边界层分析求解

1、15-3 15-3 边界层微分方程组的解边界层微分方程组的解 边界层的概念是边界层的概念是19041904年德国科学年德国科学家普朗特提出的。家普朗特提出的。 （Boundary Boundary layerlayer） 1 1）定义）定义垂直于壁面的方向上流垂直于壁面的方向上流体流速发生显著变化的体流速发生显著变化的流体薄层定义为流动边流体薄层定义为流动边界层。界层。 在离平壁前端在离平壁前端x处用热线风速仪，测得沿壁处用热线风速仪，测得沿壁面方向方向上各点的流速，这一分布呈现类似面方向方向上各点的流速，这一分布呈现类似抛物线型。在抛物线型。在u=0.99u 处以外的流体，可以认处以外的流体

2、，可以认为不受流体粘性的影响，称其为主流区。而为不受流体粘性的影响，称其为主流区。而u u=0.99=0.99u u以内的区域，存在明显速度梯度，称以内的区域，存在明显速度梯度，称为边界层区。为边界层区。 流体流过固体壁面时，由于壁面层流体分子的不滑移特流体流过固体壁面时，由于壁面层流体分子的不滑移特性，在流体黏性力的作用下，近壁流体流速在垂直于壁面的性，在流体黏性力的作用下，近壁流体流速在垂直于壁面的方向上会从壁面处的零速度逐步变化到来流速度。方向上会从壁面处的零速度逐步变化到来流速度。 tw t u t t 0 x 普朗特通过观察发现，对于低黏度的流体，如水和空气普朗特通过观察发现，对于低

3、黏度的流体，如水和空气等，在以较大的流速流过固体壁面时，在壁面上流体速度发等，在以较大的流速流过固体壁面时，在壁面上流体速度发生显著变化的流体层是非常薄的。生显著变化的流体层是非常薄的。 边界层内：平均速度梯度很大；边界层内：平均速度梯度很大；y=0处的速度梯度最大处的速度梯度最大满足牛顿粘性定律：满足牛顿粘性定律：wy式中：式中：粘滞力，粘滞力，N/m2; 动力粘度动力粘度, kg/(ms) 在速度边界层内存在较大的速度梯度，因此粘滞力在速度边界层内存在较大的速度梯度，因此粘滞力也较大。由于粘滞力的牵制，在这一边界层内流体微团也较大。由于粘滞力的牵制，在这一边界层内流体微团只能沿着壁面平行地

4、分层流动，称为层流边界层。只能沿着壁面平行地分层流动，称为层流边界层。流体流过固体壁面的流场就流体流过固体壁面的流场就人为地分成人为地分成两个不同的区域。两个不同的区域。tw t u t t 0 x其一是其一是边界层流动区，边界层流动区，这里流体的黏性力与流体的惯性力共这里流体的黏性力与流体的惯性力共同作用，引起流体速度发生显著变化；其二是同作用，引起流体速度发生显著变化；其二是势流区势流区，这里，这里流体黏性力的作用非常微弱，可视为无黏性的理想流体流动，流体黏性力的作用非常微弱，可视为无黏性的理想流体流动，也就是势流流动。也就是势流流动。当速度变化达到当速度变化达到 时的空间位置为速度边界层

5、的时的空间位置为速度边界层的外边缘，那么从这一点到壁面的距离就是边界层的厚度外边缘，那么从这一点到壁面的距离就是边界层的厚度 99. 0uu xtw t u t t 0 x 小：空气外掠平板，小：空气外掠平板，mm5 . 2 ;mm8 . 1200100mmxmmx理论关系式为理论关系式为 ：1211 22=5.0 5.0=5.0Rexxw xu x层u u =10m/s=10m/s：1 2=5.0 xv w层 11225.05.0Rexxw x要使边界层的厚度远小于流动方向上的尺度要使边界层的厚度远小于流动方向上的尺度( (即即 ) )，也就是也就是所说的边界层是一个薄层，这就要求雷诺数必须

