微积分授课课件：第一型线面积分

1、2021-11-21作业作业: P134 P134 习题习题5 4(1)(2).55 4(1)(2).5阅读：阅读：P131-134, P143-145 P131-134, P143-145 )0(.2222 yRyxLxdlL是是其其中中，计计算算曲曲线线积积分分的的弧弧长长。求求曲曲线线)40(.1 xxxy之之间间的的面面积积。和和介介于于求求圆圆柱柱面面2222204)2(.3yxahzzaxay 补补充充题题2021-11-22第十四讲第十四讲二、第一型曲面积分二、第一型曲面积分一、第一型曲线积分一、第一型曲线积分2021-11-230AnAiA1 iA1A iM一、第一型曲线积分一

2、、第一型曲线积分又又在在每每个个小小弧弧段段上上任任取取记记的的长长度度为为记记各各小小弧弧段段小小弧弧段段个个任任意意分分成成将将有有定定义义上上在在曲曲线线设设函函数数定定义义一一,max), 1(,.)()(1iiiiilnilAAnLLMf 2021-11-24.,)(lim10线线积积分分的的第第一一型型曲曲沿沿曲曲线线极极限限值值为为函函数数则则称称此此存存在在如如果果极极限限LflMfniii 记记作作 niiiLlMfdlMf10)(lim)( niiilMf1)( 作作和和式式一一点点,iM2021-11-25积分路径积分路径弧微分弧微分 LdlMm)( :例例如如 niii

3、LlMfdlMf10)(lim)( 几几何何意意义义是是什什麽麽？问问：第第一一型型曲曲线线积积分分的的),(yxfz xoyzL Ldlyxf),(SS柱柱面面面面积积2021-11-26则则存存在在若若第第一一型型曲曲线线积积分分,)( LdlMf.)(上上可可积积在在曲曲线线称称函函数数LMf)(:可可积积必必要要条条件件定定理理.,上有界上有界则必在则必在上可积上可积在曲线在曲线若函数若函数LLf)(:可可积积充充分分条条件件定定理理.),(,可可积积上上在在则则并并且且有有界界只只有有有有限限个个间间断断点点或或上上连连续续在在函函数数分分段段光光滑滑若若曲曲线线LfLfL2021-

4、11-27光滑曲线光滑曲线连连续续可可微微)(),(),(tztytx0)()()(222 tztytx有非零的切向量有非零的切向量单位切向量连续变化单位切向量连续变化)()()()( ttzztyytxx的参数方程为的参数方程为设设L2021-11-28（二）第一型曲线积分的性质（二）第一型曲线积分的性质无方向性无方向性则则即即若若曲曲线线的的两两个个端端点点为为无无关关曲曲线线的的指指向向第第一一型型曲曲线线积积分分的的值值与与,BA BAABdlMfdlMf)()(2021-11-29的的参参数数方方程程为为设设平平面面曲曲线线L)1()()()( ttyytxx则则上上连连续续在在上上

5、有有连连续续的的一一阶阶导导数数在在区区间间,),(,)(),(Lyxftytx Ldlyxf),(基本方法是基本方法是化为定积分！化为定积分！注意注意: :下限小，上限大！下限小，上限大！ dttytxtytxf22)()()(),(三三)第一型曲线积分的计算第一型曲线积分的计算2021-11-210的的方方程程为为设设平平面面曲曲线线 L)2()()(bxaxyy 则则上上连连续续在在上上有有连连续续的的一一阶阶导导数数在在区区间间,),(,)(Lyxfbaxy Ldlyxf),( badxxyxyxf2)(1)(,为为极极坐坐标标方方程程设设平平面面曲曲线线L)3()()( rr drr

6、rrfdlyxfL22)()(sin)(,cos)(),(2021-11-211的的参参数数方方程程为为设设空空间间曲曲线线 L)4( )()()(tzztyytxx)( t dttztytxtztytxfdlzyxfL222)()()()(),(),(),(2021-11-212)0( . 0,:, 122222 azyxazyxLdlxL为为圆圆周周其其中中计计算算例例xoyz解解首首先先找找曲曲线线的的参参数数方方程程就就可可得得到到第第三三式式利利用用两两式式的的的的参参数数方方程程这这就就是是参参数数方方程程平平面面投投影影曲曲线线的的在在先先找找0, zyxyxLxyLyxzzyx

7、 解解出出从从,0得得代入代入,2222azyx 22221ayxyx 2021-11-213则则投投影影曲曲线线方方程程为为 021222zayxyx4 平面直角坐标系旋转平面直角坐标系旋转将将xy )(22)(22YXyYXx令令2223aYX 方方程程化化为为什麽曲线？什麽曲线？椭圆椭圆2021-11-214此此椭椭圆圆参参数数方方程程为为taYtaXsin,cos3 得得椭椭圆圆参参数数方方程程换换回回原原坐坐标标 , )sincos3(21)sincos3(21tataytatax得得到到中中将将它它们们代代入入,0 zyxtazcos32 2021-11-215的的参参数数方方程程

