向量在平面几何解题中的应用

1、一、向量有关知识复习一、向量有关知识复习（1）向量共线的充要条件:ab 与 共线 0, bRba（2）向量垂直的充要条件：0, 00bababa（3）两向量相等充要条件：, baba且方向相同。0/),(),(12212211yxyxbayxbyxa0),(),(21212211yyxxbayxbyxa21212211,),(),(yyxxbayxbyxa二、应用向量知识证明平面几何有关定理二、应用向量知识证明平面几何有关定理例一、证明直径所对的圆周角是直角例一、证明直径所对的圆周角是直角ABCO如图所示，已知 O，AB为直径，C为 O上任意一点。求证ACB=90分析分析：要证ACB=90，只

2、须证向量 ，即 。CBAC 0CBAC解：解：设 则 ，由此可得：bOCaAO ,baCBbaAC,babaCBAC2222baba022rr即 ，ACB=900CBAC思考：能否用向量坐标形式证明？思考：能否用向量坐标形式证明？二、应用向量知识证明平面几何有关定理二、应用向量知识证明平面几何有关定理例二、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和例二、证明平行四边形四边平方和等于两对角线平方和ABDC已知：平行四边形ABCD。求证：222222BDACDACDBCABbADaAB ,解：解：设 ，则 baDBbaACaDAbBC;,分析：分析：因为平行四边形对边平行且相等，故设 其它线段对应

3、向量用它们表示。bADaAB ,)( 2222222baDACDBCAB2222babaBDAC222222222222bababbaabbaa222222BDACDACDBCAB三、应用向量知识证明三线共点、三点共线三、应用向量知识证明三线共点、三点共线例一、已知：如图例一、已知：如图AD、BE、CF是是ABC三条高三条高求证：求证：AD、BE、CF交于一点交于一点FABCDEABCDEH分析：分析：思路一：设AD与BE交于H，只要证CHAB，即高CF与CH重合，即CF过点H只须证CHAB 由此可设aBC bCApCH如何证 ？0 ABp利用ADBC，BECA，对应向量垂直。00)(apab

4、apbBCHA00)(bpabbpaCABH0)(0bapbpapBACHBACH0三、应用向量知识证明三线共点、三点共线三、应用向量知识证明三线共点、三点共线例一、已知：如图例一、已知：如图AD、BE、CF是是ABC三条高三条高求证：求证：AD、BE、CF交于一点交于一点ABCDEH解：解：设AD与BE交于H，aBC bCApCH00)(apabapbBCHA00)(bpabbpaCABH0)(0bapbpapBACHBACH0即高CF与CH重合，CF过点H，AD、BE、CF交于一点。三、应用向量知识证明三线共点、三点共线三、应用向量知识证明三线共点、三点共线例一、已知：如图例一、已知：如图

5、AD、BE、CF是是ABC三条高三条高求证：求证：AD、BE、CF交于一点交于一点HFABCDE分析：分析：如图建立坐标系，设A(0,a) B(b,0) C(c,0)只要求出点H、F的坐标，就可求出 、 的坐标进而确定两向量共线，即三点共线。CHCF再设H(0,m) F(x,y),(mbBHCABH 0),)(,(ambcacmbCABHacbm),(),(baacacbcCH由A、B、F共线；CFAB对应向量共线及垂直解得：AFAB/可得：0)(ayabxCFAB 可得：0)()(0),)(,(aycxbycxababcaybbcax2222),(2)2,2(222baabbcaabcabb

6、caCFCHbcabcCF22即 而CF、CH有公共点C，所以C、H、F共线，即 AD、BE、CF交于一点CHCF /三、应用向量知识证明三线共点、三点共线三、应用向量知识证明三线共点、三点共线例二、如图已知例二、如图已知ABC两边两边AB、AC的中点分别为的中点分别为M、N，在在BN延长线上取点延长线上取点P，使，使NP=BN，在，在CM延长线上取点延长线上取点Q，使使MQ=CM。求证：。求证：P、A、Q三点共线三点共线ABCNMQP解解：设bACaAB ,则aAMbAN21,21由此可得abNPBN21baMQCM21baabPANPANPA)(,baabAQMQAMAQ)(,AQPA 即

7、 故有 ，且它们有公共点A，所以P、A、Q三点共线AQPA /四、应用向量知识证明等式、求值四、应用向量知识证明等式、求值例一、如图例一、如图ABCD是正方形是正方形M是是BC的中点，将正方形折起，的中点，将正方形折起， 使点使点A与与M重合，设折痕为重合，设折痕为EF，若正方形面积为，若正方形面积为64， 求求AEM的面积的面积ABCDMNEF分析分析：如图建立坐标系，设E(e,0)M(4,2),N是AM的中点，故N(2,1) )2 , 4(AMAEANEN=(2,1)-(e,0)=(2-e,1)0) 1 ,2()2 , 4(eENAM解得：e=2.5故AEM的面积为5四、应用向量知识证明等

8、式、求值四、应用向量知识证明等式、求值例一、如图例一、如图ABCD是正方形是正方形M是是BC的中点，将正方形折起，的中点，将正方形折起， 使点使点A与与M重合，设折痕为重合，设折痕为EF，若正方形面积为，若正方形面积为64， 求求AEM的面积的面积ABCDMNEF解：解：如图建立坐标系，设E(e,0)，由 正方形面积为64，可得边长为8 由题意可得M(8,4)，N是AM的 中点，故N(4,2) )4 , 8(AMAEANEN=(4,2)-(e,0)=(4-e,1)0)2 ,4()4 , 8(eENAM解得：e=5 即AE=51021BMAESAEM四、应用向量知识证明等式、求值四、应用向量知识

9、证明等式、求值例二、例二、PQ过过OAB的重心的重心G，且，且OP=mOA,OQ=nOB 求证：求证：311nm分析分析:由题意OP=mOA,OQ=nOB, 联想线段的定比分点，利 用向量坐标知识进行求解。OABGPQ由PO=mOA, QO=nOB可知：OBnQOOAmPO, O分 的比为 ，O分 的比为PAQB由此可设 由向量定比分点公式，可求P、Q的坐标，而G为重心，其坐标也可求出，进而由向量 ，得到 m n 的关系。),()0 ,(221yxQxPGQPG/-m -n? ?四、应用向量知识证明等式、求值四、应用向量知识证明等式、求值例二、例二、PQ过过OAB的重心的重心G，且，且OP=mOA,OQ=nOB 求证：求证：311nmOABGPQ证：证：如图建立坐标系， 设),(),0 ,(),()0 ,(221cbBaAyxQxP所以重心G的坐标为)3,3(cba 由PO=mOA, QO=nOB可知：OBnQOOAmPO,即O分 的比为-m，O分 的比为-n PAQB求得),()0 ,(ncnbQmaP由向量 可得：GQPG/)3,3(cmabaPG)3,3(cncbanbGQ0)3(3)3)(