电磁场和电磁波答案解析第四版谢处方

1、.WORD.格式.专业资料.整理分享.章习题解答C =e%5 ez2求：（1）aA；（ 2）A B；（ 3）AB；（ 4）日AB；（5）A在B上的分量；（6）AXC；（7）AjBxC）和（AXB）LJC；（8）（AxB ）x C和Ax （BxC）。1.1 给定三个矢量A、B和C如下：A二exey2 - ez3B二-ey4ez解(1)aA二Aexey2-ez3A J12仃十(3)2(2)A B| =(ex+ ey2 -ez3) -(-ey4 + ez) = e + e6 ez4 =V53(3)AB二(exey2-ez3)|_(-ey4 ez)二-11(4)由COSABAjB _-11A B一、_

2、14.1711/曰111：238，得co五)=135.5(5)A在B上的分量AB= A COSABALB_11IB弋17exeyez(6)AC = 1 2 3 = e%4 e13 ez1050-2exeyez(7)由于B汇C= 0 -4 1 =ex8+ ey5+ ez2050-2exeyezAB= 123=ex10 ey1 ez40 -41所以AL(B C)=(exey2-ez3(ex8 ey5 - ez20-42(A B)UC= (Vx10 ey1 -ez4)L(ex5 -ez2)=42exeyez(8)( A汉B庐C =-10 -1 4= ex2 e40+ ez550-2exeyezAx

3、(BC)=12-3= ex55 ey44 ez118520.WORD.格式.专业资料.整理分享.WORD.格式.专业资料.整理分享.RPP与51-)=cos( ) =32.31RPP丿.35丿ie_RpP二cos (131 )=cos ()=120.47 Rpp-七eX R= cos (解A与B之间的夹角为3 cos(AB、_ 七一31、A Bi 1.29、.77)=A在B上的分量为1.5给定两矢量上的分量。A二ex2 ey3ez4和B =- ex6ey4 ez，求A B在C=ex1-2三角形的三个顶点为R(0,1,_2)、P2(4,1, -3)和F3(6,2,5)。(1)判断ARP2F3是否

4、为一直角三角形；(2)求三角形的面积。解(1)三个顶点R(0,1,_2)、F2(4,1,3)和F3(6,2,5)的位置矢量分别为 日二ey-ez2，门二ex4 - e $3，丘二ex6 - ey2 ez5则R12f 一n二ex4 ez，R23二丘 一E二ex2 eyez8，R31= Hr3= _ex6 _ey_ ez7由此可见R12LR23=(ex4-$)|_血2 + e+ $8)=0故.F1P2P3为一直角三角形。(2)三角形的面积S=1|R12XR23=如2卜|R23| = 1J17汉届=17.131.3 求p ( -3,1,4)点到P(2, -2,3)点的距离矢量R及R的方向。解rP =

5、 -ex3- ey- ez4，rP= ex2_ ey2ez3，Rp p= rp_rp.=ex5 - ey3 - ez轴的夹角分别为 丄exLRPF=cos (、35PP)=cos(-二)=99.73； RPP-351.4 给定两矢量A =ex2 - ey3 -e,4和B =ex4 -ey5 - ez6，求它们之间的夹角和A在上的分量。.WORD.格式.专业资料.整理分享.所以A B在C上的分量为(A B )C(A_B)UC|C|25- -14.4333-4ezF = ex13 + ey22 + ez101.WORD.格式.专业资料.整理分享.1.9用球坐标表示的场(1)求在直角坐标中点求在直角

6、坐标中点(2)解(1)在直角坐标中点25E=飞，和Ex；=(_3)242 (-5)2=50，故Ex(2)在直角坐标中点故E与B构成的夹角为252r1-33 “2=X= -rx2 5.220(-3,4,-5)处，r=ex3 eyez5，所以25 25r -ex3 ey4 -ez5exE =| E cos1.10球坐标中两个点间夹角的余弦为10 2七ELB、 七19 (10血)、“ccos (p?_) = cos(:) = 153.6(r1,q,2)和(r2,日2,2)定出两个位置矢量R和R。证明EB2,1-6证明：如果此B二A|_C和A B=A C，则B二C； 解由A B二A C，则有A (A

7、B )= A (A C)，即(ALB)A( A _A) B= (AC) A (AA )C由于ALB=AC，于是得到(AA)B =(A_A)C故B =C1.7如果给定一未知矢量与一已知矢量的标量积和矢量积，那么便可以确定该未知矢量。设A为已知矢量，p =AJX而p=A X，P和p已知，试求X。 解由p =A X，有A P=A (A X) =(A伙)A- (AX =pA - (A_A) X故得X=pA一APALA1.8在圆柱坐标中，一点的位置由(4 3)定出，求该点在：(1)直角坐标中的坐标;3(2)球坐标中的坐标。解(0在直角坐标系中x = 4cos(2;3) = -2、y =4sin(2 =3

8、) = 2、3、z = 3故该点的直角坐标为(_2 2/33)。(2)在球坐标系中=二4232=5、v - tan(4. 3) = 53.1、, 120：故该点的球坐标为(5,53.1 ,1205.WORD.格式.专业资料.整理分享.cos二cos q cos玉sin齐sinr2cos(2)解 由& = exr1sin齐cos eyr1sin哥sin ezcos齐.WORD.格式.1212 12 1222/1322131i i 24x y(一)dxdy I i 24x y () d xdy =422212 4 2224.专业资料.整理分享.得到1.111.12理。所以R2二exr2si

