岩土弹塑性力学(中南大学)ppt课件

1、资料受力三个阶段：资料受力三个阶段：弹性弹性 塑性塑性 破坏破坏 弹性力学弹性力学 塑性力学塑性力学 破坏力学破坏力学 断裂力学等断裂力学等1-1 1-1 概述概述 假定试样土粒本身体积不变，土的紧缩仅由于孔隙体积的减小，因此土的紧缩变形常用孔隙比e的变化来表示。压力p与相应的稳定孔隙比的关系曲线称为紧缩曲线塑性力学和弹性力学在根本假设和研讨方法一样点有： (1)假设都一样：延续性、小变形。 (2)平衡方程、几何方程一样。 (3)解题方法根本一样：经过求解根本方程组得到应力和位移本质区别：本构关系的不同。弹性力学：本构关系遵照广义虎克定律塑性力学：变形的不可恢复性，导致了塑性力学中的本构关系是

2、多方面的，比较复杂。弹性塑性粘性岩石力学性质膂力和面膂力和面力力Fi，Ti位移位移ui应力应力ij应变应变ij平衡平衡相容性相容性几何几何本构关系本构关系固膂力学问题解法中各种变量的相互关系固膂力学问题解法中各种变量的相互关系333231232221131211zzyzxyzyyxxzxyxij应力形状一点一切截面应力矢量的集合。1 应力张量mzxyzxyzmyyxxzxymxmmmij000000张量和运算法那么张量和运算法那么ijijmijS应力球形张量应力球形张量应力偏斜张量应力偏斜张量)(31zyxm平均正应力：jijiKronecij01ker符号：在弹性实际和经典塑性实际中在弹性实

3、际和经典塑性实际中: :应力球张量只产生体应变，即受力体只发生体积变化而不发生应力球张量只产生体应变，即受力体只发生体积变化而不发生 外形变化；外形变化；应力偏张量那么产生剪变形，即只引起物体外形变化而不发生应力偏张量那么产生剪变形，即只引起物体外形变化而不发生体积大小的变化。体积大小的变化。在经典塑性实际中，体应变经常假设为弹性的。体应变就只需在经典塑性实际中，体应变经常假设为弹性的。体应变就只需弹性分量，而与塑性无关，只需剪应变有塑性分量，使研讨大弹性分量，而与塑性无关，只需剪应变有塑性分量，使研讨大为简化。为简化。斜切面上的应力斜切面上的应力时当031dhdhdsdv 0 x对四面体对四

4、面体nmlpzxyxxx0Xdvndsmdsldsdspzxyxxx同理：同理：nmlpzyyxyynmlpzyzxzz斜面上的正应力；斜面上的正应力；2222Nzyxvpppnlmnlmnmlnpmplpxzyzxyzyxzyxv222222斜面上的剪应力斜面上的剪应力0)(0)(0)(nmlnmlnmlzyzxzyzyxyxzxyxnmlpzxyxxxnmlpzyyxyynmlpzyzxzz斜面ABC为主微分面，面上只需正应力mpylpxnpz投影到坐标轴上0)(0)(0)(nmlnmlnmlzyzxzyzyxyxzxyx关于l，m，n的齐次线性方程组，非零解的条件为方程组的系数行列式等于

5、零，即0zzyzxyzyyxxzxyx展开 032213III032213IIIzyxI1其中：其中： 主元之和主元之和 ij2222xzyzxyxzzyyxI代数主子式之和代数主子式之和zzyzxyzyyxxzxyxI3应力张量元素构成应力张量元素构成的行列式的行列式主应力特征方程求解主应力特征方程得主应力求解主应力特征方程得主应力iii=1i=1，2 2，3 30)(0)(0)(nmlnmlnmlzyzxzyzyxyxzxyx1222nml上式恣意二个方程主方向主应力是一点一切微分面上最大或最小的正应力。主应力和主平面分析确定最大正应力及其作用方位；应力形状特征方程应力形状特征方程确定弹性

6、体内部恣意一点主应力和应力主轴方向。确定弹性体内部恣意一点主应力和应力主轴方向。主应力和应力主轴方向取决于载荷、外形和边境条件主应力和应力主轴方向取决于载荷、外形和边境条件等，与坐标轴的选取无关。等，与坐标轴的选取无关。因此，特征方程的根是确定的，即因此，特征方程的根是确定的，即I1I1、I2I2、I3I3的值是的值是不随坐标轴的改动而变化的。不随坐标轴的改动而变化的。I1I1、I2I2、I3 I3 分别称为应力张量的第一、第二和第三不分别称为应力张量的第一、第二和第三不变量。变量。主应力和应力主方向取决于构造外力和约束条件，与坐标系无关。因此特征方程的三个根是确定的。特征方程的三个根，即一点

