第10章基带信号的噪声检测

1、第10章 基带信号的噪声检测 第9章考虑的数字调制技术涉及到每次将k比特信息转换为通信信道上M个独特的传输波形之一。基带解调器已经知道调制器所用的波形集合sm(t), m=1,2,M。数字通信系统中，基带调制器的目的不是象第4、第5和第7章的模拟通信系统那样逼真的恢复发送波形。而基带调制器或检测器的功能是确定接收信号中的符号持续期间传输的是M个发送符号中的哪一个。由于判决基于对基带信号的观测，这里的接收信号受到信道或接收机前端噪声的损伤，所以，这样的解决办法总含有不确定性。由于存在噪声，因此检测或判决过程引入了偶尔但不可避免的差错。这就隐含着二进制情况下，实际发送比特0时检测器判决的是比特1。

2、最佳检测方案的设计中，适当的性能目标是使这类差错发生的概率最小。 这里在概率论环境中研究了最佳检测问题。M个发送符号的先验概率（即，观察接收信号之前的概率）通常建模为等概率发生。检测器通过在每个符号持续期间对接收信号进行观测，采用最大后验概率准则(criterion)在M个可能的选择中作出判决。为简化起见，我们假定信道不是色散信道，所以对符号的检测没有受到来自其他符号干扰的影响。而且我们假定加性噪声是高斯噪声，其双边功率谱密度为 N0/2W /Hz。本章分为如下几节。10.1 二进制信号的AWGN 检测（重译） 本节考虑的是数字通信问题的最简单类型，即，存在加性高斯白噪声（AWGN）时二进制信

3、号的检测。10.2 匹配滤波器 本节学习检测器输出SNR取最大值的线性接收机。分析了二进制各种信号传输方案时，所得到的的匹配滤波器和相关检测器的结构。10.3 矢量空间的概念本节我们回顾了矢量和内积空间的概念。然后介绍Gram-Schmidt过程，为含有有限矢量的集合构建正交基【此句重译】10.4 信号与高斯白噪声的矢量空间表示我们介绍了数字通信系统中所碰到的信号波形的有限集表示，这些波形对应有限维空间的点或矢量。然后解释了判决哪个信号是发送信号时，考虑沿信号空间基矢量的噪声分量就足够了。10.5 本节我们考虑的是WGN信道上的M进制矢量的检测，以得到最大的正确判决平均概率。然后考虑了用一排匹

4、配滤波器或相关器实现最大似然检测器。10.6 最大似然检测器的差错性能 利用最大似然检测导出了M进制通信系统差错性能的联合限。然后得出了符号差错率与比特差错率之间的关系。10.7 M进制PAM信号的差错性能 本节分析了M进制PAM系统的差错性能。这里证实了最近邻限提供了系统的确切误码率。10.1 二进制信号的AWGN检测 二进制数字通信系统中，在每一比特的持续时间（Tb）内发送两个可能的信号s1(t)或s2(t)之一。因此，检测器仅通过处理在时间间隔内后判决每比特持续时间内发送的是0还是1。假定为有限值的s1(t)和s2(t)的能量，分别表示为E1和E2。本节中考虑的二进制检测的一般问题如图1

5、0.1所示。不失一般性，我们考虑第一个信号间隔内表示如下的发送信号： （10.1）在存在双边功率谱密度为N0/2（W/Hz）的加性高斯白噪声时信号放送到接收端。接收信号可以表示为： （10.2） 检测器由频率响应为H（f）的线性、时不变滤波器组成，随后是采样器和门限比较器。滤波器的初始条件是，在每个新脉冲到来之前置为零（该句重译）。线性滤波器的输出为： （10.3）其中， （10.4） （10.5） (10.6)在比特时间间隔0tTb的时刻t0时对接收滤波器的输出r0(t)采样。所得样值r0是可以表示如下的随机变量： （10.7）式中采样时刻t=t0时，s01和s02分别是s01(t)和s02

