微积分授课课件：10-5高斯公式通量与散度

1、 哈尔滨工程大学 高高 等等 数数 学学 高斯高斯 ( (1777-18551777-1855) )Gauss,C,FGauss,C,F 德国数学家德国数学家 哈尔滨工程大学 高高 等等 数数 学学第五节第五节 高斯公式高斯公式 通量与散度通量与散度一、高斯公式一、高斯公式定理定理则则有有公公式式上上有有连连续续的的偏偏导导数数在在所所围围成成的的闭闭区区域域曲曲面面为为空空间间中中分分片片光光滑滑的的闭闭设设,),(),(),(, zyxRzyxQzyxPxyzo dxdydzzRyQxPRdxdyQdzdxPdydz)( 外外外侧外侧外侧外侧外侧外侧 哈尔滨工程大学 高高 等等 数数 学学

2、xyzo 1 2 3 D证证.DxOy平平面面的的投投影影区区域域为为在在设设 :,321三部分三部分分成分成将将 ; ),(1:1方方向向为为下下侧侧yxzz ; ),(2:2方方向向为为上上侧侧yxzz ; ,:3方方向向为为外外侧侧侧侧面面 ),(2),(1yxzyxzDdzzRdydxdxdydzzR DdxdyyxzyxRyxzyxR),(,),(,12 DDdxdyyxzyxRyxzyxR),(,),(,12. dxdydzzRRdxdy现证现证右端右端 = 哈尔滨工程大学 高高 等等 数数 学学 312 RdxdyRdxdyRdxdyRdxdy左端左端 =0. dxdydzzRR

3、dxdy于是于是; dxdydzxPPdydz同理有同理有. dxdydzyQdxQdzdxdydzzRyQxPRdxdyQdzdxPdydz)( 即即xyzo1 2 3 D DDdxdyyxzyxRdxdyyxzyxR),(,),(,12=右端右端 哈尔滨工程大学 高高 等等 数数 学学例例1 1)(3外侧外侧 yxozbaa1 ,2zdxdyydzdxdydzx 计算计算.0,0222）的表面外侧（的表面外侧（是圆柱体是圆柱体其中其中 aayxbz 2 解解 dxdydzxzdxdyydzdxdydzx 1122利用高斯公式重做上节例利用高斯公式重做上节例2.xdydzddxdydzx 2

4、2ba220 ba22 由由高高斯斯公公式式围围成成空空间间闭闭区区域域 , 哈尔滨工程大学 高高 等等 数数 学学).0, 0(, )0( 1222222 bazczbyax的方向为上侧的方向为上侧 是上半椭球面是上半椭球面其中其中计算计算 ,2dxdyxydzdxxdydz 例例2 2zyxabcO解解D dxdyxydzdxxdydz2 dxdyxydzdxdydzx2 下下 dxdyxydzdxdydzxdv2)011( dxdyx 2 dxdyxydzdxdydzx2 上上 哈尔滨工程大学 高高 等等 数数 学学dxdyx 2dxdyxD 2dxxdyybbab 220204dyyb

5、bab23)(42203331 tdtbba404cos23334 22413343 batbysin .341 ba . 0 , zRyQxP若若从此题看出从此题看出0)( RdxdyQdzdxPdydzdxdydzzRyQxPzyxoabcD 哈尔滨工程大学 高高 等等 数数 学学定义定义上上的的第第二二型型曲曲面面积积分分在在有有向向曲曲面面则则 F指定侧的指定侧的通过通过称为向量场称为向量场 ),(zyxF通量通量. RdxdyQdzdxPdydzdSnF 1、通量的定义、通量的定义二、通量与散度二、通量与散度 哈尔滨工程大学 高高 等等 数数 学学定义定义).divergence()

6、,(div ,),(),(),( ),(点点的的散散度度在在称称为为向向量量场场则则内内连连续续导导在在空空间间区区域域的的分分量量函函数数及及它它们们的的偏偏设设向向量量场场zyxFzRyQxPFkzyxRjzyxQizyxPFzyx 2、散度的定义、散度的定义高斯公式的向量形式高斯公式的向量形式: :dvFdSnF 外外 div 哈尔滨工程大学 高高 等等 数数 学学例例3 3222,zyxrkzj yi xr rrqEq3 , 求求电电场场强强度度位位于于坐坐标标原原点点时时当当点点电电荷荷. | , ,rrr 而而表表示示场场中中任任一一点点的的向向径径这这里里的的散散度度qoxyzr

