数学建模模型与应用

1、Mathematica软件常用功能【实验目的】1. 用Mathematica软件进行各种数学处理;2. 用Mathematica软件进行作图;3. 用Mathematica软件编写程序.【注意事项】Mathematica中大写小写是有区别的，如Name、name、NAME等是不同的变量名或函数名。系统所提供的功能大部分以系统函数的形式给出，内部函数一般写全称，而且一定是以大写英文字母开头，如Sinx,Conjugatez等。 乘法即可以用*，又可以用空格表示，如2 32*36 ,x y,2 Sinx等；乘幂可以用“”表示，如x0.5,Tanxy。 自定义的变量可以取几乎任意的名称，长度不限，但

2、不可以数字开头。当你赋予变量任何一个值，除非你明显地改变该值或使用Clear变量名或“变量名=.”取消该值为止，它将始终保持原值不变。 一定要注意四种括号的用法：()圆括号表示项的结合顺序，如(x+(yx+1/(2x);方括号表示函数，如Logx,BesselJx,1；大括号表示一个“表”(一组数字、任意表达式、函数等的集合)，如2x,Sin12 Pi,1+A,y*x；双方括号表示“表”或“表达式”的下标，如a2,3、1,2,31=1。 Mathematica的语句书写十分方便，一个语句可以分为多行写，同一行可以写多个语句（但要以分号间隔）。当语句以分号结束时，语句计算后不做输出（输出语句除外

3、），否则将输出计算的结果。命令行“Shift+Enter”才是执行这个命令。§1. 初等代数1.1 有理式的运算1. 多项式的展开表1.1多项式展开的常用命令命令说明Expandpoly展开多项式polyFactorpoly对多项式poly作因式分解FactorTermspoly提取数字公因子Exponentpoly,x多项式poly中x的最高次数Coefficientpoly,expr多项式poly中项expr的系数polyn或Partpoly,n多项式poly的第n项Lengthpoly多项式poly的总项数In1:=f=Expand(x+y+3)2Out1=9+6x+x2+6y

4、+2xy+y2In2:=FactorfOut2=(3+x+y)2In3:=Exponentf,xOut3=2In4:=Coefficientf,xOut4=6+2y2. 有理式的运算In5:=Factor(x3+2x+1)/(x3+x2+x+1)Out5=In6:=Apart%Out6=表1.2有理式运算的常用命令命令说明ExpandNumeratorexpr展开分子ExpandDenominatorexpr展开分母Expandexpr展开分子，每项除以分母ExpandAllexpr分子，分母完全展开Numeratorexpr取出分式约简后的分子Denominatorexpr取出分式约简后的分

5、母Togetherexpr通分Apartexpr分解为部分分式之和Cancelexpr约分Factorexpr将分子分母作因式分解，并约分3. 多项式的代数运算表1.3多项式代数运算的常用命令命令说明PolynomialQuotientp,q,xx的多项式p与q相除的商式PolynomialRemainderp,q,xx的多项式p与q相除的余式PolynomialGCDp1,p2,多项式p1,p2,的最大公因式PolynomialLCMp1,p2,多项式p1,p2,的最小公倍式In7:=PolynomialQuotient1+x2,x+1,xOut7=-1+xIn8:=PolynomialGC

6、Dx2+2x+1,x3+1,x5+1Out8=1+x1.2方程求解表1.4方程（组）求解的常用命令命令说明Solve方程或方程组,变量求方程（组）的精确解NSolve方程或方程组,变量求方程（组）的（全部）近似解FindRoot方程,变量,初值用Newton法求方程的一个近似解FindRoot方程,变量,初值1,初值2用割线法求方程的一个近似解FindRoot方程组,变量1,初值1,变量2,初值2,用Newton法求方程组的一组近似解Reduce方程，变量推导方程的解In1:=Solvea*x+b=0,xOut1=In2:=Reducea*x+b=0,xOut2=In3:=FindRootSi

