第1章 离散时间信号与系统 (总学时：6学时)

1、绪 论自从1965年库利(Cooley)和图基 (Tukey) 在“计算数学”(Mathematics of Computation)上发表了“用机器计算复序列傅里叶级数的一种算法”即“快速傅里叶变换算法”以来，一门新兴学科数字信号处理 (Digital Signal Processing，DSP) 的发展就拉开了序幕。随着信息学科、计算机学科以及电子技术的高速发展，数字信号处理学科得以蓬勃发展，逐渐形成了自己的学科领域和一整套较为完整的理论体系。数字信号处理就是把信号用数字或符号表示成序列，然后将序列通过计算机或通用(专用)信号处理设备，用数字的数值计算方法处理，以达到提取有用信息的目的。通

2、常，数字信号处理系统由A /D转换器、数字信号处理器、D/A转换器三大部分组成，如图1所示。A/D转换器(亦称为模拟数字转换器)的功能就是将模拟信号转换成数字信号序列，数字信号处理器的功能就是将数字信号序列按预定的要求进行加工处理，得到新的数字信号序列，而D/A转换器(亦称为数字模拟转换器)则是将数字信号序列转换成模拟信号。图1 数字信号处理系统的简单方框图在数字信号处理系统中，数字信号处理器是数字信号处理系统的核心部分。它可以是数字计算机、微处理机、数字信号处理芯片(如TI (Texas Instruments) 公司的TMS320系列芯片) 或数字硬件组成的专用处理机。若数字信号处理器是数

3、字计算机或微处理机，则对输入信号进行的预期处理是通过软件编程来实现的，这种实现方法称为软件实现。若数字信号处理器是数字信号处理芯片或数字硬件组成专用处理机，则称为硬件实现，其特点是处理速度快，能实现实时信号处理。目前，最为流行的数字信号处理器就是通用数字信号处理芯片，它是专为信号处理设计的芯片，有专门执行信号处理算法的硬件，例如乘法累加器、流水线工作方式、并行处理、多总线、位翻转(倒位序)硬件等，同时又有专为信号处理使用的指令。采用该信号处理器既有实时的优点，又有用软件实现的多用性优点，是一种重要的数字信号处理实现方法。与模拟信号处理系统相比，数字信号处理系统具有以下一些明显的优点：(1)精度

4、高：模拟网络的精度由元器件决定，模拟元器件的精度很难达到10-3以上，而数字系统只在14位字长就可达到10-4的精度。在高精度系统中，有时只能采用数字系统。(2)灵活性高：数字系统的性能主要由乘法器的系数决定，而系数是存放在系数存储器中的，因而只需改变存储的系数就可得到不同的系统，比改变模拟系统方便得多。由于数字信号可无损地存储在磁盘上，因而可随时传送，可在远端脱机处理，另外，时间可以倒置、压缩或扩张。(3)可靠性强：由于数字系统只有两个信号电位“0”和“1”，因而受周围环境的温度及噪声的影响较小。而模拟系统的各元器件都有一定的温度系数，且电平是连续变化的，易受温度、噪声、电磁感应等的影响。(

5、4)容易大规模集成：数字部件具有高度规范性，便于大规模集成、大规模生产。另外，数字信号处理还具有时分复用、可获得高性能指标以及实现二维甚至多维信号的处理等优点。正是由于数字处理信号具有以上众多优越性，使数字信号处理技术在语音处理、图像处理、工业控制与自动化、通信等各个领域得到广泛的应用。数字信号处理学科主要涉及(1)离散时间线性时不变系统分析；(2)离散时间信号时域分析及频域分析、离散傅里叶变换(DFT)理论；(3)信号采集，包括A/D，D/A技术等；(4)数字滤波技术；(5)谱分析与快速傅里叶变换(FFT)，快速卷积与相关算法；(6)自适应信号处理；(7)估计理论，包括功率谱估计及相关函数估

6、计等；(8)信号的压缩，包括语音信号与图像信号的压缩；(9)信号建模，包括AR，MA，ARMA，CAPON，PRONY等各种模型；(10)其它特殊法(同态处理、抽取与内插、信号重建等)；(11)数字信号处理的实现；(12)数字信号处理的应用等众多的理论和技术。这些理论和技术随着电子技术的发展，在各个领域得到了广泛的应用，同时也随着信息学科、计算机学科以及电子技术的发展，其内容又在不断增加、扩充。作为基础理论教材，不可能涉及数字信号处理的全部内容。我们主要讨论数字信号处理的基本理论和方法，内容涉及信号采集与重构、离散时间系统分析、离散时间信号的时域分析和频域分析、离散傅里叶变换(DFT)理论、快