6、(t)的值。n0是t=t0时的滤波器输出噪声的样值。随机变量r0是均值s01或者s02(取决于发送的是s1(t)还是s2(t)的高斯过程。根据式（6.189）得到它的方差2为： （10.8）我们可以写出随机变量r0的条件PDF如下： （10.9） （10.10）r0的条件PDF如图10.2所示。门限比较器通过将采样器输出r0与门限电压VT比较作出判决。判决规则可以表述为：r0>VT,表示发送的是s1(t)r0<VT,表示发送的是s2(t)下面我们讨论最佳VT的选择。10.1.1 比特差错的概率如果发送的s1(t)的先验概率是P，和发送是s2(t)的先验概率为1-P,则差错的平均概率

7、（即，BER）表示为： （10.11）比特差错的平均概率通常叫做误比特率（BER）。下述两种情况之一发生时出现差错：1. 发送s1(t),且r0<VT2. 发送s2(t)，且r0>VT那么发生差错的条件概率可以表示为： （10.12） （10.13）根据式（6.55）式中Q（）定义为： （6.55）结合式（10.11）式（10.13），我们可以写出误比特率的如下表达式： （10.14）假定二进制符号等概率出现，则式（10.14）的BER表达式可以简化为： （10.16）现在我们利用式（10.16）计算BER的导数，并将其置零以得到下面最佳门限Vopt必须满足的条件：上式相当于求解下

8、面的方程，（equivalently）,或者，因而得到， （10.17）将门限电压最佳值Vopt代入式（10.15）得， （10.18）式中已假定s01> Vopt> s02 例10.1 用例2.33 RC低通滤波器作为接收滤波器时，计算该检测器采用单极性NRZ信号时的BER性能。 解：根据式（2.125）得到RC低通滤波器的传输函数为：式中f3dB是3dB截止频率。根据式（2.130）得到RC低通滤波器的冲击响应为：采用单极性NRZ传输信号时，s1(t)=A , s2(t)=0, (0tTb)对应s1(t)脉冲的滤波器输出为： （10.19）t=Tb时滤波器输出出现峰值，如图10

9、.3（a）所示。实现的信号为： （10.20）显然，s02=0 。根据式（6.253）得到的RC低通滤波器的等效噪声宽带BN为：将上式代入式（10.21）得： (10.22)结合式（10.20）与式（10.22），我们得到， （10.23）式中，注意，z是发送的脉冲持续时间与滤波器带宽之积。常叫做带宽时间（BT）积，且是个非常有用的设计参数。将式（10.23）代入式（10.18），得到： （10.24）从式（10.24）我们可以看出BER是BT积z的函数。给定比特率时，可以通过选择适当的z值（即，接收机带宽f3dB来优化BER性能。图10.3（b）示出了作为BT积z函数的的图形。h(z)的最大

10、值为0.8154，该值出现在z=1.256。这时对应的RC低通滤波器的3dB带宽。将h(z)的最大值代入BER的表达式，得： （10.25）下一节我们比较这种较简单滤波器与最优设计滤波器的性能。10.2 匹配滤波器我们来考虑图10.1中线路滤波器H（f）的设计。对于二进制检测方案，H（f）取式（10.18）平均差错概率的最小值。由于Q函数是自变量的单调递减函数，因此，为了求出最佳滤波器的传输函数Hopt(f),我们需要求解下面的优化问题： （10.26）在s2(t)=0的特例中，前面的优化问题简化为： （10.27）括号内的量定义的是采样器输出端的信号与均方根噪声功率（SNR）之比。从式（10

11、.4）可得采样时刻t0时滤波器的输出信号为： （10.28）利用式（10.8）与式（10.28），我们可以写出： （10.29）式（10.27）的优化问题求解的是式（10.29）RHS（?）表达式取最大值的H(f)。通过利用Cauchy-Schwarz不等式取分母的最大值可以做到这一点，即， （10.30）其中X(f)和Y（f）可以是实变量f的复函数。而且，仅当满足下式时，式（10.30）的等号成立： （10.31）式中K为任意常数。为了利用Cauchy-Schwarz不等式，我们选择： （10.32）而且， （10.33）将式（10.32）与式（10.33）代入式（10.30），得： （10

12、.34）用式（10.34）的右端替换式（10.29）的分母，得到不等式： （10.35）当按照式（10.31）选择H（f）时得到了s01202的最大值。将式（10.32）与式（10.33）代入式（10.31）时，得到最佳滤波器的响应为： （10.36）对式（10.36）的两端取Fourier反变换，最佳滤波器的冲击响应可以表示为： （10.37）最佳滤波器的冲击响应hopt(t)是输入信号s1(t)的时间反转，因此最佳滤波器叫做匹配滤波器。注意滤波器的响应函数式（10.37）与白噪声频谱密度电平N02无关。由于匹配滤波器解决方案取式（10.27）输出SNR的最大值，因此这一特性用于雷达系统的时

