控制系统数学模型及其转换课件

1、控制系统数学模型及其转换第3章控制系统数学模型及其转换 控制系统数学模型及其转换控制系统数学模型及其转换一一.连续和离散系统连续和离散系统系 统 类 型根据系统变量是时间连续函数还是时间离散函数，系统分根据系统变量是时间连续函数还是时间离散函数，系统分为连续系统和离散系统。为连续系统和离散系统。(1) 连续系统连续系统系统输入、输出信号都是连续时间信号。系统输入、输出信号都是连续时间信号。（一般（一般l、r、c电路）电路）(2) 离散系统离散系统系统输入、输出信号都是离散时间信号。系统输入、输出信号都是离散时间信号。（数字计算机）（数字计算机）(3) 混合系统混合系统系统输入、输出信号包含连续

2、信号和离系统输入、输出信号包含连续信号和离散信号。（计算机控制系统散信号。（计算机控制系统 ）连续时间系统的数学模型用微分方程描述。离散时间系统连续时间系统的数学模型用微分方程描述。离散时间系统的数学模型用差分方程描述。的数学模型用差分方程描述。控制系统数学模型及其转换 根据输入输出关系是否同时满足齐次性和叠加性，系统分为根据输入输出关系是否同时满足齐次性和叠加性，系统分为线性和非线性。假设系统在没有外界信号作用之前处于静止线性和非线性。假设系统在没有外界信号作用之前处于静止状态，在输入信号状态，在输入信号u1和和u2或或a1u1和和 a2u2作用下，有作用下，有式中，式中， 为任意实数，为任

3、意实数， 为为输入输出之间函数关系。那输入输出之间函数关系。那么，该系统称为线性系统，否则是非线性系统。么，该系统称为线性系统，否则是非线性系统。1 1221122()()()f a ua ua f ua f u+=+12,a a()f 系 统 类 型控制系统数学模型及其转换系 统 类 型线性时变系统：线性时变系统：2( )sin( ) ( )( )t y tt y ttu t&非线性定常系统非线性定常系统：2( )2 ( )2( )2 ( )y ty tytu t& &( )12 ( )3 ( )2 ( )y ty ty tu t& &线性定常系统：线

4、性定常系统：根据模型参数是否随时间变化，线性系统又可细分为线性定根据模型参数是否随时间变化，线性系统又可细分为线性定常系统和线性时变系统。参数不随时间变化的系统，称为时常系统和线性时变系统。参数不随时间变化的系统，称为时不变系统或定常系统，否则称为时变系统不变系统或定常系统，否则称为时变系统。控制系统数学模型及其转换三三.确定和随机系统确定和随机系统 系 统 类 型根据系统输入、输出和内部状态呈现的规律，系统分为确定根据系统输入、输出和内部状态呈现的规律，系统分为确定性系统与随机性系统。输入输出之间函数关系能够用确定性性系统与随机性系统。输入输出之间函数关系能够用确定性模型描述的系统，称为确定

5、性系统，否则称为随机系统模型描述的系统，称为确定性系统，否则称为随机系统(或不或不确定性系统确定性系统)。例如。例如( )( )( )( )( )( )x tf x tw ty th x tv t=+=+式中，式中， ( ), ( )x ty t分别为状态变量和输出变量，分别为状态变量和输出变量， ( ), ( )w t v t为噪声。为噪声。控制系统数学模型及其转换控制系统常用数学模型1110-11d( )d( )d ( )( )( )( )( ) ()dddddnnmnnmmnnmy ty ty td u tdu taaa y tbbb u tmnttttt式中，式中， ( ), ( )u