7、速傅里叶变换(FFT)，快速卷积与相关算法、数字滤波技术等。另外，由于在数字信号处理的实现时，无论是用专用硬件还是用计算机软件来实现，其数字信号处理系统的有关参数以及运算过程中的结果都是以二进制数表示，并存储在有限字长的存储单元中，这种有限精度表示与有限精度运算处理会给理想数字信号处理系统带来误差。因此，数字信号处理中的有限字长效应，也是本书所要讨论的内容。附录B 专门安排了MATLAB与数字信号处理仿真这部分内容，详细介绍了相关函数命令的功能和基本使用方法，并结合各章的内容，给出了大量的实例与MATLAB仿真程序，以便帮助大家更好地理解和掌握数字信号处理的基本理论和基本实现方法。第1章 离散

8、时间信号与系统信号是信息的载体，是信息的物理表现形式，它通常是一个自变量或几个自变量的函数。如果信号仅用一个自变量表示，则称为一维信号，如语音信号；如果用两个以上的自变量表示，则称为多维信号，如图像信号。对一维信号，人们习惯用时间变量来刻画。因此，根据信号在任意时刻的取值是否能精确确定，信号可分为确定信号和随机信号。按时间变量取值形式，信号可分为连续时间信号和离散时间信号。连续时间信号是指信号的时间变化范围是连续的。连续时间信号通常也称为模拟信号。离散时间信号是指信号的时间变化是不连续的，而是离散值。若将离散时间信号的幅值量化，就能得到数字信号。用于处理连续时间信号的系统称为连续时间系统(简称

9、连续系统)，用于处理离散时间信号的系统称为离散时间系统(简称离散系统)。本书的基础理论均以一维、确定的离散时间信号和离散系统为研究对象。1.1离散时间信号序列1.1.1 离散时间信号与序列的运算1离散时间信号连续时间信号是指信号的时间变化范围是连续的，离散时间信号是指信号的时间变化是不连续的，而是离散值。通常，离散时间信号可以通过对连续时间信号等间隔抽样来获取。例如，对连续时间信号进行等间隔抽样，即 (1-1-1)抽样间隔为，得到信号在不同时刻上的取值(为整数)，这些抽样值构成的序列即为离散时间信号，简称序列。为了描述方便，将序列习惯性表示为。注意：x(n)只在n为整数时才有意义，不是整数时无

10、定义。离散时间信号可以用图形来表示。例如离散时间信号 ，用图形表示，如图1-1所示： 图1-1离散时间信号的图形表示由于x(n)只在n为整数时才有意义，不是整数时无定义。因此，在表示序列的图形中不能将各个点用线连接起来。2序列的运算序列的运算通常包括移位、和、积、时间尺度变换、翻褶、卷积和等，序列通过运算后将生成新序列。(1)移位设某一序列为x(n)，当m>0时，它的移位序列x(nm)是由序列x(n)延时或右移m位形成的新序列，称为x(n)的延时序列。而x(nm)是由x(n)超前或左移m位形成的，称为x(n)的超前序列。当m<0时，则相反。如图1-2所示，(a)图表示的是序列x(n

11、)，(b)图表示的是x(n2)，(c)图表示的是x(n2)。 图1-2 序列的移位 (2) 和两序列的和是指同序号n(或同时刻)的序列值逐项对应相加而构成一个新的序列，表示为：例1-1序列x(n)和y(n) 如图1-3(a)、(b)所示。求两个序列的和。解：由图知，z(2)=x(2)y(2)0+1=1，z(1)=x(1)y(1)1+1=2，z(5)=x(5)y(5)0+(0.5)=0.5， 其余的序列和为0。所得新序列y(n)=x(n)+z(n)如图1-3(c)所示。图 1-3 序列的和(3) 积两序列的积是指同序号n的序列值逐项对应相乘。表示为：例1-2求例1-1中两序列x(n)与y(n)的

12、积。解：z(2)=x(2)y(2)0×10，z(1)=x(1) y(1)1×11， z(5)=x(5) y(5)0×(0.5)0其余的序列积为0。所得结果如图1-4所示。 图1-4 序列的积(4) 时间尺度变换序列x(n)的时间尺度变换序列为x(mn)或，其中m为正整数。注意对，当为整数时才有定义。例如当m=2时，x(2n)是x(n)序列每隔2点抽取一点形成的，称x(2n)是x(n)的抽取序列。而是x(n)序列每2点之间插入一点形成的，称是x(n)的插值序列。序列x(n)和x(2n)的波形如图1-5所示。 1-5 序列的抽取 1-6 序列的翻褶(5) 翻褶x(n)