13、延估计。D.Q.North发明的匹配滤波器源于第次世界大战期间雷达系统的开发。根据式（10.35）可得到匹配滤波器采样器输出端的SNR为： （10.38）式中E1是脉冲s1(t)的能量。式（10.38）是个非常值得关注的结果。该式表明，匹配滤波器输出SNR取决于信号能量但不取决于波形形状。当然，可以通过增大信号幅度或者持续时间来增大信号的能量。若s2(t)0，则式（10.26）的优化可用Cauchy-Schwarz不等式进行类似的处理。这时，匹配滤波器传输函数为： （10.39）根据式（10.39），匹配滤波器的冲击响应可以表示为： （10.40）匹配滤波器可用两个分别与s1(t)和s2(t)

14、匹配的并行滤波器实现，如图10.4所示。采用时刻t0时它们的输出之差与式（10.17）的门限相比。如何选择t0？我们注意到，若t0<Tb，则滤波器不可实现，因为t<0时滤波器有非零冲击响应。我们从现在起取t0=Tb。t= Tb时，s1(t)和s2(t)经匹配滤波器的响应为： （10.41） （10.42）例10.2 求与图10.5（a）所示脉冲匹配的滤波器的冲击响应函数。a. 显示输出脉冲。b. 输出峰值是多少？解：匹配滤波器的冲击响应由下式给出：图10.5（b）示出了hopt 。a. 匹配滤波器的输出由下式给出：匹配滤波器的输出示于图10.5（c）中。b.我们注意到匹配滤波器的输

15、出的峰值出现在采样时刻t= Tb处，且等于信号s1(t)的能量。这是匹配滤波器非常重要的特性：采样时刻的输出值等于发送脉冲的能量。而与s1(t)的波形形状无关。 我们将匹配滤波器两个输出信号样值之间的距离d定义为： （10.43）把式（10.41）与式（10.42）代入式（10.43），得到匹配滤波器检测器的表达式如下： （10.44）结合式（10.40）和式（10.44），可以得到 （10.45）把式（10.45）代入式（10.8）可得到匹配滤波器的输出噪声功率为： （10.46）把式（10.44）与式（10.46）代入式（10.48）得到匹配检测滤波器的BER为： （10.47）10.2.

16、1相关检测器 匹配滤波器也可以用另一种方案实现，如图10.6所示。则匹配滤波器的输出信号为： （10.48）将代入上式，得： （10.49）采样时刻t= Tb时。我们有： （10.50）由于s(t)为有限持续时间(0tTb)的波形，因此匹配滤波器的输出为： （10.51）式（10.51）可用乘数积分器（multiplier integrator）结构实现，如图10.6（a）所示。由于图中求出的是接收信号与发送波形之间的相关性或相似性，所以这样的实现叫做相关检测器。而且，若发送波形为矩形脉冲，则检测器中不必乘以s(t)。所得的结构叫做积分转储检测器（integrate and detector）

17、,如图10.6（b）所示。10.2.2二进制信号传输的系统的性能 下面我们来比较采用匹配滤波器检测时，各种二进制信号传输系统的性能。 单极性NRZ或通断信号（传输） 在这种情况下，0tTb时，s1(t)=A和s2(t)=0。将其代入式（10.44），得 （10.52）式中， 把式（10.52）代入式（10.47），得， （10.53）叫做SNR比特的参数 EbN0出现在每个数字通信系统的BER表达式中。将式（10.53）与式（10.25）比较，我们得出结论：与同样差错性能的匹配滤波器检测器相比，非最优RC低通滤波器检测器（filter detector）还需要10log100.8154=0.8

18、9dB的附加SNR比特。极性或反极性NRZ信号传输。在这种情况下，s1(t)=- s2(t)。所以0tTb时，s1(t)- s2(t)=2A。将其代入式（10.44），得： （10.54）式中，将式（10.54）代入式（10.47），得， （10.55）将式（10.55）与式（10.53）比较，我们可以看出：与单极性NRZ编码相比，实现同样BER性能时，极性NRZ信号需要的SNR比特少3dB。通过采用类似于例10.1中的步骤，我们可以证明，非最优RC低通滤波器检测器所能实现的BER性能如下： （10.56）这表明：与采用二进制极性信号的匹配滤波器相比，SNR损失了0.89dB。正交信号在正交信