6、 ty t分别为系统输入量、输出量，分别为系统输入量、输出量，n为系统的阶次，为系统的阶次， (1,2, ) (0,1,2,)ija in bjm( )y t及各阶导数的的初始值为及各阶导数的的初始值为1( -1)00-1d (0)d(0)(0)ddn-nnyyyy ,y,ytt为参数，均为实常数。为参数，均为实常数。已知输出变量已知输出变量1微分方程微分方程一个连续系统可以表示成高阶微分方程，即一个连续系统可以表示成高阶微分方程，即控制系统数学模型及其转换控制系统常用数学模型稍加整理，并记稍加整理，并记 2传递函数传递函数若系统的初始条件为零，那么对微分方程两边取拉普拉斯若系统的初始条件为零

7、，那么对微分方程两边取拉普拉斯变换后可得变换后可得 111101( )( )( )( )( )( )nnmmnnms y sa sy sasy sa y sb s u sb su sb00( )( )( )mmjjjnn iiib sy sg su sa s01a 称为系统的传递函数。称为系统的传递函数。控制系统数学模型及其转换控制系统常用数学模型 =ax+bu 状态方程状态方程y=cx+du 输出方程输出方程系统的动态特性是用由状态变量构成的一阶微分方程组来描系统的动态特性是用由状态变量构成的一阶微分方程组来描述。状态空间表达式包括状态方程和输出方程。线性定常系述。状态空间表达式包括状态方程

8、和输出方程。线性定常系统的状态空间描述为统的状态空间描述为x3状态空间描述状态空间描述12ruuuur维输入向量维输入向量 12nxxxx12myyyyn维状态向量维状态向量m维输出向量维输出向量 控制系统数学模型及其转换控制系统常用数学模型rn111212122212nnmmmnccccccccccmn维输出矩阵维输出矩阵 111212122212rrmmmrddddddddddmr维直接传递矩阵维直接传递矩阵 111212122212nnnnnnaaaaaaaaaann维系统矩阵维系统矩阵111212122212rrnnnrbbbbbbbbbbnr维输入矩阵维输入矩阵 控制系统数学模型及其

9、转换控制系统常用数学模型 对于线性时变系统，系数矩阵对于线性时变系统，系数矩阵a，b，c，d，均与时间，均与时间t有关，有关，状态空间描述为状态空间描述为( )( )( )( )ttttxaxbuycxdu控制系统数学模型及其转换控制系统常用数学模型1差分方程差分方程设系统差分方程为设系统差分方程为011()(1)( )(1)( )nna y nka y nka y kbu nkb u k引进后移算子引进后移算子1q-1( )(1)q y ky k01()()nnjjjjjja qy knb qu kn-=+=+邋1110()()()()njjjnjjjb qy nkb qu nka qa q

10、-=-=+=+可得可得控制系统数学模型及其转换控制系统常用数学模型2离散传递函数离散传递函数(z传函传函)假设系统的初始条件为零，即假设系统的初始条件为零，即 ( )( )0y ku k(0)k 则得则得 11011( )( )nnnnaa za zy zb zb zu z系统传递函数系统传递函数( )h z为为 10( )njjjnjjjb zh za z-=-=1z-1q-在初始条件为零时，在初始条件为零时，与与等价。等价。 控制系统数学模型及其转换控制系统常用数学模型 (1)( )( )( )( )( )x kgx khu ky kcx kdu k+=+=+控制系统数学模型及其转换控制系

11、统常用数学模型三三. matlab模型表示模型表示matlab的控制系统工具箱提供传递函数模型、零极点增益的控制系统工具箱提供传递函数模型、零极点增益模型、状态空间模型的生成函数。模型、状态空间模型的生成函数。函数功能sys=tf(num，den)生成传递函数模型sys=zpk(z，p，k)生成零极点增益模型sys=ss(a，b，c，d)生成状态空间模型线性模型生成函数线性模型生成函数控制系统数学模型及其转换控制系统常用数学模型 1. 传递函数模型传递函数模型(transfer function model: tf) 已知传递函数模型已知传递函数模型1111011110( )mmmmnnnnb