7、的三个主应力均为实数。根据三次方程性质可以证明。恣意一点三个应力主方向是相互垂直的三个应力主轴正交的。应力不变量性质应力不变量性质坐标系的改动导致应力张量各分量变化，但应力形状不变。应力不变量正是对应力形状性质的描画。l不变性l实数性l正交性zyxI12222xzyzxyxzzyyxIzzyzxyzyyxxzxyxI3mzxyzxyzmyyxxzxymxijs应力偏斜张量不变量应力偏斜张量不变量zzyzxyzyyxxzxyxij031mzyxJ)(6)()()(612222222zxyzxyyxyxyxJmzzyzxyzmyyxxzxymxJ33 八面体及八面体应力应力应力空间中应力空间中8个

8、象限有个象限有8个等倾斜面：个等倾斜面：31nmlnlmnlmnmlnpmplpxzyzxyzyxzyxv2222222222Nzyxvppp1321831)(31)(31Imzyx222113322123212132322218326231)(6)(231)()()(31JII八面体正应力八面体正应力=平均正应力平均正应力八面体剪应力与应力偏量有关八面体剪应力与应力偏量有关2122323222128)()()(21323Jq广义剪应力广义剪应力4 4 偏量平面及偏量平面应力偏量平面及偏量平面应力等压力线(等倾线)：在主应力空间中，与三个坐标轴等倾l=m=n= 的 空间曲线31常数321偏平面

9、：与等压力线垂直的平面平面：与等压力线垂直的平面，且经过原点0321应力点NPPmoo3)(31321822121112322212232)(31JOOOPPO偏平面上的应力：应力空间中向量OP，分量为：OO、OP平面上的应力：与应力球张量有关与应力偏张量有关物体整体平衡，内部任何部分也是平衡的。5 5 平衡微分方程平衡微分方程),(zyxfx),(zydxxfx.)(),(211),(),(),(222dxxzyxfdxxzyxfzyxfzydxxf级数展开dxxxxx略去高阶微分项切应力互等定理 jiij0,bjiijF0bxzxyxxFzyx00bzzyzzbyzyyxyFzyxFzyx

10、(ij)位移方式位移方式 刚体位移：变形位移1-3 1-3 应变形状应变形状 xwzuzvywyuxvzwyvxuzxyzxyzyx几何方程几何方程( (柯西方程柯西方程) ) 几何方程位移导数表示的应变 应变描画一点的变形，但还缺乏以完全描画弹性体的变形 缘由是没有思索单元体位置的改动单元体的刚体转动 刚性位移可以分解为平动与转动 刚性位移不产生变形zzyzxyzyyxxzxyxxyxzyzxwxwxwzvyvxvzuyuxu212121212121000)(21, )(21, )(21yuxvxwzuzvywzyx转动矢量描画微分单元体的刚性转动 转动分量 刚体转动变形几何方程333231

11、232221131211212121212121zzyzxyzyyxxzxyxijmzxyzxyzmyyxxzxymxmmmij212121212121000000ijijmije张量和运算法那么张量和运算法那么应变球形张量应变球形张量应变偏斜张量应变偏斜张量)(31zyxm平均正应变：jijiKronecij01ker符号：应变球张量：代表只发生体积变化的应变形状应变偏张量：代表只发生外形变化的应变形状应变张量一旦确定，那么恣意坐标系下的应变分量均可确定。因此应变形状就完全确定。坐标变换后各应变分量均发生改动，但作为一个整体，所描画的应变形状并未改动。主应变与应变主轴 切应变为0的方向 应变

12、主轴方向的正应变应变主轴主应变3.2 主应变主应变20)(2121021)(2102121)(nmlnmlnmlzyzxzyzyxyxzxyx应变形状特征方程l，m，n齐次线性方程组非零解的条件为方程系数行列式的值为零 0212121212121zzyzxyzyyxxzxyx032213JJJ展开展开 3 应变不变量第一，第二和第三应变不变量 ijzxyzxyxzxyyxzyxiiJJJ322221)(414 体积应变.zwyvxu1)1 ()1 ()1 (*JdxdydzdxdydzdzdydxVVVzyxzyx引入体积应变有助于简化公式引入体积应变有助于简化公式xwzuzvywyuxvzw