19、号传输时，在比特间隔0tTb内，将s1(t)与s2(t)选为正交信号。即， （10.57）正交信号有许多选择。例如，考虑信号集： (10.58)把式（10.58）代入式（10.44），得， （10.59）式中，把式（10.59）代入式（10.47），得 （10.60）比较式（10.60）与式（10.53），我们可以看出，实现同样BER性能时，正交基带信号所需的SNR比特比反极性方案多了3dB。正交信号的性能与单极性NRZ或通断波形的性能相同，单极性NRZ或通断波形也是正交的。双极性NRZ信号双极性NRZ信号时，表示二进制1的s1(t)在v(t)和-v(t)之间交替出现，s2(t)=0表示二进制

20、零。采用双极性信号时，匹配滤波器的冲击响应为：幅度为A持续时间为Tb矩形基本脉冲形状v(t)的能量表示为：由于双极性信号采用了三种脉冲，所以每比特的平均能量Eb为： （10.61）那么通过代入（？）可得匹配滤波器输出噪声方差为 (10.62)差错概率由下式给出： （10.63）将脉冲概率和代入式（10.63），得： （10.64）图10.7（a)示出了r0 条件PDF。设置了-E12和E12两个门限。比较器的传输特性如图10.7（b)所示。根据图10.7（a),差错条件概率可以表示为： （10.65）类似地，可以证明 （10.66）而且， （10.68）把式（10.61）与式（10.62）代入

21、式（10.68），得， （10.69）图10.8示出了三种二进制信号传输方案的EbN0BER性能。反极性信号完成的最好，比正交方案和双极性方案均优3dB。为了实现10-6的BER，反极性信号需要约10.5dB的EbN0例10.3 假定二进制数据在功率谱密度为N02=10-10WHz的AWGN信道上传输。当数据速率为下述值时，求出达到BER=10-6所需的信号幅度：（a) 10kbps; (b) 100kbps; (c）1.55mbps。计算时采用双极性NRZ和曼彻斯特线路编码。上述每种情况下的信号带宽（基于频谱第一零点）是多少？解： 双极性NRZ信号时， 采用MF接收机根据表6.1，BER=1

22、0-6时，我们得到x=4.7535。所以由于 a.R=10Kbps,所以Tb=10-4， b.R=100Kbps,所以Tb=10-5， c.R=1.55Mbps,所以， 采用曼彻斯特编码（反极性）时，采用MF接收机的，且。根据表6.1，BER=10-6时，我们得到x=4.7535。 所以 那么a. R=10Kbps,所以，Tb=10-4 b. R=100Kbps,所以，Tb=10-5， 下表概括了该结果比特率 双极性NRZ 曼彻斯特 A(mV） BW(kHz) A(mV） BW(kHz)10 9.67 10 4.75 20100 30.58 100 15 2001550 120.38 1550

23、 59.14 3100实验10.1带相关检测器的反极性二进制系统 本实验中我们构建带有相关检测器的极性NRZ数字通信系统的模型。用10.9（a)示出了该系统的Simulink模型。模型参数由companion的MATLAB m文件建立。m文件还用于计算BER理论值和画出仿真图理论值的BER性能图。 例3.2介绍的极性Bernoulli信源用于产生极性NRZ信号。经采用AWGN信道方框加入了AWGN，如图10.9（a)所示。相关检测器采用的是每个比特间隔都复位的离散时间积分器来实现。对符号率采样方框中的积分器输出在时采样。然后，符号框在这些样值与门限电平（此时为零伏）比较的基础上产生再生的输出脉

24、冲。然后再生的极性信号与误码仪（error-ratemeter)方框中发送的极性信号比较。仿真BER值传送到MATLAB workspace得到BER性能曲线。图10.9（b)示出了该仿真产生的各种波形。图10.9（c)给出了BER性能理论值与仿真值的比较。实验10.2 带匹配滤波检测的二进制反极性信号系统 本实验中我们用MF检测器构建二进制反极性数字通信系统的模型。仿真参数由companion MATLAB m文件建立。m文件也用于计算BER理论值和画出BER性能的仿真值和理论值的图。例3.2中介绍的极性Bernoulli信源也用于产生极性NRZ信号。通过滚降系数为的根升余弦（RRC）滤波器