9、n n2cos2eyr2sin二2sin2ezr2cos cos&LR2cos飞R；=sin t cos sinJ2cos2sin y sin 1 sin v2sin2cosy cos *二sin 3 sin)2(cos cos21sin sin2) cosy cos * =sin寸1sin2cos( -2) cosy cos v2一球面S的半径为5，球心在原点上，计算：的值。2兀兀S= d:j3sin 52sinrd）-75二20 0z=0和z = 4围成的圆柱形区域，对矢量A = err2+ ez2z验证散度定P(er3sin讪S = (er3sin R Lerd在由r=5、在圆柱

10、坐标系中 |_A =1(rr2)丄(2z) =3r 2r crcz4 2二5、i_Ad =dz d： !(3r2)r d r =1200：T000JAd S = (ej2ez2z)edSre dS. ezdSz)=4 2二5 2二525d dz亠i i 2 4rdrd =1200二0 0JVJAdx=1200兀=AJd ST求(1)矢量ex一个单位立方体的积分；(3)求A22 22 2 3解(1)LA=d.ln，(24xyz)=2x 2x2y 72x2y2z2&cycz(2)i |A对中心在原点的一个单位立方体的积分为1,；2 12 12OO O OAd =(2x 2x y 72x y

11、 z )d xd ydz二斗2 4-2半24(3)A对此立方体表面的积分12 12 12 1.：21212!.! (-) dydz !.!. () d y dz故有1.13S2+eyX2y2十ez24x2y2Z3的散度；（2）求兀A对中心在原点的 对此立方体表面的积分，验证散度定理。22 3、24lAd S =s1、2 22l J322厶2212 12 12 12212 212! i 2x ( ) d xdz i i 2x () dxdz4222-124224.WORD.格式.1212 12 1222/1322131i i 24x y(一)dxdy I i 24x y () d xdy =42

12、2212 4 2224.专业资料.整理分享.WORD.格式.专业资料.整理分享.所以ey.f:y2xezcz2y z2 21 1 (ex2yz ez2x)|_ezd xd y = 8=ex2yz ez2x故有1.16lAJd=T|xdC2x xy d yAy:：Ax、AdS二ez（-一xS2二二(a2cossin+a4cos2sin2$)d =40)_ezdS二y2dS二r2sin2rd dr口S0 0 :1.17A为一常矢量。解（1）；LR二SxyS0 04、i_R=3；(2八R=0；(3)(AR) = A。其中R =exX e诃ez，又在球坐标系中，r二1（r2r） =3，所以r2&

13、;2兀J!a i_r d .二3r2sinvdrdvd =4二a30 0 01.15 求矢量A=exx+ eyx2+ ezy2z沿xy平面上的一个边长为2的正方形回路的线积 分，此正方形的两边分别与x轴和y轴相重合。再求 iA对此回路所包围的曲面积分，验证 斯托克斯定理。2222QA_d =xdx -xd x亠i22d y -Od y =8UAd =8八Ad S求矢量A=exx+ eyxy2沿圆周x2+y2=a2的线积分，再计算GxA对此圆面积的故有1.14分。解fLAAS计算矢量r对一个球心在原点、半径为a的球表面的积分，并求 |_r对球体积的积SrjerdSS2二 二=d小i aa2sin

14、 v d v - 4二a3o o.WORD.格式.专业资料.整理分享.(2)ex:xeyez-7y.:z(3)ez1.18一径向矢量场解在圆柱坐标系中,可得到F =erf(r)表示，如果TJF = 0，那么函数f(r)会有什么特点呢?1 dLF rf(r)在球坐标系中，由可得到设A二exAxeyAyezAz，贝V AR二AxX Ayy Azz，故、(AR) =ex(AxXAyyAzz) ey(AxX Ayy -AzZ)ex创一(Axx Ayy AzzH exAx讣ezAz= A:zf(r) = CC为任意常数。r = 2-dr2f(r)H0r d rf(r)二r1.19给定矢量 函数E =ex

15、y+ eyx,试求从点R(2,1,_1)到点P2(8, 2- 1的线 积分Edl: (1)沿抛物线x= y2；( 2)沿连接该两点的直线。这个E是保守场吗？解 (1)E|_dl =Exdx Eydy= ydx xdy =CCC22yd(2y2) 2y2d y =6y2d y =1411(2)连接点R(2,1,1)到点P2(8,2,-1)直线方程为x _2 x -8.WORD.格式.专业资料.整理分享.y -1 y -222E_d I二Exdx Eyd y二yd(6y -4) (6y -4)d y二(12y -4)d y = 14CC11由此可见积分与路径无关，故是保守场。1.20求标量函数=x

16、2yz的梯度及？在一个指定方向的方向导数，此方向由单位矢量345ex-eyez-定出；求(2,3,1)点的方向导数值。50. 50.50： 212 2W二ex (x yz) ey (x yz) ez (x yz)二；x: y: z22ex2xyz eyx z ezx y.WORD.格式.专业资料.整理分享.解在圆柱坐标中， 的通量为匕Ar r r(r r)d rd -* z345故沿方向e = ex ey e的方向导数为,5050. 50箋甲由=6xyz+仝+迅a屈届750点(2,3,1)处沿e的方向导数值为冈36166011250,50,50501.21试采用与推导直角坐标中|_A =迅込相

