1）用反证法。假定a和b独立，因为已知a与b互不相容，则ab=Æ，p(ab)= p(Æ)=0故 p(a) p(b)= p(ab)=0但由已知条件p(a)0，p(b)0得p(a) p(b)>0，由此导出矛盾，所以若a与b互不相容，则a和b不独立。 （2

30、）由已知p(b|a)=p(b|)，又，则 即 p(ab)1p(a) = p(a)p(b)p(ab)p(ab)p(ab)p(a) = p(a)p(b)p(a)p(ab)故 p(ab) = p(a)p(b)这即a和b相互独立。（2）又证：由已知p(b|a)=p(b|)即 p(b|a)1p(a) = p(b)p(ab)p(b|a)p(b|a)p(a) = p(b)p(ab)p(b|a)p(ab) = p(b)p(ab)p(b|a) = p(b)这即a和b相互独立。11已知p(a)=0.1，p(b)=0.3，p(a | b)=0.2，求：（1）p(ab)；（2）p(ab)；（3）p(b|a)；（4）p

31、()；（5）p()。解：（1）p(ab)= p(b) p(a | b)=0.3×0.2=0.06；（2）p(a+b)=p(a)+p(b)p(ab)=0.1+0.30.06=0.34；（3）；（4）p()=p(ab)=p(a)p(ab)=0.10.06=0.04；（5）。12某种动物活到12岁的概率为0.8，活到20岁的概率为0.4，问现年12岁的这种动物活到20岁的概率为多少？解：设a=该动物活到12岁，b=该动物活到20岁；由题意知p(a)=0.8，p(b)=0.4显然该动物“活到20岁”一定要先“活到12岁”，即有bÌa，且ab=b，则所求概率是条件概率。13甲、乙、丙

32、三人各自独立地去破译一密码，他们能译出该密码的概率分别是1/5，2/3，1/4，求该密码被破译的概率。解：设 a=甲译出该密码，b=乙译出该密码，c=丙译出该密码.由题意知，a，b，c相互独立，而且p(a)=1/5，p(b)=2/3，p(c)=1/4则密码被破译的概率为p(a+b+c)=1=1=0.8或 p(a+b+c)=p(a)+p(b)+ p(c)p(ab)p(ac)p(bc)+p(abc)=p(a)+p(b)+ p(c)p(a) p(b)p(a) p(c)p(b) p(c) + p(a) p(b) p(c)=。14有甲乙两批种籽，发芽率分别为0.8和0.7，在两批种籽中各任意抽取一粒，求

33、下列事件的概率：（1）两粒种籽都能发芽；（2）至少有一粒种籽能发芽；（3）恰好有一粒种籽能发芽。解：设 a=甲种籽能发芽, b=乙种籽能发芽则由题意知，a与b相互独立，且有p(a)=0.8，p(b)=0.7，则所求概率为（1）p(ab)=p(a)p(b)=0.8×0.7=0.56；（2）p(a+b) =1p()=1p()=1=10.2×0.3=0.96；（3）p()=0.8×0.3+0.2×0.7=0.38。15设甲、乙两城的通讯线路间有n个相互独立的中继站，每个中继站中断的概率均为p，试求：（1）甲、乙两城间通讯中断的概率；（2）若已知p=0.005，

34、问在甲、乙两城间至多只能设多少个中继站，才能保证两地间通讯不中断的概率不小于 0.95？解：设ak=第k个中继站通讯中断, k=1,2,n，则a1, a2, , an相互独立，而且有p(ak)=p, k=1,2,n。（1）所求概率为p(a1+ a2+ an)=1p()=1p()=1=11(1p)n；（2）设甲、乙两城间至多只能设n个中继站，由题意，应满足p()=(1p)n0.95，即 (10.005)n0.950.995n0.95nlog0.9950.95=ln0.95/ln0.995=10.233故n=10，即甲、乙两城间至多只能设10个中继站。16在一定条件下，每发射一发炮弹击中飞机的概率

35、是0.6，现有若干门这样的炮独立地同时发射一发炮弹，问欲以99%的把握击中飞机，至少需要配置多少门这样的炮？解：设至少需要配置n门炮。再设ak=第k门炮击中飞机, k=1,2,n，则a1, a2, , an相互独立，而且有p(ak)=0.6, k=1,2,n。由题意，应有p(a1+ a2+ an)= 1p()=1=110.4 n0.99即 0.4 n0.01，则有nlog0.40.01=ln0.01/ln0.4=5.026故n=6，因此至少需要配置6门炮。17甲袋中有3只白球，7只红球，15只黑球；乙袋中10只白球，6只红球，9只黑球。现从两袋中各取一球，求两球颜色相同的概率。解：设以a1、a