13、yvxuzxyzxyzyx几何方程：6 6个应变分量经过个应变分量经过3 3个位移分量描画个位移分量描画力学意义力学意义: :变形延续变形延续yvxuyx23222322xyvxyxuyyxyxxvyuyxxyxyyx22222)(xwzuzvywyuxvzxyzxyyxwyzuyxzvxywxzyuzxvzzxyzxy222222yxwzyxxyzxyz22分别轮换x,y,z，那么可得如下六个关系式 yxzyxzzxzyxyzyzyxxzxxzzyzyyxyxzxyxzyzyxyxzyzxxyxzyzxzzxyzyzxyxy2222222222222222222)(2)(2)(应变协调方程圣

14、维南 Saint Venant方程 物体在载荷作用下 应变、应力位移法：先确定位移，由几何方程确定应变，因延续方程由几何方程推出，自然满足力法：先确定应力，变形必需求延续方程弹性体的外表，应力分量必需与外表力满足面力边境条件，维弹性体的外表，应力分量必需与外表力满足面力边境条件，维持弹性体外表的平衡。持弹性体外表的平衡。边境面力知：边境面力知：Fsj应力边境条件应力边境条件 设物体外表为S 位移知边境Su 面力知边境Ss确定的是弹性体外表外力与弹性体内部趋近于边境的应力分确定的是弹性体外表外力与弹性体内部趋近于边境的应力分量的关系。量的关系。面力边境条件描画弹性体外表的平衡平衡微分方程描画弹性

15、体内部的平衡这种平衡只是静力学能够的平衡真正处于平衡形状的弹性体，还必需满足变形延续条件 iijsjnFnmlFzxyxxsjxnmlFzyyxysjynmlFzyzxzsjz位移边境条件位移边境条件边境位移知：边境位移知：位移边境条件就是弹性体外表的变形协调位移边境条件就是弹性体外表的变形协调弹性体临近外表的位移与知边境位移相等弹性体临近外表的位移与知边境位移相等 wwuvuuwuuq应变满足变形协调方程，保证弹性体内部的变形单值延续。q边境变形协调要求边境位移满足位移边境条件。 q位移边境条件外表的位移或变形与知边境位移或变形相等。混合边境条件混合边境条件弹性体边境弹性体边境 SSsSu部

16、分边境位移知部分边境位移知位移边境位移边境Su 部分边境面力知部分边境面力知面力边境面力边境Ss一、一、 广义虎克定律广义虎克定律 弹性体内任一点的应力一应变关系都可写为弹性体内任一点的应力一应变关系都可写为 ：zxyzxyzyxxcccccc 161514131211 zxyzxyzyxycccccc 262524232221 zxyzxyzyxzcccccc 363534333231 zxyzxyzyxxycccccc 464544434241 zxyzxyzyxyzcccccc 565554535251 zxyzxyzyxzxcccccc 666564636261 1 1 6663626

17、1363332312623222116131211ccccccccccccccccD用矩阵表示用矩阵表示 为：为：D称为应变列阵称为应变列阵 TzxyzxyzyxTzxyzxyzyx称为应力列阵称为应力列阵式中：式中：称为弹性矩阵，由称为弹性矩阵，由6 66 63636个弹性常数组成个弹性常数组成的的6 66 6阶矩阵。阶矩阵。 D2 2二、极端各向异性体的本构方程二、极端各向异性体的本构方程 1 1、极端各向异性体、极端各向异性体物体内任一点沿任何两个不物体内任一点沿任何两个不同方向的弹性性质都互不一样。同方向的弹性性质都互不一样。 2 2、特点：任何一个应力分量都会引起、特点：任何一个应力

18、分量都会引起6 6个应变分量。个应变分量。也就是说正应力不仅能引起线应变，还能引起剪应变。也就是说正应力不仅能引起线应变，还能引起剪应变。 3 3、本构方程：、本构方程： zxyzxyzyxzxyzxyzyxaaaaaaaaaaaa 6662613632312622211612113 3 A 即：即：为了阐明问题，将为了阐明问题，将6 6个应力分量编号为：个应力分量编号为：x y z xy yz zxx y z xy yz zx 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6将将6 6个应变分量产生的位置编号为：个应变分量产生的位置编号为：X X轴轴 y y轴轴 z z轴轴 x-y x-y面面