7、nx=0,x,3Out3=x3.14159In4:=FindRootSinx=0,x,6,6.5Out4=x6.28319In5:=FindRoot2x+y2=4,x2+Siny=1,x,0,y,0Out5=x1.38686,y-1.17682§2. 微积分微积分的常用命令如表1.5所示，下面是一些例子.In1:=LimitSinx/x,x->0Out1=1In2:=DSinn*x,xOut2=n Cosn xIn3:=DSinn*x,x,3Out3=-n3Cosn xIn4:=DtSinn*x,xOut4=Cosn x (n + x Dtn, x)In5:=DtSinn*x,

8、x,Constants->nOut5=n Cosn xIn6:=IntegrateLogx,xOut6=-x + x LogxIn7:=IntegrateTanx*Tany,x,0,1,y,0,1Out7=LogCos12In8:=NIntegrateExp-x2/2,x,0,InfinityOut8=1.25331In9:=DSolvey'x-yx=1,yx,xOut9= yx -> -1 + E x C1In10:=SeriesArcTanx,x,0,5Out10=表1.5微积分的常用命令命令说明Limitfx,x->x0求极限Df,x求导数（或偏导数）Df,x1

9、,x2,求偏导数Df,x,n求高阶导数（或）Df,x,NonConstants->v1,v2,求导数，其中是的函数Dtf全微分Dtf,x全导数Dtf,x1,x2,全导数Dtf,x,Constants->c1,c2,全导数，其中看作常数Integratef,x不定积分Integratef,x,y,不定积分Integratef,x,a,b定积分NIntegratef,x,a,b数值积分Integratef,x,a,b,y,c,d二重积分NIntegratef,x,a,b,y,c,d数值积分Seriesf,x,x0,n展开幂级数DSolveeqns,yx,x解常微分方程NDSolveeq

10、ns,yx,x,xmin,xmax求常微分方程在区间xmin,xmax的数值解§3. 线性代数3.1 向量与矩阵的定义表1.6向量与矩阵的定义的常用命令命令说明Arraya,n定义一个n维向量Arraya,m,n定义一个m行n列矩阵Tablefi,i,imin,imax,di元素为fi的向量Tablefi,j,i,imin,imax,di,j,jmin,jmax,dj元素为fi,j的矩阵IdentityMatrixnn阶单位矩阵In1:=A=Arraya,2,2;a1,1=2;a1,2=3;a2,1=4;a2,2=5;AOut2=2, 3, 4, 5In3:=B=Table1.0,2

11、,2Out3=1., 1., 1., 1.3.2向量与矩阵的运算向量与矩阵都可以看作为集合，因此有关集合的运算都能适用于向量与矩阵.另外，向量与矩阵还有下面的一些运算：表1.7向量与矩阵的定义的常用命令命令说明A+cA为矩阵或向量，c为标量，A+c表示A中每个元素与c相加A+B（A-B）矩阵的加(减)法A，B为同阶矩阵或向量c*A矩阵的数乘(c为标量)u.v向量的内积A.B矩阵的乘法DetA矩阵的行列式TransposeA矩阵的转置InverseA矩阵求逆EigenvaluesA矩阵的特征值EigenvectorsA矩阵的特征向量EigensystemA矩阵的特征值与特征向量构成的集合fA将函

12、数fx作用于矩阵A的每一个元素In4:=R=A-2*BOut4=0., 1., 2., 3.In5:=InverseROut5=-1.5,0.5,1,0In6:=EigenvectorsROut6=-0.270323, -0.96277, -0.871928, 0.489634In7:=ExpROut7=1., 2.71828, 7.38906, 20.0855§4. 计算方法4.1插值Mathematica软件中的插值有两种形式InterpolatingPolynomialdata,var多项式插值Interpolationdata一般插值其中data为被插值的数据，形式为x1,y