13、是x(n)的翻褶序列，它是以n0的纵轴为对称轴将序列x(n)加以翻褶形成的。x(n)和x(n)的波形如图1-6所示。设y(n)= x(n)，可以看出图中y(0)= x(0)，y(1)= x(1)，y(1)= x(1)等。(6) 卷积和两序列的卷积和是指两序列作如下运算时，称序列y(n)为序列x(n)与h(n)的卷积和。 (1-1-2)通常表示为y(n)=x(n)*h(n)，符号“*”表示卷积和运算，即。从定义式(1-1-2)可知，卷积和的运算包含了四种序列的运算：翻褶、移位、相乘、相加。因此，用图形求解卷积和可按以下步骤进行。翻褶：先将x(n)和h(n)用x(m)和h(m)表示，并将h(m)以

14、m0的纵轴为对称轴翻褶形成h(m)。移位：将h(m)移位n (设n为某一给定值)，得到h (nm)。当n为正整数时，h(m)右移n位。当n为负整数时，h(m)左移n位。相乘：将h (nm)和x(m)的相同时刻(m)的序列值对应相乘，得到序列的积x(m)h (nm)。相加：将序列相乘后得到的积序列中的所有的序列值相加，就得到第n个序列值y(n)。改变n，重复步，求得<n<区间上所有对应的序列值y(n)，即得到序列y(n)。例1-3已知如下两个序列：当3n3时，x(n)3,11,7,0,1,4,2；其它n，x(n)0；当1n4时，h(n)2,3,0,5,2,1；其它n，h(n)0；求两

15、序列的卷积和。解：翻褶：先在坐标上作出x(m)和h(m)，并将h(m) 翻褶形成序列h(m)，波形如图1-7(a)所示。移位、相乘和累加。讨论n，分三种情况：情况1：n4。h(m)左移n位，h(nm) 和x(m)的非零值不重叠，此时两序列的积x(m)h(nm)所得的序列值全为零，如图1-7(b)所示，因此，这些序列值相加后，其和为零，即y(n)=0， n4注意：y(n)的第一个非零点是由序列x(n)和h(n)的起始位置决定，即n=(3)(1)=4，最后一个非零点是由序列x(n)和h(n)的终止位置决定，即n=34=7。情况2 4n7。随着n的不断增大，h (nm)不断右移，h(nm) 和x(m

16、)的非零值部分将部分或全部重叠。如n1时，3m2区间的h(nm) 和x(m)序列值部分重叠，如图1-7(c)所示，因此同理可得：当4n7时，。情况3: n7。h(m)右移n位，h(nm) 和x(m)的非零值不重叠，故y(n)=0，n7综上，当4n7时，其它n，y(n)=0。所得的卷积和如图1-7(d)所示。 (a) (b)(c) (d)图1-7 x(n)和h(n)的卷积和图解1.1.2 序列的能量、周期性以及几种常用序列1序列的能量序列x(n)的能量E定义为序列各抽样值的平方和。 (1-1-3)可以看出，序列的能量是定义在无穷区间内的。2序列的周期性如果对所有的n存在一个最小的正整数N，使得：

17、 (1-1-4)即序列x(n)移N位后其值不变，则称序列x(n)是周期性序列，且周期为N。例如，形如正弦的序列，如图1-8所示，它满足，说明是周期为16的周期序列。 图1-8 正弦序列(虚线表示正弦序列的包络)但值得注意的是，形如正弦的序列不一定都是周期序列。我们知道，连续正弦信号具有周期性，其信号的频率为，模拟角频率为，则信号的周期。如果这一正弦信号被以抽样间隔T等间隔抽样，那么得到正弦序列： (1-1-5)简写为： (1-1-6)其中为数字角频率。式(1-1-6)所表示的正弦序列是否一定具有周期性呢？回答是不一定，它具有周期性是有条件的。设正弦序列 (1-1-7)则： 如果有，则要求，即

18、(1-1-8)式中k与N均取整数，且k的取值要保证N是最小的正整数，满足这些条件，正弦序列才是以N为周期的周期序列，否则该正弦序列是非周期序列。也就是说，正弦序列具有周期性的条件是必须为整数。例1-4 试判断下列正弦序列的周期性，若为周期序列，求出该序列周期。 解： 由于，因此，该正弦序列为周期序列，周期为8(时的最小正整数)。由于，因此，当k=2时，存在一个最小的正整数N，使得，故此正弦序列是以5为周期的周期序列。由于， 为无理数，故此正弦序列不是周期序列。 从以上的讨论可以看出，当连续正弦信号经过等间隔抽样变成正弦序列后，这个正弦序列不一定是周期性序列，该正弦序列是否具有周期性与的表达式有

