第五章局部综合法

1、魏冰阳撰写局部综合法与弧齿锥齿轮加工参数计算局部综合（Local Synthesis）由F. L. Litvin教授1968年提出，用于研究准共轭齿轮副传动，其目的是要在指定的接触点邻域内达到最佳的啮合质量。进入1980年后，Litvin与Gutman教授发展了局部综合法，把局部综合法应用于准双曲面齿轮的加工参数计算。明确提出了通过预置抛物线型的传动误差函数来控制传动误差，并认为这种抛物线型的传动误差函数能够“吸收”由于安装偏差等所导致的线性的传动误差，从而降低振动与噪音。1991年Litvin与Zhang教授又成功地将局部综合法应用于弧齿锥齿轮副啮合质量控制及加工参数设计。本章首先介绍局部综

2、合法的原理，然后应用局部综合法对弧齿锥齿轮进行加工参数设计。§5.1基本原理局部综合的基本思想是：(1) 设大轮齿面已知，在大轮齿面上选取一参考点，计算出参考点处的二阶几何参数（即主曲率和主方向）；(2) 预置参考点处的三个二阶接触参数，即）传动比函数的一阶导数；）接触迹线的切线方向；）瞬时接触椭圆的长半轴长度；(3) 求出小轮参考点处的二阶几何参数，在此基础上确定小轮的加工参数。通过上述过程，实现齿面在参考点领域内一阶和二阶接触参数的预控。§5.1.1基本公式考虑两齿轮（1和2）啮合。在啮合过程中，齿轮1的齿面和齿轮2的齿面连续相切接触。在空间固定（绝对）坐标系中，两齿面

3、公共接触点M具有相同的运动速度，即通过齿面和齿面描述接触点M在空间的运动速度相同 (5.1)所以 (5.2)这里，上标“1”和“2”分别指明所描述的参量为齿面和齿面；下标“r”和“tr”分别指接触点速度为相对（relative）速度（接触点相对于齿面运动的速度）和牵连（transfer）速度（接触点随齿面运动的速度）；为两齿面上的接触点间的相对运动速度。v(12)由下式确定： (5.3)这里，是由齿面的旋转轴上的一点至接触点的位置矢量；是由的旋转轴上的一点至的旋转轴上的一点的位置矢量； w(i)(i=1, 2，下文同)是齿轮i的角速度；是两齿轮的相对角速度。两齿面在公共接触点M处有公法线，且公

4、法线也应具有相同的运动速度。则，接触点M处单位法线运动速度为 (5.4)这里，是齿面接触点M处单位法向量；是齿面i上接触点处单位法矢端点相对于齿面运动的速度。两齿轮啮合，有如下的啮合方程成立 (5.5)对方程(5.5)求导，即 (5.6)设为齿轮2旋转轴的单位矢量，则有： (5.7)这里，为齿轮1的转角。设齿轮1在啮合过程中匀速转动，即为常数，则有：(5.8)这里，。由式(5.3)、(5.8)得 （此处=0） (5.9)将式(5.9)代入(5.6)式，得(5.10)其中，(5.11)(5.12)将(5.11)、(5.12)代入(5.10)式，考虑到对齿面和都成立，可得下式 (5.13)图5.1

5、两齿面在点处的公切面投影图§5.1.2基本方程组考虑两齿轮的齿面和在M点相切接触。图5.1所示为其公切面的投影图。其中，和是在M点处的两个主方向的单位矢量，和分别为其相应的主曲率；和是在M点处的两个主方向的单位矢量，和分别为其相应的主曲率；角为和之间的夹角，由到逆时针方向度量。设二维坐标系和分别固连于和上，则两坐标系之间的坐标转换矩阵如下所示： (5.14)将矢量和投影于坐标系中，则(5.15)将其变换至坐标系中，则(5.16)同理，将矢量和投影于坐标系中，则(5.17)将其变换至坐标系中，得：(5.18)下面，将式(5.2)、(5.4)中的所有矢量表示在同一坐标系中，则(5.19)

