电工基础第2章线性电路的等效变换法

1、第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 第第2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 2.1 电阻的串联和并联电阻的串联和并联 2.2 电阻的星形连接和三角形连接的等效变换电阻的星形连接和三角形连接的等效变换 2.3 电感元件与电容元件的连接电感元件与电容元件的连接 2.4 电源的等效变换电源的等效变换 2.5 叠加定理与替代定理叠加定理与替代定理 2.6 戴维南定理与诺顿定理戴维南定理与诺顿定理 习题习题2 第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 2.1 电阻的串联和并联电阻的串联和并联 如图2.1所示， 电路均为线性二端网络， 若给电路（a）和（

2、b）施加相同的电压u， 两电路产生的电流i和i相等， 则电路（a）和（b）对外电路等效（equivalent network）, 即对外电路来说， 可用电路（a）替换电路（b）， 也可以用电路（b）替换电路（a）。 这就是电路的等效变换。 第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 2.1 电阻的串联和并联 nabui(a)u(b)niab第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 2.1.1 电阻的串联及其分压#; 多个电阻首尾依次相连构成电阻的串联。 图2.2（a）所示的电路是n个电阻串联电路。 从连接的形式上看， 这n个电阻流过同一电流。 设各段电压的参考方向

3、与电流i为关联参考方向， 根据kvl， 有 u=u1+u2+un 由于每个电阻上的电流均为i, 则有 u1=r1i, u2=r2i, , un=rni第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 代入上式得 u=r1i+r2i+rni=(r1+r2+rn)i=ri 其中knknrrrriur121（2-1） 第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 r称为n个电阻串联的等效电阻, 它等于各个串联电阻之和, 其等效电路如图2.2(b)所示。 各电阻上的电压关系为rurururunn2211（2-2） 由此可以看出, 多个电阻串联时， 电压的分配与电阻成正比。 也就是说

4、， 电阻越大分得的电压也越大， 电阻越小分得的电压也越小。 第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 图 2.2 电阻的串联及其等效iu1r1u2r2unrnu(a)(b)iru第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 在应用式（2-2）时应注意， 各段电压与电流的参考方向均为关联方向。 否则， 我们可以看图2.3， 在图2.3(a)中， u1与i为关联方向， 则i=u1/r1， u2与i为非关联方向， 则i=-u2/r2， 故有2211ruru第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 图 2.3 r1、r2串联电路 iu1r1u2r2u(a)(

5、b)iu1r1u2r2u第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 在图2.3(b)中， u1和u2与i均为非关联方向， 在电阻r1上， i=-u1/r1， 在电阻r2上， i=-u2/r2， 故有2211ruru通过此例， 读者可以知道电阻串联分压公式的使用方法。第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 例2.1 一个内阻rg为1 k， 电流灵敏度ig为10 a的表头， 今欲将其改装成量程为10 v的电压表， 问需串联一个多大电阻？ 解 由图2.4可知kriurirrugggg999100101010)(6第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法

6、 图2.4 例2.1图 rurgabig第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 2.1.2 电阻的并联及其分流 若n个电阻首端连接在一起， 尾端连接在一起， 使之施以同一电压的电路， 称为n个电阻的并联电路。 图2.5（a)即为n个电阻的并联电路。 第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 图 2.5 电阻的并联及其等效电路ii1r1abui2r2inrn(a)irabu(b)第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 在图2.5(a)中， 根据kcl， 有 i=i1+i2+in 由于电流i、 i1、in均与电压u成关联方向， 故有nnruiru

7、irui,2211第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 将其代入上式得 guugggurrrrururuinnn)()111(212121第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 其中, g1、g2、gn分别为n个电阻r1、r2、rn的电导， g为n个电阻并联的等效电导。 knkngggguig121 （2-3） 并联后的等效电阻r为 knkngrrrr1211111并联后各电阻上的电流关系为 r1i1=r2i2=rnin=ri （2-4）第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 由此可以看出， 多个电阻并联时， 电流的分配与电阻成反比。 即

8、电阻越大， 其分得的电流越小； 而电 阻越小， 其分得的电流越大。 应用特例： 两个电阻的并联， 如图2.6(a)所示。 第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 图 2.6 r1、r2并联电路ii1r1ui2r2(a)(b)ii1r1ui2r2ii1r1ui2r2(c)(d)ii1r1ui2r2第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 其等效电阻为212121111rrrrrrr支路电流为 irrrrrrrrrrirui21212121111第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 同理可证 irrri2112在图2.6(a)中， i、 i1、