6、足够所说的边界层是一个薄层，这就要求雷诺数必须足够的大的大, ,即即 1xx1Re 因此，对于流体流过平板，满足因此，对于流体流过平板，满足边界层假设的条件就是雷边界层假设的条件就是雷诺数足够大诺数足够大。由此也就知道，。由此也就知道，当速度很小、黏性很大时或当速度很小、黏性很大时或在平板的前沿，边界层是难以满足薄层性条件。在平板的前沿，边界层是难以满足薄层性条件。 随着随着x x的增大，的增大，（x x）也逐步增大，同时黏性力对流场也逐步增大，同时黏性力对流场的控制作用也逐步减弱的控制作用也逐步减弱，从而使边界层内的流动变得紊乱。，从而使边界层内的流动变得紊乱。 把边界层从层流过渡到紊流的把

7、边界层从层流过渡到紊流的x x值称为临界值，记为值称为临界值，记为x xc c，其所对应的雷诺数称为临界雷诺数，即其所对应的雷诺数称为临界雷诺数，即ccxuRe流体平行流体平行流过平板的流过平板的临界雷诺数大约是临界雷诺数大约是 5105Rec对于管内的流动运对于管内的流动运动，取动，取临界雷诺数临界雷诺数23002300粘性底层粘性底层：在紊流边界层内，由于紧贴壁面处那一层薄层内在紊流边界层内，由于紧贴壁面处那一层薄层内粘滞力甚大，流体仍具有层流的特征。粘滞力甚大，流体仍具有层流的特征。 紊流支层紊流支层：粘性底层上方称为紊流支层，在该层内粘滞力较粘性底层上方称为紊流支层，在该层内粘滞力较小

8、，流体具有紊流的特点。小，流体具有紊流的特点。 边界层厚度边界层厚度= =粘性底层粘性底层+ +紊流支层紊流支层 11099=29.4 mxw底1 54 5=0.37 mwx紊1 5=0.37 Rexx紊11099=29.4 mxw底1 2=5.0 xv w层 由以上两式可以发现，流体的主流速度由以上两式可以发现，流体的主流速度w越大，层流边越大，层流边界层厚度界层厚度层层以及粘性底层的厚度以及粘性底层的厚度底底越薄；越薄；x增大时，层流边增大时，层流边界层厚度界层厚度层层随随x0.5成正比增加，而粘性底层则随成正比增加，而粘性底层则随x0.1成正比增成正比增加，这表明当加，这表明当x增大时，

9、增大时，底底增加很少。增加很少。 (1) 边界层厚度边界层厚度 与壁的定型尺寸与壁的定型尺寸L相比极小，相比极小， L (2) 边界层内存在较大的速度梯度边界层内存在较大的速度梯度 (3) 边界层流态分层流与紊流；紊流边界层紧靠壁面边界层流态分层流与紊流；紊流边界层紧靠壁面处仍有层流特征，粘性底层（层流底层）处仍有层流特征，粘性底层（层流底层） (4) 流场可以划分为边界层区与主流区流场可以划分为边界层区与主流区（纵向）（纵向） 层流边界段：层流边界段：Re数很小，粘性力占优势，忽略数很小，粘性力占优势，忽略惯性力惯性力 过度边界段：过度边界段： Re数处于之间，粘性力和数处于之间，粘性力和惯

10、性力惯性力相当相当 紊流边界段：紊流边界段：Re数很大，数很大，惯性力惯性力主导，忽略粘性力主导，忽略粘性力惯性力惯性力 指当物体加速时，指当物体加速时，惯性惯性会使物体有保持原有会使物体有保持原有运动状态运动状态的的倾向，若是以该物体为倾向，若是以该物体为参照物参照物，看起来就仿佛有一股方向相，看起来就仿佛有一股方向相反的力作用在该物体上，因此称之为惯性力。因为惯性力实反的力作用在该物体上，因此称之为惯性力。因为惯性力实际上并不存在，实际存在的只有原本将该物体加速的力，因际上并不存在，实际存在的只有原本将该物体加速的力，因此惯性力又称为假想力。此惯性力又称为假想力。 惯性系惯性系: :相对于