7、解解, 33rkqzjqyiqxrrqE 故故62333)(rrxrxrqrqxx ,3522rxrq 522352233)( 3)( :rzrqrqzzryrqrqyy ，由由对对称称性性)()()( div 333rqzzrqyyrqxxE 故故0)( 3352222 rzyxrq即除点电荷即除点电荷q所在的原点外所在的原点外, 该电场强度的散度处处为该电场强度的散度处处为0.(x,y,z) 哈尔滨工程大学 高高 等等 数数 学学特例特例2 2: ,2223zyxrrzdxdyydzdxxdydzI 外外计算计算 );0( 949 : )1(22 zyxz . 11694 : )2(222

8、 zyx 解解).0( 0 , ,div ,333 rrzryrx注意注意首先首先00 )1(21 dvI内内下下 2342131103332221 外外外外外外上上zdxdyydzdxxdydzIx2 1 zyO 哈尔滨工程大学 高高 等等 数数 学学00 )2(2222 dvIzyx内内 43431133322222222 外外外外zyxzyxzdxdyydzdxxdydzI 哈尔滨工程大学 高高 等等 数数 学学哥哥 德德 巴巴 赫赫 猜猜 想想 德国数学家哥德巴赫德国数学家哥德巴赫(Goldbach,C.)长期在俄国圣长期在俄国圣彼得堡科学院工作彼得堡科学院工作.他同许多数学家一样他同

9、许多数学家一样,对于质数对于质数(即即素数素数 )、合数数论问题的研究极感兴趣、合数数论问题的研究极感兴趣(这是一个由欧这是一个由欧几里德几里德(Euciid)时代起就一直被人们关注的问题时代起就一直被人们关注的问题). 1942年年6月月7日这一天日这一天,哥德巴赫试图探讨将自然数哥德巴赫试图探讨将自然数用质数和来表述的问题用质数和来表述的问题,他算到他算到:4=2+2,5=5(质数是本质数是本身身),6=3+3,7=7 (质数质数),8=3+5,9=2+7,10=3+7, , 11=11 (质数质数) , , 27=3+7+17 , 上诸式表明上诸式表明:自然数或本身是素数自然数或本身是素

10、数,或者它可表为不或者它可表为不超过超过3个素数之和个素数之和. 哈尔滨工程大学 高高 等等 数数 学学 当即当即,他便写信给数学家欧拉他便写信给数学家欧拉(Euler,L. ):“我我不相信关注那些虽没有被证明但很可能正确的命不相信关注那些虽没有被证明但很可能正确的命题是无用的题是无用的”他写道他写道:“每一个由两个素数和组成每一个由两个素数和组成的数都等于许多数的和的数都等于许多数的和,这些数的多少随我们的这些数的多少随我们的意愿意愿,直到所有的数都是直到所有的数都是1为止为止.”(此结论后半部分此结论后半部分显然是没有意义的显然是没有意义的)例如例如: )(1111)(211)(314四

11、个数之和四个数之和三个数之和三个数之和两个数之和两个数之和 )(111111)(21111)(3111)(321)(516六个数之和六个数之和五个数之和五个数之和四个数之和四个数之和三个数之和三个数之和两个数之和两个数之和 哈尔滨工程大学 高高 等等 数数 学学 接着他又补充写道接着他又补充写道:“看来无论如何看来无论如何,任何大于任何大于2的的自然数都是自然数都是3个素数之和个素数之和”. 以上便是歌德巴赫猜想的原始形式以上便是歌德巴赫猜想的原始形式.欧拉后来对其欧拉后来对其进一步明确化进一步明确化,且在信中写道且在信中写道:“这一命题我认为是相当这一命题我认为是相当正确的正确的,虽然我并不

12、能证明这一点虽然我并不能证明这一点.” 英国数学家华林英国数学家华林( Waring,E.)在他所著的在他所著的代数沉代数沉思录思录中提到上述猜想时这样叙述到中提到上述猜想时这样叙述到:“每个不小于每个不小于6的的偶数都是两个素数之和偶数都是两个素数之和,每个不小于每个不小于9的奇数都是的奇数都是3个素个素数之和数之和.” 这也是该猜想的比较完整、确切的叙述这也是该猜想的比较完整、确切的叙述. 歌德巴赫猜想是一个至今尚未证明的数学命题歌德巴赫猜想是一个至今尚未证明的数学命题,我我国已故数学家陈景润于国已故数学家陈景润于1966年证明了年证明了:每个充分大的偶每个充分大的偶数皆可表示为一个素数与不超过两个素数的乘积之和数皆可表示为一个素数与不超过两个素数的乘积之和. 哈尔滨工程大学 高高 等等 数数 学学 这是迄今为止关于该猜想的最好研究成果这是迄今为止关于该猜想的最好研究成果.猜想的猜想的最后证明尚需人们的最不断努力最后证明尚需人们的最不断努力.下表示该猜想的进下表示该猜想的进展情况展情况.年代 发现者 结论 1920 1938 1948 1957 1962 1963 1965