25、实现发送买吃的整形。经采用图10.9（a)中所示的AWGN信道方框加入了AWGN.接收滤波器也是RRC类型，与发送滤波器匹配。在符号率采样框中，在时对MF的输出采样。（该句重译）。然后，符号框在这些样值与门限电平（此时为零伏）比较的基础上产生再生的输出脉冲。然后再生的极性符号在误码仪方框与发达信号比较。仿真的BER值传递到MATLAB workspace产生BER性能曲线。图10.10（b)示出了该仿真的各种波形。图10.10（c)提供了BER性能理论结果与仿真结果的比较。10.3 矢量空间的概念 我们都很熟悉的二维和三维Euclidean空间的矢量。二维Euclidean空间的矢量表示平面内

26、的一个点；它由有序实数对定义。类似地，三维Euclidean空间的矢量或点由有序的实数三元组定义。这一概念可以推广到将n维矢量定义为n维数组。矢量的分量是复数域C（或其子集R）的单元（elements)。在第14章，我们将在开发可靠通信编码技术的环境下，学习定义在二进制域的矢量空间。 矢量或线性空间V是具有如下特性的集或者集合：若u和v在V中，则对于任何标量，线性组合也在v中。此即叠加性。所以矢量空间都包含零矢量,这是因为标量零乘以任何矢量都得到零矢量。可能最熟悉的矢量空间的例子是元实数的集合。域的加和标量乘运算定义各组成分量。 本章我们主要关注的是矢量空间，它是定义在间隔的有限能量复数波形（

27、函数）的集合。对于L2中的任意矢量u(t): 其中表示区间的积分。即，若u(t)和v（t)是两个能量有限的复数波形，则对任意复数，的能量也有限。（即，在L2中）。利用不等式，我们可以写出： （10.70）因此，能量有限的复数波形 的集合由具有复数加和标量的乘运算的矢量空间构成。类似地，有限能量实数波形的集合构成了具有实数加和标量乘的集合。在表示 中的矢量u(t)时我们交替的使用u。 矢量空间V的子空间S是V的子集，使得S中的矢量也满足叠加性。例如，是的子集但不是的子空间。矢量是的单元，也是的单元。但标量积不是实二元组，因此不在中。10.3.1 有限维矢量空间 若每个矢量的线性组合，则矢量的集合

28、is said to span V。即， （10.71） 若存在span V的有限矢量集合，则矢量空间V为有限维。若不是有限维，则叫做无限维。例如，考虑矢量空间。设是位置i为1其余位置为0的矢量，即，等等。矢量叫做的单位矢量。注意，每个矢量可以表示为单位矢量的线性组合。例， （10.72） 所以矢量的集合span矢量空间。 若集合中没有一个矢量能够表示为集合中其余矢量的线性组合，则矢量的集合线性独立。即，对于线性独立的矢量的集合，不可能找到非全零的标量满足下式： （10.73） 若集合满足span V和线性独立两项，则在V中矢量的集合是V的基。矢量空间的基不唯一。是的基但不是唯一的基。矢量空间

29、V的维数是V的任意基中矢量的数目。若已知有限维矢量空间V的任意基，则V中的任意矢量可以表示为： （10.74）式中是独特的标量。根据给定的基，V中的每个矢量可以表示为系数n元组。 基的最简单例子是中由矢量，和组成的标准基。所以的维数为3。10.3.2 矢量空间的内积 尽管距离或符号的表示法明确出现在二维和三维Euclidean空间，但矢量空间本身并不包含距离或矢量的表示。内积是点积的推广。具有内积的矢量空间叫做内积空间。内积空间的例子包括： 1.矢量空间，其中的内积为点积。对于中的任意两个矢量，点积定义为： （10.75） 2.定义在区间的有限能量复波形的矢量空间。对于 中的任意两个矢量u(t