36、2、a3分别表示从甲袋中任取一球为白球、红球、黑球；以b1、b2、b3分别表示从乙袋中任取一球为白球、红球、黑球。则所求两球颜色相同的概率为p(a1b1+ a2b2+ a3 b3)= p(a1)p(b1)+ p( a2)p(b2)+ p(a3)p( b3)。18在某地供应的某药品中，甲、乙两厂的药品各占65%、35%，且甲、乙两厂的该药品合格率分别为90%、80%，现用a1、a2分别表示甲、乙两厂的药品，b表示合格品，试求：p(a1)、p(a2)、p(b|a1)、p(b|a2)、p(a1b)和p(b)。解：由题中已知条件可得p(a1)=0.65，p(a2)=0.35，p(b|a1)=0.9，p

37、(b|a2)=0.8，p(a1b)= p(a1)p(b|a1)= 0.65×0.9=0.585，p(b)= p(a1)p(b|a1)+ p(a2)p(b|a2) =0.65×0.9+0.35×0.8=0.865。19某地为甲种疾病多发区，其所辖的三个小区a1，a2，a3的人口比例为974，据统计资料，甲种疾病在这三个小区的发病率依次为4，2，5，求该地甲种疾病的发病率。解：设以a1、a2、a3表示病人分别来自小区a1、a2、a3，以b表示患甲种疾病。则由题意知p(a1)=，p(a2)=，p(a3)=，p(b|a1)=0.004，p(b|a2)=0.002，p(b|

38、a3)=0.005，则该地甲种疾病的发病概率为p(b)= p(a1)p(b|a1)+ p(a2)p(b|a2)+ p(a3)p(b|a3)=3.5。20若某地成年人中肥胖者（a1）占有10，中等者（a2）占82，瘦小者（a3）占8，又肥胖者、中等者、瘦小者患高血压病的概率分别为20，10，5。（1）求该地成年人患高血压的概率；（2）若知某人患高血压病，他最可能属于哪种体型？解：设b=该地成年人患高血压，则由题意知p(a1)=0.10，p(a2)=0.82，p(a3)=0.08，p(b|a1)=0.20，p(b|a2)=0.10，p(b|a3)=0.05， （1）该地成年人患高血压的概率为p(b

39、)= p(a1)p(b|a1)+ p(a2)p(b|a2)+ p(a3)p(b|a3)=0.106；（2）若已知某人患高血压病，他属于肥胖者（a1）、中等者（a2）、瘦小者（a3）体型的概率分别为p(a1|b)= p(a2|b)= p(a3|b)= 因为 p(a2|b)> p(a1|b) >p(a3|b)故若知某人患高血压病，他最可能属于中等体型。21三个射手向一敌机射击，射中概率分别为0.4，0.6和0.7。若一人射中，敌机被击落的概率为0.2；若两人射中，敌机被击落的概率为0.6；若三人射中，则敌机必被击落。（1）求敌机被击落的概率；（2）已知敌机被击落，求该机是三人击中的概率

40、。解：设a1、a2、a3分别表示第一个射手、第二个射手、第三个射手射中敌机；b0、b1、b2、b3分别表示无人射中、一人射中、两人射中、三人射中敌机；c表示敌机被击落。则a1、a2、a3相互独立，且由题意可得p(a1)=0.4，p(a2)=0.6，p(a3)=0.7p(b0)= p()=p() p() p()= 0.6×0.4×0.3=0.072p(b1)= p()=0.4×0.4×0.3+0.6×0.6×0.3+0.6×0.4×0.7=0.324p(b2)= p()=0.4×0.6×0.3+0

41、.6×0.6×0.7+0.4×0.4×0.7=0.436p(b3)= p()=p(a1) p(a2) p(a3)= 0.4×0.6×0.7=0.168p(c|b0)=0，p(c|b1)=0.2，p(c|b2)=0.6，p(c|b3)=1（1）敌机被击落的概率为p(c)=p(c|b0)p(b0)+p(c|b1)p(b1)+p(c|b2)p(b2)+p(c|b3)p(b3)=0×0.072+0.2×0.324+0.6×0.436+1×0.168=0.4944； （2）所求概率为p(b3|c)=。五、

42、思考与练习 （一）填充题 1若p(a)=0.3，p(b)=0.6，则（1）若a和b独立，则p(a+b)= ， p(ba)= ；（2）若a和b互不相容，则p(a+b)= ，p(ba) = ；（3）若a Ì b，则 p(a+b)= ，p(ba)= 。2. 如果a与b相互独立，且p(a)= p(b)= 0.7，则p()= 。3在4次独立重复试验中，事件a至少出现1次的概率为，则在每次试验中事件a出现的概率是 。 （二）选择题1. 下列说法正确的是（ ）a. 任一事件的概率总在(0,1)之内 b. 不可能事件的概率不一定为0c. 必然事件的概率一定为1 d. 以上均不对。2以a表示事件“甲种

43、药品畅销，乙种药品滞销”，则其a的对立事件为（ ） a. 甲，乙两种药品均畅销 b. 甲种药品滞销，乙种药品畅销 c. 甲种药品滞销” d. 甲种药品滞销或乙种药品畅销3. 有100张从1到100号的卡片，从中任取一张，取到卡号是7的倍数的概率为（ ）a. b. c. d. 4. 设a和b互不相容,且p(a)>0，p(b)>0，则下列结论正确的是（ ） a. p(b|a)>0 b. p(a)=p(a|b) c. p(a|b)=0 d. p(ab)=p(a)p(b) （三）计算题1设=1，2，3，4，5，6，7，a=2，3，4，b=3，4，5。试求下列事件:（1）；（2）+b。