19、关。造成这种差异的原因是数字角频率和模拟角频率的含义不同。是基波的频率，它的值表示了基波的振荡速率，单位为弧度/秒(rad/s)。而表示序列变化的速率，或表示相邻两个正弦序列值对应的相位变化量，单位为弧度(rad)。如时，变化最慢(没有变化)；当时，变化最快。3几种常用序列(1)单位冲激序列 单位冲激序列亦称为单位抽样序列，常用表示，其特点是仅在n0时取值为1，其它均为零。即： (1-1-9) 设任意序列x(n)，若x(n)乘上，则，相当于只对序列x(n)中n0点的x(0)抽样。单位抽样序列如图1-9所示。 (2)单位阶跃序列 (1-1-10)类似于连续时间信号与系统中的单位阶跃函数。但在t=

20、0时常没有定义，而在n=0时定义为，如图1-10所示。 图1-9 单位抽样序列 图1-10 单位阶跃序列与的关系为： (1-1-11) (1-1-12)令nm=k，代入上式得: (1-1-13)(3)矩形序列 (1-1-14)式中N称为矩形序列的长度。例如N5时，R5(n)的波形如图1-11所示。和的关系为： (1-1-15) (1-1-16)(4)实指数序列 (1-1-17)式中a为实数。如果，x(n)的幅度随n的增大而减小，序列x(n)收敛，其收敛的波形如图1-12所示；如果，序列x(n)则发散。 图1-11 矩形序列 图1-12 时的实指数序列 (5) 正弦型序列式中，A为幅度，为数字角

21、频率，为起始相位。(6) 复指数序列 (1-1-18)式中是复正弦的数字角频率，x(n)的序列值是复数。当时，用极坐标表示如下式： 因此 用实部虚部表示如下：可见，复指数序列的实部和虚部是正弦序列，因此，复指数序列与正弦序列的特性相同。如复指数序列的周期性与正弦序列的周期性有同样的分析结果。4任意序列用单位冲激序列的表示方式对于任意序列，常表示成单位冲激序列的移位加权和，即 (1-1-19)式中x(m)视为单位冲激序列的移位序列的权值，且则因此，任意序列也可表示成与单位冲激序列的卷积和形式，即 (1-1-20)可以看出，任意序列与单位冲激序列的卷积和等于它自身。例1-5 x(n)如图1-13所

22、示，用单位抽样序列及其加权和表示它。解： 图1-13 用单位抽样序列的移位加权和表示序列 图1-14 离散时间系统1.2 离散时间系统一个离散时间系统是将输入序列x(n)变换成输出序列y(n)的一种运算。如、 和都表示一个离散时间系统。若用表示这种运算关系，则一个离散时间系统可由图1-14来表示，系统的输出与输入满足如下关系： (1-2-1)通常称输入序列x(n)为系统的激励，输出序列y(n)称为系统的响应。在离散系统中，一类最重要、最常用的离散时间系统就是“线性时不变系统”(LTI)，也是本书所要讨论的重点。1.2.1 线性时不变系统1线性系统设y1(n)是一个离散时间系统对x1(n)的响应

23、，y2(n)是x2(n)的响应，即，当系统满足下面两个性质：1可加性 ，即是的响应。2比例性(或齐次性) ，即是的响应，其中为任意复常数。则该系统称为线性系统。从定义可知，线性系统一定满足叠加原理，即： (1-2-2)如果有N个输入分别作用于线性系统，则相应有N个输出，它们满足叠加原理的一般表达式： (1-2-3)因此，对于线性系统，当系统为零输入时，其输出也恒为零，即零输入产生零输出。注意，检验一个系统的线性时，系统必须同时满足可加性和比例性。例1-6检查以下系统是否是线性系统：解：若设有二个激励和，则相应的输出为：且若令，则系统对的响应为： 可见 因此，该系统不满足可加性，不是线性系统，是

24、非线性系统。例1-7证明是线性系统。证明：设，。由于因此有，满足可加性。又因 ，满足比例性。所以此系统是线性系统。2时不变系统如果系统的响应与激励加于系统的时刻无关，则该系统称为时不变系统（或称为移不变系统）。也就是说，时不变系统表现出来的特性行为不随时间而改变。例如，如果在不同的两个时刻，对同一个电路做同一个实验，得到的实验结果相同，那么这个电路就是一个时不变的系统。这是因为电路中的元器件参数等不随时间改变的缘故。这时，它对应的运算关系在整个运算过程中不随时间变化。对时不变系统，设，则 (1-2-4)式中m为任意整数。即如果在输入序列上移动任意位，其输出序列移动同样的位，而幅值却保持不变。因