19、 y-z y-z面面 z-x z-x面面 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 那么：那么： x x 所引起的所引起的6 6个应变分量为：个应变分量为：在在x x轴引起的线应变为轴引起的线应变为: a11x : a11x 在在y y轴引起的线应变为轴引起的线应变为: a21x : a21x 在在z z轴引起的线应变为轴引起的线应变为: a31x : a31x 在在x-yx-y面引起的剪应变为面引起的剪应变为:a41x :a41x 在在y-zy-z面引起的剪应变为面引起的剪应变为:a51x :a51x 在在z-xz-x面引起的剪应变为面引起的剪应变为:a61x :a61x 即即 上式用

20、应力表示应变。上式用应力表示应变。 1 ADijijca1 式中：式中：aijaij代表第代表第j j个应力个应力分量等于分量等于1 1个单位时在个单位时在i i方向方向所引起的应变分量，如所引起的应变分量，如a31a31表表示示xx等于一个单位时在等于一个单位时在z z方方向引起的应变分量。向引起的应变分量。 可以证明，可以证明，cij=cji; cij=cji; aij=aji,aij=aji,是对称矩阵。是对称矩阵。3636个个弹性常数中只需弹性常数中只需2121个是独立个是独立的。的。三、正交各向异性体三、正交各向异性体 1 1、概念、概念 1 1弹性对称面：在恣意两个与某个面对称的方

21、向上，资弹性对称面：在恣意两个与某个面对称的方向上，资料的弹性一样弹性常数一样，那么，这个面就是对称面。料的弹性一样弹性常数一样，那么，这个面就是对称面。 2 2弹性主向：垂直于弹性对称面的方向为弹性主向。弹性主向：垂直于弹性对称面的方向为弹性主向。 3 3正交各向异性体：弹性体中存在正交各向异性体：弹性体中存在3 3个相互正交的弹性个相互正交的弹性对称面，在各个对称面的对称方向上，弹性一样，但在这对称面，在各个对称面的对称方向上，弹性一样，但在这3 3个个弹性主向上的弹性并不一样，这种物体称为正交异性体。弹性主向上的弹性并不一样，这种物体称为正交异性体。2 2、特点：由于对称关系，正应力分量

22、只能引起线应变，、特点：由于对称关系，正应力分量只能引起线应变，不能引起剪应变。剪应力不会引起线应变，并且，只不能引起剪应变。剪应力不会引起线应变，并且，只能引起相对应的剪应变分量的改动，不会影响其它方能引起相对应的剪应变分量的改动，不会影响其它方向的剪应变向的剪应变. . 以三个正交的弹性对称面为坐标面，以三个正交的弹性对称面为坐标面，x,y,zx,y,z坐标坐标轴为弹性主向。根据对称性，正应力分量只能引起线轴为弹性主向。根据对称性，正应力分量只能引起线应变，不能引起剪应变。那么有：应变，不能引起剪应变。那么有： 000635343625242615141 aaaaaaaaa zxyzxyz

23、yxzxyzxyzyxaaaaaaaaaaaa 665544333231232221131211000000000000000000000000只需只需9 9个独立的弹性常数。个独立的弹性常数。 同样，作用在正交各向异性体上的剪应力不会引起线应同样，作用在正交各向异性体上的剪应力不会引起线应变的变化，并且，只能引起相对应的剪应变分量的改动，不变的变化，并且，只能引起相对应的剪应变分量的改动，不会影响其它方向的剪应变会影响其它方向的剪应变. .即即xyxy只引起只引起xyxy的变化。那么的变化。那么有：有：000564636261665453525156454342414 aaaaaaaaaaa

24、aaaa3 3、正交各向异性体的本构方程：、正交各向异性体的本构方程：由由3 3式得：式得：4 4四、横观各向同性体四、横观各向同性体 1 1、概念、概念 各向同性面：各向同性面： 某一平面内的一某一平面内的一切各方向的弹性性质一样，这个面为切各方向的弹性性质一样，这个面为各向同性面。各向同性面。 横观各向同性体：具有各向同性横观各向同性体：具有各向同性面，但垂直此面的力学性质是不一样面，但垂直此面的力学性质是不一样的，这类物体称为横观各向同性体。的，这类物体称为横观各向同性体。2 2、特点、特点 在平行于各向同性面的一切各个方向横向都具在平行于各向同性面的一切各个方向横向都具有一样的弹性。有