30、),v(t），内积定义为： (10.76) 矢量的模或长度定义为： （10.77）在矢量空间中，矢量的模为： （10.78）在有限能量复波形空间中，矢量u(t)的模为： （10.79）内积空间V中，两个矢量，间的距离定义为矢量之差的模。即， （10.80）在矢量空间中，两个矢量，之间的距离为： （10.81）上述结论与Euclidean距离或笛卡尔坐标表示法的距离一致。根据定义，有限能重复波形空间L2中，两个矢量u(t)和v(t)之间的距离如下： （10.82）正交矢量和正交单位矢量 若两个矢量和满足，则这两个矢量定义为正交。在内积空间，若满足下式，则矢量的集合为标准正交集： (10.83)

31、换句话说，标准正交集是一组正交矢量，其中的每个矢量都归一化为具有单位长度。可以看出，若一组矢量 正交，则下面的集合为标准正交： （10.84） 注意，若矢量正交，则矢量任意缩放（包括归一化）后仍正交。矢量在另一矢量上的投影是矢量在轴上的分量，且定义为： （10.85) 若两个矢量正交，则一个矢量在另一个矢量上的投影为零矢量。 我们用一个非常重要的研究结果来结束本节：对于无限维矢量空间的有限维子空间，例如 L2而言，总存在标准正交基。Gram-Schmidt正交化是实现有限矢量的集合和构建标准正交基的有益的方法（其中)。该方法不仅在实际求解正交基时有用，而且理论上也很重要，因为该方法证明了它们的

32、存在。10.3.3 Gram-Schmidt标准正交化过程 Gram-Schmidt构建了一组标准正交化矢量，这些一个或一个的标准正交矢量不必来自正交或归一化的矢量。 1.第1个基函数可以是si(t)中的任一个,。若我们取，则除以得到单位能量函数： （10.86）式中， 2.为了求出第2个基函数，我们从中减去在上的投影，产生如下函数： （10.87） 其中， 由于我们去除了在轴上的分量，所以与正交。第2个基函数为： 式中 3.第2步中的方法可扩展到时任何基函数的计算。为了计算，我们根据产生函数如下： (10.88)式中， （10.89） 我们可以看出与前面的每个基函数正交。即， 第k个基函数可

33、以表示为 （10.90）其中， 若我们从一组不是线性独立的矢量开始，则该算法求解的是现有标准正交基（表示为）线性组合的任意矢量（比如），包括构成基的分量，和继续求下一基矢量。【该句重译】 因此，G-S过程产生表示M个不同的能量有限信号个标准正交基函数。例10.4 用Gram-Schmidt正交化方法求出图10.11所示信号集的正交基。解：我们取为第一个基函数， 除以得到单位能量函数。即， （10.91）下面我们根据式（10.88）计算函数 式中， 这就隐含着和正交。所以， 由于， 根据式（10.90），可得第2个标准正交函数为 （10.92） 为了得到下一代标准正交函数，根据式（10.89）计

34、算出函数为： 式中， 将和的值代入的表达式，得到， 或者， 由于，所以，。将其代入式（10.93），得， （10.94）为了check for另一个标准正交函数，我们根据式（10.88)计算函数。即， 式中， 将的值代入的表达式，得 或者， （10.95）10.4 信号和WGN的矢量空间表示 本节我们考虑的是有限维矢量空间中，作为矢量（“点”）的能量有限信号波形的表示。尽管该概念是由Kotenikov和Shannon各自地发明和应用，但将这一概念推广应归功于Wozencraft和Jacobs的text。这一几何观点构成现代数字通信系统分析和设计的基础之一。10.4.1 波形矢量的空间表示 假定

35、我们有定义在区间上的M个有限能量能构成了全部能量有限波形矢量空间L2的有限维子空间。经采用Gram-Schmidt正交化过程，我们可以求出正交基,使得M个波形中的每一个可以精确（exactly)表示为： （10.96）其中， （10.97）因此在标准正交量 spanned的子空间里，波形可以表示为N元件： （10.98） 我们把这种子空间叫信号空间。这种表示使得我们把信号视为N维信号空间的矢量或点而不是无穷维函数空间L2的波形。矢量空间的长度和距离的概念在开发最佳信号检测方法和性能分析中都很有用处。我们把波形的集合叫做数字调制方案的信号集。M个矢量的集合叫做信号星座。信号星座是信号空间中由基确