25、此，检验一个系统是否为时不变系统，就是检查它的输入输出是否满足式（1-2-4）。例1-8试证明是时不变系统。证明：因为 可见 所以，此系统是时不变系统。例1-9证明所表示的系统是一个时变系统。证明：找一个输入序列使时不变条件不成立的反例：令，则(输出恒为零)可见 证明此系统不是一个时不变系统，而是一个时变的系统。当一个离散时间系统同时具有线性和时不变性时，该离散时间系统称为线性时不变(LTI)系统。如果没有特别说明，本书研究的系统都是LTI系统。1.2.2 单位冲激响应与系统响应在连续时间LTI系统中，用单位冲激响应h(t)唯一地表征LTI系统，且系统响应y(t)可以表示成输入信号x(t)与单

26、位冲激响应h(t)的卷积积分。在离散时间LTI系统中也有类似的性质。1线性时不变系统的单位冲激响应离散时间LTI系统可以用单位冲激响应h(n)来表征。所谓单位冲激响应是指输入序列为单位冲激序列，系统输出序列y(n)的初始状态为零时，系统的输出。单位冲激响应亦称为单位抽样响应，一般用h(n)表示： (1-2-5)它代表了LTI系统的时域特性。如果系统的单位冲激响应h(n)的长度有限，该系统称为有限长单位冲激响应(FIR)系统；如果系统的单位冲激响应是无限长的，该系统称为无限长单位冲激响应(IIR)系统。有限长序列的长度是指序列中那些连续不为零的非零值所在区间的长度。IIR系统和FIR系统是两类非

27、常重要的系统，将在数字滤波器设计的第5、6章作详细讨论。2线性时不变系统对任意序列的系统响应设LTI系统的输入序列为，输出序列为，则LTI系统对任一序列的系统响应为：从式(1-1-19)可知，任一序列可写成的移位加权，因此，系统的输出可改写为：利用线性系统满足比例性、可加性得：。而系统的时不变性意味着：。最后得出系统输出的表达式为： (1-2-6) 这就是线性时不变系统对任意序列的系统响应卷积和表达式。它表示LTI系统的响应y(n)等于输入序列x(n)与单位冲激响应h(n)的卷积和。如图1-15所示：若序列x(n)和h(n)为有限长序列，x(n)的长度为N，序列的起始位置为nx0；h(n)的长

28、度为M，序列的起始位置为nh0，则其卷积和序列y(n)也为有限长序列，且其长度L为：序列的起始位置n0nx0nh0。如例1-3中，x(n)的N7，nx03，h(n)的M6，nh01，故其卷积和的L7+6112，检验一下y(n)的长度正好为12，序列的起始位置n04，终止位置nf=L+n0=7。LTI系统图 1-15 线性时不变系统3线性时不变系统的性质(1)交换律由于，令进行变量替换，得:所以有: (1-2-7)这表明，两个序列的卷积和与它们的次序无关。因此，一个输入为x(n)、单位冲激响应为h(n)的LTI系统的输出，与输入为h(n)、单位冲激响应为x(n)的输出是相同的，如图1-16所示。

29、图1-16 LTI系统的交换律性质如果，则。可见，这一点与单位冲激响应的定义一致。(2)结合律可以证明卷积和运算满足结合律，即 （1-2-8）这表明，两个LTI系统级联后，可以用一个单一的LTI系统来等效，其等效系统的单位冲激响应就等于两个系统各自的单位冲激响应的卷积和，且与两个系统级联次序无关，如图1-17所示。=图1-17 满足结合律和交换律的三个等效的LTI系统(3)分配律卷积和满足如下关系： (1-2-9)这表明，两个LTI系统并联后，可以用一个单一的LTI系统来等效，其等效系统的单位冲激响应就等于两个系统的单位冲激响应之和，如图1-18所示。图1-18 LTI系统的并联中的分配律以上

30、的交换律、结合律、分配律既是卷积和运算的基本性质，也是LTI系统具有的基本性质。图1-19 LTI系统级联举例例1-10如图1-19所示，两个LTI系统级联，设 求系统的输出y(n)。 解：由LTI系统级联满足结合律，因此，第一个系统的输出是第二个系统的输入：分别将、和代入得： 4线性时不变系统的差分方程描述在描述一个LTI系统的特性时，除了可以用单位冲激响应来表征系统的特性外，也可以直接通过系统输入与输出之间的关系来描述系统的特性，这种描述系统的方法称为输入输出描述法。在连续时间LTI系统中，常用常系数线性微分方程来描述系统的输入输出关系。类似地，在离散时间LTI系统中，采用常系数线性差分方

31、程来描述系统的输入输出关系，即 (1-2-10)式中系数ak与bm均为常数。差分方程的阶数等于y(nk)项中k的最大值与最小值之差，因此，称式（1-2-10）为N阶差分方程。系统的特征完全可由差分方程的系数决定。在求常系数差分方程时，必须给出初始条件，不同的初始条件会导致不同的输入输出关系。在大多数情况下都给出初始松弛条件：若n<n0时x(n)=0，那么n<n0时y(n)=0，即初始状态为零。在初始松弛条件下，由常系数差分方程式(1-2-10)描述的系统才是LTI系统。求解常系数差分方程的方法有经典法、离散时域和变换域三种求解法。经典解法类似于连续时间系统中求解微分方程的方法，它包