12、 sbsb sbg sa sasa sa110mmbbbb-110nnaaaa-由分子和分母多项式系数可以唯一确定传递函数。由分子和分母多项式系数可以唯一确定传递函数。分子向量分子向量 num= 分母向量分母向量 den=控制系统数学模型及其转换控制系统常用数学模型 用命令用命令tf( )可建立传递函数模型，或将零极点增益模型和可建立传递函数模型，或将零极点增益模型和状态空间模型化为传递函数模型。状态空间模型化为传递函数模型。sys = tf(num，den)；%用于生成连续传递函数；用于生成连续传递函数；sys = tf(num，den，ts)；%用于生成离散传递函数；用于生成离散传递函数；

13、sys = tf(num，den，property1，value1，.，propertyn，valuen)；% 用于生成具有用于生成具有lti模型属性的连续传递函数；模型属性的连续传递函数；sys = tf(num，den，ts，property1，value1，.，propertyn，valuen)；% 用于生成具有用于生成具有lti模型属性的模型属性的离散传递函数；离散传递函数；tfsys = tf(sys)；%用于将任意状态空间模型用于将任意状态空间模型ss或零极点增或零极点增益模型益模型zpk的的lti对象对象sys转换成传递函数形式转换成传递函数形式控制系统数学模型及其转换控制系统常

14、用数学模型给定给定siso系统传递函数为系统传递函数为221( )341sg sss+=+使用使用matlab表示该传递函数表示该传递函数num=2 1;den=3 4 1;sys1=tf(num, den)运行结果：运行结果：transfer function: 2 s + 1-3 s2 + 4 s + 1控制系统数学模型及其转换控制系统常用数学模型 给定给定siso系统传递函数为系统传递函数为22321.322.5 e( )0.51.21sssg ssss使用使用matlab表示该传递函数表示该传递函数num=1.3 2 2.5;den=1 0.5 1.2 1;sys2=tf(num,de

15、n,inputdelay,2)运行结果：运行结果：transfer function: 1.3 s2 + 2 s + 2.5exp(-2*s) * - s3 + 0.5 s2 + 1.2 s + 1控制系统数学模型及其转换控制系统常用数学模型 给定多输入给定多输入-多输出多输出mimo系统系统 1112122ssg sss matlab命令：命令：num=1 1;2 1 1 ; den=1 1,1 2;1,1 2; sys3=tf(num,den) 控制系统数学模型及其转换控制系统常用数学模型 结果为：结果为：transfer function from input 1 to output.

16、1 #1: - s + 1 #2: 2 transfer function from input 2 to output. 1 #1: - s + 2 s + 1 #2: - s + 2控制系统数学模型及其转换控制系统常用数学模型 22121212211zzzzzh zzz 若一采样周期为若一采样周期为0.2s的离散的离散mimo传递函数为传递函数为matlab命令如下：命令如下：num=1 1,1 0;1,2; %分子分子 den=1 2 1,1 0 2;2 1,1 1; %分母分母 sys4=tf(num,den,0.2)控制系统数学模型及其转换控制系统常用数学模型transfer fun

17、ction from input 1 to output. z + 1 #1: - z2 + 2 z + 1 1 #2: - 2 z + 1 transfer function from input 2 to output. z #1: - z2 + 2 2 #2: - z + 1 sampling time: 0.2控制系统数学模型及其转换控制系统常用数学模型 2. 零极点增益模型零极点增益模型( zero-pole-gain model: zpk )零极点模型是传递函数的一种特殊形式零极点模型是传递函数的一种特殊形式112121()()()( )()()()miimnniiszszszsz

18、g skkspspspspll离散系统离散系统112121()()()( )()()()miimnniizzzzzzzzh zkkzpzpzpzpll连续系统连续系统控制系统数学模型及其转换控制系统常用数学模型用命令用命令zpk( )可以建立零极点增益模型，或将传递函数模型可以建立零极点增益模型，或将传递函数模型和状态空间模型变化为零极点增益模型。和状态空间模型变化为零极点增益模型。语法格式语法格式sys = zpk(z，p，k)sys = zpk(z，p，k，ts)sys = zpk(z，p，k，property1，value1，.，propertyn，valuen)sys = zpk(z，