9、 i2均与端电压u为关联方向。 否则， 如图2.6(b)所示， i和i1与端电压u为关联方向， 而i2与端电压u为非关联方向， 则有irrrrirrrrrrirui21212121111第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 在图2.6(c)中， i与端电压u为关联方向， 而i1和i2与端电压u为非关联方向, 则有irrrrirrrrrrirui21122121222irrrrirrrrrriruiirrrrirrrrrrirui2112212122221212121111第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 在图2.6(d)中， i、 i1和i2与端电压

10、u均为非关联方向， 则有 irrrrirrrrrrirui21212121111irrrrirrrrrrirui21122121222第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 例2.2 一个内阻rg为1 k， 电流灵敏度ig为10 a的表头， 今欲将其改装成量程为100 ma的电流表， 问需并联一个多大电阻？图2.7 例2.2图 urgrigir第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 解 由图2.7可知1 . 010101010010101000636gggrgggriiiriirrirri第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 2.1.3

11、电阻混联的分析与计算 若在电阻的连接中既有串联， 又有并联， 则把这种电路称为混联。 在电阻的混联电路中， 若各个电阻的串、 并联关系为直接串、 并联电路， 则电路中的各量可根据串、 并联电路的公式进行计算。 第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 例2.3 如图2.8所示的电路， 已知u=100 v， r1=7.2 ， r2=64 , r3=6 , r4=10 ， 求电路的等效电阻及其各支路的电流。 图2.8 例2.3图 i1r2ur4r1i2i3r3第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 解 由图2.8可知， r3与r4串联， 再与r2并联， 之后与r1

12、串联。 其等效电阻为20)106(64)106(642 . 7)()(4324321rrrrrrrr第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 各支路电流分别为 aiiiairrrrriarui145151066410652010021314324321第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 例2.4 求如图2.9(a)所示电路的等效电阻。 图 2.9 例2.4图 a(b)6 3 2 ba(a)6 3 4 b2 第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 解 由图可知， 6 、 3 和2 电阻分别连到a和b两点， 而4 电阻两端连到同一点b上， 故

13、被短路。 这样， 图2.9(a)的电路可以等效成图2.9（b）的电路。 其等效电阻为12131611r若电路中除了电阻， 还包含受控源， 其等效电阻可用伏安法来计算。 在端电压u与总电流i关联的方向下， 等效电阻req=u/i。 第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 例2.5 如图2.10所示的电路， 已知r1=12 , ic=2i1, 求rab。 解 根据kcl， 有i=i1+ic=3i1。 而i1=uab/r1， 代入得i=3uab/r1。 由此得 431231riurabab第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 上述这种方法在纯电阻电路中同样适用。

14、 如图2.11所示， 等效电阻rab为riuriririruababab65363第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 图2.10 例2.5图 r1i1iabuic第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 图2.11 等效电阻的计算rrrrrrrriabrrrr3i6i第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 【思考与练习题】 1. 如图2.12所示的电路， 已知u=100 v, r1=80 , r2=20 。 求各图中的未知量。 第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 图 2.12 题1图 iu1r1u2r2u(a)(b)

15、iu1r1u2r2uiu1r1u2r2u(c)iu1r1u2r2u(d) 第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 2. 当日光灯或电炉子的电阻丝烧断后， 再将其接起来， 日光灯会比原来更亮， 电炉子会比原来热得更快。 这是为什么？ 3. 如图2.13所示， 求开关s1、 s2、 s3、 s4依次闭合后， 电路的等效电阻。 通过计算判断， 一个电路中并联的电阻越多， 其等效电阻越大还是越小。 并根据这个原理解释一下电路的超载问题。第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 图2.13 题3图 as460 s360 s260 s160 b第第2 2章章 线性电路的等