32、括齐次解与特解，由边界条件求待定系数。计算较麻烦，实际中很少采用。离散时域求解法有两种：(1)递推法(迭代法)，这种方法较简单，但只能得到数值解，不容易得到闭合形式(公式)解；(2)卷积和计算法，用于系统初始状态为零时的求解，即求得零状态解。这种方法需要先求得系统在输入单位冲激序列时所产生的单位冲激响应h(n)，然后再利用卷积和求取任意输入序列下系统的输出。变换域求解法类似于连续时间系统的拉普拉斯变换法，它采用z变换方法来求解差分方程，方法简便有效。这种方法将在2章中讨论。这里只讨论递推解法。首先，将式(1-2-10)改写为： (1-2-11)观察上式是一递归方程，因此，求解差分方程的条件除了

33、给定的输入序列外，还需包括输出序列的N个初始条件，这样才能得到唯一的解。 例如求时刻以后的输出，初始条件就是时刻以前的N个输出序列值，即，。然后利用式(1-2-11)进行递推求解。例1-11 设一系统的常系数差分方程为，若系统的输入序列为，试求系统的输出序列y(n)。解： 此系统差分方程是一阶差分方程，需要一个初始条件。 (1)设初始条件 因为 则时序列值， 时，依次迭代求得序列值： 所以输出序列 或(2)设初始条件则时序列值， 因为 则时，依次迭代求得序列值： 所以输出序列或 。此例表明，对于同一个差分方程和同一个输入序列，因为初始条件不同，得到的输出序列是不相同的。对初始条件为情况，由于符

34、合初始松弛条件，即若n<0时x(n)0，那么n<0时y(n)0。所以，此时差分方程描述的系统是LTI系统，并可以用递推法，求出系统的单位冲激响应由于h(n)无限长，故此差分方程描述的是一个无限长单位冲激响应(IIR)系统，其差分方程是一递归方程。若式(1-2-10)中差分方程的阶数N0，且满足初始松弛条件，则此差分方程是一非递归方程，即 (1-2-12)令，可得系统的单位冲激响应为：在这种情况下，h(n)有限长，所以此差分方程描述的是一个有限长单位冲激响应(FIR)系统。从例1-11可以看出，一个常系数线性差分方程不能唯一确定一个系统，它描述的系统也不一定是线性时不变的。但是，在本

35、书讨论范围内，离散时间系统都是松弛系统，即初始条件为零，因此，它的常系数线性差分方程代表的是线性时不变系统。1.2.3 因果与稳定系统 系统的因果性和稳定性是保证系统物理可实现的重要条件，因此，讨论系统的因果性和稳定性显得非常必要。1因果系统若一个离散时间系统的输出序列，在时的值只取决于的输入序列，则称此系统为因果系统，或称系统具有因果性。因果性实际上要求系统的输出值只与当前及以前的输入值有关，而与未来的输入值无关。这样的系统才是物理可实现的。否则，不满足因果性，就是非因果系统。例如和常系统差分方程式(1-2-11)所描述的系统是因果系统，而系统和则是非因果系统，这是因为当n<0时，上述

36、两个输出分别与未来、时刻的输入、有关。注意，在考查系统的因果性的时候，只考虑系统的输入输出关系，其它函数的影响不考虑。如表示的系统是因果系统。因为讨论此系统的因果性时，不考虑函数的影响。LTI系统是因果系统的充要条件是： (1-2-13)通常，将满足式(1-2-13)的序列称为因果序列，因此，因果系统的单位冲激响应必然是因果序列。2稳定系统稳定系统是指系统有界输入产生有界的输出。即若 则 要证明一个系统不稳定，只需找到一个特别的有界输入，如果此时能得到一个无界的输出，那么就一定能判定这个系统是不稳定的。例如要证明系统是不稳定系统，只需找一特别的输入，使它不满足稳定系统的条件即可。若设，则，y(

37、n)随着n的增加(或减小)而增加(或减小)，显然y(n)无界，故此系统不是稳定的。但要证明一个系统是稳定的，就不能只用某个特定的输入作用来证明，而要利用在所有有界输入下都产生有界输出的办法来证明系统的稳定性。例如要证明系统(为正整数)是稳定系统，就要考虑所有可能的有界输入下都产生有界输出。令对任意满足(A为任意正整数)，因此，系统的输出满足，这说明系统输出有界，因而系统稳定。LTI系统是稳定系统的充要条件是： (1-2-14)即要求系统的单位抽样响应h(n)绝对可和。这表明，一个稳定的LTI系统，当时，h(n)以足够快的速度趋近于零，以保证系统的输出y(n)不会无限大。显然，因果稳定的LTI系