17、似的方法推导圆柱坐标下的公式玫y氐1A；:A7HA(rAr)z。r &r別z取小体积元如题 1.21 图所示。矢量场A沿er方向穿出该六面体的表面：-：z y_z/ J Ar rr d r d *（r ： =r）Ar（r ： =r, , z）rAr（r，z） =、=z一（rAr） ：r二它z二-（rAr）:-rcrr -. T z J J甸松蛆rdz-J jAdrdzA （r, ： ： - ；, z） - A （r, , z） r z . ：r - ：=z =-r；:f 1 Az z地rdrd - J f Az zrrAA_Az（r, ,z ：z）Az（r, , z）r r =、=z行

18、二心- -z：_zz同理y.WORD.格式.专业资料.整理分享.因此，矢量场A穿出该六面体的表面的通量为仁(rA.A .讥Lrr : rA =lim =r z故得到圆柱坐标下的散度表达式Ir仁（rAJ . ：A 処r ：r r z21.22 方程u=笃a解由于2 2y乙给出一椭球族。求椭球表面上任意点的单位法向矢量。.2 2b c% =e空+e药+e空x 2 y . 2 z 2a b c.WORD.格式.专业资料.整理分享.求出这些矢量的源分布。(2)解(1)在球坐标系中=1(r2A)1(si nA)1=r trr sin日胡幻r sin日與12131Q2(r sin cos ) (sin v

19、COSTcos ) (sin )二r .:rr sin一r sin v =2故椭球表面上任意点的单位法向矢量为示？1.23(1)( x=(ex 2eyaA、B、CVu现有三个矢量A、B、C为A = ersin T cose寸cosT cos -e sinB =erz2sine z2cosez2rzsin2 2C =ex(3y 2x) + eyX + ez2z哪些矢量可以由一个标量函数的梯度表示？哪些矢量可以由一个矢量函数的旋度表.WORD.格式.专业资料.整理分享.心=仁(件)丄皂旦r丫r z1 ;21 r2(rz sin )(z cos ) (2rzsin )=r .rr zz2sinz2s

20、in . .2r s in =2rsinr2d击+cos2sin日coscos011 1 7 Trr sinrrsin 0erre日r sin-1&r2si n日c*ArA日r sinAqerreer sin日e1r2sin日c6sin cosr cos& cos-r sin 8 sin =0l A故矢量A既可以由一个标量函数的梯度表示， 也可以由一个矢量函数的旋度表示; 在圆柱坐标系中.WORD.格式.17 x B =r:xrv.rv.-2 -2x) (x )(2z) =0dyczey3y2-2x-:y2xcz2z二ez(2x-6y).x :y :z：Ay；:f：4z；:fA

21、y) (f Az)=:yyz. zc , _ _ ._同理故有故矢量B可以由一个标量函数的梯度表示； 直角在坐标系中LJC = 2CS. E . 2CZexcy&故矢量C可以由一个矢量函数的旋度表示。(2)这些矢量的源分布为A=0，、-A=0 ；B = 2r sin ，：，： B =0 ；i |_C =0，i C =ez(2x6y)1.24 利用直角坐标，证明(fA) =r _AAf解在直角坐标中f ； LAAf二心亠苕(Ax兰Ay兰Az兰)二； x :y:z(f(匚exex.L、,t.广Q(fAx)(fAy)x:y1.25 证明(A H ) = H小A-AQ： H解 根据 算子的微分

22、运算性质，有L( A H)JAL(A H) 7HA H)式中IA表示只对矢量A作微分运算，lH表示只对矢量H作微分运算。 由al_(b c)二c_(a b)，可得$AL(A江H) =H L(可A) = HA)、HL(A H)=-AfHH产-Af、H)(A H) =H A A心H利用直角坐标，证明.WORD.格式.专业资料.整理分享.WORD.格式.专业资料.整理分享.题 1.27 图所以解在直角坐标中(fG) =- Gvf GtGzGycGxcGzGycGx八G = f ex(-一) ey(ez()dycz&exexcyfffpffifG=ex(GzGy) ey(GxGz)ez(GyG

23、x)cy&dzexexcy-Gyy):z_Gz)；xGxx)二.x:y ：yr(fGy)(fGx) f(fGz)正ey；Gz詡-Z：Gx：讦x)-(Gzf:z:xfGy；：fcf)-(Gyff：G ： * f G二ex( Gzf创cfey(Gxfez(Gy兰f亠)_(Gx=f exeJ(fGz)eX-r：(fGy)ez-)d 6 =02二(d a cos寸)制花2二_ex -2兀，小0aI1I2花| d0（d acosR2二a a d2-a22.16 证明在不均匀的电场中，某一电偶极子p绕坐标原点所受到的力矩为r（必）E p E。解如题 2.16TCOSV)=-ex丄ohl2(sec-

24、1)图所示，设p=qd l(dl：1)，则电偶极子p绕坐标原点所受到的力矩为F qE(12) iiqE(ii)=(r乎)qE (r弓)(-弓)qE (r-号)=2 2 2 2d IdI qdld Iqr E(r-) -E(r y) |dI E(r -) E(r-)当dl ：1时，有E (rE (r-E (r) & 7 E (r)2E(r)-浮i)E(r)2故得到T r (qdI、 )E(r) qdl E(r)二r (pU- ) E pEy.WORD.格式.专业资料.整理分享.WORD.格式.专业资料.整理分享.3.21911 年卢瑟福在实验中使用的是半径为荷量为-Ze的电子云，在球心有