36、定的信号集合的唯一表示。我们可以看出信号集的特定星座表示相对特定信号空间而言是唯一的。然而，在另一个基矢量集合定义的不同的信号空间中，同样的星座可能表示不同的信号集。例10.5 用例10.4中开发的（developed)标准正交基求出图10.11中信号集合的矢量空间表示。解：由于例10.4中信号空间的维数N是3，所以例10.11中的每个信号都可以用式（10.96）表示为例10.4求出的三个基函数和的线性组合。即， （10.99） 根据式（10.91）与式（10.99），我们可以得到对应信号的信号矢量。 类似地，我们可以根据式（10.92）（10.94）（10.95）与（10.99）得到信号的矢

37、量空间表示如下：图10.11中信号集合的矢量空间表示如图10.13所示。 特定发送符号产生决定了星座中第i个矢量的概率。任何实际通信系统中可获得（available)的功率限定了发送连续发送的每个符号所需能量的平均值。因此，信号星座的重要概念是其平均能量。信号星座的平均能量（也叫做平均能量/符号）定义为： (10.100）假定符号等概率出现，则平均能量/符号由下式给出： （10.101）平均能量/比特（）与的关系为： （10.102）信号星座的平均能量与平均功率的概念也密切相关，即， （10.103）其中T是符号间隔。的最小化将信号星座点置于（place)靠近原点的地方，然而，存在噪声时调制方

38、案的差错性能由星座点之间的距离决定，见第10.6节的介绍。10.4.2 信号星座实例 二进制反极性信号 在这种条件下， （10.104） 如果我们选择基函数 （10.105）则可以在一维空间用spanned的表示式（10.104）中的信号集： （10.106）根据式（10.106）得到星座点为： （10.107）二进制正交信号 考虑是式（10.58）描述的正交信号集： 和， 由于函数与在时间上没有重叠（nonoverlapping),所以GS正交化过程的简单应用表示我们需要两个基函数。若我们选择基函数为： (10.108)因此，可以在二维空间经spanned和将正交信号集表示为： （10.10

39、9）根据式（10.109），星座点为： （10.110）图10.14（b)示出了正交信号的星座。M进制PAM信号集为： (10.111)式中。若我们选择基函数为： (10.112) 则可以在一维空间里往spanned 将式（10.111）的信号集表示为： (10.113)根据式（10.113），得出星座点为： （10.114）图10.14（c)示出了M进制PAM信号集的信号星座。方形星座 图10.14（d)示出了广泛出现在数字传输系统中的信号星座。它可以视为将两个反极性信号集组合得到的；反极性信号集则由两个正交奇函数构成。图10.14（e)是通过将图10.14（d)对角上移的转换得到的（？）。

40、经应用式（10.101），图10.14（e)中星座的平均能量为： 根据图10.14（e)，我们可以得出： 所以， 该值为图10.14（d)中星座平均能量/符号的两倍。因此，在信号空间，能量有效的星座集中在原点附近。例10.6 考虑图10.15(b)中的两个基函数。画出对应图10.15（b)和（c)中所示星座点的波形概图。解：图10.15（b)中信号集的维数N是1.若我们选择作为基函数，则所对应的星座点的波形可以表示为： 图10.15（c)中信号集的维数N为2.则所对应的星座点的波形可以表示为： 图10.16（b)示出了信号和。10.4.3 WGN的矢量空间表示 我们在第10.4.2节证明（de

41、monstrate)了M个能量有限波形的集合可以表示为N维矢量空间里spanned正交基的矢量。表示随机过程需要无限维的标准正交基。考虑将功率谱密度N02 (瓦/赫兹）的高斯白噪声n(t)表示为和式： (10.115) 式中是n(t)在轴上的投影。由下式定义的n´(t)的分量： （10.116）式（10.116）的n´(t)的分量表示在高斯白噪声与其在spanned矢量空间的n维表示之间的差值。可以证明：n´(t)与关于发送的是哪个信号的判决无关（？）。下面我们高斯随机变量的均值由下式给出： （10.117） 由于对于所有j,，所以高斯随机变量的方差可以表示为：