11、地球静止或作匀速直线运动的物体相对于地球静止或作匀速直线运动的物体. .非惯性系非惯性系: :相对地面惯性系做加速运动的物体相对地面惯性系做加速运动的物体. .当流体流过平板而平板的温度当流体流过平板而平板的温度t tw w与来流流体的温度与来流流体的温度t t不相等不相等时，在时，在壁面上方也能形成温度发生显著变化的薄层，常称为壁面上方也能形成温度发生显著变化的薄层，常称为热边界层热边界层。 Tw当壁面与流体之间的温差达到壁面与来流流体之间的温差的当壁面与流体之间的温差达到壁面与来流流体之间的温差的0.990.99倍时，即倍时，即 ，此位置就是边界层，此位置就是边界层的外边缘，而该点到壁面之

12、间的距离则是的外边缘，而该点到壁面之间的距离则是热边界层的厚度热边界层的厚度, ,记为记为 99. 0)/()(ttttww xt湍流：温度呈幂函数湍流：温度呈幂函数分布分布层流：温度呈抛物线层流：温度呈抛物线分布分布湍流边界层贴壁处的湍流边界层贴壁处的温度梯度明显大于层温度梯度明显大于层流流故：湍流换热比层流换热强！故：湍流换热比层流换热强！在同一位置上在同一位置上热边界层厚度与速度边界层厚度的相对大小与热边界层厚度与速度边界层厚度的相对大小与流体的普朗特数流体的普朗特数PrPr有关有关，也就是与流体的热扩散特性和动量，也就是与流体的热扩散特性和动量扩散特性的相对大小有关。扩散特性的相对大小

13、有关。 31Pr026. 11xxt由此式可以看出，由此式可以看出，热边界层是否满足薄层性的条件，除了热边界层是否满足薄层性的条件，除了ReRe足够大之外还取决于普朗特数的大小，当普朗特数非常足够大之外还取决于普朗特数的大小，当普朗特数非常小时（小时（Pr1Pr1Pr1时，时，Pr=/aPr=/a，aa，粘性扩散，粘性扩散 热量扩散，速度边热量扩散，速度边界层厚度界层厚度 温度边界层厚度。温度边界层厚度。当当Pr1Pr1时，时，Pr=/aPr=/a，aa，粘性扩散，粘性扩散 热量扩散，速度边热量扩散，速度边界层厚度界层厚度 温度边界层厚度。温度边界层厚度。也可以从公式得出也可以从公式得出 31

14、Pr026. 11xxtT Tu uT Tx x0 0t tu ux x0 0t t(a)Pr1(a)Pr1热边界层的边界线将流体的温度场划分为两个区域，只有在热边界层的边界线将流体的温度场划分为两个区域，只有在热边界层中才有温度变化，而在热边界层以外可以认为温度梯热边界层中才有温度变化，而在热边界层以外可以认为温度梯度为零，当做等温流动区。度为零，当做等温流动区。对于层流，壁面法线方向热量传递靠导热方式，边界层内温对于层流，壁面法线方向热量传递靠导热方式，边界层内温度分布为抛物线；对于紊流，粘性底层的热量传递靠导热，而度分布为抛物线；对于紊流，粘性底层的热量传递靠导热，而在底层以外的紊流支层

15、，除导热外，主要靠速度脉动引起的对在底层以外的紊流支层，除导热外，主要靠速度脉动引起的对流混合作用。流混合作用。对于导热系数不高的流体，紊流换热热阻主要取决于粘性底对于导热系数不高的流体，紊流换热热阻主要取决于粘性底层的导热过程，边界层的温度梯度在粘性底层最大，而在紊流层的导热过程，边界层的温度梯度在粘性底层最大，而在紊流支层变化平缓。支层变化平缓。流型：层流和紊流流型：层流和紊流缩小计算区域。对对流换热问题的研究可集中在边界缩小计算区域。对对流换热问题的研究可集中在边界层区域内层区域内边界层内的流动与换热可以利用边界层的特点进一步边界层内的流动与换热可以利用边界层的特点进一步简化简化比较方程

