奇异值分解与极分解

1、矩矩 阵阵 论论 电电 子子 教教 程程哈尔滨工程大学理学院应用数学系哈尔滨工程大学理学院应用数学系department of mathematics 矩阵的分解矩阵的分解department of mathematics 1212121200rrrmrrrn 设设 ， 是是 的特征值，的特征值， 是是 的的特征值，它们都是特征值，它们都是实数。实数。如果记如果记m nraciihaaha a4.5 矩阵的奇异值分解与极分解矩阵的奇异值分解与极分解一,矩阵的奇异值分解矩阵的奇异值分解因为因为 与与 都是半正都是半正定的定的hermite-矩阵矩阵haaha ahhrankaaarankaran

2、ka 特征值特征值 与与 之间有如下关系。之间有如下关系。iidepartment of mathematics定义定义1:我们称我们称:为矩阵为矩阵 的的正奇异值正奇异值，简称，简称奇异值奇异值。0,1,2,iiiira定理定理1：设设 ，那么，那么m nrac0,1,2,iiir即即: 与与 的非零特征值相等的非零特征值相等.aahhaadepartment of mathematics12(1)0000011(2)200aa例例1 1 ：求下列矩阵的奇异值求下列矩阵的奇异值department of mathematics解：解： （1 1）由于）由于 500000000haa显然显然

3、的特征值的特征值为为5，0，0，所以，所以 的奇异值为的奇异值为haa5a（2）由于）由于2004haa 显然显然 的特征值为的特征值为2，4，所以，所以 的奇异的奇异 值为值为 。haaa2,2department of mathematics定义定义2:设设 , 若若 则称则称a与与b酉等价酉等价.nmcba ,sbtatsutusnnmm . ,定理定理2:若若 , 且酉等价且酉等价, 则则a与与b有相同的正有相同的正 奇异值奇异值 nmcba ,定理定理3：设设 ， 是是 的的 个奇个奇异值，那么存在异值，那么存在 阶酉矩阵阶酉矩阵 和和 阶酉矩阵阶酉矩阵 使得使得m nrac12ra

4、rmvnuhvoooua department of mathematics其中，其中，12r 120r且满足且满足我们称此定理为我们称此定理为奇异值分解定理奇异值分解定理。称表达式称表达式hvoooua 为矩阵为矩阵 的的奇异值分解式奇异值分解式。a如何求此分解表达式？以下给出步骤如何求此分解表达式？以下给出步骤:department of mathematics证明：记证明：记 的特征值为的特征值为haa12120rrrm因为因为 是正规阵，所以是正规阵，所以haam muu 22212(,0,0) =hhrhuaa udiagooo 令令 ， 其中其中 是是 矩阵，矩阵， 是是 矩阵。则

5、：矩阵。则：12,uu u 1umr 2u()mnrdepartment of mathematics11221122, ,hhhhhhhhhuuaa uaau uuuaa uaa uu 11122122hhhhhhhhuaa uuaa uuaa uuaa u =hooo比较后得到：比较后得到：11hhhuaa u （1）12hhuaa uo （2）21hhuaa uo （3）22hhuaa uo （4）department of mathematics令令 ，则，则11hhva u 11111hhhhv vuaa u 由（由（1）知）知 ，所以，所以， 是次酉阵是次酉阵11hrv vi 1v

6、即即 ，所以，存在，所以，存在 ，使得：，使得：1n rrvu ()2nn rn rvu 12,n nvv vu 所以所以1122,hhhuuavav vu 11122122hhhhuavuavuavuav 所以，所以，1111hhhhuavuaa u 由（由（4）2222() ()hhhhhuaa ua ua uo22hhuaa uo （4）department of mathematics21huavo 所以所以22,huavo 从而：从而：2ha uo 2huao 又因为又因为11hhva u 所以，所以， ，得出，得出11hhva u11hhuav 所以所以 12huavo hvooo

7、ua houavoo department of mathematics1, 求出求出 的全部特征值的全部特征值 ,则则 为为a的正奇异值的正奇异值,aaaahh ,i ii 2, 求酉矩阵求酉矩阵 ,使得使得:mmuu 0 , 0 ,0 , 0 ,2122221rrhdiaguuaa 4,hvoooua 3, 设设 ,则则 为次酉阵为次酉阵, 于是求于是求 ,使得使得hhuavuuu 1121),()(2rnnrnuv nnuvvvv 121),(1vdepartment of mathematics例例1 ：求下列矩阵的奇异值分解表达式求下列矩阵的奇异值分解表达式 000021a解解 :（

8、1）容易计算容易计算 的特征值为的特征值为5，0，0，所以，所以 的奇异值为的奇异值为 。下面计算。下面计算 的标准正交特征向的标准正交特征向量，解得分别与量，解得分别与5，0，0对应的三个标准正交特征对应的三个标准正交特征向量向量haaa5haadepartment of mathematics1231000 ,1 ,0001 由这三个标准正交特征向量组成矩阵由这三个标准正交特征向量组成矩阵 ，所以有，所以有u100010001vudepartment of mathematics 0010011u令令 hhuav1112552155uv 51525251000005100010001hvooouadepartment of mathematics练习练习：求下面矩阵的奇异值分解式：求下面矩阵的奇异值分解式101(1)010101011(2)200department of mathematics2221,hha ahaah 使得使得:且这样的分解式是唯一的。同时有且这样的分解式是唯一的。同时有: 称分解式称分解式 为矩阵为矩阵 的的极分解表达式。极分解表达式。12ah uuha二二,矩阵的极分解矩阵的极分解定理定理1:设设 ，那么必存在酉矩阵，那么必存在酉矩阵 与正定的与正定的h-矩阵矩阵n nnac12,hhn n