13、1,x2,y2,xn,ynvar为插值变量，一般可取为x.In1:=d=Tablex,Logx,x,1.0,3.0;InterpolatingPolynomiald,xOut2=(0.693147 - 0.143841 (-2. + x) (-1. + x)In3:=dat=Tablex,Sinx,x,0,2.0,0.1;f=InterpolationdatOut4=InterpolatingFunction0., 2., <>在上面的第二个例子中，输出结果表示一个0,2上的插值函数，此插值函数无法给出表达式.我们可以比较函数Sinx与所得到的插值函数的误差.In5:=PlotSi

14、nx-fx,x,0,2图1.1 拟合误差图由图1.1可以看出，两个函数的误差相当小(数量级为10-6).4.2 拟合下面的命令用来对数据data进行最小二乘拟合.Fitdata,funs,vars其中data为要拟合的数据，funs为拟合函数的基，vars为拟合的变量.In6:=Cleard,dat;d=Tablex,Logx,x,1,10,1;Fitd,1,x,x2,xOut8=-0.355396+0.529707x-0.0272091x24.3 最优化下面的命令用来求函数fx在x0附近的极小值.FindMinimumfx,x,x0In9:=t=FindMinimumSinx, x, 5Ou

15、t9=-1., x -> 4.71239若要在程序中引用上面的结果中的函数的极小值或x的值，可以用下面的命令：In10:=t1Out10=-1.In11:=x/.t2,1 (*在此处等价于x/.x->4.71239*)Out11=4.71239§5. Mathematica软件中的作图5.1 二维函数作图给出一个一元函数及其作图区间，用Plot语句可以立刻作出函数在相应区间上的图形.In1:=PlotSinx,x,0,2Pi (*图1.2*)In2:=PlotSinx,x,0,2Pi,AspectRatio->Automatic,PlotStyle->Gray

16、Level0.1,Dashing0.02,0.01,Thickness0.01,AxesLabel->”x”,”y” (*图1.3*)Plot命令的一般形式为：Plotfx,x,xmin,xmax,选项在绘制图形时，允许使用选项对绘制图形的细节提出各种要求和设置.如果不设置任何选项，则Mathematica软件作图时选项取默认值. 图1.2 的函数图形(1) 图1.3 的函数图形(2)Plot语句的各种常用的选项如下：表1.8 Plot语句的各种常用的选项 选项默认值意义AspectRatio1/GoldRatio=0.618图形高度与宽度的比例.如果要图形按实际情况显示，设置的选项应为

17、Automatic.AxesAutomatic是否画坐标轴以及设置坐标轴的中心位置.选项值为None时,不设坐标轴.AxesLabelNone设置坐标轴上的标记符号.用“字符串”，“ 字符串”的形式定义轴的横坐标和纵坐标标记.PlotLabelNone图形的名称标志.PlotLabel->“图名”，加上所给图名.DisPlayFunction$ DisPlayFunction如何显示图形.选项值为Identity时，只生成图形但不显示.PlotRangeAutomatic图形中坐标的范围.PlotPoints22采样函数的点数.对于函数值变化剧烈的表达式，应设定较大的点数.PlotSty

18、leAutomatic设置曲线的样式.取默认值时画出一条黑色、实的曲线.其它可选项介绍见表1.9.PlotStyle的常用选项见表1.9.表1.9 PlotStyle的可选项选项意义Graylevelg灰度比值,g取到之间的数,为白色,为黑色.RGBColorr,g,b红、绿、蓝三色的强度，r,g,b取到之间的数.Thicknesst线的宽度值为t.Hueh色调，h取0到1之间的实数.Dashingr1,r2,线以虚线表示，虚线长度为r1,r2, 5.2二维参数作图使用Plot命令只能绘出一般的函数曲线，要绘制参数曲线，可以用ParametricPlot命令,其一般形式为：Parametric