25、一样的弹性。 层状岩体属于横观各向同性体，平行于层面的各个层状岩体属于横观各向同性体，平行于层面的各个方向是横向，垂直层面的方向是纵向。方向是横向，垂直层面的方向是纵向。 设设x-zx-z平面为各向同性面，根据横观各向同性体的特点，平面为各向同性面，根据横观各向同性体的特点，z z方向和方向和x x方向的弹性性质一样，那么：方向的弹性性质一样，那么： (1) (1)单位单位zz所引起的所引起的zz等于单位等于单位xx所引起的所引起的x,x,即即a33=a11a33=a11 (2) (2)单位单位zz所引起的所引起的yy等于单位等于单位xx所引起的所引起的y,y,即即a23=a21a23=a21

26、 (3) (3)单位单位xyxy所引起的所引起的xyxy等于单位等于单位zyzy所引起的所引起的zy,zy,即即a44=a55 a44=a55 3 3、横观各向同性体的本构方程、横观各向同性体的本构方程 由由4 4式得：式得：5 5 zxyzxyzyxzxyzxyzyxaaaaaaaaaaaa 664444111213122212131211000000000000000000000000 可见：在矩阵可见：在矩阵AA中只剩下中只剩下a11,a12,a13,a22,a44,a66a11,a12,a13,a22,a44,a66六个常数项，并且由弹性力学公式有：六个常数项，并且由弹性力学公式有：(

27、 (单位单位xx在在X X轴上产生的变形轴上产生的变形1111Ea ( (单位单位yy在在y y轴上产生的变形轴上产生的变形2221Ea ( (单位单位zz在在X X轴上产生的变形轴上产生的变形1113Ea ( (单位单位xyxy在在X-YX-Y面上产生的剪应变面上产生的剪应变2441Ga 单位单位zxzx在在Z-XZ-X面上产生的剪应变面上产生的剪应变1661Ga ( (单位单位yy在在X X轴上产生的变形轴上产生的变形2212Ea 可见，横观各向同性体只需可见，横观各向同性体只需5 5个独立的弹性常数：个独立的弹性常数：E1E1、E2E2、1 1 、2 2 、G2 G2 。 E1 E1、

28、1 1 分别为各向同性面内岩石的弹性模量和分别为各向同性面内岩石的弹性模量和泊松比，泊松比，E2E2、22分别为垂直于各向同性面方向的弹分别为垂直于各向同性面方向的弹性模量和泊松比。性模量和泊松比。 并且：并且：)1(2111 EG( (在横观各向同性面内在横观各向同性面内 1 1、概念、概念 各向同性体：物体内任一点沿任一方向的弹性都一样。各向同性体：物体内任一点沿任一方向的弹性都一样。 2 2、特点：、特点：X X、Y Y、Z Z三个方向的弹性一样，即三个方向的弹性一样，即五、各向同性体五、各向同性体Eaaa1332211 Eaaa 231312Gaaa1665544 且且: :)1(2,

29、2121 EGEEE可见，各向同性体只需可见，各向同性体只需2 2个独立的弹性常数个独立的弹性常数E E和和。3 3、本构方程、本构方程 由由5 5式得：式得：6 6 zxyzxyzyxzxyzxyzyxGGGEEEEEEEEE 1000000100000010000001000100016 6式可写为：式可写为：应力表示应变应力表示应变7 7 )(1zyxxE )(1zxyyE )(1xyzzE xyxyG 1 yzyzG 1 zxzxG 1 应变表示应力：应变表示应力：)(1)21)(1 ()1 (zyxxExyxyE)1 (2)(1)21)(1 ()1 (yxzzE)(1)21)(1 (

30、)1 (zxyyEzxzxE)1 (2yzyzE)1 (2)()1 (zyxxxEE)(ijijmijSmxxESE211K K、G G方式：方式：)1 (2)21 (3(3121EGEKKSGmxx)(31zyxmmxxSijmijijKGe32ijmxijKGS32应变表示应力：应变表示应力：本构关系中将偏应力和平均应力、偏应变和平均应变分别，本构关系中将偏应力和平均应力、偏应变和平均应变分别，利于塑性本构关系研讨利于塑性本构关系研讨、G G方式：方式：ijmijijKGe32ijijmije)32(2GKGijijkkij严厉来说：岩石的应力应变关系都是非线性的严厉来说：岩石的应力应变关