25、一正电荷Ze到球体内的电通量密度表达式为D0= erqa2 21 2(r a )ra的球体原子模型，其球体内均匀分布有总电(Z是原子序数，e是质子电荷量)，通过实验得Ze-1)q二-0.293qr2 ra，试证明之。解 位于球心的正电荷Ze球体内产生的电通量密度为原子内电子云的电荷体密度为Ze4r3Ze电子云在原子内产生的电通量密度则为4二r； 34ra3P5r3/3Ze rD2二e:2er 3D1D2r2 Ze 1er4兀J3.3电荷均匀分布于两圆柱面间的区域中，面半径分别为a和b，轴线相距为C(c：b-a)，如题 3.3 图(a)所示。求空间各部分的电场。解由于两圆柱面间的电荷不是轴对称分

26、布，不能直接用高斯定律求解。但可把半径为a的小圆柱面内看作同时具有体密度分别为-0的两种电荷分布，这样在半径为b的整个圆柱体内具有体密度为:?0的均匀电荷分布，而在半径为a的整个圆柱体内则具有体密度为-0的均匀电荷分布，如题 3.3 图(b)所示。空间任一点的电场是这两种电荷所产生的电场的叠加。在r b区域中，由高斯定律赤道平面题 3.1 图故原子内总的电通量密度为.WORD.格式.专业资料.整理分享.4三章习题解答3.1真空中半径为a的一个球面，球的两极点处分别设置点电荷q和-q，试计算球赤道平面上电通密度的通量 G (如题 3.1 图所示)。解 由点电荷q和-q共同产生的电通密度为4二R3

27、R_er ez(z-a) _ ej ez(z a)4兀r2+(z a)232r2+(z+a)232则球赤道平面上电通密度的通量DS = JDjezz/S =5Sq:(_a)aqJ/2(+2、32-/2+2、320rdr =0(r a ) (r a ).WORD.格式.专业资料.整理分享.的电场分别为b2订，ob2ra2订，a2rE1 e2E1=巳22二；0r 2 ；0r2二；0r2；0r点P处总的电场为在r : b且a区域中，同理可求得大、兀r2PPrE2 -点P处总的电场为丄型OLL)小圆柱中的正、负电荷在点E.a2E2二er2二；-P-(a2r (rr)P产生的电场分别为a2rE=E2+E

28、； = “(.22% r小圆柱中的正、负电荷在点E3=e 2二;-rPp宀r-r)%2 ；-2 ；-3.4 半径为a的球中充满密度:?(r)的体电荷，已知电位移分布为在r a 的空腔区域中， 大、兀r2P。er-2二；r点P处总的电场为2；-P产生的电场分别为2；-广32r Ar (r乞a)Dr二a5Aa4其中 A 为常数，试求电荷密度(r)。(r -a) L r解：由i巾，有(r)二、LD二-12 (r2Dr)r d r故在r ：a区域，(r) = ；：oAr2)=(5r24Ar)r d r54在 r a 区域 p) = ；0229 冲=-r drr3.5 一个半径为a薄导体球壳内表面涂覆了

29、一薄层绝缘膜，球内充满总电荷量为Q为的体电荷，球壳上又另充有电荷量Q。已知球内部的电场为E =er(rfa)4，设球内介质为真空。计算：(1)球内的电荷分布；(2)球壳外表面的电荷面密度。解(1)由高斯定律的微分形式可求得球内的电荷体密度为题 3. 3 图(b).WORD.格式.专业资料.整理分享.球壳外表面上的总电荷为2Q，故球壳外表面上的电荷面密度为CT =-4na-b区域内Do = 0，则匚i和二2应具x _6y 4=03.8P的电位为5dz1 dd.43:二；0、LE二2（rE）二；p（r2= ）=6；0二r drr dr aaar322（2）球体内的总电量Q为Q-d二6；04二r d

30、r = 4二；0aT0a球内电荷不仅在球壳内表面上感应电荷-Q,而且在球壳外表面上还要感应电荷Q，所以笔=23.6 两个无限长的同轴圆柱半径分别为-1和匚2的面电荷。（1）计算各处的电位移 有什么关系？r = a和r = b （b a），圆柱表面分别带有密度为D0；（ 2）欲使3.7计算在电场强度E=exy+eyx的电场中把带电量为2AC的点电荷从点R（2,1,1）移到点F2（8,2, -1）时电场所做的功：（1）沿曲线x = 2y2；（2）沿连接该两点的直线。解(1)W =F Ldl=q Ejdl二qExdx Eydy二CCC2 22226q ydx xdy =q yd(2y ) 2y dy

31、 = q 6y d y =14q =-28 10 (J)C11(2)连接点R(2,1,1)到点F2(8,2,-1)直线方程为x -2 x -8y1 y -222故W = q . yd x xd y =q yd（6y -4） （6y 4）d y = q . （12y 4）d y = 14q = 28 10 （J）C11长度为L的细导线带有均匀电荷，其电荷线密度为J。（ 1）计算线电荷平分面上任意点的电位：；（2）利用直接积分法计算线电荷平分面上任意 点的电场E，并用E八 核对。解（1 ）建立如题 3.8 图所示坐标解（1）由高斯定理DoLd S二q，S当r ：a时，有D01 =0当a : r :