16、效变换法线性电路的等效变换法 2.2 电阻的星形连接和三角形连接的等效变换电阻的星形连接和三角形连接的等效变换 在电阻性电路中， 有时候电阻的连接既不是串联也不是并联， 这样用我们上一节介绍的知识是不能解决问题的。 例如， 在图2.14(a)所示的电路中， 要计算电阻rab就不能直接用串、 并联的方法。 如果对电路加以改变， 如将连接到三个节点1、 2、 3且构成三角形连接的电阻r12、 r23、 r31变成星形连接， 如图2.14(b)所示，用星形连接的三个电阻r1、 r2、 r3等效替换r12、 r23、 r31， 这样就可以利用串、 并联的方法计算等效电阻rab了。 第第2 2章章 线性

17、电路的等效变换法线性电路的等效变换法 图2.14 电阻的星形连接与三角形连接的应用举例 1234abr23r12r31r34r42(a)(b)1ar14b23r34r2r3r42第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 2.2.1 基本概念 什么是电阻的星形连接和三角形连接呢？ 电阻的星形连接也称为y连接。 如图2.15（a）所示的电路中， 三个电阻r1、r2、 r3一端接到一个公共节点上， 另一端与外电路1、 2、 3点相连， 这样的三个电阻构成y连接。 电阻的三角形连接也称为连接。 如图2.15(b)所示的电路中， 三个电阻r12、 r23、 r31分别连到外电路1、 2、

18、 3点， 这样的三个电阻构成连接。第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 图 2.15 电阻的星形连接和三角形连接i1r113(a)r3i3r2i22(b)i23r23213i12i31r31r121i2i3i第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 2.2.2 电阻的星形连接和三角形连接的等效变换 怎样实现电阻的星形连接和三角形连接的等效变换呢？我们可以根据等效变换的概念来实现。 如图2.15所示的电路， 在图（a）中， 三个电阻构成星形连接， 在图(b)中， 三个电阻构成三角形连接， 两电路对外均连接在1、 2、 3节点上， 若在两电路的对应端加上相同的电

19、压u12、 u23、 u31， 且流入对应端的电流分别相等， 即i1=i1， i2=i2, i3=i3， 则这两个电路对外等效。 第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 对于连接电路， 各电阻中的电流为313131232323121212,ruiruirui根据kcl， 各端电流分别为 232331313231223232313112121ruruiruruirurui（2-5） 第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 对于y连接电路， 根据kcl和kvl可得方程组 i1+i2+i3=0 r1i1-r2i2=u12 r2i2-r3i3=u23 第第2 2章章

20、 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 解方程组得 133221231133221312313322112313322123121332213121332211231rrrrrrurrrrrrrurirrrrrrurrrrrrrurirrrrrrurrrrrrruri（2-6） 第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 根据等效变换的条件， 式（2-5）和式（2-6）各项对应系数应相等。 于是得电阻的连接计算公式， 即213322131113322123313322112rrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrrr （2-7） 第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电

21、路的等效变换法 利用式（2-7）可以将电阻的y连接等效替换成电阻的连接， 同时利用式（2-7）也可以求出将电阻的连接等效替换成电阻的y连接计算公式, 即312312233133123121223231231231121rrrrrrrrrrrrrrrrrr（2-8）第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 式（2-7）和式（2-8）等效变换公式非常有规律， 可结合电阻在不同电路中的表示方式来记忆。 一种特例， 若y连接中三个电阻相等， 即r1=r2=r3=ry， 则等效连接中三个电阻也相等， 它们为r12=r23=r31=r=3ry。第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的

22、等效变换法 2.2.3 应用举例 例2.6 求图2.16(a)所示桥形电路的总电阻rab。 解 方法一： 将连接到节点1、 2、 3上三个连接的电阻等效变换成y连接。由于r=6 ， 可得 ， 等效电路如图2.16(b)所示。 对应等效电阻为263131rry314)22()62()22()62(2abr第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 图 2.16 例2.6图 1234ab(a)(b)1a4b236 6 6 6 2 2 2 6 2 2 (c)1ab18 4318 18 2 6 第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 方法二： 将连接到节点2上的三个电阻

23、等效变换成连接。 由于ry=6 ， 可得r=3ry=36=18 ， 等效电路如图2.16(c)所示。 对应等效电阻为3141818218218618618182182186186abr第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 【思考与练习题】 1. 写出电阻的y连接与连接等效变换公式。 2. 电路如图2.17所示， 若求电阻rab， 有几种等效方法？试画出其等效电路图。第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 图 2.17 题2图 abr2r4r1r5r6r3第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 2.3 电感元件与电容元件的连接电感元件与电容

