第一章_离散时间信号与系统

1、第一章 离散时间信号与系统信号信号与信息 信号是信息的表现形式信息则是信号的具体内容交通灯信号传递的信息：红灯停而绿灯行。信号是传递信息的函数信号的表示数学上表示成一个或多个独立变量的函数一维变量：时间或其它参量语音信号表示为一个时间变量的函数静止图像信号表示为两个空间变量的亮度函数信号的分类连续时间信号：连续时间域内的信号，幅度可以是连续数值，或是离散数值离散时间信号：离散时间点上的信号，幅度同样可以是连续数值，或是离散数值特殊形式：模拟信号和数字信号模拟信号：时间和幅度都是连续数值的信号，实际中与连续时间信号常常通用。数字信号：时间和幅度都离散化的信号。1.1 离散时间信号序列序列的定义及

2、表示序列的定义数字序列：离散时间信号一般只在均匀间隔的离散时间nT上给出数值序列的表示x = x(n)， -n+ (1.1)图1.1 图形表示用单位脉冲序列表示x = x(n)， -n+n 代表nT；T 指间隔的离散时间；nT 指均匀间隔的离散时间；n 为非整数时没有定义，不能认为此时x(n)的值是零1.1.2 序列的基本运算和、积、移位、标乘、翻转累加、差分、时间尺度变换、序列的能量、卷积和基本运算1序列的和：设序列为x(n)和y(n)，则序列z(n)= x(n)+ y(n) (1.2) 表示两个序列的和，定义为同序号的序列值逐项对应相加。例1.1 设序列计算序列的和x(n)+ y(n)。解

3、： 基本运算2序列的积：设序列为x(n)和y(n)，则序列z(n)= x(n) y(n) (1.3) 表示两个序列的积，定义为同序号的序列值逐项对应相乘。例1.1 计算序列的和x(n) y(n)。解： 基本运算3序列的移位：设序列为x(n)，则序列y(n)= x(n-m) (1.4)表示将序列x(n)进行移位。m为正时x(n -m)：x(n)逐项依次延时(右移)m位x(n+m)：x(n)逐项依次超前(左移)m位 m为负时，则相反。例1.1 计算序列的和x(n+1)。解： 基本运算4序列的标乘：设序列为x(n)，a为常数(a 0)，则序列y(n)= ax(n) (1.5) 表示将序列x(n)的标

4、乘，定义为各序列值均乘以a，使新序列的幅度为原序列的a倍。例1.1 计算序列的和4x(n)。解： 基本运算5序列的翻转（翻褶）：设序列为x(n)，则序列y(n)= x(-n) (1.6) 表示以n= 0的纵轴为对称轴将序列x(n)加以翻转。例1.1 计算序列的翻转x(-n)解： 基本运算6序列的累加：设序列为x(n)，则序列 (1.7) 定义为对x(n)的累加，表示将n 以前的所有x(n)值求和。基本运算7序列的差分：前向差分：将序列先进行左移，再相减 后向差分：将序列先进行右移，再相减x(n) = x(n+1)- x(n) (1.8) x(n) = x(n)- x(n-1) (1.9)由此，

5、容易得出 x(n) = x(n-1)二阶前向差分二阶后向差分 单位延迟算子D，有 Dy(n)= y(n-1) y(n)= y(n)- y(n-1)= y(n)- Dy(n)= (1- D)y(n)= 1-D 二阶后向差分k 阶后向差分(按二项式定理展开)基本运算8时间尺度(比例)变换：设序列为x(n)，m为正整数，则序列 抽取序列y(n)= x(mn) (1.10)插值序列 (1.11)x(mn) 和x(n/m)定义为对x(n)的时间尺度变换。抽取序列x(nm)：对x(n)进行抽取运算 不是简单在时间轴上按比例增加到m倍 以1/m倍的取样频率每隔m-1个点抽取1点。 保留 x(0) 插值序列x

6、(n/m) ：对x(n)进行插值运算表示在原序列x(n)相邻两点之间插入m-1个零值点保留 x(0)基本运算9序列的能量设序列为x(n)，则序列 (1.12) 定义为序列的能量，表示序列各取样值的平方之和； 若为复序列，取模值后再求平方和。基本运算10序列的卷积和设序列为x(n)和z(n)，则序列 (1.13) 定义为x(n)和z(n)的卷积和。卷积和又称为离散卷积或线性卷积，是很重要的公式。卷积和计算的四个步骤翻转：x(m) ，z(m) z(-m)移位：z(-m) z(n-m) n为正数时，右移n位R4(n)0123n01mh( m)23h(n)0123nmx(m)0123mh(1 m)21

7、11110123mh(2 m)11023ny(n)1112344567 n为负数时，左移n位 相乘：z(n-m) x(m) （m值相同） 相加：y(n) =z(n-m) x(m)例1.2：x(n)=R4(n)，h(n)=R4(n)，求y(n)=x(n)*h(n)。解：当当n+1 0n3 y(n)= 7-n 4n6 0 其它例1.3：设序列求y(n)= x(n)*z(n) 。解： n0时，x(m)与z(n-m)没有重叠，得y(n)=0。0n4时，对应点相乘！对应点相乘！4n6时， 4n6时， n10时，x(m)与z(n-m)没有重叠，得y(n)= 0。 卷积和又称为序列的线性卷积。设两序列的长度

8、分别是N和M，线性卷积后的序列长度为(N+M-1)。线性卷积性质：性质1：交换律、结合律和分配律。 x(n)*h(n)=h(n)*x(n) x(n)*h1(n)*h2(n)=(x(n)*h1(n)*h2(n) x(n)*h1(n)+h2(n)=x(n)*h1(n)+x(n)*h2(n)性质2：序列本身与单位取样序列的线性卷积等于序列本身。 推 论：1.2 几种常用序列单位脉冲序列、单位阶跃序列、矩形序列、实指数序列 、正弦序列 、复指数序列 单位脉冲序列（单位抽样）：(n)只在n =0时取确定值1，其它均为零 (n)类似于(t)(n-m)只有在n= m时取确定值1，而其余点取值均为零 单位阶跃

9、序列u(n)类似于u(t)u(t)在t= 0时常不定义，u(n)在n= 0时为u(0)= 1 (n)和u(n)的关系：(n) = u(n)-u(n-1) 单位矩形序列N 为矩形序列的长度 和u(n)、(n)的关系 ：实指数序列 a为实数当|a|1时序列收敛 当|a|1时序列发散 正弦序列 x(n)= Asin(n+) A为幅度、为数字域角频率、为起始相位 x(n)由x(t)= sint 取样得到归一化: =T =/fs (与线性关系 )复指数序列 为数字域角频率用实部与虚部表示 用极坐标表示 =0时，序列具有以2为周期的周期性 1.3 序列的周期性 对于序列x(n)，如果对所有n 存在一个最小

10、的正整数N，满足x(n)= x(n+N)则序列x(n)是周期序列 ，最小周期为N 。以正弦序列 为例讨论周期性 设 x(n)= Asin(n+) 则有 x(n+N) =Asin(n+N)+ =Asin(N+n+) 若满足条件N= 2k，则x(n+N)= Asin(n+N)+ = Asin(n+) = x(n)N、k 为整数，k 的取值满足条件，且保证N 最小正整数。其周期为 2/为整数时，取k = 1，保证为最小正整数。此时为周期序列，周期为2/。 例1.4 序列 ，因为2/= 8，所以是一个周期序列，其周期N= 8。 2/为有理数而非整数时，仍然是周期序列，周期大于2/。例1.5 序列 ，2/=