32、 b时，有2二rD02=2二a，则D02a；=err当b：r：:时，有2二rD03= 2-a1- 2二b；2，则+bD03 =er(2)令D3二era；二b；212= 0,则得到-2L2.WORD.格式.专业资料.整理分享.系。根据电位的积分表 达式，线电荷平分面上任意点L2WO/。；-L 2题 3.8 图.WORD.格式.专业资料.整理分享.0L2I n(z+Jr2+z2)=4兀坯丄2In4二；o:l 02二；0In(L2)2L 2r2(L2)2L2.(L2)L 2r(2)根据对称性，可得两个对称线电荷元Aodz在点p的电场为d E =erdEr=er-2兀呂0Jr2+z2故长为L的线电荷在

33、点P的电场为E =dE J2张曲E dE“22)32由E二-求E，有：10dZco-= S(代2)32A。/ z)er2“r(.产寸)4二；0r汀2(L 2)2L.2 +Jr2+(L；2)2_e;I0d ,r2二；0dr -fri2二；03.9已知无限长均匀线电荷In L 22(L2)2-Inr二1_ _1!Jr2+(L 21&2匚(2)2rR的电场E =er-，试用定义式10=erd r2- (L 2)22二；0rrp(r)El_dl求其电r位函数。其中rp为电位参考点。8rPpp解(r) = Ed ldrln/； 2r2。由于是无限长的线电荷，不能将rP选为无穷远点。3.10 一点

34、电荷q位于(a,0,0),另一点电荷解 两个点电荷q和-2q在空间产生的电位(x, y, z) = 1 ,qJ(x +a)2+ y2+z2J(x_a)2+ y2+ z21 2rPrpr1In丄2二；0r-2q位于(a,0,0)，求空间的零电位面。2q令(x, y,z) =0，则有(x a)2y2z2, (x _a)2y2z2.WORD.格式.专业资料.整理分享.WORD.格式.专业资料.整理分享.4(x a)2y2z2 = (x -a)2y2z2522242(x a) y z= ( a)3354由此可见，零电位面是一个以点(_a,0,0)为球心、一a为半径的球面。33(r)生(丄故得3.11证

35、明习题 3.2 的电位表达式为4二；r解 位于球心的正电荷Ze在原子外产生的电通量密度为r23、2ra2raZeD1 =er2电子云在原子外产生的电通量密度则为4r Ze2 024r4r所以原子外的电场为零。故原子内电位为rrm、1 g Ze ；/1(r) Ddr(二4o rra的圆柱体，(r) =0(r)二A(r _)cosr _ aLr(1)求圆柱内、外的电场强度；2)这个圆柱是什么材料制成的？表面有电荷分布吗？试求之。解(1)由E ，可得到r : a时，E032白r a时，E - _er A(r - )cos -eA(rcrrr靜2r3.12电场中有一半径为Ze)dr鸟(丄上ra4二；0

36、r2ra已知柱内外的电位函数分别为r _ a2a)cos = r-erA(1a)co e A(1-冷)sin r r(2)该圆柱体为等位体，所以是由导体制成的，其表面有电荷分布，电荷面密度为-20Acos=03.13(1)(2)(3)(4)(5)八9nEr J 9 erLE P二验证下列标量函数在它们各自的坐标系中满足sin(kx)sin( ly)e皿其中h2=k212；rncos(n ) Asin(n )圆柱坐标；圆柱坐标；球坐标；球坐标。r百cos(n )r cosr $ cos 解(1)在直角坐标系中；：2:孑：-+-7z.WORD.格式.专业资料.整理分享.WORD.格式.专业资料.整

37、理分享.-2G22x:x?2:-22_2yy敖-2:：Z2；Z2sin (kx)si n(ly)ez = -k2si n( kx)s in (ly)ezsin (kx)s in (ly)ez = -l2si n(kx)si n(ly)ezsin (kx)si n(ly)ez = h2s in (kx)si n(ly)ez(2)在圆柱坐标系中 2=(_k2_l2h2)sin( kx)sin(ly)ez=0212：2 盲(肓)亍盲 r - rncos(n ) Asin(n ) =n2rn，cos(n ) Asin(n )(3)(4)(5)1 1(r )二r ；:r：r r ；:r：r2申4.2 -

38、 -n2rncos(n ) Asin(n ):z21 :-2rcos(n ) Asin(n ) =0.:z、2=018drrcos(n )二n2rcos(n )r ；:r ；:r(r )=r :r ；r 1宀 孑?2;:=_n2r丄Q cos(n ):z2在球坐标系中宀2r亠cos(n ) =0:z2二01 2汐1dq 列、(r2)(sin丁)222.r : r r sin一一r sine 2.:r 一r1 -丁sin (rcos忙r sin -:132(-rsi n)cosr sinr-22 . 22(8小0r sin -:-01 22r2(rcos*2cos寸r ：:r:rr2 -r :r