38、统的单位冲激响应是因果的且是绝对可和的。可以证明：在初始松弛条件下，常系数线性差分方程描述的LTI系统是因果的；如果系统是因果的，常系数线性差分方程描述的系统满足初始松弛条件，则系统是线性时不变系统。这留给读者自己证明。例1-12设LTI系统的单位冲激响应分别为：(1) ；(2) 。试分析系统的因果稳定性。解：(1)判断因果性：当n<0时，故此系统是因果系统。判断稳定性：，故此系统是稳定系统。所以该系统是因果稳定系统。(2)判断因果性：当n<0时，,故此系统不是因果系统。判断稳定性：，故此系统不是稳定系统。所以该系统是非因果不稳定系统。1.3 连续时间信号的抽样大多数离散时间信号来

39、源于连续时间信号(模拟信号)的抽样，抽样是模拟信号数字化处理的第一个环节。实际上，连续时间信号的抽样是通过A/D转换器的抽样器实现的，而A/D转换器输出的信号是经抽样、量化、编码的数字信号。将模拟信号转换为数字信号的过程称为模数(A/D)转换。相反，从数字信号重新恢复成模拟信号的过程称为数模(D/A)转换。关于抽样，人们最关心的问题是：连续信号被抽样后其频谱将会有什么变化？在什么条件下，可以由抽样信号能被不失真地恢复成原来的连续时间信号？1.3.1连续时间信号抽样的基本原理抽样就是利用周期性的脉冲序列p(t)，从连续时间信号中抽取一系列等间隔的离散值，得到抽样信号即离散时间信号。A/D转换器中

40、的抽样器可以看成一个电子开关。对模拟信号进行抽样可以看作一个模拟信号通过一个电子开关S，如图1-20(a)所示。设电子开关每隔周期T合上一次，每次合上的时间为<<T，在电子开关输出端得到实际抽样信号，如图1-21(a)所示。当时，电子开关闭合时间无穷短，得到的是理论抽样信号，如图1-21(b)所示，即抽样信号等于周期脉冲信号p(t)与待抽样的连续时间信号xa(t)相乘，如图1-20(b)所示。这里只讨论理论抽样的情况。 (a) (b)图1-20 抽样原理图(a)实际抽样 (b)理论抽样图1-21 连续时间信号的抽样实际抽样所得出的抽样信号在的极限情况下，将成为一冲激函数序列。这些冲

41、激函数准确的出现在抽样瞬间，而它们的强度则准确地等于在抽样瞬间的幅度，如图1-21(b)所示。这时，周期脉冲信号p(t)变成了冲激函数序列T(t)，即 (1-3-1)因此，理论抽样信号为： (1-3-2)将式(1-3-1)代入式(1-3-2)，得： (1-3-3)由于只在tmT时不为零，所以 (1-3-4)式中就是序列值。抽样间隔T亦称为抽样周期，抽样周期的倒数称为抽样频率fs=1/T，其大小表示单位时间内抽样点的个数，单位为Hz。称为抽样角频率。例1-13连续时间信号 xa(t)=sin(2f0t+/8)，f050Hz，若抽样间隔T为5ms，试写出抽样信号的表达式。解：由抽样原理得抽样序列值

42、：由式(1-3-4)得抽样信号为：1.3.2抽样定理与连续信号的恢复是不是任意时间间隔的理论抽样都能反映原连续时间信号的基本特征呢？答案是否定的。例如，有一个连续时间信号xa(t)=sin(t)，如图1-22(a)所示。当抽样间隔T=5/4秒、/6秒时所得的理论抽样信号分别如图1-22(b)、(c)所示。可见，对同一连续时间信号，选用不同的抽样间隔将得到不同的抽样信号。只有当抽样间隔较小时，才能使相邻的两个抽样值之间发生的变化不会丢失，所得抽样信号的包络与连续信号相似。但是，抽样间隔也不能太小，这样将处理太多的抽样点，不实际。图1-22(b)的抽样间隔不够小，得到的抽样信号不能反映原连续时间信

43、号的细节。而图1-22(c)的抽样间隔就足够小，抽样信号的包络反映了原连续时间信号的基本特征。因此，我们可以得出一个直观的结论：如果连续时间信号变化比较快，则应选择一个较高的抽样频率，反之选择一个较慢的抽样频率。但是这只是定性的结论，抽样频率fs的大小到底与连续信号变化快慢有什么定量的关系呢？科学家奈奎斯特(Nyquist)，从信号抽样前后的频谱关系出发，研究了抽样频率fs的定量关系，得出了下面著名的Nyquist抽样定理。图1-22 xa(t)=sin(t)在不同抽样间隔时的理论抽样信号1Nyquist抽样定理设xa(t)是一个严格带限的连续信号，即要想对xa(t)抽样后能够不失真地还原出原