24、元件的连接 2.3.1 电感元件的串、 并联及其等效 1. 电感元件的串联及其分压特性 如图2.18(a)所示为n个电感串联电路。 根据kvl, 有 u=u1+u2+un 而每个电感上电流与电压有如下关系：dtdiludtdiludtdilunn,2211第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 将其代入上式得dtdildtdillldtdildtdildtdilunn)(2121其中 knknlllll121（2-9） 第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 l称为n个无耦合电感串联的等效电感， 它等于各电感之和， 等效电路如图2.18(b)所示。 同时由上

25、述各电感上电流与电压的关系， 可得各电感上的电压关系为lulululunn2211 （2-10） 由式（2-10）可知， 当多个电感串联时， 电压的分配与电感成正比。 第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 图 2.18 多个电感串联及其等效电路il1u1l2u2lnunu(a)ilu(b)第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 2. 电感元件的并联及其等效 图2.19(a)所示为n个电感并联电路。 根据kcl， 有 i=i1+i2+in 又根据第k个电感上电流与电压的关系， udtlikkk1第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 udt

26、ludtllludtludtludtlittntntt1)111(1112121其中 nllll111121（2-11） l为n个无耦合电感并联时的等效电感。 其等效电路如图2.19(b)所示。 第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 图 2.19 多个电感并联及其等效电路 uiabi1l1i2l2inln(a)uiabl(b)第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 2.3.2 电容元件的串、 并联及其等效 1. 电容元件的串联及其分压特性 图2.20（a）是n个电容串联的电路， 根据kvl， 有 u=u1+u2+un 又根据电容元件的伏安关系得第k个电容上

27、的电压为 ， 代入上式得 idtcutkk1第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 idcidcccidtcidtcidtcuttntntt1)111(1112121其中 ncccc111121（2-12） c为n个电容串联的等效电容。 其等效电路如图2.20(b)所示。 第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 图 2.20 多个电容串联及其等效电路 u1c1iu2c2uncnuab(a)ciuab(b)第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 根据电容上电压与电流的关系， 可得串联电容上端电压的关系为 ccccuuuunn1:1:1:1:2

28、121（2-13） 即电容串联时， 电压的分配与电容量成反比。 第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 图2.21 例2.7图u1c1uu2c2第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 例2.7 如图2.21所示， 有两个电容串联。 已知c1=200 f, 耐压u1=200 v； c2=300 f， 耐压u2=200 v。 求等效电容及安全使用时a、 b两端允许加的最大电压。 解 等效电容为fccccc1203002003002002121第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 在求a、 b两端允许加的最大电压umax时， 可令电容c1先达到

29、耐压u1， 计算在这种情况下电容c2上的电压u2。 根据c1u1=c2u2 得vcucu3 .1333002002002112u2u2=200 v， 故假设成立。 这时a、 b两端允许加的最大电压为 umax=u1+u2=200+133.3=333.3 v第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 2. 电容元件的并联及其等效 图2.2(a)所示为n个电容并联电路。 根据kcl， 有 i=i1+i2+in 又根据电容元件上的伏安关系， 第k个电容有ik=ck du/dt， 将其代入上式得第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 dtducdtducccdtducd

30、tducdtducinn)(2121其中 c=c1+c2+cn （2-14） c为n个电容并联时的等效电容。 其等效电路如图2.22(b)所示。第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 图 2.22 多个电容并联及其等效电路c1uii1c2i2cnin(a)ui(b)ababc第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 【思考与练习题】1. 求如图2.23所示电路的等效电容。 图 2.23 题1图 a200 fb200 f300 f第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 图2.24 题2图 ab200 f300 f500 v第第2 2章章 线性电

31、路的等效变换法线性电路的等效变换法 2. 如图2.24所示的电路， 已知200 f电容的耐压为200 v, 300 f电容的耐压为300 v， 若在a、 b两端加直流电压500 v， 电路是否安全？第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 2.4 电源的等效变换电源的等效变换 2.4.1 理想电源的等效变换 如图2.25所示， 根据等效变换的条件， 图2.25(a)所示的电路可以等效变换成图2.25(b)所示的电路； 图2.25(c)所示的电路可以等效变换成图2.25(d)所示的电路。 由此得出结论： 电流源与任何线性元件串联时， 都可等效成电流源。 第第2 2章章 线性电路的