39、 :r21：22.(r )2 r(rcosRcos-r cr亠-匸)c912 -r :r/ (sjn r sin - c.:r1 ：2:2r sinin2J2、21 ?2:(r2)二r2:r；r.WORD.格式.专业资料.整理分享.WORD.格式.专业资料.整理分享.丄)C0二(sin r sin v故3.14(1)(2)(3)解 (1)(ecoshx)七(ecoshx)七宦coshx) = 2/coshx = 0 x: y: z所以函数ecoshx不是y 0空间中的电位的解；.詔-2-2(2)yGcosx) r (ecosx) (ycosx) - -ecosx ecosx = 0dxdycz

40、所以函数ecosx是y 0空间中可能的电位的解；P = F0(exx eyy ezZ)o(2)证明总的束缚电荷为零。=ex_Px=L2 = 2卩0 xK2八ex_PXK2 =LF0(y V)nL)n冷)二訊同理二P(y二L)-21 - -2 sin (r cosR二r sin v :1_(_r si n )4cosvr2si n一-r4(r COST)二0r sinr sin :2二0已知y 0的空间中没有电荷，下列几个函数中哪些是可能的电位的解？e* coshx；e* cosx；ecos x si nxsinxsiny sin z。口2口22EEg_y2 y2 y2 y(3) (ecosxs

41、inx) (e_ cosxsinx) (e_ cosxsinx)二xSycz-4e2ycosxsin x 2e_2ycosxsin x 0所以函数e-2ycosxsinx不是y 0空间中的电位的解；-2ccc(4) (sinxsinysinz) (sin xsin ysin刁-(sin xsin ysin 0 =excycz-3sin xsin ysinz 0所以函数sinxsinysinz不是y 0空间中的电位的解。3.15 中心位于原点，边长为L的电介质立方体的极化强度矢量为(1)计算面束缚电荷密度和体束缚电荷密度；解(1)订二丄卩=3P0；。(X二寺)=nl_P|x=L2二。(X二-二n

42、|_PL.WORD.格式.专业资料.整理分享.电位为_32L(2)qp二Jpd .二PdS = 3P0L 6LPo= 03.16 一半径为 R)的介质球，介电常数为2；r12NT/；r ；0，其内均匀分布自由电荷 ，证明中心点的二q，可得到解由r : R时,rRo时,故中心点的电位为R)4r2D1:3rDl盲，4血 43D2 2 ?3r2EiD1-r3；r ；0；r ；0DiE2二-03站2R)(0)Ejdr . E2dr二0F003名r 03.17 一个半径为R的介质球，介电常数为常数。(1)计算束缚电荷体密度和面密度；(2)和电位分布。drdr二工说21&3；06；r；0；，球内的

43、极化强度计算自由电荷密度；3；oP =2erK r，其中K为(3)计算球内、外的电场解(1)介质球内的束缚电荷体密度为在r = R的球面上，束缚电荷面密度为1 d /2K、(r )r dr r二n|_P,占二erl_P,r申二首i_p二K2r(2)由于D =-0E P，所以、!_八八l_E P二仝_D P(id)LD LP由此可得到介质球内的自由电荷体密度为 bn；K(；- ；0)r2总的自由电荷量(3)介质球内、q = = KT * 7外的电场强度分别为P =_K_一；0( -0)rR1八2月4RK24 r dr工0 0(r : R).WORD.格式.专业资料.整理分享.WORD.格式.专业

44、资料.整理分享.cd二E_dI二ErrKdrr（- ；0）rK , Rln0亠i E2dr =RQO+ R；0(； - ；0)rXR)（；i；0）r；0（；i；0）TL, T名RK,RK=E2dr2dr =rr；0（0）r；0（0）r3.18（ 1）证明不均匀电介质在没有自由电荷密度时可能存在束缚电荷体密度;缚电荷密度 订的表达式。解（1）由D =；0E P，得束缚电荷体密度为 在介质内没有自由电荷密度时，D=0,则有(r -R)（2）导出束订=l_P - D ；八_EP0：LE由此可见,度。(2)束缚电荷密度的表达式为3.19介质 1 中的电场的q；RK2=er 2（rR）4二；r；0（ ；

45、 - ；0）r介质球内、外的电位分别为由于D = E，有D （ ；E） = _E E :- 0所以当电介质不均匀时，l|_E可能不为零，故在不均匀电介质中可能存在束缚电荷体密两种电介质的相对介电常数分别为71=2 和；r2=3，其分界面为z=0 平面。如果已知Er= ex2y _ey3x ez（5 z）那么对于介质 2 中的E2和D2，我们可得到什么结果？能否求出介质2 中任意点的E2和D2？解设在介质 2 中E2(x,y,0)= exE2x(x,y,0) eyE2y(x, y,0) ezE2z(x, y,0)D2二；0 ；r2E2 = 3 ；0E.WORD.格式.专业资料.整理分享.在Z =

46、 0处， 由ez(E1- E2)=0和eX(D D?) =0， 可得ex2y -ey3x = exE2x(x, y,0) eyE2y(x, y,0) 2 50=3；E2z(x, y,0)于是得到E2X(x,y,0) =2yE2y(x, y,0) - -3xE2z(x,y,0) =103.WORD.格式.专业资料.整理分享.题 3.21 图E2(x,y,0) = ex2yey3x+ ez(103)故得到介质 2 中的E2和D2在z = 0处的表达式分别为D2(x, y,0)=坯(ex6y-ey9x + ez10)不能求出介质 2 中任意点的E2和D2。由于是非均匀场，介质中任意点的电场与边界面上