19、Plotxt,yt,t,tmin,tmax,选项In3:=ParametricPlotCost,Sint,t,0,2Pi 图1.4 参数方程绘制的圆(1) 图1.5 参数方程绘制的圆(2)In3中输入的是一个圆的参数方程，但由于系统默认的高宽比为0.618，故画出的是一个椭圆(图1.4)，改变图形的高宽比可画出一个圆.In4:=ParametricPlotCost,Sint,t,0,2Pi,AspectRatio->Automatic (*图1.5*)5.3 三维函数作图作出二元函数的立体图形的命令是Plot3D，其格式为：Plot3Dfx,y,x,xmin,xmax,y,ymin,ym

20、ax,选项In5:=Plot3DSinSqrtx2+y2,x,-5,5,y,-5,5 (*图1.6*)与Plot语句类似，Plot3D语句中也可以加入许多选项.图1.6 三维函数作图1 图1.7 三维函数作图2In6:=Plot3DSinSqrtx2+y2,x,-5,5,y,-5,5,Boxed->False,Axes->False,PlotPoints->50,Mesh->False (*图1.7*)表1.10 Plot3D语句的各种常用的选项 选项默认值意义AspectRatio1图形高度与宽度的比例.AxesTrue是否画坐标轴AxesLabelNone设置坐标轴

21、上的标记符号.BoxedTrue是否显示外框MeshTrue是否在表面画网格PlotRangeAutomatic图形中坐标的范围.PlotPoints15采样函数的点数.ShadingTrue表面是阴影还是空白5.4 三维参数作图在Mathematica软件中三维参数作图有两种形式，一种是空间曲线参数作图，其命令为：ParametricPlot3Dxt,yt,zt,t,tmin,tmax,选项下面的命令给出图1.8中的螺旋线.In7:=ParametricPlot3D6Cost,6Sint,3*t,t,-8,8,AspectRatio->1另一种是空间曲面参数作图，其命令为：Parame

22、tricPlot3Dxu,v,yu,v,zu,v,u,umin,umax,v,vmin,vmax,选项图1.9是如下命令画出的球面.In8:=ParametricPlot3DCosu*Cosv,Sinu*Cosv,Sinv,u,0,2Pi,v,-Pi/2,Pi/2,Boxed->False 图1.8 空间曲线参数作图 图1.9 空间曲面参数作图5.5 数据作图Mathematica软件也可以根据一组数据作出图形，其命令为：ListPlot数据,选项In9:=p=Tablen,Primen,n,1,20;ListPlotp (*图1.10*)In10:=ListPlotp,PlotStyl

23、e->AbsolutePointSize4 (*图1.11,将点的大小定义为4个单位*)In11:=ListPlotp,PlotJoined->True (*图1.12,将相邻的点用线段相连*) 图1.10 散点图1 图1.11 散点图2图1.12 连线散点图5.6 图形的组合上述的各种图形命令中，ParametricPlot, ParametricPlot3D， Plot三个语句不仅可以画出一个函数的图形，而且可以同时画出几个函数的图形.其一般形式为：图形命令函数1，函数2，变量范围，选项In12:=PlotSinx,x,x-x3/6,x-x3/6+x5/120,x,-2Pi,2

24、Pi (*图1.13*)In13:=ParametricPlot3DCosu*Cosv,Sinu*Cosv,Sinv,2Cosu*Cosv, 2Sinu*Cosv,2Sinv,u,0,Pi,v,-Pi/2,Pi/2,Boxed->False,Axes->False(*图1.14*)17 图1.13 组合图形(1) 图1.14 组合图形(2)5.7图形元素作图如果要绘制一些最基本的图形，如点，线段，圆等，可以先用Graphics语句(三维图用Graphics3D)作出基本的图形元素，再用Show语句显示图形.常用的二维图形元素与三维图形元素分别见表1.11及表1.12.表1.11常用

