运算方法和运算器

1、要点：要点： 1、掌握：数与字符在计算机内的表示，定、浮点数表示方法及标准格式。 2、理解： 进位链，ALU组成，补码加减，移位，浮点加减，无符号数一位乘、除，定点数的四则运算，阵列乘法器，阵列除法器，逻辑运算。 3、了解：BCD码，ASCII码，74182、74182 ALU逻辑电路图，浮点乘，除法，浮点运算器。n两种数据表示方式：定点数、浮点数。 1定点数定点数是小数点位置固定不变的数。由于小数点位置固定，小数点就不再使用记号“ ”来表示。我们通常将定点数分为定点小数和定点整数。n定点小数定点小数 定点小数的表示范围是： | x | 1 -n2n2n定点整数定点整数 定点整数的表示范围是：

2、1 | x | - 1n2n2浮点数浮点数 N = M式中M称为数 N 的尾数尾数(mantissa)，是一个纯小数；E 为数 N 的阶码阶码(exponent)，是一个整数，J称为比例因子 的底数（常取底数（常取2）。EJEJ若不对浮点数的表示作出明确规定，同一个浮点数的表示就不是唯一的。例如 11.01 也可以表示成 0.01101 ，0.1101 等等。为了提高数据的表示精度，当尾数的值不为 0 时，其绝对值应大于等于 0.5，即尾数域的最高有效位应为 1，否则要以修改阶码同时左右移小数点的方法，使其变成这一要求的表示形式，这称为浮点浮点数的规格化数的规格化表示。 3222例：计算机浮点

3、数格式如下，写出例：计算机浮点数格式如下，写出x=0.0001101Bx=0.0001101B的规格化的规格化形式，阶码是补码，尾数是原码。形式，阶码是补码，尾数是原码。x=0.0001101=0.1101x=0.0001101=0.1101* *2 2-3-3又又-3-3补补=-001B=-001B补补=1011=1011补补=1101B=1101B所以所以 规格化浮点数形式是规格化浮点数形式是 110101101000写出二进制数-101.1101B的浮点数形式，设阶码取4位补码，尾数是8位原码。 -101.1101=-0.1011101*浮点形式为：浮点形式为： 阶码0011 尾数110

4、11101补充解释：阶码0011中的最高位“0”表示指数的符号是正号，后面的“011”表示指数是“3”；尾数11011101的最高位“1”表明整个小数是负数，余下的1011101是真正的尾数。32IEEE 754 标准中 (IEEE为美国电子电机工程师学会) n溢出溢出当数据小于定点数能表示的最小值时，计算机将它们作0处理，称为下溢；大于定点数能表示的最大值时，计算机将无法表示，称为上溢，上溢和下溢统称为溢出。n机器零机器零 当一个浮点数的尾数为 0 时，不论其阶码为何值，或者当阶码的值遇到比它能表示的最小值还小时，不管其尾数为何值，计算机都把该浮点数看成 0 值，称为机器零。8位二进制数的浮

5、点数规格化浮点数分布示意图 阶码占 3 位，尾数占 5 位(各包括 1 位符号位) 3. 数的机器码表示数的机器码表示n带符号数的表示带符号数的表示n机器数与真值机器数与真值n原码原码 n反码反码 n补码补码 n移码移码 n真值：真值：数据的实际值数据的实际值n机器数：机器数：机器中编码表示的数机器中编码表示的数n带符号数的表示带符号数的表示通常数的最高位为符号位，对于字长通常数的最高位为符号位，对于字长8位机器数：位机器数： D7为符号位为符号位: 0表示表示“+”，1表示表示“”。符号数码化了。符号数码化了。 D6D0为数字位。为数字位。如如: X=（01011011）2=+91 X=（1

6、1011011）2= - 91连同符号位在一起作为一个数称为机器数，连同符号位在一起作为一个数称为机器数，机器数的数值称为的真值。机器数的数值称为的真值。如如: N1=+ 1011011 N2= - 1011011 为真值为真值0 1011011 1 101 1011 为机器数为机器数n 原码：原码：正数符号位用正数符号位用“0”表示，负数符号用表示，负数符号用“1”表示，表示，这种表示法称为原码。这种表示法称为原码。 X=+105 X原原= 0 1101001 X=-105 X原原= 1 1101001 符号符号 数值数值原码表示简单原码表示简单,真值真值 转换方便，减法不方便。转换方便，减