42、（10.118）所以，随机变量 不相关，且每个随机变量有均方值N02。由于n(t)是高斯过程，因此这就暗示着是联合高斯过程且统计独立。总之，我们可以将高斯白噪声n(t)表示为spanned的信号空间中高斯随机变量，其中，分量是均值零方差N02的高斯随机变量。在以原点为中心的信号空间中，随机变量看起来像个球面云。云中的每个点表示随机过程样本函数集合中的一个实现。在云中用阴影强度表示的点的密度与给定区域观测的概率成正比。图（10.17）示出了高斯噪声和信号，以及三维空间的噪声矢量。10.5 AWGN系统中的M进制信号检测 现在我们考虑M进制通信系统中调制器在每个符号周期T发送M个波形之一。（该句重

43、译）存在AWGN n(t)时接收端收到的发送波形为r(t): (10.119) 最佳检测方案中我们关注的是，通过在区间0tT观测到随机信号r(t)的样本函数，根据集合来确定发送的是哪一个信号。在第10.4节，我们showed了存在AWGN时，集合中的信号可以表示为N维信号空间中的矢量，其中。因此，我们可以把确定在区间0tT哪个信号（或相当于星座点）发送的问题转换为下面的矢量检测问题： （10.120） 式中和是对应信号空间维数的N维矢量。基于所测的观接收矢量的特定实现，我们期望设计如下的最佳检测器：从某种意义上说，使得符号差错概率最小化，或相当于，取正确判决概率的最大值。给定接收信号矢量的观测

44、值时，检测器正确判决的条件概率为： （10.121） 是在的条件时发送信号为的条件概率。所以，叫做的后验概率。从式（10.121）我们可以看出取正确判决概率的最大值就是从集合中选择使得后验概率最大的。因此，最小化符号差错概率的检测器就是最大后验概率（MAP）检测器。10.5.1 最大后验概率检测器 MAP检测器定义为满足如F条件的检测器：观测到接收信号矢量和选择取后验概率最大值的信号矢量。若满足下式则检测器判决发送信号为： (10.122)若对于 的某值时，式（10.122）中的等号成立，则可以判决为或者而并不改变差错概率。该判决准则叫做最大后验概率（MAP）准则。利用贝叶斯准则（式（6.14

45、6），后验概率可以表示为： （10.123）式中，； 。 由于式（10.123）的分母与无关，则求最大值时可忽略。所以我们可以将检测规则陈述如下： 若满足下式则判决发送信号为： （10.124） 若对于的某值时，式（10.124）中的等号成立，则可以交替地判决为或者而并不改变差错概率。10.5.2 最大似然检测器 若所有M个发送信号等概，即，若 ， 则MAP检测规则变为最大似然检测规则： (10.125) 条件PDF或任意单调函数常叫做似然函数。最大似然检测规则可表述如下： 若满足下式则判决发送信号： （10.126）式（10.126）叫做最大似然（ML）准则。再者，的某值时若式（10.126

46、）的等号成立，则可以判决为或者而并未改变差错概率。 回顾第10.4.3节中，的分量是均值零，方差N02的独立且同分布的高斯随机变量。根据式（6.173），的联合PDF可以写为： （10.127） 由于，因此我们可以写出下面的条件PDF的表述式： （10.128） 由于是其自变量的单调函数，所以取等价于取对数似然函数的最小值，且定义为： （10.129） 式（10.129）中的累加和与Euclidean距离的关系为： （10.130） 式中的Euclidean距离指的是距离指的是与之间的距离。因此，最大似然检测器在所有的信号星座点上通过求解取得最小值的作出最佳判决。即，最大似然检测器选择的是：与

47、接收矢量的Euclidean距离最近的信号星座点。按照Euclidean距离最大似然检测规则式（10.126）可陈述如下： 若满足下述条件，则判决发送的信号为 （10.131） 类似地，我们可以根据Euclidean长度将最大后验概率检测规则叙述如下：若满足下式则判决发送信号为： （10.132）10.5.3 最大后验概率和最大似然检测器的实现 最大似然检测器仅仅通过计算。接收矢量与信号集合的所有信号之间的距离作出判决，且如果使得下式取最小值则推断发送的是： （10.133） 式中是第i个信号的能量。式（10.133）右边的第一项在最小化期间为常数，因而可以略去由于取式（10.133）的最小值等价于取的最大值，所以最大似然检测器的优化问题可以表示为： （10.134） 经将接收信号通过一排与正交基函数匹配的相关