32、等效变换法线性电路的等效变换法 图 2.25 电流源的等效 (a)baurisbauis(b)(c)bauisbauis(d)us第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 如图2.26所示， 根据等效变换的条件， 图2.26(a)所示的电路可以等效变换成图2.26(b)所示的电路； 图2.26(c)所示的电路可以等效变换成图2.26(d)所示的电路。 由此得出结论： 电压源与任何线性元件并联时， 都可等效成电压源。 第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 图 2.26 电压源的等效(a)bau(b)(c)(d)irusbauiusbauiusbauiusis第

33、第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 2.4.2 两种实际电源的等效变换 在日常生活中， 理想电源实际上并不存在。 例如干电池这种实际的直流电源， 当接通负载后， 其端电压就会降低， 这是由于电池内部有电阻的缘故。 考虑到实际电源也有消耗能量的特性， 实际电压源可以用一个理想电压源us和内阻ri相串联的模型来表示。 而实际电流源可以用一个理想电流源is和内阻ri相并联的模型来表示。 如图2.27所示为两种实际电源的模型。 第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 图2.27 两种实际电源的等效 uiusuiisri(a)(b)ir第第2 2章章 线性电路的等效

34、变换法线性电路的等效变换法 根据等效变换的条件， 若在两电路上加相同的电压u， 则它们对外应产生相同的电流i。 在图2.27(a)中， 有 u=us-rii 在图2.27(b)中， 有 u=ri(is-i)=riis-rii 根据以上两式， 要使两个电路等效， 则有 iisisrriru （2-15） 第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 或 iiissrrrui（2-16） 第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 例2.8 如图2.28(a)所示， 已知r1=30 , r2=60 , r=80 , us1=60 v, us2=90 v。 求电流i。图 2

35、.28 例2.8图 irus2r2us1r1(a)is2is1ri1r2r(b)isr(c)ir第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 2.4.3 受控源的等效变换 与实际电源一样， 实际受控电压源可以等效成受控电压源和电阻串联的电路。 如图2.29(a)所示， 实际受控电流源可以等效成受控电流源和电阻并联的电路。 如图2.29(b)所示， 与实际电源等效变换类似， 一个实际受控电压源可以和一个实际受控电流源进行等效变换。 变换的方法是将受控源当作独立源。如图2.29所示，图(a)和图(b)等效互换的条件是iiirauirr（2-17） 第第2 2章章 线性电路的等效变换法线

36、性电路的等效变换法 需要注意的是： 在实际受控源等效变换过程中， 一定要把受控源的控制量所在电路保留。 在图2.29中， 电压u为外电路上某段电压。 在等效变换时， 电压u所在电路提供电压不变。而图2.30所示的电路就不能用上述方法进行等效变换。 因为变换后， 电阻ri两端的电压u也就不存在了。 第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 图 2.29 实际受控源的等效 abriau(a)ab(b)iriraui第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 图2.30 受控源等效与控制量的关系abriuau第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 例2

37、.9 利用电源等效变换的方法， 求图2.31(a)所示电路的等效电阻。 第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 图 2.31 例2.9图 b3i2 3 i5 a(a)1.5i2 3 bi5 a(b)1.5i1.2 bi5 a(c)b1.8i1.2 i5 a(d)uba8 (e)第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 解 根据受控源等效变换的条件， 可将图2.31(a)所示的电路等效变换为图2.31(b)所示的电路。 在图(b)中， 2和3 电阻并联， 等效电阻为23/(2+3)=1.2 。 这样可得图2.31(c)所示的电路。 再对实际受控电流源等效变换得图

38、2.31(d)所示的电路。 在图2.31(d)中， 若a、 b两端电压为u， 则 u=5i+1.2i+1.8i=8i 等效电阻为 8iurab其等效电路如图2.31(e)所示。 第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 【思考与练习题】 1. 等效化简图2.32所示的电路。 图 2.32 题1图ab(a)isrusab(b)isrusus1us2(c)ab(d)rusi第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 2. 如图2.33所示的电路能化简吗， 为什么？ 图 2.33 题2图 ab(a)us1ab(b)is1is2us2第第2 2章章 线性电路的等效变换法线