7、法不方便。引进引进反码，补码。反码，补码。n反码：反码： 正数反码表示与原码相同，正数反码表示与原码相同， (最高位最高位“0”表示正，其余位为数值位。表示正，其余位为数值位。) 负数的反码表示为负数原码的符号位不变尾数按位取反。负数的反码表示为负数原码的符号位不变尾数按位取反。例：例： +4反反 = 0 0000100-4反反 = 1 1111011 +127反反 = 0 1111111-127反反 = 1 0000000 +0反反 = 0 0000000 -0反反 = 1 1111111n补码：补码： 正数的补码表示与原码相同，正数的补码表示与原码相同， (最高位最高位 用用“0”表示正，

8、其余位为数值位表示正，其余位为数值位.) 负数的补码表示为它的反码负数的补码表示为它的反码+1。+127原原=0 1111111 +0原原=0 0000000-127反反=1 0000000 -0反反=1 1111111-127补补=1 0000001 -0补补=0 0000000引入原码的目的引入原码的目的:使符号位能与有效值部分一起参加运算使符号位能与有效值部分一起参加运算,从而简化运算规则从而简化运算规则.使减法运算转换为加法运算使减法运算转换为加法运算,进一步简化计算机中运算器的线路设进一步简化计算机中运算器的线路设计计引进补码以后，做原码的减法与做补码的加法结引进补码以后，做原码的减

9、法与做补码的加法结果相同但必须以果相同但必须以 为模。为模。先以十进制为例说明补码的用法。先以十进制为例说明补码的用法。7-4=3 7-(10-6)=3 7+6=13-10=36是是4以以10为模的补码，减为模的补码，减4就可以变成就可以变成+6计算。计算。对三位十进制数来讲：对三位十进制数来讲： 9 1 6 317=599 9 1 6 + 6 8 3 = 1 5 9 91 0 0 0= 5 9 9则则683是是317以以1000为模的补码为模的补码如何得到如何得到683？ 1 0 0 0 - 3 1 7 = 6 8 3 （补码）（补码）逐位减不必借位逐位减不必借位+1 1 + 9 9 9 -

10、 3 1 7= 1 + 6 8 2 (反码）反码）从定义出发得出补码求法：从定义出发得出补码求法：X补补=P n +X N位位P进制的补码，将进制的补码，将P n-1按位减去后再按位减去后再+1得到补码。得到补码。对于二进制补码：对于二进制补码： 0111 0101= 0010 7 5= 2 p=2, n=4 ， 模模24=10000 =1111+1 11110101 +1 = 1010+1 = 1011 P n-1 0101的反码的反码 0101补码补码 （ 即即0101的反码的反码+1）0 1 1 1 - 0 1 0 1= 0 0 1 00 1 1 1 + 1 0 1 1 = 1 0 0

11、1 0 - 1 0 0 0 0= 0 0 1 0 0101补码补码模模移 n移码移码对于同一个整数，其移码与其补码数值位完全相对于同一个整数，其移码与其补码数值位完全相同，而符号位正好相反同，而符号位正好相反 n2n2n2例题：例题：将十进制真值将十进制真值 x = -127 ,1,0,1,127分别表示为分别表示为8位原码、反码、位原码、反码、补码、移码值。补码、移码值。 解解: 原码反码补码移码-12711111111100000001000000100000001-110000001111111101111111101111111-0100000001111111100000000100

12、00000+000000000000000000000000010000000+100000001000000010000000110000001+12701111111011111110111111111111111n三种码制之间关系及特点：三种码制之间关系及特点：nX补补补补=X原原nX反反反反=X原原正数：正数：原，反，补相同原，反，补相同负数：负数：原，反，补不同，但最高位为原，反，补不同，但最高位为1。负数负数: 原原反，反， 符号位不变，尾数按位求反符号位不变，尾数按位求反 原原补补 ，符号位不变，尾数按位求反，符号位不变，尾数按位求反+1 补补原，原， 符号位不变，尾数求反符号位