44、模拟信号，则抽样频率fs(或s)必须大于等于两倍信号谱的最高频率fh(或h)，即 或 (1-3-5)可见，Nyquist抽样定理给出了最小的抽样频率，即，称为奈奎斯特率。而把抽样频率的一半(fs/2)称为奈奎斯特频率或折叠频率。同时，抽样定理也给出了最大的抽样间隔，即T=Th/2。特殊地，对连续正弦信号抽样时要求抽样频率大于正弦信号频率的两倍。否则抽样值将为零，如，在的整数倍点上的值为零，则抽样信号的值都为零，显然不包含原信号的任何信息。如果选择的抽样频率(或抽样间隔)不满足抽样定理，就会发生混叠现象。如图1-22所示，因为Th2秒，由抽样定理知，要求抽样间隔小于秒，再观察(b)图，T=5/4

45、秒秒，不满足抽样定理，所以(b)图的抽样信号中有混叠发生，抽样信号的包络与原模拟信号的波形差异很大。而(c)图没有混叠发生，因为T=/6秒秒。为了避免频谱混叠，一般在抽样器前加入一个保护性的前置低通滤波器，称为防混叠滤波器，其截止频率为fs/2，以便滤除高于fs/2的频率分量。2连续信号的重构如果满足奈奎斯特抽样定理，则可由理论抽样信号不失真地重构连续信号xa(t)。其方法是将理论抽样信号通过以下理想低通滤波器： (1-3-6)该滤波器的输出ya(t)就是所要恢复的原连续信号xa(t)，如图1-23(a)。该理想低通滤波器称为重构滤波器，其频率特性如图1-23(b)所示，增益为T，截止频率为s

46、/2。(a)抽样恢复时域示意图 (b)理想低通滤波器特性图1-23 抽样的恢复 由于重构滤波器的单位冲激响应为 (1-3-7)所以，重构滤波器的输出应为由和h(t)的卷积积分： (1-3-8)这就是抽样内插公式，它表明了xa(t)是如何从其抽样值xa(mT)重构的。其中具有sinc函数形式的函数称为内插函数，如图1-24所示，在抽样点mT上，函数值为1，其余抽样点上，函数值为零。所以根据内插公式(1-3-8)，xa(t)在每一个抽样点上的信号值保持不变，而抽样点之间的信号则由各加权内插函数波形的延伸部分叠加而成，如图1-25所示。 图1-24 内插函数 图1-25 抽样的内插恢复例1-14设连

47、续时间信号，f050Hz，试分别求出xa(t)的周期，抽样频率和抽样间隔大小。解：由f050Hz得xa(t)的周期为 由抽样定理得： 3抽样信号的频谱与连续信号频谱的关系连续时间信号的抽样过程，就是将信号的时间变量离散化的过程，但是在连续时间信号周期抽样过程中，却要受Nyquist抽样定理的限制。如果不满足抽样定理，抽样信号将发生混叠现象。当混叠现象发生时，如果将所有的抽样值按时间先后顺序用虚线连接起来，得到的包络不会反映原模拟信号的基本特征，所观察到的是一个虚假的信号。关于这一点的应用，在数字存贮示波器的操作中要特别注意。下面我们从频域角度来讨论理论抽样信号的频谱及混叠现象。根据抽样原理，理

48、论抽样信号由原信号xa(t)与抽样序列T(t)的乘积决定，即，因此抽样后信号的频谱会发生改变，引起这种改变的原因与抽样序列的频谱直接相关。设原带限连续信号的频谱Xa(j)如图1-26(a)所示。根据抽样序列T(t)的表达式(1-3-1)，其傅里叶变换为： (1-3-9)如图1-26(b)所示。可见，抽样序列的频谱是频率的周期函数，周期为s(或fs)。 图1-26 理论抽样信号和抽样序列的频谱 图1-27 抽样恢复频谱图(a)原模拟信号的频谱 (a)抽样恢复的频域示意图(b)抽样序列的频谱) (b)理论抽样信号的频谱(s2h)(c)理论抽样信号的频谱(s2h) (c)重构滤波器特性(d)频谱混叠现象(s2h) (d)滤波器输出的原模拟信号频谱由傅里叶变换的相乘性质：时域内的相乘对应于频域内的卷积。因此，由式(1-3-2)得的傅里叶变换为： (1-3-10)该式表明：抽样信号的频谱也是频率的周期函数，