19、p，k，ts，property1，value1，.，propertyn，valuen)zsys = zpk(sys)zpk( )函数调用方法与函数调用方法与tf( )一致。一致。控制系统数学模型及其转换控制系统常用数学模型 给定一零极点增益模型给定一零极点增益模型0.3( )20.50.1j0.1jzzh zzzz使用使用matlab表示该传递函数。表示该传递函数。matlab命令如下：命令如下：z=0;-0.5;p=0.3;0.1-j,0.1+j;k=1;2;sys=zpk(z,p,k,)控制系统数学模型及其转换控制系统常用数学模型 zero/pole/gain from input to

20、output. z #1: - (z-0.3) 2 (z+0.5) #2: - (z2 - 0.2z + 1.01) sampling time: unspecified控制系统数学模型及其转换控制系统常用数学模型将传递函数将传递函数 化为零极点增益模型化为零极点增益模型22321.322.5 e( )0.51.21sssg ssssmatlab命令：命令：num=1.3 2 2.5;den=1 0.5 1.2 1;sys2=tf(num,den,inputdelay,2)sys6=zpk(sys2) 控制系统数学模型及其转换控制系统常用数学模型 transfer function: 1.3

21、s2 + 2 s + 2.5exp(-2*s) * - s3 + 0.5 s2 + 1.2 s + 1zero/pole/gain: 1.3 (s2 + 1.538s + 1.923)exp(-2*s) * - (s+0.7307) (s2 - 0.2307s + 1.369)控制系统数学模型及其转换控制系统常用数学模型 3状态空间模型状态空间模型(state-space model: ss) 线性定常状态空间模型描述为线性定常状态空间模型描述为xaxbuycxduxuy式中，式中，为状态向量，为状态向量， 为输入向量，为输入向量， 是输出向量。是输出向量。控制系统数学模型及其转换控制系统常用

22、数学模型 用命令用命令ss( )可以建立状态空间模型，或将传递函数模型和零极可以建立状态空间模型，或将传递函数模型和零极点增益模型转化为状态空间模型。点增益模型转化为状态空间模型。语法调用格式语法调用格式:sys = ss(a，b，c，d)sys = ss(a，b，c，d，ts)sys = ss(a，b，c，d，property1，value1，.，propertyn，valuen)sys = ss(a，b，c，d，ts，property1，value1，.，propertyn，valuen)sys_ss = ss(sys)sys_ss = ss(sys，minimal); %最小阶实现最小阶

23、实现ss函数的调用方法与函数的调用方法与tf( )、zpk( )一致。一致。控制系统数学模型及其转换控制系统常用数学模型 状态空间模型状态空间模型0100001052011100 xxuyx用用matlab表示为表示为a=0 1 0; 0 0 1; -5 -20 -1;b=0;0; 1;c=1 0 0;d=0;sys=ss(a,b,c,d)控制系统数学模型及其转换控制系统常用数学模型 结果为：结果为：a = x1 x2 x3 x1 0 1 0 x2 0 0 1 x3 -5 -20 -1 b = u1 x1 0 x2 0 x3 1 c = x1 x2 x3 y1 1 0 0 d = u1 y1

24、0 continuous-time model。控制系统数学模型及其转换利用matlab实现数学模型之间的转换 matlab实现模型转换有两种不同的方式。实现模型转换有两种不同的方式。方式方式1：简单的模型转换：简单的模型转换首先生成任一指定的模型对象首先生成任一指定的模型对象(tf，ss，zpk)，然后将该模型，然后将该模型对象类作为输入，调用欲转换的模型函数即可。对象类作为输入，调用欲转换的模型函数即可。例如：欲将传递函数转换为状态空间模型例如：欲将传递函数转换为状态空间模型sys=tf(num，den)；a，b，c，d=ss(sys)控制系统数学模型及其转换利用matlab实现数学模型之