6、(5.20)下面，将式(5.2)和式(5.4)中的所有矢量表示在同一坐标系中，则(5.21)(5.22)由微分几何，和的分量满足罗德里克（Rodrigues）公式99，即有：（i=1, 2）(5.23)这里，是齿面接触点M的主曲率（即前述中的(kf, kh) 和(ks, kq)）。用Ki（i=1, 2）表示曲面的主曲率矩阵。矢量和表示在坐标系中，由方程(5.23)得(5.24)与此类似，可得(5.25)对式(5.16)和(5.24)进行变换可得(5.26)与此类似，由式(5.25)推得 (5.27)上述一系列推导的目的，是为了得到如下形式的线性方程组(5.28)这里，(5.29)其中， (5.

7、30) 方程组(5.28)中由两个子方程组组成，其中对于，的线性方程组推导如下：第一步：由式(5.20)和(5.27)得(5.31)第二步：由式(5.19)和(5.24)得出：(5.32)第三步：由式(5.31)和(5.32)可得(5.33)同理可推得 (5.34)方程组(5.28)中的系数矩阵A为一反对称矩阵，将其写成如下形式：(5.35)利用方程(5.33)与(5.34)，经若干变换后可得 (5.35a) (5.35b) (5.35c) (5.35d) (5.35e) (5.35f)列向量B表示作(5.36)其中 (5.36a) (5.36b)(5.36c) (5.36d)齿面和作线接触，

8、点M始终位于瞬时切线上，齿面的主曲率kf，kh与M点的运动参数已知，那么齿面相应点的主曲率ks，kq与s角，可按下述方法确定（1） 对式（5.13）进行变换，先将表示在坐标系中 (5.37)把式（5.24）代入可得 (5.38)利用式（5.19）对式（5.38）进行变换可得 (5.39)（2）将混合积表示在坐标系中 (5.40)利用式（5.19）对式（5.40）进行变换可得 (5.41)(3) 利用式（5.39）与（5.41），可把式（5.13）写成如下形式 (5.42)（4）由方程组(5.35)中的前两个方程和式(5.42)，可以得到如下的关于和的三个线性方程组(i=1,2,3) (5.43

9、)这里， (5.44a)另，上式还可化为 (5.44b)式中，分别表示相对运动速度在两个主方向上的分量；表示接触点随相应曲面的牵连运动速度；m21滚比的一阶导数；R为从曲面S1旋转轴线上一点到曲面S2旋转轴线上一点的位置矢量，通常取曲面S1坐标系原点指向曲面S2坐标系原点；k2表示曲面S2旋转轴线上的单位矢量。以上公式(5.44)看来十分复杂，其实在加工大轮时，t33的最后一项为零，因为滚比为一常数。只有小轮用变性法加工时，公式的应用则较为复杂一些。基本方程组(5.43)建立了两齿面的主曲率、主方向之间的关系。当两齿面处于线接触的状态时，接触点相对于齿面运动的速度的方向是不定的，也就是说以和为

10、未知量的方程组(5.43)的解是不唯一的，即方程组(5.43)的增广矩阵的秩小于2，由此可以推出(5.45)上式等效于(5.46)当齿面上点M处的主曲率和已知时，由上式可以得出齿面上点处的主曲率和以及主方向夹角，其公式如下： (5.47) (5.48a) (5.48b)当齿面上点处的主方向和已知，且也已计算出来后，齿面上点处的主方向和可由下式得出： (5.49a) (5.49b)与上述推导类似，当齿面的接触点主曲率ks，kq已知时，那么齿面相应点的主曲率kf，kh与s角，可由如下方程确定(i=1,2,3)(5.50)这里，(5.51) (5.52) (5.53a) (5.53b)基本方程组(5

11、.45)建立了两齿面的主曲率、主方向之间的关系。它可应用于两种情况：1）齿轮1和齿轮2作线接触，以上式(5.47)、(5.48)与式(5.52)、(5.53)则反映了这一情况。2）齿轮1和齿轮2作点接触，这一情况在下一节还要专门讨论。对于弧齿锥齿轮与准双曲面齿轮来说，在齿轮的加工过程中，刀具产形轮与被加工齿轮之间是线接触；而在齿轮啮合过程中，大、小齿轮之间是点接触。当齿面上点M处的主方向和已知，且也已计算出来后，齿面上点处的主方向和可由下式得出：(5.54a)(5.54b)§5.2点接触齿面间主曲率、主方向的关系当两齿面处于点接触的状态时，接触点相对于齿面运动的速度的方向是确定的，也