13、不变，尾数求反+1 反反原原 ，符号位不变，尾数求反，符号位不变，尾数求反.小结小结n “0”的表示的表示 原码原码反码反码补码补码+0原原=00000+0反反=00000+0补补=00000-0原原=10000-0反反=11111-0补补=00000 n 数的表示范围：数的表示范围：8位二进制数位二进制数无符号数：无符号数：0255原原 码码 ：-127+127反反 码码 ：-127+127补补 码码 ：-128+127在补码中用在补码中用(-128)代替了代替了(-0) :(-128)没有相对应的原码和反码没有相对应的原码和反码常用常用8421码，每一位码，每一位十进制数十进制数用用四位二

14、进制编码表示。四位二进制编码表示。 1111B9D1001BCD 10D 0001 0000BCDBCD码与二进制数之间转换没有直接关系，码与二进制数之间转换没有直接关系，必须先转换成十进制必须先转换成十进制,然后转换成二进制。然后转换成二进制。例：例： 11111111B=255D=0010,0101,0101BCD0010,0101,0101BCD255D=1111 1111B4. BCD码码5.非数值数据在机内的表示非数值数据在机内的表示 n字符字符:主要指数字、字母、通用符号、控制符号等 nASCII 码 000 001 010 011 100 101 110 111 0000 NUL

15、 DEL SP 0 P p 0001 SOH DC1 ! 1 A Q a q 0010 STX DC2 2 B R b r 0011 ETX DC3 # 3 C S c s 0100 EOT DC4 $ 4 D T d t 0101 ENQ NAK % 5 E U e u 0110 ACK SYN & 6 F V f v 0111 DEL ETB 7 G W g w 1000 BS CAN ( 8 H X h x 1001 HT EM ) 9 I Y i y 1010 LF SUB * : J Z j z 1011 VT ESC + ; K k 1100 FF FS , N n 111

16、1 SI US / ? O _ o DEL 汉字汉字 n汉字的编码有输入码、内码、字形码三种 n输入码n数字编码、拼音码 、字形编码 ；n内码n用于汉字信息的存储、交换检索等操作的机内代码；n 字形码n点阵表示法、矢量表示法 ；二、定点加法、减法运算n1.补码运算方法的特点补码运算方法的特点:参与运算的数均用补码表示,补码运算的结果亦为补码按二进制运算规则,逢二进一符号位要作为数的一部分一起参加运算,结果的符号位由运算得出符号位运算产生的进位要丢掉,产生的和即为结果的符号位n【例】【例】 x = 0.1010，y = -0.0101，求，求 x补补 + y补补 = ？n解解: 补0.1010,

17、 补1.1011 补 0.1010 补1.1011 补1 0.0101 丢掉所以 x补补 + y补补 + 1.0101n1.补码加法补码加法的公式是： x 补补 + y 补补 = x + y 补补 ( mod 2 )n2.补码减法补码减法的公式是： nx-y补补=x补补-y补补=x补补+-y补补 ( mod 2 )【例】【例】 x = - 0.1100，y = - 0.0110，求，求 x补补 - y补补 = ?解解:补1.0100, 补1.1010, 补0.0110补 1.0100补0.0110补 1.1010所以x补补 - y补补 = 1.1010- 0.0110 3.溢出概念及检测溢出概

18、念及检测 n两个正数相加，结果大于机器所能表示的最大正数，称为正溢正溢。而两个负数相加，结果小于机器所能表示的最小负数，称为负溢负溢。n两种检测方法两种检测方法 变形补码操作检测方法变形补码操作检测方法 单符号位操作检测方法单符号位操作检测方法 变形补码操作检测方法变形补码操作检测方法n采用双符号位的补码，正数的符号用采用双符号位的补码，正数的符号用“00”表示，负数的符号用表示，负数的符号用“11”表示：表示：n补补 204 02n采用变形补码后，加减法的运算公式同样成立。采用变形补码后，加减法的运算公式同样成立。(1)两个符号位都看作数码一样参加运算；两个符号位都看作数码一样参加运算；(2