31、系都是非线性的 非线性弹性非线性弹性 弹塑性弹塑性1 应力空间和应变空间应力空间：九维空间，应力形状的九个分量是该空间中的正交笛卡尔坐标系九个轴上的分量。坐标的零点为零应力形状自然形状。该空间的一点表示为指定的应力形状ij应力形状变化的历史应力形状变化的历史一条空间曲线一条空间曲线应力途径应力途径应变空间：九维空间，应变形状的九个分量是该空间中的正交笛卡尔坐标系九个轴上的分量。坐标的零点为零应变形状自然形状。该空间的一点表示为指定的应变形状ij应变形状变化的历史应变形状变化的历史一条空间曲线一条空间曲线应变途径应变途径形状变量形状变量形状函数形状函数表述表述应力应力应变应变应力空间应力空间应变

32、应变应力应力应变空间应变空间弹性体：两种表述等价弹性体：两种表述等价Cauchy 型本构方程定义：物体在外力作用下，各点的应力形状和应变形状之间定义：物体在外力作用下，各点的应力形状和应变形状之间存在一一对应的关系。存在一一对应的关系。线弹性的本构关系线弹性的本构关系Cauchy Cauchy 弹性本构关系弹性本构关系弹性常数弹性常数E E、G G值为当前应力下的割线值值为当前应力下的割线值ESES、 s s、GSGS塑性：资料的一种变形性质，资料进入塑性卸载后产生塑性：资料的一种变形性质，资料进入塑性卸载后产生不可恢复的变形不可恢复的变形塑性本构关系塑性本构关系屈服条件屈服条件加载条件加载条

33、件本构关系本构关系塑性本构关系：塑性形状下的物理关系塑性本构关系：塑性形状下的物理关系 定义定义屈服：弹性进入塑性屈服：弹性进入塑性屈服条件塑性条件：屈服满足的应力或应屈服条件塑性条件：屈服满足的应力或应 变条件变条件屈服面：屈服条件的几何曲面屈服面：屈服条件的几何曲面初始屈服条件初始屈服条件后继屈服条件后继屈服条件破坏条件破坏条件初始屈服面初始屈服面加载面加载面破坏面破坏面 1.7.1 1.7.1 屈服条件与破坏条件屈服条件与破坏条件 初始屈服函数的表达式初始屈服函数的表达式0),(321F均质各向同性，坐标方向对屈服条件没有影响均质各向同性，坐标方向对屈服条件没有影响0),(TtFijij

34、 或0)(ijF0)(ijF略去时间与温度的影响，并思索应力与应变的一略去时间与温度的影响，并思索应力与应变的一一对应关系，那么有一对应关系，那么有0),(0),(0),(0),(88321321FqpFJJJFIIIF岩土资料，静水压力影响屈服岩土资料，静水压力影响屈服传统塑性力学中与传统塑性力学中与I1无关无关0),(0),(0),(0),(0),(8232321FJFqFJJFFpqp ,q,空间金属资料屈服面主应力空间金属资料屈服面主应力空间金属资料屈服面1，12，23，3 屈服面与屈服曲线屈服面与屈服曲线屈服面屈服面狭义：初始屈服函数的几何曲面狭义：初始屈服函数的几何曲面 广义：屈服

35、函数的几何曲面加广义：屈服函数的几何曲面加 载面载面一个空间屈服面可以采用两个平面上的屈服曲线表达：一个空间屈服面可以采用两个平面上的屈服曲线表达：平面的屈服曲线平面的屈服曲线子午平面屈服曲线子午平面屈服曲线屈服曲线与屈服面屈服曲线与屈服面理想塑性：理想塑性： 屈服面内屈服面内F(ij)0：不能够：不能够硬软化塑性：硬软化塑性：加载面加载面(ij,H)0 加载：加载面由于应变硬化而扩展加载：加载面由于应变硬化而扩展d=0 中性变载：应力点在加载面上变化，但塑性内变量中性变载：应力点在加载面上变化，但塑性内变量Ha不变，即不产生新的塑性变形，只产生弹性变形不变，即不产生新的塑性变形，只产生弹性变

36、形卸载时当中性变载时当加载时当000ndndnd0在应力空间表示：在应力空间表示：b 非正那么屈服面加卸载准那非正那么屈服面加卸载准那么：么：0ml卸载时当中性变载时当加载时当0),max(0),max(0),max(ijijmijijlijijmijijlijijmijijldddddd两个屈服面为：两个屈服面为：l、mC 应变软化资料应变软化资料应变软化资料：加载时，加载面收缩应变软化资料：加载时，加载面收缩即即 ：0与卸载准那么无法区与卸载准那么无法区别别应变空间表示应变空间表示0),(aijHF卸载时当中性变载时当加载时当000ijijijijijijdFdFdFdFdFdF加载条件：