47、的 电场是不相同的。3.20电场中一半径为a、介电常数为；的介质球，已知球内、；一；03_COST外的电位函数分别为=-EorCOSag +2名。Eor _a3；oE0rCOS8+20验证球表面的边界条件，并计算球表面的束缚电荷密度。解在球表面上r _al(a, R - -E0acos aE0COS$+2奄E0aCOST2(a,T) = _ E0acos；2。二-EoCOSJ-彳E0COS=-；230E0COST； 2；0p1cr可见；：1和；2满足球表面上的边界条件。球表面的束缚电荷密度为故有i(a)-2(a,R,2-=r二p =nLp|r =( ； - ；0)er_E2=七E0COSr=a

48、r=a；2。-J3.21平行板电容器的长、宽分别为a和b，极板间距离为d。电容器的一半厚度(02)2用介电常数为(1)(2)(3)解(1)(1)又由于；的电介质填充，如题 3.21 图所示。板上外加电压U。，求板上的自由电荷面密度、束缚电荷；若已知板上的自由电荷总量为Q,求此时极板间电压和束缚电荷; 求电容器的电容量。设介质中的电场为E二ezE，空气中的电场为；E = E。E弓E*Uo2 2E0 -ezE0。由D二D0，有由以上两式解得2；U(；s)d匚2；U。，0(；0)dd/2Id/2IUo.WORD.格式.专业资料.整理分享.题 3.21 图.WORD.格式.专业资料.整理分享.（1 ）

49、 根由此得到所以齐二tan40tan2二tan，-0二tan1=14二 :.4设介质板中的电场为E，根据分界面上的边界条件，9E0COS弓二；En；c1En=-E0cos弓E0cos1449E0n = ；En，即介质板左表面的束缚电荷面密度介质板右表面的束缚电荷面密度Cp3；0E0cos1才-O.7280E04=（；- 0）En = 0E0cos14 =0.7280E04二p一（； -； ）3.22 厚度为 t、介电常数为 g =4 知的无限大介质板，放置于均匀电场E0中，板与E0成角哥，如题 3.22 图所示。求：（1 ）使二24的哥值；（2）介质板两表面的极化电荷密度。tan1ptan &

50、amp;；故下极板的自由电荷面密度为上极板的自由电荷面密度为电介质中的极化强度匚下； E二上故下表面上的束缚电荷面密度为上表面上的束缚电荷面密度为0题 3.22 图2 ；o ；U（:亠：o）d2；oU（；o）dP= （；- p）E =-ez-ezLPp上2 ；o（ ； - ；o）UoC亠d）d2 ；o（ ； - ；o）Uo仁亠-0）d2；。（；- ；o）U（:亠：o）dQ _ 2 ； o ； U ab（亠-.0）d得到故CP上（3）电容器的电容为（匸亠GdQ2 ；0；ab（-p）Q；ab二（一p）QabQ _ 20abU（；）d.WORD.格式.专业资料.整理分享.3.23 在介电常数为 呂的

51、无限大均匀介质中，开有如下的空腔，求各腔中的E0和D0:（1）平行于E的针形空腔；（2）底面垂直于E的薄盘形空腔；.WORD.格式.专业资料.整理分享.二E。故在针Do二D。故Do；EDo二D二；E，Eo；o ；o3.24 在面积为S的平行板电容器内填充介电常数作线性变化的介质，从一极板 的；i一直变化到另一极板（y二d）处的之，试求电容量。解 由题意可知，介质的介电常数为设平行板电容器的极板上带电量分别为（y =0）处所以，两极板的电位差；=；i y（ ；2 - ；i） ：dDySEyd；i y（ ；2 - dSdy =0【；1 y（ ；2 - ；1）qdln d y =s（%）引（3）小球

52、形空腔（见第四章 4.14 题）。解（1）对于平行于E的针形空腔，根据边界条件，在空腔的侧面上，有Eo形空腔中Eo= E，Do二pEo二；oE（2）对于底面垂直于E的薄盘形空腔，根据边界条件，在空腔的底面上，有 在薄盘形空腔中故电容量为C =qS-Udin（名2/和3.25一体密度为；=2.32 ioCm3的质子束，束内的电荷均匀分布， 束直径为2mm， 束外没有电荷分布，试计算质子束内部和外部的径向电场强度。12解 在质子束内部，由高斯定理可得2-rErrPr2.32汇10升4 jj故Er迈=1.31 10 r V m（r 10 m）2屜2汉8.854101在质子束外部，有2二rEra2Pa

53、22.32況10门0上1o故Er亍=1.31 10 V m（r 10 m）2%r2汉8.8540 rr.WORD.格式.专业资料.整理分享.3.26考虑一块电导率不为零的电介质（，；），设其介质特性和导电特性都是不均匀的。证明当介质中有恒定电流J时，体积内将出现自由电荷，体密度为-JL；（；）。试问有没有束缚体电荷： ?若有则进一步求出：。解- =D =k ；E MJ）=山（-）_、_J对于恒定电流，有|_J = o,故得到；?二JL；.WORD.格式.专业资料.整理分享.解（1）设同轴电缆中单位长度的径向电流为I，则由.JLdS = I，可得电流密度S介质中的电场JIer(a : r : c