25、间的转换 方式方式2：直接调用模型转换函数：直接调用模型转换函数连续模型之间三种形式的数学模型相互转换函数类型包括连续模型之间三种形式的数学模型相互转换函数类型包括tf2ss、ss2tf、zp2tf、tf2zp、ss2zp、zp2ss，共六个函数。，共六个函数。控制系统数学模型及其转换利用matlab实现数学模型之间的转换一一.化传递函数为状态空间模型化传递函数为状态空间模型函数函数tf2ss用于将传递函数化成状态空间模型，调用格式如用于将传递函数化成状态空间模型，调用格式如a，b，c，d = tf2ss(num，den);其中，输入其中，输入num，den分别为传递函数分子和分母多项式系分别

26、为传递函数分子和分母多项式系数；输出数；输出a，b，c，d为状态空间模型系数矩阵。为状态空间模型系数矩阵。控制系统数学模型及其转换利用matlab实现数学模型之间的转换 将传递函数将传递函数 2223210.41sssh sss化成状态空间表达式化成状态空间表达式方式方式1：num = 0 2 3; 1 2 1;%分子多项式系数分子多项式系数den = 1 0.4 1; 1 0.4 1;% 分母多项式系数分母多项式系数tfsys=tf(num,den); %生成传递函数生成传递函数sssys=ss(tfsys) ;%转化为状态空间模型转化为状态空间模型控制系统数学模型及其转换利用matlab实

27、现数学模型之间的转换 结果为：结果为：a = x1 x2 x1 -0.4 -0.5 x2 2 0b = u1 x1 2 x2 0c = x1 x2 y1 1 0.75 y2 0.8 0d = u1 y1 0 y2 1控制系统数学模型及其转换利用matlab实现数学模型之间的转换 方式方式2：num = 0 2 3; 1 2 1;den = 1 0.4 1;a,b,c,d = tf2ss(num,den)结果为：结果为：a = -0.4000 -1.0000 1.0000 0b = 1 0c = 2.0000 3.0000 1.6000 0d = 0 1控制系统数学模型及其转换利用matlab实

28、现数学模型之间的转换 二二. 化传递函数为零极点增益模型化传递函数为零极点增益模型函数函数tf2zp用于将传递函数化成零极点增益模型形式用于将传递函数化成零极点增益模型形式 z，p，k = tf2zp(num，den)其中，其中，num，den分别为传递函数的分子和分母多项式系分别为传递函数的分子和分母多项式系数；数；z，p，k为零极点增益模型的零点、极点和增益向量。为零极点增益模型的零点、极点和增益向量。控制系统数学模型及其转换利用matlab实现数学模型之间的转换将传递函数将传递函数 化为零极点增益模型。化为零极点增益模型。221( )341sg sss方式方式1： zpk(tf(2 1,

29、3 4 1) zero/pole/gain: 0.66667 (s+0.5) - (s+1) (s+0.3333)方式方式2：z,p,k=tf2zp(2 1,3 4 1) z = -0.5000 p = -1.0000 -0.3333 k = 0.66672(1/2)( )3 (1/3)(1)sg sss因此零极点增益模型为因此零极点增益模型为控制系统数学模型及其转换利用matlab实现数学模型之间的转换三三. 化零极点增益模型为状态空间模型化零极点增益模型为状态空间模型函数函数zp2ss用于将零极点增益模型用于将零极点增益模型11()( )()mjjniiszg sksp化成状态空间模型，化

30、成状态空间模型，zp2ss调用格式调用格式a，b，c，d = zp2ss(z，p，k)其中，输入其中，输入z，p，k为零极点增益模型的零点、极点和增益为零极点增益模型的零点、极点和增益向量。输出向量。输出a，b，c，d为状态空间模型系数矩阵。为状态空间模型系数矩阵。控制系统数学模型及其转换利用matlab实现数学模型之间的转换零极点增益模型零极点增益模型 化成状态空间表达式化成状态空间表达式2(2)( )2(1)(3)sg sss方式方式1：z=-2;p=-1 -3 -3;k=2;zpksys=zpk(z,p,k);sssys=ss(zpksys)方式方式2:z=-2;p=-1 -3 -3;k