37、加载条件：a 正那么屈服面加卸载准那么：正那么屈服面加卸载准那么：b 非正那么屈服面加卸载准那非正那么屈服面加卸载准那么：么：0mlFF卸载时当中性变载时当加载时当0),max(0),max(0),max(ijijmijijlijijmijijlijijmijijldFdFdFdFdFdF两个屈服面为：两个屈服面为：Fl、Fm加载条件：加载条件：c 讨论：讨论：应变空间表示的加卸载准那么同样顺应：应变空间表示的加卸载准那么同样顺应：理性塑性资料理性塑性资料应变硬化资料应变硬化资料 1.7.3 Drucker 1.7.3 Drucker公设和公设和公设公设 1 概述概述 增量塑性实际要求资料在受

38、力过程中要遵照的增量塑性实际要求资料在受力过程中要遵照的能量守恒定律能量守恒定律附加应力对附加应变作功为非负附加应力对附加应变作功为非负 d d0如：应变硬化资料、理想塑性资料如：应变硬化资料、理想塑性资料稳定资料稳定资料不稳定资料不稳定资料附加应力对附加应变作功为负附加应力对附加应变作功为负 dd0: 0:塑性加载塑性加载 =0 =0：中性变载：中性变载理想塑性资料：理想塑性资料：0:0:无意义无意义 =0 =0：塑性加载：塑性加载0ddpijij思索加载过程弹性变形，弹塑性功为：思索加载过程弹性变形，弹塑性功为：Drucker 公设内容公设内容a的数学表达的数学表达屈服面的外凸性屈服面的外

39、凸性塑性应变增量的正交性塑性应变增量的正交性0d)(0pijijij重要结论：重要结论：1屈服面屈服面/加载面的外凸性加载面的外凸性2塑性应变增量方向与屈服面塑性应变增量方向与屈服面的法向平行正交流动法那么的法向平行正交流动法那么3线性相关与ijpddij0d)(0pijijij0dABpijpijd2dAB的夹角与pij0dABpijpijdn2ijpij dd推论推论2非负标量塑性因子非负标量塑性因子线性相关与ijpddij)3(ijijdhdijpij dd硬化模量或硬化函数硬化模量或硬化函数大小由大小由应力增量产生应力增量产生ddpij与线性硬化规律线性硬化规律ijpij ddijij

40、dhd)(dmnmnijpdhijDrucker公设：公设： 稳定资料稳定资料 适用适用 非稳定资料非稳定资料 不完全适用不完全适用在弹塑性资料的一个完好的应变循环过程中，外部作用作在弹塑性资料的一个完好的应变循环过程中，外部作用作功是非负。功是非负。假设作正功：产生了塑性变形假设作正功：产生了塑性变形假设作功为假设作功为0：只产生弹性变形：只产生弹性变形数学表达为：数学表达为：0d)d21(0pijijijijpEdW0d)d21(0pijijijijpEdW 两个重要不等式两个重要不等式0d)(0pijijij0ddpijijijpij dd非负标量塑性因子非负标量塑性因子 1.7.4 1

41、.7.4 流动法那么流动法那么 1 概述概述 确定塑性应变增量方向或塑性流动方向确定塑性应变增量方向或塑性流动方向ijpij ddDruckerDrucker公设公设推论推论2 2塑性应变增量方向与加载面的梯度方向一致塑性应变增量方向与加载面的梯度方向一致是充分条件，非必要条件是充分条件，非必要条件其他方法可确定其他方法可确定 2 正那么加载面流动法正那么加载面流动法那么那么 弹性势函数弹性势函数 弹性本构关系弹性本构关系 弹性实际：弹性实际： 塑性实际：塑性实际： Mises 塑性势函数塑性势函数Q 塑性流动方向塑性流动方向),(),(321JJIQQij Mises位势实际位势实际 假设塑

42、性流动形状假设塑性流动形状 存在某种塑性势函数存在某种塑性势函数Q，并设，并设Q为应为应力或应力不变量的函数力或应力不变量的函数 即：即：),(),(321JJIQQij 那么那么 塑性流动的方向与塑性流动的方向与Q的梯度或外法线方向一样的梯度或外法线方向一样 由于由于Q代表资料在塑性变形过程中的某种势能或位能代表资料在塑性变形过程中的某种势能或位能 Mises位势实际位势实际ijpQij dd Mises位势流动实际数学表达：位势流动实际数学表达：非负标量塑性因子非负标量塑性因子流膂力学中，由于流体的流动速度方向总是沿着速度等流膂力学中，由于流体的流动速度方向总是沿着速度等势面的梯度方向。势