44、2某城市的电话号话由0，1，2，9这10个数字中任意8个数字组成，试求下列电话号码出现的概率：（1）数字各不相同的电话号码（事件a）；（2）不含2和7的电话号码（事件b）；（3）5恰好出现两次的电话号码（事件c）。3一部五卷的文集，按任意次序放到书架上去，试求下列事件的概率： （1）第一卷出现在两边； （2）第一卷及第五卷出现在两边； （3）第一卷或第五卷出现在两边； （4）第三卷正好在正中。4电路由电池a与两个并联的电池b、c串联而成，设电池a、b、c是否损坏相互独立，且它们损坏的概率依次为0.3，0.2，0.2，求电路发生间断的概率。5. 设一医院药房中的某种药品是由三个不同的药厂生产的，

45、其中一厂、二厂、三厂生产的药品分别占1/4、1/4、1/2。已知一厂、二厂、三厂生产药品的次品率分别是7%，5%，4%。现从中任取一药品，试求（1）该药品是次品的概率；（2）若已知任取的药品是次品，求该次品是由三厂生产的概率。6盒中放有12个乒乓球，其中有9个球是新球。第一次比赛从盘中任取3个来用，比赛后仍放回盒中；第二次比赛时又从盒中任取3个。（1）求第二次取出的球都是新球的概率；（2）若已知第二次取出的球都是新球，求第一次取到的都是新球的概率。六、思考与练习参考答案 （一）填充题1. （1）0.72，0.42；（2）0.9，0.6；（3）0.6，0.32. 0.09 3. （二）选择题1.

46、 c； 2. d； 3. a； 4 .c （三）计算题1. =1, 5，6, 7，=1, 2，6, 7，则（1）=1, 6, 7；（2）+b=1，3，4，5，6，72（1）（2）（3）3. （1）=0.4；（2）=0.1；（3）=0.7；或=0.7；或=0.7（4）=0.24已知 p()=0.3，p()=0.2，p()=0.2 且a、b、c相互独立 则所求概率p()=p()+p()p()= p()+p()p()p()p()p()=0.3+0.2×0.20.3×0.2×0.2=0.3285. 令a=该药品是次品；bk=药品是由k厂生产的，k=1，2，3。由题意知 p

47、(b1)=0.25, p(b2)=0.25，p(b3)=0.5，p(a|b1)=0.07，p(a|b2)=0.05，p(a|b3)=0.04，（1）p(a)=p(a|b1)p(b1)+p(a|p2)p(b2)+p(a|b3)p(b3) =0.07×0.25+0.05×0.25+0.04×0.50=0.05（2）6令ak=第一次比赛任取3球中有k个新球，k=0，1，2，3；b=第二次取出的球都是新球。由题意得 p(ak)=， p(b|ak)=，k=0，1，2，3。（1）（2）=0.238第三章 随机变量及其分布一、 学习目的和要求1. 理解随机变量及其分布函数的概念

48、；2. 熟练掌握离散型、连续型随机变量的分布及性质；3. 熟练掌握常用数字特征：数学期望e(x)和方差d(x)及其性质；4. 熟练掌握二项分布、泊松分布、正态分布等的性质及概率计算；5. 了解随机变量函数的分布；6. 了解随机向量及分布函数的概念、性质；7. 掌握离散型随机向量和连续型随机向量及其分布；8. 掌握二维随机向量的数字特征；9. 了解契比晓雪夫不等式和大数定律及其意义；10. 掌握中心极限定理及其应用；11. 了解用excel计算二项分布、泊松分布、正态分布等常用分布的概率。二、内容提要（一）随机变量及常用分布1. 离散型随机变量及常用分布名 称定 义性质或背景备 注分布律px=x

49、k=pk，k=1,2, 或xx1 x2 xk pp1 p2 pk 1. pk 0，k=1,2,2. 0-1分布px=1=p, px=0=q，或x0 1pq p二项分布n=1的特例：b(1,p)( 一重贝努里试验)ex=pd(x)=pq二项分布b(n,p)px= k= ， k=0,1, ,nx为n重贝努里试验中a事件发生的次数ex=np d(x)=npq泊松分布p(l)px=k=，k0,1,2, , l>0是常数二项分布泊松近似公式(lnp) (n很大，p较小) ex=l d(x)= l超几何分布px=k= k=1,2,min(m,n)无放回产品抽样试验当n+时，时， ex= 2. 连续型随机变量及常用分布名 称定 义性质或背景备 注密度函数f(x)对任意a<b有pa<xb=1. f(x)02. 3. 对任意常数a，有px= a=0等价定义：对x的分布函数有f(x)=,x+正态分布n (m, s2)f (x) = <x<+pa<xb=e(x)=md(x)= s2标准正态分布n (0, 1)j(x) = <x<+1. f(x)=1f(x)2. f(x)可查表计算其中f(x)是分布函数e(x)=