31、=2;a,b,c,d=zp2ss(z,p,k)控制系统数学模型及其转换利用matlab实现数学模型之间的转换四四. 化连续状态方程为离散状态方程化连续状态方程为离散状态方程设连续系统状态空间方程为设连续系统状态空间方程为&xaxbuycxdu假设输入端加上虚拟采样开关和虚拟信号重构器，输出端假设输入端加上虚拟采样开关和虚拟信号重构器，输出端加一个虚拟采样开关，虚拟采样周期为加一个虚拟采样开关，虚拟采样周期为t，两者同步。，两者同步。 保 持 器 t t xaxbuycxdu( ) ty( ) t* *y y( )u t* *u u*( ) tu( ) tu控制系统数学模型及其转换利用m

32、atlab实现数学模型之间的转换1. 采用零阶保持器的离散状态方程采用零阶保持器的离散状态方程设设kt及及(k+1)t为两个依次相连的采样瞬时，保持器为零阶保为两个依次相连的采样瞬时，保持器为零阶保持器，持器，u(t)在在kt及及(k+1)t之间保持不变之间保持不变 ()0()e(0)edktktktktaaxxbu 1110(1)e(0)edktktktktaaxxbu式式(2)式式(1)乘以乘以eat，可得，可得 11(1)e()edktkttktktktaaxxbu(1)(2)0(1)e()edtttktktktaaxxbu控制系统数学模型及其转换利用matlab实现数学模型之间的转换(

33、)01d( )( )tttktektekttkttktaaxxbugxhu离散的状态空间表达式为离散的状态空间表达式为(1)( ) ( )( ) ( )( )( )( )ktktkkkkxgxhuycxdu( )ett ag()0( )edtttahb,c dt式中，式中，不变；不变； 为采样周期。控制系统数学模型及其转换利用matlab实现数学模型之间的转换2. 采用一阶保持器的离散状态方程采用一阶保持器的离散状态方程保持器使保持器使为斜坡函数为斜坡函数(梯形近似梯形近似)，则对，则对1()()()ktktktu ktu ktktt uuuu0t 00(1)e()ed()ed()tttttk

34、tktktkt aaaxxbubu &离散的状态空间表达式为离散的状态空间表达式为 (1)( ) ( )( ) ( )( ) ( )(1)(1)(1)(1)( )mktktktkkkkkkkxgxhuuycxducxdutdu ( )ett ag()0( )dttteahb0( )dmttte ab ,c d式中，式中，不变。不变。控制系统数学模型及其转换利用matlab实现数学模型之间的转换 3. 连续系统离散化的连续系统离散化的matlab方法方法c2d( )可以将连续系统化成等价的离散化模型，格式如下：可以将连续系统化成等价的离散化模型，格式如下：sysd = c2d(sys，t

35、s)sysd = c2d(sys，ts，method)其中，其中，sys为连续时间系统模型，为连续时间系统模型，ts为采样周期，单位为秒为采样周期，单位为秒(s)。method定义离散化方法，定义离散化方法，method的取的取(1) zoh 采用零阶保持器。采用零阶保持器。(2) foh 采用一阶保持器。采用一阶保持器。(3) tustin 采用双线性采用双线性(tustin)逼近方法。逼近方法。(4) matched 采用采用siso系统的零极点匹配法。系统的零极点匹配法。默认时，默认时，method=zoh。控制系统数学模型及其转换利用matlab实现数学模型之间的转换 010021 x