16、中各量或各项的量级的比较方程中各量或各项的量级的相对大小相对大小；保留量；保留量级较大的量或项；舍去那些量级小的项，方程大大简化级较大的量或项；舍去那些量级小的项，方程大大简化)()()()(22222222yvxvypyvvxvuyuxuxpyuvxuuxu0yv 2222ytxtytvxtucp例：二维、稳态、例：二维、稳态、层流、忽略重力的、层流、忽略重力的对流换热为例对流换热为例主流速度：主流速度：);1 (0u温度：温度：);1 (0t壁面特征长度：壁面特征长度：);1 (0l边界层厚度：边界层厚度：)(0 );(0tx x 与与 l l 相当，即：相当，即：);1 (0 lx)(0

17、 0yy注意：注意：0(1)0(1)、0(0( ) )表示数量级为表示数量级为1 1和和 ，1 1 。“” “” 相当相当于于u u沿边界层厚度由沿边界层厚度由0 0到到u u : :由连续性方程：由连续性方程：) 1 (0uu) 1 (0luxuyv)(0 v(a) 0yvxu(b) )()2222yuxuxpyuvxuu（ 11 ）（）（221 11 1 11 1 1）（）（222 1 1 1 1(c) )()2222yvxvypyvvxvu（0yvxu22)yuxpyuvxuu（(d) )()2222ytxtytvxtucp（）（）（221 11 1 11 1 122)ytytvxtuc

18、p（表明：边界层内的压力梯度仅沿表明：边界层内的压力梯度仅沿 x x 方向变化，而边界层方向变化，而边界层内法向的压力梯度极小。内法向的压力梯度极小。边界层内任一截面压力与边界层内任一截面压力与 y y 无关而等于主流压力无关而等于主流压力)(0yp) 1 (0 xpdxdpxp dxduudxdp 由上式：22)uupuuvxyxy （)(0yp可视为边界层的又一特性可视为边界层的又一特性层流边界层对流层流边界层对流换热微分方程组：换热微分方程组：3 3个方程、个方程、3 3个未个未知量：知量：u u、v v、t t，方程封闭方程封闭如果配上相应的如果配上相应的定解条件，则可定解条件，则可以

19、求解以求解0yvxu221yudxdpyuvxuu22ytaytvxtudxduudxdp00dxdpdxdu，则若xu0yv 22()uuuuvxyy22ytytvxtucp边界条件：边界条件：constuttuuttvuyywyyy|,|, 0|, 0|000微分方程：微分方程：3/12/13/12/13/12/12/1,2/1PrRe332. 0PrRe332. 0PrRe332. 0Re664. 0Re0 . 5lhNuxhCxxxxxxxfx结果为：结果为：式中式中,Nux=x/为局部努赛尔数，无量纲，其大小反映了局部为局部努赛尔数，无量纲，其大小反映了局部换热的程度。换热的程度。(

20、1) (1) 建立边界层积分方程建立边界层积分方程 针对包括固体边界及边界层针对包括固体边界及边界层外边界在内的有限大小的控制容积；外边界在内的有限大小的控制容积；(2) (2) 对边界层内的速度和温度分布作出假设，常用的函对边界层内的速度和温度分布作出假设，常用的函数形式为多项式；数形式为多项式；(3) (3) 利用边界条件确定速度和温度分布中的常数，然后利用边界条件确定速度和温度分布中的常数，然后将速度分布和温度分布带入积分方程，解出将速度分布和温度分布带入积分方程，解出 和和 的计算式；的计算式；(4) (4) 根据求得的速度分布和温度分布计算固体边界上的根据求得的速度分布和温度分布计算

21、固体边界上的tNucytyufyy和及005-4 5-4 边界层积分方程组及其求解边界层积分方程组及其求解0()wxxww w dyx00d()|dlyttt udyaxy 边界层动量积分方程是把动量定律应用于一个控制容积导边界层动量积分方程是把动量定律应用于一个控制容积导出的。取出的。取常物性、不可压缩流体的二维稳态强制对流为对象常物性、不可压缩流体的二维稳态强制对流为对象作分析。作分析。 u u w w在流体中划出如图的控制容在流体中划出如图的控制容积，包括积，包括dxdx一段边界层，而一段边界层，而z z方向为单位长度。控制容方向为单位长度。控制容积左侧面为积左侧面为abab，右侧面为，