12、就是说以和为未知量的方程组(5.45)的解是唯一的，即方程组(5.45)的增广矩阵等于2，由此可以得出：(5.55)式(5.52)、(5.53)可以得出如下方程：(5.56)当欲由式(5.52) 、(5.53)求得接触点M处的、和时，需要补充提供一些辅助条件。为此，可以在点M处预置如下三个二阶接触参数：1）传动比函数的一阶导数；2）上接触迹线的切线方向；3）瞬时接触椭圆的长半轴长度。§5.2.1辅助条件（1）预置传动比的一阶导数对于理想的完全共轭的齿轮副来说，其传动比为一常数。设小轮、大轮的转角分别为和，齿数分别为和，则函数是线性的，可表示如下：(5.57)而对于作局部点接触的不完全

13、共轭的齿轮副来说，其传动比是变化的。相对于定比传动来说，齿轮副存在着传动误差。传动误差函数由下式定义：(5.58)式中和分别是两齿轮在参考点啮合时的小轮、大轮的初始转角。由式(5.57)可知，传动误差是指当小轮匀速回转时，大轮的实际转角与理论转角之间的差值。此时，我们将函数表示成如下形式：(5.59)将上式进行泰勒级数展开至二阶，可以得到：(5.60)这里（即在参考点啮合时）的等于。同时考虑式(5.55)和(5.57)，可知传动误差为：(5.61)由方程(5.60)确定的传动误差函数为一抛物线型的函数。预置为负值，可得到一中凸的抛物线型的传动误差曲线，此时，大轮的实际转角是滞后于理论值的。此外

14、，控制的绝对值的大小，可在参考点邻域内控制传动误差的幅值。（2）预置接触迹线的切线方向图5.2接触迹线在M点处的切线方向由方程(5.2)可知，和有如下关系：(5.62)这里，接触点M的在速度和的方向分别是齿面和齿面上接触迹线在M点处的切线方向。如图5.2所示，和分别为和与所成的夹角。由式(5.59)可得：(5.62)又，由图5.2可得： (i=1, 2)(5.63)将方程组(5.45)的第三个方程和式(5.60)、(5.61)联立，可得： (5.64a) (5.64b)(5.64c)预置的值，即预置齿面上点处的接触迹线的切线方向，可以由式(5.62)、(5.63)和(5.64)求得、和。（3）

15、预置瞬时接触椭圆长半轴长度理论上作点接触的齿轮副，在载荷的作用下，由于发生弹性变形，两齿面由一点接触延展为一小块面积接触。该接触面在两齿面公切面上的投影为一椭圆。设接触椭圆的长半轴长度为，短半轴长度为，则有：(5.65a) (5.65b)(5.66a)(5.66b)其中，,为齿面的弹性变形量，通常按格里森公司的经验取为0.00635mm。由式(5.46)可以得到，(5.67)由式(5.66)和(5.69)可以得出，(5.68)下面，我们考虑如下的以、和为未知量的方程组，它是由方程组(5.45)的前两个方程和式(5.69)的第一个方程组成的。(5.69)解此方程组，可以得到由、和所表示的、和。将解得的a11、a12和a22代入方程(5.70)，可得： (5.70a)这里， ， (5.70b) 在此基础上，可进一步推出如下公式：(5.71)(5.72)(5.73)(5.74)预置的值，我们可以由上述公式求得齿面上点处的主曲率和以及角。当计算出来后，齿面上点M处的主方向和可由式(5.50)和(5.51)得出。局部综合法通过方程组(5.45)建立了齿面的主方向和、主曲率和同齿面的主方向和、主曲率和之间的关系。对于两齿面作线接触的情况，当已知齿面的主方向和、主曲率和时，通过式(5.49)(5.53)可以唯一确定齿面的主方向和、主曲率和