39、性电路的等效变换法 2.5 叠加定理与替代定理叠加定理与替代定理 2.5.1 叠加定理 图2.34(a)给出了简单的线性电路。 电流的参考方向如图所示， 现求电流i。 根据电源等效变换的方法， 可将图2.34(a)所示的电路依次等效变换为图2.34(b)和图2.34(c)所示的电路。 在图2.34(c)中， 电阻r上的电流为ssssssssssirrrrruirurrri)(第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 图 2.34 叠加定理(a)rsusriis(b)riisrsssru(c)rirsssru is(d)rsusri(e)rsri is第第2 2章章 线性电路的等

40、效变换法线性电路的等效变换法 使用叠加定理时， 应注意以下几点： （1） 只能用来计算线性电路的电流和电压， 对非线性电路的响应， 一般不存在叠加关系。 （2） 各量叠加时要注意电流和电压的参考方向， 至于各电流和电压前取“”号， 还是取“-”号， 由参考方向的选择而定。 （3） 叠加时电路的连接及所有电阻不变。 所谓电压源不作用， 就是用短路线代替该电压源； 电流源不作用， 就是在该电流源处用开路代替。 第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 （4） 由于功率不是电压或电流的一次函数， 因此不能用叠加定理来计算。 如图2.34(a)所示的电路中， 电阻r上的功率p=ri2r

41、i2+ri2。 （5） 若电路中含有受控源， 则受控源和电阻一样对待。 第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 例2.10 电路如图2.35(a)所示， 已知r1=200 , r2=100 , us1=24 v, is2=1.5 a。 试用叠加定理求支路电流i1和i2。 第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 图 2.35 例2.10图 (a)us1r1i1is2r2i2(b)us1r1r21i2i(c)r1is2r22i 1i 第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 例2.11 在例2.10不变的基础上， 今欲使is2=3 a， 试再求电

42、流i1和i2。 解 我们可以把电流源is2=3 a看成是由两个1.5 a的电流源组成。 这样， 图2.36(a)所示的电路就可以由图2.36(b)和图2.36(c)所示的电路叠加而成。 第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 图 2.36 例2.11图 (a)us1r1i1is2r2i2(b)us1r1r21i2i(c)r1r22i 1i 1.5 a1.5 a第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 在图2.36(b)中， 有aiai08. 1,42. 021在图2.36(c)中， 有 aiiarrri15 . 05 . 15 . 15 . 05 . 1100

43、2001005 . 1122121 第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 根据叠加定理， 得 i1=i1-i 1=-0.42-0.5=-0.92 a i2=i2+i 2=1.08+1=2.08 a 由此例可以看出， 叠加定理不局限于每个电源都单独作用而产生的电流(或电压)的叠加， 根据电路的特点， 在分电路中， 可灵活掌握电源作用的个数。 但是， 每个电源只能作用一次。 第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 例2.12 电路如图2.37(a)所示， 试用叠加定理求电流ix和电压ux。图 2.37 例2.12图 2ix(a)2 10 vuxix1 5 a(

44、b)2 10 v1 xixuxi2(c)2 1 xi 25 axi xu 第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 解 图2.37(a)中， 有两个独立源， 分别单独作用时， 可得图2.37(b)和图2.37(c)。 在图2.37(b)中， 根据kvl得 (2+1)i x+2ix=10 解之得i x=2 a 由此得u x=-2ix+10=6 v 第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 在图2.37(c)中， 根据kvl和kcl得 2i x+1(5+i x)+2i x=0 解之得 i x=-1 a 由此得 u x=-2i x=2 v 根据叠加定理， 得 ix=i

45、x+i x=2+(-1)=1 a ux=u x+u x=6+2=8 v第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 2.5.2 齐次定理 齐次定理也叫齐性定理。 它是指在线性电路中， 若只有一个电源作用， 则电路上的响应与激励成正比。 例如， 若激励是电压源us， 响应是某支路电流i， 则有 i=us 其中, 为常数， 它只与电路结构和元件参数有关， 而与激励源无关。 梯形电路是应用比较广泛的电路之一， 也是齐次定理应用的典型例子。 第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 例2.13 电路如图2.38所示， 若us=13 v， 求各支路电流。 图 2.38 例2.