22、右侧面为cdcd，顶面为顶面为bdbd，底面为壁面的，底面为壁面的acac部分，即取部分，即取 acac为为dxdx。u u w w由于在边界层内由于在边界层内y y方向上的流方向上的流速很小，因此推导中只考虑速很小，因此推导中只考虑x x方向上的动量变化，不引入方向上的动量变化，不引入流速流速v v。图中给出了速度的分布曲线。图中给出了速度的分布曲线。 在距壁面在距壁面y y处流速为处流速为u u，在，在yy处处u=uu=u。 先计算单位时间内出入控制容积的动量之差。为此计算以先计算单位时间内出入控制容积的动量之差。为此计算以下各项：下各项： ldyu02u u w w而同时穿过而同时穿过c

23、dcd面流出的动量为面流出的动量为 dxdyudxddyull)(0202净流出的动量为净流出的动量为 )( )(02adxdyudxdl（2 2）没有流体穿过固体表面）没有流体穿过固体表面acac。但有流体质点穿过。但有流体质点穿过bdbd面。根面。根据质量守恒，穿过据质量守恒，穿过bdbd面流入控制容积的质量流量等于流出面流入控制容积的质量流量等于流出cdcd面与流入面与流入abab面的质量流量之差。面的质量流量之差。 流入流入abab面的质量流量为面的质量流量为: : ludy0流出流出cdcd面的质量流量面的质量流量: : dxudydxdudyll)(00于是穿过于是穿过bdbd面流

24、入控制容积的质量流量为面流入控制容积的质量流量为: : dxudydxdl)(0u u w w相应带入控制体的动量（略去相应带入控制体的动量（略去u u沿沿x x变化引入的高阶导数项）为变化引入的高阶导数项）为 (b) )(0ludydxddxu根据动量定律，在根据动量定律，在x x方向上的动量方向上的动量变化必须等于变化必须等于x x方向上作用在控制方向上作用在控制体表面上外力的代数和。体表面上外力的代数和。 作用在控制体表面上作用在控制体表面上x x方向上的外力，有作用于方向上的外力，有作用于acac面上的切应面上的切应力力w wdxdx以及以及abab和和cdcd两面压力之差两面压力之差

25、 dxdxdplplldxdxdpp)(u u w w于是动量定律可表达为于是动量定律可表达为 (c) )(002dxdxdpldxudydxddxudxdyudxdwll由于存在以下关系：由于存在以下关系： (d) )(000llludydxduudydxduudyudxd于是式于是式(c)(c)可改写成为可改写成为 dxdpludydxduudyudxddyudxdwlll)()(0002重新组合可得重新组合可得 (e) )(00dxdpludydxduudyuudxdwll由伯努利方程知由伯努利方程知 , ,而而dxduudxdp代入代入(e)(e)式，得式，得(e) )(00dxdpl

26、udydxduudyuudxdwll0()lwduu udydx根据边界层理论，在边界层外的主流区根据边界层理论，在边界层外的主流区u u-u=0-u=0。改写上式。改写上式积分上限得积分上限得 0() (1)wduu udydx这就是卡门在这就是卡门在19211921年导出的边界层动量积分方程。由积分年导出的边界层动量积分方程。由积分方程求出的分析解称为方程求出的分析解称为，以区别于微分方程的精确，以区别于微分方程的精确解解 . .0dudxu t t把能量守恒定律应用于控制容积可把能量守恒定律应用于控制容积可推导出边界层能量积分方程。推导出边界层能量积分方程。 x x方向上为方向上为dxd

27、x，y y方向上大于流动边界层即热边界层厚度，而方向上大于流动边界层即热边界层厚度，而z z方向上为单位长度的一个控制容积如图所示。方向上为单位长度的一个控制容积如图所示。 在在的条件下，考察控制容积的的条件下，考察控制容积的能量守恒。在边界层数量级分析中已经得出结论能量守恒。在边界层数量级分析中已经得出结论 ytxt22u t t（1 1）单位时间内穿过）单位时间内穿过abab面进入控面进入控制容积的热量为制容积的热量为(f) 0lptudyc单位时间内穿过单位时间内穿过cdcd面带出控制容面带出控制容积的热量为积的热量为 (g) )(00dxtudydxdctudyclplp（2 2）单位