36、xu10yx采用一阶保持器，采样周期为采用一阶保持器，采样周期为0.5s，离散化下列状态方程，离散化下列状态方程matlab程序：程序：sys=ss(0 1; 0 -2, 0 1,1 0,0);dss=c2d(sys,0.5,foh)控制系统数学模型及其转换利用matlab实现数学模型之间的转换结果为：结果为：a = x1 x2 x1 1 0.3161 x2 0 0.3679b = u1 x1 0.1501 x2 0.1998sampling time: 0.5discrete-time model 控制系统数学模型及其转换利用matlab实现数学模型之间的转换 五五.化状态空间模型为传递函数

37、化状态空间模型为传递函数=+=+&xaxbuycxdu ( )( )( )sssssia xbuy scxdu( ) sx 1ssgciabd消去中间项消去中间项后，可得系统的传递函数矩阵后，可得系统的传递函数矩阵 对方程式两端分别取拉普拉斯变换对方程式两端分别取拉普拉斯变换(设初始条件为零设初始条件为零)，得，得假设状态空间表达式假设状态空间表达式控制系统数学模型及其转换利用matlab实现数学模型之间的转换 将状态空间方程化为传递函数的方法有：将状态空间方程化为传递函数的方法有：1 如果系统只有一个输入，则可采用如果系统只有一个输入，则可采用num，den = ss2tf (a，b

38、，c，d)或或num，den = ss2tf (a，b，c，d，1)2 对多输入的系统，则可采用对多输入的系统，则可采用num，den = ss2tf a，b，c，d，iu这里，这里，iu是输入的标号。例如，如果系统有三个输入是输入的标号。例如，如果系统有三个输入(u1，u2，u3)，则，则iu必须为必须为1、2或或3中的一个，其中中的一个，其中1表示表示u1，2表示表示u2，3表示表示u3。控制系统数学模型及其转换利用matlab实现数学模型之间的转换0100001052011100 xxuyx将状态空间模型将状态空间模型转换为传递函数和零极点增益模型转换为传递函数和零极点增益模型控制系统数

39、学模型及其转换利用matlab实现数学模型之间的转换matlab命令：命令：a=0 1 0; 0 0 1; -5 -20 -1;b=0;0; 1;c=1 0 0;d=0;num,den=ss2tf(a,b,c,d);tf(num,den) z,p,k=ss2zp(a,b,c,d); zpk(z,p,k) 控制系统数学模型及其转换利用matlab实现数学模型之间的转换 transfer function:-1.11e-015 s2 + 1.421e-014 s + 1- s3 + s2 + 20 s + 5zero/pole/gain: 1-(s+0.2524) (s2 + 0.7476s +

40、19.81)控制系统数学模型及其转换利用matlab实现数学模型之间的转换 多入单出系统状态空间表达式多入单出系统状态空间表达式0100101125.0425.00825.10265.032471121.0053100xxuyx&包括两个传递函数：包括两个传递函数：y1(s)/u1(s)、y1(s)/u2(s)(当考虑输入当考虑输入u1时，可设时，可设u2为零。反之亦然为零。反之亦然)，试将其化成传递函数形式，试将其化成传递函数形式控制系统数学模型及其转换利用matlab实现数学模型之间的转换 matlab命令：命令：a=0 1 0; 0 1 1; -5.008 25.1026 -5.

41、032471;b=0 1; 25.04 2; 121.005 3;c=1 0 0;d=0 0;num,den=ss2tf(a,b,c,d,1);sys1=tf(num,den)传递函数传递函数y1(s)/u1(s)为为transfer function: -3.553e-015 s2 + 25.04 s + 247 - s3 + 4.032 s2 30.14 s + 5.008控制系统数学模型及其转换利用matlab实现数学模型之间的转换 num,den=ss2tf(a,b,c,d,2);sys2=tf(num,den)传递函数传递函数y1(s)/u2(s)为为transfer functio