46、13图ai1usr12 br22 i2i3r32 cr42 i4i5r52 r62 d第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 例2.14 如图2.39(a)所示的电路中， n是含有独立电源的线性电阻电路。 已知 当us=6 v, is =0时， 开路端电压ux=4 v； 当us =0, is =4 a时， 开路端电压ux =0 v； 当us =-3 v, is=-2 a时， 开路端电压ux =2 v。 求当us =3 v, is=3 a时的开路端电压ux 。 第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 图 2.39 例2.14图 nusisux(a)us(b)n

47、(无源)xuis(c)(d)nxu n(无源)xu 第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 2.5.3 替代定理 替代定理又叫置换定理， 它是指在具有惟一解的线性或非线性电路中， 若某一端口电路的电压u（或电流i）已知， 那么该支路可以用以下三个元件替代： （1） 电压值为u且方向与原支路电压方向一致的理想电压源； （2） 电流值为i且方向与原支路电流方向一致的理想电流源； （3） 电阻值为r=u/i的电阻元件。 第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 替代后电路其他各处的电压、 电流不变。 如图2.40(a)所示， 可以用图2.40(b)、 图2.40(c

48、)和图2.40(d)替代。 第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 图 2.40 替代定理 nniu(a)ni(b)us un(c)i isun(d)riu第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 定理中被替代的部分可以是一条无源支路、 一条有源支路， 也可以是一个端口电路。 但是被替代的部分（如图2.40(a)中的n）与原电路其他部分（如图2.40(a)中的n）不应有耦合。 也就是说， 在被替代部分的电路n中不应有控制量在电路n中的受控源； 而在电路n中也不应有控制量在电路n中的受控源。 第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 例如， 图2

49、.41(a)所示电路， 已知u=6 v, i=2 a。 根据替代定理， 可将其虚线框的部分分别用电压源us=6 v、 电流源is=2 a和电阻r=u/i=3 来替代。 电路如图2.41(b)、 (c)和(d)所示。 而替代前后， 未被替代的部分中， 各电流、 电压均保持原有值不变。 比如， 电流i1在图2.41四个电路中均能求得， 即i1=1.5 a。 第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 图 2.41 替代定理的应用4 12 v0.5 ai1iur1r2us2(a)4 12 v0.5 ai1ius6 v(b)4 12 v0.5 ai1(c)2 a4 12 v0.5 ai1

50、(d)3 ii第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 例2.15 电路如图2.42(a)所示， 当改变电阻r时， 电路中各处电流都将改变。 已知当i3=4 a时， i1=5 a； 当i3=2 a时， i1=3.5 a。 求当i3=4/3 a时， 电流i1是多少？ 第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 图 2.42 例2.15图 i1i3r(a)ni1i3(b)n(无源)i3(c)1in(d)1i 第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 解 我们可以把图2.42(a)中用虚线框起来的部分看作有源网络n， 可变电阻r用电流源来替代， 如图2.

51、42(b)所示， 根据叠加定理， 图2.42(b)所示的电路可分解成图2.42(c)和图2.42(d)所示的电路。 根据齐次定理， 在图2.42(c)中， 令i1=ai3, 则有 5 . 325411iaia13111iaiiii 根据已知条件， 可得方程 第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 解之得2,75. 01 ia当i3=4/3 a时， 有aiaiiii323475. 013111 第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 【思考与练习题】 1. 用叠加定理计算电路时， 当电路中有n个电源， 则一定有n个分电路， 即需n个分量叠加。 这句话对吗， 为

52、什么？ 2. 若电路中有两个电源， 能否用齐次定理， 为什么？ 第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 3. 有些书中， 齐次定理是这样描述的： 在只有一个电源的线性电路中， 当电源增大或缩小k倍（k为实常数）， 则各支路电流和电压也将同样增大或缩小k倍。 用已学过的知识证明。 4. 用叠加定理计算图2.43所示的电路中的电流i1、 i2和i3。 第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 图 2.43 题4图 3 v10 i11.2 ai220 i3第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 2.6 戴维南定理与诺顿定理戴维南定理与诺顿定理 2.