28、时间内穿过）单位时间内穿过bdbd面进入控制容积的质量流量为面进入控制容积的质量流量为 dxudydxdl)(0由它带入控制容积的热量为由它带入控制容积的热量为: : (h) )(0dxudydxdtclpu t t（3 3）穿过）穿过acac面，因贴壁流体层导面，因贴壁流体层导热带出控制容积的热量为热带出控制容积的热量为 (i) |0yytdx在稳态条件下，根据能量守恒进入与带出控制容积的热量相在稳态条件下，根据能量守恒进入与带出控制容积的热量相等等，于是可得，于是可得: : dxudytdxdcytdxdxudydxdtclpylp)(|)(000整理后得整理后得 00|)(ylytaud

29、yttdxd因为在热边界层以外因为在热边界层以外t t-t=0-t=0，上式积分上限可改为，上式积分上限可改为t t，得，得 (2) |)(00yytaudyttdxdt作为边界层积分方程组求解的示例，仍以作为边界层积分方程组求解的示例，仍以的换热作为讨论对象的换热作为讨论对象。壁面具有定壁温的。壁面具有定壁温的边界条件。在常物性条件下，动量积分方程不受温度场的影边界条件。在常物性条件下，动量积分方程不受温度场的影响，可先单独求解，解出层流边界层厚度及摩擦系数，然后响，可先单独求解，解出层流边界层厚度及摩擦系数，然后求解能量积分方程，解出热边界层厚度及换热系数。求解能量积分方程，解出热边界层厚

30、度及换热系数。 0wydudy(3) |)(00ydyduudyuudxd为求解上式，还需补充边界层速度分布函数为求解上式，还需补充边界层速度分布函数u=f(y)。选用以。选用以下有下有4 4个任意常数的多项式作为速度分布的表达式个任意常数的多项式作为速度分布的表达式: : u=a+by+cy2+dy3式中，式中，4 4个待定常数由边界条件及边界层特性的推论确定，个待定常数由边界条件及边界层特性的推论确定，即即 y=0时时 u=0 =0 且且 022yuy=时时u= =u 且且 0yu由此求得由此求得4 4个待定常数为个待定常数为 330, , =0, 22uuabcd 于是速度分布表达式为于

31、是速度分布表达式为 (4) )(21233yyuu2329 (6)3802ududx以以 ，并按，并按x=0=0时，时，=0，将式，将式(6)分离变量，并积分得分离变量，并积分得将式将式(4)对对y求导，得壁面求导，得壁面(y=0)速度梯度速度梯度03 (5)2|yududy将式将式(4)(4)和和(5)(5)分别代入式分别代入式(3),(3),积分得积分得 00140 (7)13xddxu 4.64 (8)xu为为 1 24.64Re (9)xx其中其中Rex= ux/, ,其特性尺度为离平板前缘的距离其特性尺度为离平板前缘的距离x。 在在x处的壁面局部切应力处的壁面局部切应力: : xwu

32、Re323. 02 在工程计算中常使用局部切应力与流体动压头之比，称为摩在工程计算中常使用局部切应力与流体动压头之比，称为摩擦系数，亦称范宁摩擦系数，其表达式为擦系数，亦称范宁摩擦系数，其表达式为 212Re646. 021xwfuc(2) )(00yytaudyttdxdt 先求解热边界层厚度。为从式（先求解热边界层厚度。为从式（2 2）求解热边界层厚度，除）求解热边界层厚度，除u=f(y)u=f(y)已由式（已由式（4 4）确定外，还需要补充热边界层内的温度分）确定外，还需要补充热边界层内的温度分布函数布函数t=f(y)t=f(y)。对此，亦选用带。对此，亦选用带4 4个常数的多项式：个常数的多项式：t=e+fy+gyt=e+fy+gy2 2+hy+hy3 3式中，式中，4 4个待定常数由边界条件及热边界层特性的推论确定，个待定常数由边界条件及热边界层特性的推论确定，即即 y=0y=0时时 t=tt=tw w且且 022yty=y=时时 t= tt= t且且 0yt由此求得由此求得4 4个待定常数为个待定常数为: : e=tw g=0 twttf23321