25、的二维图形元素二维图形元素几何意义Pointx,y点x,yLinex1,y1,x2,y2,连接x1,y1,x2,y2,的折线段Rectanglex1,y1,x2,y2以为对角线两顶点的填实矩形Polygonx1,y1,x2,y2,以x1,y1,x2,y2,为顶点的填实多边形Circlex,y,r圆心在x,y，半径为r的圆Circlex,y,rx,ry中心在x,y，长短半轴分别为rx,ry的椭圆Circlex,y,r,t1,t2从弧度t1到弧度t2的圆弧Diskx,y,r圆心在x,y，半径为r的填实圆Text“expr”,x,y在x,y处的文本“expr”执行下列语句所得图形为图1.15:v1=

26、GraphicsCircle0,0,3.5,4;v2=GraphicsLine-2,2.5,-1,2.5;v3=GraphicsLine2,2.5,1,2.5;v4=GraphicsCircle-1.5,1.5,0.5;v5=GraphicsCircle1.5,1.5,0.5;v6=GraphicsDisk-1.65,1.5,0.15;v7=GraphicsDisk1.35,1.5,0.15;v8=GraphicsPolygon-0.5,-1,0.5,-1,0,0;v9=GraphicsCircle0,-2,0.5,0.3;v10=GraphicsText"我是谁?",0,

27、-5;Showv1,v2,v3,v4,v5,v6,v7,v8,v9,v10,AspectRatio->Automatic图1.15 图形元素作图表1.12常用的三维图形元素三维图形元素几何意义Pointx,y,z点x,y,zLinex1,y1,z1,x2,y2,z2,依次连接x1,y1,z1,x2,y2,z2,的折线段Polygonx1,y1,z1,x2,y2,z2,以x1,y1,z1,x2,y2,z2,为顶点的填实多面体Cuboidx1,y1,z1,x2,y2,z2以x1,y1,z1,x2,y2,z2为对角线两顶点的立方体Text“expr”,x,y,z在x,y,z处的文本“expr”

28、5.8 图形的重绘Mathematica软件在屏幕上显示图形后，可以用Show命令再现图形、组合图形和修改图形的各种选项.Show命令的一般形式见表1.13：表1.13 Show命令的一般形式命 令说 明Showpic显示图形picShowpic,选项名->选项值修改图形pic的各种选项并显示图形Showpic1,pic2,.,picn将pic1,pic2,picn在一起显示§6. 编程6.1分支结构在复杂的计算中常需要根据表达式的情况（它是否满足一些条件）确定是否做某些处理，或在满足不同的条件时做不同的处理.Mathematica软件提供了一些描述条件分支的结构，它们常用在程

29、序里，用于控制程序的执行过程.1. If语句Mathematica软件中If语句有三种形式.形式一：Iftest,expr当test的值为True时，对expr求值，将它的值作为整个语句的值；当test的值为False时，则给出空值Null.形式二：Iftest,expr1,expr2当test的值为True时，求expr1的值作为整个语句的值；当test的值为False时，求expr2的值作为整个语句的值.形式三：Iftest,expr1,expr2,expr3当test的值为True时，求expr1的值作为整个语句的值；当test的值为False时，求expr2的值作为整个语句的值；当te

30、st求不出值为True与False时，求expr3的值作为整个语句的值.In1:=absx_=Ifx>=0,x,-xIn1中定义出的函数absx即为绝对值函数Absx.In2:=fx_:=Ifx>5,3,2,1In3:=f6Out3=3In4:=f5Out4=2In5:=faOut5=12. Which语句Whichtest1,expr1,test2,expr2,该语句依次求出每一个条件的值，当求出第一个值为True的条件时，求出对应表达式的值作为整个语句的值.例：In6:=gx_:=Whichx>=8,8,x>=6,6,x>=4,4,True,0用“True”作为Which语句的最后一个条件，可以处理“其它”情况.在此处即为，当x<4时，gx取值为0.6.2循环结构高级程序设计语言都提供了描述重复执行的循环语句.在Mathematica软件中也提供了一些类似的循环控制结构.1. Whiletest,expr在计算时，条件test先被求值.若求出值为True，则对表达式求值，然后再重复上述过程；一旦test的值不是True，整个循环结构计算结束.例如下面的程序可用来计算