19、)两数进行以两数进行以4为模的加法，即最高符号位上产生的进位要丢掉。为模的加法，即最高符号位上产生的进位要丢掉。 n采用变形补码后，正数的符号以采用变形补码后，正数的符号以“00”表示，负数的符号以表示，负数的符号以“11”表示。表示。运算结果也应满足此要求，运算结果也应满足此要求，若运算结果的两个符号位相同，表示运算若运算结果的两个符号位相同，表示运算结果正确，若运算结果的两个符号位不同，表示产生了溢出。结果正确，若运算结果的两个符号位不同，表示产生了溢出。故溢出故溢出逻辑表达式为逻辑表达式为 V = Sf1 Sf2 ,其中其中 Sf1 与与 Sf2 分别为第一符号位和分别为第一符号位和第二

20、符号位。第二符号位。n不论溢出与否，第一符号位永远表示结果的正确符号，若两个符号位不论溢出与否，第一符号位永远表示结果的正确符号，若两个符号位为为“01”，表示，表示正溢出正溢出；若两个符号位为；若两个符号位为 “10”，表示，表示负溢出负溢出。单符号位操作检测方法单符号位操作检测方法n当操作数中的加数与被加数符号相同时，当操作数中的加数与被加数符号相同时，若运算结果的符号与操作数的符号不一致，若运算结果的符号与操作数的符号不一致，表示溢出；否则，表示没有溢出。而当加表示溢出；否则，表示没有溢出。而当加数和被加数符号不同时，相加运算的结果数和被加数符号不同时，相加运算的结果是绝对不会溢出的。是

21、绝对不会溢出的。 n V = C f C 0 其中其中Cf 为符号位产生的进位，为符号位产生的进位，C0 为最高有效位产生的进位为最高有效位产生的进位 典型门电路的逻辑符号和时间延迟典型门电路的逻辑符号和时间延迟门的名称 门的功能 逻辑符号(正逻辑) 以T的个数表示的 时间延迟 与非 NAND T 或非 NOR T 非 NOT T 与 AND 2T 或 OR 2T 异或 XOR 3T 异或非 XNOR 3T 接线逻辑 (与或非) AOI T + Trc 二进制加二进制加/减法器减法器输入输出AiBiCiSiCi10000000110010100110110010101011100111111一

22、位全加器真值表一位全加器真值表 SiAi Bi CiCi1AiBiBiCiCiAi两个二进制数字两个二进制数字Ai,Bi和一个进位输入和一个进位输入Ci相加相加,产生一个和输出产生一个和输出Si,以及一个进位输出以及一个进位输出Ci1。n一位全加器(FA) 逻辑电路Si的时间延迟为6T(每级异或门延迟3T)，Ci+1的时间延迟为5T 一位全加器一位全加器(FA)的逻辑表达式还可以用的逻辑表达式还可以用“与或非与或非”形式写出形式写出-见图见图(b) 补码运算的二进制加法/减法器的逻辑结构图演示 十进制加十进制加/减法器减法器【例【例2.2.9 2.2.9 】 28 + 9 = 37 00101

23、000 + 00001001 = ？ 解解: 十位 个位 0010 1000 + 1 1001 0011 1 0001 + 0110 校正值 0011 0111 一位BCD加法器单元的逻辑结构演示 三、定点乘法运算三、定点乘法运算 n1.原码原码1位乘法位乘法 (定点小数)被乘数被乘数 x原原 = xf .x0 x1 x2 xn 乘数 y原原 = yf .y0 y1 y2 yn则乘积 z 原原 = ( xf yf ) . (0. x0 x1 x2 xn)(0 . y1 y2 yn)式中，xf为被乘数符号，yf为乘数符号。【例【例 】 x = 0.1101， y = 0.1011，用原码一位乘法

24、计算，用原码一位乘法计算 x y = ？ 解解: 求解过程如下：求解过程如下： 演示演示 尾数为尾数为n,则加则加n次次,右移右移n次次符号位数值位分开运算符号位数值位分开运算结果的数值部分是乘数和被乘数数值位的乘积结果的数值部分是乘数和被乘数数值位的乘积结果的符号位是乘数和被乘数符号位的异或结果的符号位是乘数和被乘数符号位的异或原码一位乘法逻辑结构原理图nR0：存放部分积：存放部分积z，初始状态为，初始状态为0； nR2：存放被乘数：存放被乘数x； nR1：存放乘数：存放乘数y； nR0、R1是具有右移功能的移位寄存器，由是具有右移功能的移位寄存器，由LDR0，LDR1控制其移位。控制其移位