54、)(a ： ： r : b)(b ： r ：由于bcIbIcUE Jdr E2dr一.InIn于是得到I2二1 2UoIJ = err%ln(bja)十卸n(c,b)E r2ln(b a)1ln(c b)E2=e:-0；-rrY21n(b,/a)+飞1 n(c； b)(2)由匚二nLD可得，密度为(a ： r : c)(a ：r : b)(b ： r :：；-1二血丄已丄介质 2 外表面的电荷面密度为,% ?2Ua21n(b a)11n(c b)二2二-；2erLE2I y两种介质分界面上的电荷面密度为以Uoc2In(b a)1In(c b)(令2 -名2 *1)U0b2ln(b a)11n(

55、c b)（3）同轴线单位长度的漏电阻为2In(b a), In(c b)介质中有束缚体电荷 订，且，一LP=.1DLE心（WL（J）Jb（TJb（二）一山（2）3.27 填充有两层介质的同轴电缆，内导体半径为a，外导体内半径为c，介质的分界面半径为b。两层介质的介电常数为和z2，电导率为片和?2。设内导体的电压为u0，外导体接地。求：（1）两导体之间的电流密度和电场强度分布；（2）介质分界面上的自由电荷面密度；（3）同轴线单位长度的电容及漏电阻。E2.WORD.格式.专业资料.整理分享.电场强度由两导体间的电压可得到J = erI4二r2（R ：r :JIer4二o（r K）r（尺： ：r :

56、 R2）只2只2IU0=E |_drdr -R1冃旅0（r K）rIlnR2（R +K）140K门+ K）一4二KU。lnR2（R1+K）1RI（R2+K）一所以J二err2InoKU。R2（R K）R1RK）媒质中的电荷体密度为二1二_erLJr#由静电比拟，可得同轴线单位长度的电容为C.2a21n(b. a)+卸In(c b)3.28 半径为R和R(R.R2)的两个同心的理想导体球面间充满了介电常数为:、电导率为吋二(1 - K )的导电媒质(K为常数)。若内导体球面的电位为U0，外导体球面接地。试 求：(1)媒质中的电荷分布；(2)两个理想导体球面间的电阻。解 设由内导体流向外导体的电流

57、为|，由于电流密度成球对称分布，所以名K2U0_1InR2（R K） （r K）2r2_R（R2K）媒质内、外表面上的电荷面密度分别为EKU0_1,:R2（R1+K）（R+K）R InR1（R2+K）_EKU。_1InR2（R K） （R2K）R2|RR K）(2)两理想导体球面间的电阻口Uo1lnFUR K) R InI4/K RR+K)3.29 电导率为Y的无界均匀电介质内， 有两个半径分别为R1和R2的理想导体小球，两球 之间的距离为d(d Rd R2)，试求两小导体球面间的电阻。解 此题可采用静电比拟的方法求解。假设两小球分别带电荷q和-q，由于两球间的距离d八R、d八R2，可近似认为

58、小球上的电荷均匀分布在球面上。由电荷q和-q的电位叠加 求出两小球表面的电位差，即可求得两小导体球面间的电容，再由静电比拟求出两小导体球面间的电阻。.WORD.格式.专业资料.整理分享.设两小球分别带电荷q和一q，由于d R、. R，可得到两小球表面的电位为1 1所以两小导体球面间的电容为-2由静电比拟，得到两小导体球面间的电导为故两个小导体球面间的电阻为4二；丄JR，1R2d - R1d - R2G11 -2G3.30 在一块厚度d的导电板上， 由两个半径为r1和r2一块扇形体，如题 3.30 图所示。求：（1）沿厚度方向的电阻； 方向的两电极的电阻。设导电板的电导率为。解（1）设沿厚度方向

59、的两电极的电压为Ui，则有R1R?d - R d - R?1 1)4二R R2dR dR2的圆弧和夹角为a的两半径割出的 （2 ）两圆弧面之间的电阻；沿 :E1J1二E1故得到两圆弧面之间的电阻为S故得到沿厚度方向的电阻为1dU1二22、-(r2 r1)dIn（3）设沿二方向的两电极的电压为由于E3与无关，所以得到2d1I1辭（r22_rj）（2）设内外两圆弧面电极之间的电流为J2S2E2I2，则-_J_2.一:rdU2Ezdrr1In空r1r21U3，则有U3a二.E3rd0.WORD.格式.专业资料.整理分享.WORD.格式.专业资料.整理分享.13J3-edS二S3r1亠nba由内外导体

60、间的电压2二；由此得到圆柱形电容器中的电场强度与电压的关系式在圆柱形电容器中，r二a处的电场强度最大令E(a)对a的导数为零，即-：E(a)；:aE(r)- r In(b.a)Ualn(b a)ln(b a) -1 cuE(a)a2ln2(b a)由此得到故有E eU3E3二eTr?U3J3二E3二e-arr2dU3dU3r23dr3In二用r用*Un故得到沿:方向的电阻为R3=匕二-I3?dl门亿/斤)3.31圆柱形电容器外导体内半径为b，内导体半径为a。当外加电压U固定时，在b定的条件下，求使电容器中的最大电场强度取极小值Emin的内导体半径a的值和这个Emin的值。解 设内导体单位长度带电荷为-，由高斯定理可求得圆柱形电容器中的电场强度为P.E(r) =2阳rbdra2sr得到Jln (