解析几何中定点、定值、定直线问题

1、解析几何中定点定值问题例1 已知椭圆的上顶点为M（0，1），过M的两条动弦MA、MB满足MAMB。对于给定的实数，证明：直线AB过定点。解：由知，从而直线与坐标轴不垂直， 故可设直线的方程为，直线的方程为将代入椭圆的方程，整理得 解得或，故点A的坐标为同理，点B的坐标为 知直线的斜率为=直线的方程为，即直线过定点例2一束光线从点出发，经直线l:上一点反射后，恰好穿过点（1）求点的坐标；（2）求以、为焦点且过点的椭圆的方程；（3）设点是椭圆上除长轴两端点外的任意一点，试问在轴上是否存在两定点、，使得直线、的斜率之积为定值？若存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定点、的坐标；若不存在，请说明理由

2、例3 已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线. （1）求椭圆的离心率； （2）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值. （I）解：设椭圆方程为则直线AB的方程为化简得.令则 共线，得（II）证明：由（I）知，所以椭圆可化为.在椭圆上，即 由（I）知又又，代入得 故为定值，定值为1.例4 设是椭圆的左右焦点，分别为左顶点和上顶点，过右焦点的直线交椭圆于两点，直线分别与已知直线交于点，试探究以为直径的圆与直线的位置关系.高二数学作业（13）1.过双曲线左焦点的直线交曲线的左支于两点，为其右焦点，则的值为_82.是椭圆中不平行于对称轴的一条弦，

3、是的中点，是椭圆的中心，=_ 3.在椭圆上，对不同于顶点的任意三个点，存在锐角，使则直线与的斜率之积为 . 4.如图，是平面的斜线段，为斜足，若点在平面内运动，使得的面积为定值，则动点的轨迹是 ABP（第4题）椭圆5.在平面直角坐标系中，已知双曲线.椭圆. 若M、N分别是、上的动点，且OMON，求证：O到直线MN的距离是定值.解：当直线ON垂直于x轴时，|ON|=1，|OM|=，则O到直线MN的距离为. 当直线ON不垂直于x轴时， 设直线ON的方程为（显然），则直线OM的方程为.由，得，所以.同理. 设O到直线MN的距离为d，因为， 所以，即d=. 综上，O到直线MN的距离是定值. 6.如图，

4、在平面直角坐标系中，椭圆：若点，分别是椭圆的左、右顶点，直线经过点且垂直于轴，点是椭圆上异于，的任意一点，直线交于点设过点垂直于的直线为.求证：直线过定点，并求出定点的坐标.证明：直线的斜率为，直线的斜率为,则直线的方程为，=，所以直线过定点 7.已知椭圆的离心率为，且过点，记椭圆的左顶点为（1）求椭圆的方程； （2）设垂直于轴的直线交椭圆于，两点，试求面积的最大值； （3）过点作两条斜率分别为，的直线交椭圆于，两点，且，求证：直线恒过一个定点. 高二数学教学案（13）例1 已知椭圆的上顶点为M（0，1），过M的两条动弦MA、MB满足MAMB。对于给定的实数，证明：直线AB过定点。例2一束光线

5、从点出发，经直线l:上一点反射后，恰好穿过点（1）求点的坐标；（2）求以、为焦点且过点的椭圆的方程；（3）设点是椭圆上除长轴两端点外的任意一点，试问在轴上是否存在两定点、，使得直线、的斜率之积为定值？若存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定点、的坐标；若不存在，请说明理由例3 已知椭圆的中心为坐标原点O，焦点在轴上，斜率为1且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，与共线. （1）求椭圆的离心率； （2）设M为椭圆上任意一点，且，证明为定值.例4 设是椭圆的左右焦点，分别为左顶点和上顶点，过右焦点的直线交椭圆于两点，直线分别与已知直线交于点，试探究以为直径的圆与直线的位置关系.高二数学作业（

6、13）1.过双曲线左焦点的直线交曲线的左支于两点，为其右焦点，则的值为_2.是椭圆中不平行于对称轴的一条弦，是的中点，是椭圆的中心，=_ 3.在椭圆上，对不同于顶点的任意三个点，存在锐角，使则直线与的斜率之积为 . 4.如图，是平面的斜线段，为斜足，若点在平面内运动，使得的面积为定值，则动点的轨迹是 ABP（第4题）5.在平面直角坐标系中，已知双曲线.椭圆. 若M、N分别是、上的动点，且OMON，求证：O到直线MN的距离是定值.6.如图，在平面直角坐标系中，椭圆：若点，分别是椭圆的左、右顶点，直线经过点且垂直于轴，点是椭圆上异于，的任意一点，直线交于点设过点垂直于的直线为.求证：直线过定点，并求出定点的坐标.7.已知椭圆的离