25、。 n加法器：完成部分积与位积的累加；加法器：完成部分积与位积的累加； n计数器：对移位的次数进行计数，以便判断乘法运算计数器：对移位的次数进行计数，以便判断乘法运算 n 是否结束。当计数器是否结束。当计数器i=n时，计数器时，计数器i的溢出的溢出 n 信号使控制触发器信号使控制触发器Cx置置0，关闭时序脉冲，关闭时序脉冲T， n 乘法操作结束。乘法操作结束。补码补码1位乘法位乘法 n补码一位乘法运算规则补码一位乘法运算规则(1) 如果 yn = yn+1，部分积 zi 加0，再右移一位；(2) 如果 ynyn+1 = 01，部分积加 x 补，再右移一位；(3) 如果 yn yn+1 = 10

26、，部分积加 - x补，再右移一位；这样重复进行 n+1 步，但最后一步不移位。包括一位符号位，所得乘积为 2n+1 位，其中 n 为尾数位数。【例【例 】 x = 0.1101， y = 0.1011，用补码一位乘法计算，用补码一位乘法计算 x y = ？ 解解: 求解过程如下：求解过程如下： 演示演示 尾数为尾数为n,则加则加n+1次次,右移右移n次次符号位由运算得来符号位由运算得来补码一位乘法逻辑原理图补码一位乘法逻辑原理图执行补码一位乘法的总时间为执行补码一位乘法的总时间为 tm = ( n + 1 ) ta + ntr 其中 n 为尾数位数，ta 为执行一次加法操作的时间，tr 为执行

27、一次移位操作的时间n不带符号的阵列乘法器 演示 并行乘法器比串行效率大大提高 m 位位 n 位不带符号的阵列乘法器逻辑框图位不带符号的阵列乘法器逻辑框图 四、定点除法运算 被除数x，其原码为 x原原 = xf . x1 x2 xn除数y，其原码为y原原 = yf . y1 y2 yn 设商为q = x/y，其原码为 q原原 = ( xf yf ). ( x1 x2 xn / y1 y2 yn ) n原码原码1位除法位除法 n加减交替法加减交替法原码加减交替法的规则是：当余数为正时，商原码加减交替法的规则是：当余数为正时，商“1”，余数左移一位，余数左移一位减除数；当余数为负时，商减除数；当余数

28、为负时，商“0”，余数左移一位，加除数。，余数左移一位，加除数。当运算过程中出现不够减的情况，不必恢复余数，而是当运算过程中出现不够减的情况，不必恢复余数，而是 根据余数的符号，继续往下运算，因此步数固定，控制简单。根据余数的符号，继续往下运算，因此步数固定，控制简单。运算规则：运算规则： 当余数为正时，商当余数为正时，商1，余数左移一位，减除数；，余数左移一位，减除数； 当余数为负时，商当余数为负时，商0，余数右移一位，加除数。，余数右移一位，加除数。 【例【例2】x=0.1001, y=0.1011, 用加减交替法求用加减交替法求 x/y. 解：解：x原原=x补补= x =.1001, y

29、补补=0.1011, - y补补=1.010【例】【例】 x = 0.101001，y = 0.111，求，求 x y 解解: 求解过程如下：求解过程如下： 演示演示 练习时间练习时间n用补码运算求用补码运算求X.Y补补(1)x=-3, y=-7(2)x=0.101B, y=-0.011B五、逻辑运算五、逻辑运算 n逻辑非逻辑非 xi i 0110【例【例 】 1 101001011,01001011,2 211110000,11110000,求求1 1 ，2 2。解解:1 110110100101101002 20000111100001111n逻辑或逻辑或 000011101111【例【例

30、 】 10100001,10011011, 求求。解解:1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 即 10111011n逻辑与逻辑与000010100111【例【例 】 10111001,11110011,求求 x。解解:1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 1 0 0 0 1 即 10110001n逻辑异或逻辑异或 000011101110【例【例 】 10101011,11001100,求求 。解解:1 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 1 即