43、面的梯度方向。 Mises位势流动实际位势流动实际塑性势函数可假定不同的方式塑性势函数可假定不同的方式服从服从Drucker公设的稳定资料，公设的稳定资料，假定塑性势函数为屈服函数或加载函数：假定塑性势函数为屈服函数或加载函数：QfQ或ijpQijddijpijdd与屈服条件或加载条件相关联的流动法那么与屈服条件或加载条件相关联的本构关系塑性流动方向与屈服面或加载面不正交但与塑性势面正交 QfQ或与塑性势面正交ijpQij dd与屈服条件或加载条件不相关联的流动法那么 3 非正那么加载面流动法那么非正那么加载面流动法那么 理想资料理想资料 fQijmijlpffij21ddd两个屈服面为：两个

44、屈服面为：fl、fm两个屈服面产生的塑性应变增量的线性组合两个屈服面产生的塑性应变增量的线性组合fl非负标量塑性因非负标量塑性因子子fm非负标量塑性因子非负标量塑性因子硬化规律模型：加硬化规律模型：加载面位置、外形、大小载面位置、外形、大小变化规律变化规律硬化定律：确定加载面硬化定律：确定加载面根据哪些详细的硬化参根据哪些详细的硬化参量而初始硬化的规律量而初始硬化的规律等向强化和随动强化表示图等向强化和随动强化表示图1 1 硬化模型硬化模型 1.7.5 1.7.5 硬化定律硬化定律硬化模型种类：硬化模型种类：1 1等向强化硬化等向强化硬化/ /各向同性强化硬化：各向同性强化硬化：加载面在应力空

45、间只作外形类似的扩展加载面在应力空间只作外形类似的扩展加载面大小变化，外形、位置、主轴方向不变加载面大小变化，外形、位置、主轴方向不变等向硬化偏平面上等向硬化偏平面上加载函数加载函数0),(aijH2 2运动强化硬化运动强化硬化/ /随动强化随动强化/ /机动强化：机动强化：加载面在应力空间作外形与大小不变的平移运动加载面在应力空间作外形与大小不变的平移运动随动硬化偏平面上随动硬化偏平面上0)(0Hijij刚性平移，外形、大小、主轴方刚性平移，外形、大小、主轴方向不变向不变加载函数加载函数常数，反映初始屈服面大小常数，反映初始屈服面大小挪动应力张量挪动应力张量3 3混合强化硬化混合强化硬化/

46、/组合强化：组合强化： 加载面在应力空间同时发生外形类似的大小变化和平移加载面在应力空间同时发生外形类似的大小变化和平移 大小、位置变，外形、主轴方向不变大小、位置变，外形、主轴方向不变混合硬化混合硬化0)(),(HHijijijij加载函数加载函数意义与随动强化同，但变化规律不同意义与随动强化同，但变化规律不同2 2 硬化定律硬化定律ijijdhd硬化模量或硬化函数硬化模量或硬化函数为推导方便为推导方便 令：令：hA1确定确定A后，代入流动法那么后，代入流动法那么建立建立dij 、dij的增量本构关系的增量本构关系0),(Hijij0),(dHHddijijijij混合强化加载函数混合强化加

47、载函数添加应力后，加载面扩展，加载函数为：添加应力后，加载面扩展，加载函数为：0dHHdddijijijij硬化资料的相容条件硬化资料的相容条件假设假设 为塑性应变及应变历史的函数为塑性应变及应变历史的函数 Hij)()(pklijijpijHH等向强化：等向强化：ijij不变，对不变，对H H微分微分ijpQij ddklkldA1dppijijdHdHklklijpppdQHAijijij1dHdH随动强化：随动强化：H H为常数，对为常数，对ijij微分微分ijpQij ddklkldA1dklklijpdQAccij1ddijpijcddij0dHHdddijijijijijijijijdd随动强化：随动强化：H H为常数，此项为为常数，此项为0 0混合强化：混合强化：klklijpdQAccij1ddijklklijpppdQHAijijij1dHdH011klklijpklklijijijijdQHHAdQAcddijijijijijdd0dHHdddijij