42、n: s2 + 6.032 s 17.07 - s3 + 4.032 s2 30.14 s + 5.008控制系统数学模型及其转换 模 型 实 现 所谓实现，就是根据描述系统输入所谓实现，就是根据描述系统输入/输出动态关系的运动方输出动态关系的运动方程式或传递函数建立系统的状态空间表达式。所求得的状程式或传递函数建立系统的状态空间表达式。所求得的状态空间表达式保持原传递函数的输入态空间表达式保持原传递函数的输入/输出关系，同时反映输出关系，同时反映内部动态变化。内部动态变化。实现不是唯一的，会有无穷多个状态空间表达式能够获得实现不是唯一的，会有无穷多个状态空间表达式能够获得相同的输入相同的输入

43、/输出关系。输出关系。控制系统数学模型及其转换 模 型 实 现 11110110,nnmmnmmyaya ya yb ububub u mn&llxaxbuycxdu&mn并非任意的微分方程和传递函数都能求得其实现，实现存在的并非任意的微分方程和传递函数都能求得其实现，实现存在的条件是条件是考虑单变量线性定常系统考虑单变量线性定常系统传递函数为传递函数为模型的实现就是根据微分方程或传递函数找出状态空间表达式模型的实现就是根据微分方程或传递函数找出状态空间表达式1111011110( )( ),()( )mmmmnnnb sbsb sby sg smnu ssasa sall控制

44、系统数学模型及其转换模 型 实 现 一一.能控标准型能控标准型设传递函数为设传递函数为令令1111011110( )( )( )1( )mmmmnnny sb sbsb sbx sx su ssasa sall1111011110( ),()mmmmnnnb sbsb sbg smnsasa sall控制系统数学模型及其转换模 型 实 现 ( )(1)(1)110()(1)(1)110nnnmmmmxaxa xa xuyb xbxb xb xll取状态取状态123(1)nnxxxxxxxx& &l11221101210100000100000101nnnnnxxxxuxxaaa

45、axx &l&lmmmmmmm&l&l状态方程为状态方程为输出方程为输出方程为1201 00mnxxyb bbxllm控制系统数学模型及其转换模 型 实 现 二二. 对角标准型对角标准型 已知系统传递函数已知系统传递函数1111011110( )mmmmnnnb sbsb sbg ssasa sall()mn根据系统特征根情况，展开成部分分式，求得与之对应的状根据系统特征根情况，展开成部分分式，求得与之对应的状态空间表达式。态空间表达式。控制系统数学模型及其转换模 型 实 现 1111012( )( )( )()()()mmmmnb sbsb sby sw su

46、 sspspspll式中，式中，12,np ppl 为分母多项式极点，即系统特征根。为分母多项式极点，即系统特征根。12112( )( )( )nniinikkkky sw su sspspspspl将其展成部分分式将其展成部分分式iklim( )()iiispkw s sp式中，式中， 为待定系数，计算公式为待定系数，计算公式 所以所以1( )( )niiiky su ssp1. 特征根互异情况特征根互异情况控制系统数学模型及其转换模 型 实 现 1( )( )iix su ssp1,2,inlstep 1：选择状态变量：选择状态变量1122111( )( )1( )( )1( )( )1(

47、 )( )nnnnx su sspx su sspxsu sspx su sspm控制系统数学模型及其转换模 型 实 现 11 12221111 122( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )nnnnnnnnsx sp x su ssx sp x su ssxspxsu ssx sp x su sy sk x sk x sk x sml拉普拉斯反变换化成时域11 12221111 122nnnnnnnnxp xuxp xuxpxuxp xuyk xk xk x&m&lstep 2：化为状态变量的一阶方程组为：化为状态变量的一阶方程组为控制系统数学模型及其转换模 型 实 现 step 3：写成状态空间方程向量形式为：写成状态空间方程向量形式为111222121201110nnnnnpxxpxxuxxpxxk kkx y&mmm&lm控制系统数学模型及其转换模 型 实 现 2. 特征根有重根情况特征根有重根情况1qp2qpnp( )w s设有重的主根设有重的主根 ，其余，其余 ， ， 是互异根。是互