31、01100111移位操作移位操作n算术移位:n左移相当于”*2”,右移相当于”/2”;n左移末位补”0”,右移首位补符号位;n逻辑移位n左移、右移,空位均补”0”,n循环移位(参见web计算机组成原理2.4)逻辑门符号表示六、定点运算器的组成和结构 n运算器运算器是数据的加工处理部件,是CPU的重要组成部分,基本构件包括:n算术/逻辑运算单元(ALU)n数据寄存器n累加器n多路转换器n数据总线运算器的功能：运算器的功能：首要功能是完成数据的算术和逻辑运算。由ALU实现：给出运算结果和结果的某些特征。第二项功能是暂存运算数据和中间结果。由通用寄存器实现：区别于专用寄存器。第三项功能是用硬件完成乘

32、除指令运算。由乘商寄存器实现：能自行左右移位（专用）。第四项功能是作为处理机内传送数据的通路。运算器的控制与操作：运算器的控制与操作：正确地向运算器提供控制信号，解决正确向运算器提供参加运算数据的种种问题。给出正确的数据来源何正确的控制信号，运算器就执行规定的操作功能。在计算机整机运行过程中，运算器用到的控制信号是由计算机的控制器部件提供的。n1.功能算术逻辑运算单元功能算术逻辑运算单元(ALU)ALUALU的逻辑结构原理图的逻辑结构原理图 FiYi Xi Cn+iCni1YiXiCni+Cn+i Xi多功能算术逻辑运算单元(ALU)，不仅具有多种算术运算和逻辑运算的功能，而且具有先行进位逻辑

33、，从而能实现高速运算。 n2. Xi，Yi与控制参数和输入量与控制参数和输入量 XiS2S3 S2S3 （AiBi） S2S3 （AiBi） S2S3 AiYiS0S1AiS0S1AiBiS0S1AiBiCn4GPCn 先行进位逻辑；n3.算术逻辑运算的实现算术逻辑运算的实现 控制端M0时,进行算术操作算术操作;M1时时,封锁了各位的进位输出封锁了各位的进位输出,进行逻辑操作进行逻辑操作; 正逻辑操作(即高电平为“1”，低电平为“0”)。反逻辑相反 n4.内部总线总线总线，就是一个或多个信息源传送信息到多个目的的数据通路，它是多个部件之间传送信息的一级传输线 内部总线内部总线是指CPU内各部件

34、的连线;外部总线外部总线是指系统总线，即CPU与存储器、IO系统之间的连线。 单向总线单向总线，就是信息只能向一个方向传送。所谓双向双向总线总线，就是信息可以向两个方向传送，即可以发送数据，也可以接收数据。逻辑电路往往是三态的，即输出电平有三种状态：逻辑“1”、逻辑“0”和“浮空”状态。 n三种总线结构形式单总线 双总线三总线演示演示 演示演示 演示演示 操作速度较慢控制电路简单 操作速度较快控制电路复杂 七、浮点运算方法和浮点运算器 浮点运算器是主要用于对计算机内的浮点数进行浮点运算器是主要用于对计算机内的浮点数进行运算的部件。运算的部件。浮点数通常由阶码和尾数两部分组成，阶码是整浮点数通常

35、由阶码和尾数两部分组成，阶码是整数形式，尾数是定点小数形式，执行的操作不相数形式，尾数是定点小数形式，执行的操作不相同。同。浮点运算器总是由处理阶码和处理尾数的两部分浮点运算器总是由处理阶码和处理尾数的两部分逻辑线路组成。逻辑线路组成。n1.浮点加法和减法浮点加法和减法 n1、 0 操作数的检查；操作数的检查；n2、 比较阶码大小并完成对阶；比较阶码大小并完成对阶；n3、尾数进行加或减运算；、尾数进行加或减运算；n4、结果规格化并进行舍入处理。、结果规格化并进行舍入处理。 【例【例 】 设设20100.11011011,2100(0.10101100),求求。解解:为了便于直观理解,假设两数均以补码表示,阶码采用双符号位,尾数采用单符号位,则它们的浮点表示分别为浮00 010,0.11011011浮00 100,1.01010100 求阶差并对阶E补EEE补E补00 01011 10011 110 即E为2,的阶码小,应使M右移两位,E加2, 浮00 100,0.00110110(11) 其中(11)表示M右移2位后移出的最低两位数。 尾数求和0. 0 0 1 1 0