53、6.1 戴维南定理 如图2.44(a)所示， ns为含有独立电源的电阻性一端口电路。 根据替代定理， 可用电流源i替代外电路， 得电路如图2.44(b)所示。 根据叠加定理， 图2.44(b)所示的电路可以看成是图2.44(c)和图2.44(d)所示电路的叠加。 其中， 在图2.44（c)中， uoc为等效电路ns与外电路断路时的端电压， 我们称其为开路电压。 第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 在图2.44(d)中， n0为电路ns中独立电源不作用时的电路， 这样一端口电路n0可以等效成一个电阻req, 因此有u=-reqi, 而u=uoc+u， 故有 u=uoc-re

54、qi 由此可得等效电路， 如图2.44(e)所示。第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 图 2.44 戴维南等效电路 ns外电路iabu(a)nsiabu(b)第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 图 2.44 戴维南等效电路 nsabuoc(c)n0iab(d)u 外电路u(e)irequoc第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 综上所述， 一个线性含独立电源的一端口电路， 对外电路来说， 可以用一个电压源和电阻的串联电路来等效， 此电压源的电压等于一端口的开路电压， 电阻等于一端口网络内部全部独立电源置零后的输入电阻。 这就是戴维

55、南定理。 第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 使用戴维南定理应注意以下几点： （1） 电压源的电压为等效电路与外电路开路时的开路电压； （2） 串联电阻为等效电路中全部独立源不作用(即电压源用短路代替， 电流源用开路代替)时的输入电阻； （3） 如果等效电路中含有受控源， 则应使控制量也在等效电路中； 如果外电路中含有受控源， 则应使控制量也在外电路中， 即应使等效电路与外电路没有耦合。 第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 图2.45 例2.16图(a)abr1us1r2us2(b)abrequoc第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变

56、换法 例2.16 如图2.45(a)所示的电路中， 已知us1=80 v, us2=40 v, r1=4 , r2=16 。 求a、 b两端的戴维南等效电路。 第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 例2.17 如图2.46(a)所示的电路中， 已知r1=30 , r2=60 , r3=18 , r4=40 , r5=160 , r6=10 , us1=60 v, us5=100 v, us6=140 v。 试利用戴维南定理求电流i。第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 图 2.46 例2.17图 (a)abr1us1r2r6us6ir5us5r4(b)a

57、br1us1r2r5us5r4r3(c)abr6us6irequocr3第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 例2.18 已知ic=0.75i1， 求图2.47(a)中的戴维南等效电路。 图 2.47 例2.18图 40 v5 ki120 kiciuab(a)5 ki120 kiciuab(b)40 v5 ki120 kab(c)20ic35 v2.5 kab(d)第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 解 方法一： 利用戴维南定理， 首先计算输入电阻req， 对应电路如图2.47(b)所示。 设在a、 b两端加电压u， 产生电流为i。 根据kcl, 有2

58、01uiiic因为ic=0.75i1， 代入上式得 2075. 12075. 0111uiiuiii即 第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 而i1=-u/5， 代入上式得kiuruiuqe5 . 220575. 1整理得 再计算开路电压。 将图2.47(a)所示的电路等效成图2.47(c)所示的电路。 在图2.47(c)中， 根据kvl， 有 (5+20)i1+20ic-40=0第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 其中ic=0.75i1， 代入上式得 25i1+200.75i1-40=0 解之得 i1=1 ma 开路电压为 uoc=uab=-5i1+

59、40=-51+40=35 v 对应等效电路如图2.47(d)所示。 第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 方法二： 设在图2.47(a)的a、 b两端加电压u时， 输入电流为i。 根据kcl得201uiiic而ic=0.75i1， 代入上式得2075. 12075. 0111uiiuiii第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 又因为i1=40-u/5， 代入上式得 iuuiu5 . 252054075. 1整理得 由此式得输入电阻req=2.5 k， 开路电压uoc=35 v。 第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 戴维南等效参数的另

60、一种确定方法实验测量法。 如图2.48(a)所示， ns为含独立源的线性一端口电路。 在a、 b两端连接电压表 v， 如图2.48(b)所示， 若电压表的内阻近似为无穷大， 则电压表的读数就是ns一端口的开路电压uoc， 在a、 b两端连接电流表a， 如图2.48(c)所示， 若其内阻近似为零， 则电流表的读数为a、 b两端的短路电流isc。 这样， 电路等效输入电阻为req=uoc/isc。 第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 图 2.48 实验法测量戴维南等效参数ans(a)bans(b)bvans(c)ba第第2 2章章 线性电路的等效变换法线性电路的等效变换法 2