8、曲曲线线L taztataytataxcos32)sincos3(21)sincos3(212222222)(sin32)cossin31(2)cossin31(2dttattatta 22222)()()()()(dttztytxdl 22)(dta 2021-11-216 20222)sincos31(2adtttadlxL 20223)sin3cossin32(cos6dttttta 203)2cos1 ( 32sin32)2cos1(12dtttta332a 2021-11-217所所截截取取部部分分的的面面积积被被球球面面求求圆圆柱柱面面例例2222222azyxaxyx 1解解法法

9、xyzo222yxaz L taytaxLsin2)cos1(2:)0( tdtatytxdl2)()(22 LdlzAA441 Ldlyxa2224dtta 02)cos1(220242sin2adtta 2021-11-218解法解法2 将柱面投影到将柱面投影到xoz面面上上 xzDzxdyyAA 221144xzxzDaxaz 2求出求出由柱面方程由柱面方程,22axyx 2,22xaxyyxayx 其其中中,0 zy2022024)(4)2(14)22(142adzxaxxadxdyxaaxaaDxz 2021-11-219.),(,mSMMSS的的质质量量求求处处的的面面密密度度为为

10、上上的的点点在在曲曲面面假假设设有有一一不不均均匀匀的的金金属属例例 解解小小块块任任意意分分成成将将分分割割nS:SiMiiiSMm )(: 近近似似 niiiniiSMmm11)(: 求求和和 niiiSMm10)(lim: 取取极极限限iS 二、第一型曲面积分二、第一型曲面积分（一）定义（一）定义2021-11-220作作和和式式上上任任取取一一点点在在面面积积都都记记作作各各小小块块及及其其小小块块任任意意分分成成将将有有定定义义上上在在分分片片光光滑滑的的曲曲面面设设函函数数第第一一型型曲曲面面积积分分定定义义),(,.),()(:1iiiiinMSSSnSSzyxf niiiiiS

11、f1),( .,),(lim10的的第第一一型型曲曲面面积积分分沿沿曲曲面面极极限限值值为为函函数数则则称称此此存存在在如如果果极极限限SfSfniiiii niiiiiSSfdSzyxf10),(lim),( 记记作作曲面微分元曲面微分元(dS0)2021-11-221.存存在在性性条条件件质质和和型型曲曲线线积积分分有有类类似似的的性性第第一一型型曲曲面面积积分分与与第第一一2021-11-222?),(SdSzyxf基本方法是基本方法是化为二重积分化为二重积分（三）第一型曲面积分的计算（三）第一型曲面积分的计算的的方方程程为为设设曲曲面面 S)1(Dyxyxzz ),(),(平平面面上上

12、的的投投影影区区域域在在为为其其中中xySD DyxSdxdyzzyxzyxfdSzyxf221),(,(),(曲曲面面微微分分元元dxdyzzdSyx221 2021-11-223的的参参数数方方程程为为设设曲曲面面 S)2(*),(),(),(),(Dvuvuzzvuyyvuxx dudvCBAdS222 曲曲面面微微分分元元为为 SdSzyxf),( *222),(),(),(DdudvCBAvuzvuyvuxf其其中中),(),(det,),(),(det,),(),(detvuyxCvuxzBvuzyA 2021-11-224计计算算曲曲面面积积分分例例 3 SdSzyxI)(222

13、yxRzS 为为上上半半球球面面其其中中解解由由积积分分的的线线性性性性质质知知 SSSzdSydSxdSI,222yxRxzx 222yxRyzy dxdyyxRRdxdyzzdSyx222221 2021-11-225 DSdxdyyxRRyxRzdSI2222223RdxdyRD 故故有有是是奇奇函函数数关关于于平平面面对对称称关关于于由由于于,),(,xxzyxfyozS 0, SydS有有同同理理.0 SxdS2021-11-226为为整整个个球球面面思思考考题题：若若 S2222Rzyx ?)( SdSzyx问问：02021-11-227转转动动惯惯量量径径的的的的均均匀匀球球面面

14、对对其其一一条条直直求求半半径径为为例例R4解解)(常常数数面面密密度度为为 则则有有轴轴为为即即旋旋转转轴轴其其一一条条直直径径取取球球心心位位于于坐坐标标原原点点,)(,z SdSyxJ)(22 上上SdSyx)(222 DdxdyyxRyxR22222)(2 2002232RdrrRrdR 2034sin4 tdtR438R 2021-11-228计计算算曲曲面面积积分分例例 5 SdSzyxI)(222)0(2222 RRzzyxS为为球球面面其其中中解解的的参参数数方方程程为为球球面面 S cossinsincossinRRzRyRx)20,0( 计计算算得得 ddRdSsin2 S

15、SRzdSdSzyxI2)(22248 R 02220sin)cos1(2dRRd球面坐标系下球面坐标系下2021-11-229计计算算曲曲面面积积分分例例 6 SrdSI2.,0222距距离离上上的的点点到到原原点点的的为为之之间间的的部部分分及及界界于于为为圆圆柱柱面面其其中中SrHzzRyxS xHozyMr解解22222zRzyxr dSzRrdSISS 2221怎样计算这个曲面积分？怎样计算这个曲面积分？2021-11-230圆圆柱柱面面的的参参数数方方程程为为 zzRyRx sincos)0,20(Hz dzRddS dSzRIS 221 HRdzzRd022201 HdzzRR02212 HzzRzRR 0arctan12 RHarctan2 柱面坐标系下柱面坐标系下2021-11-231各种积分的统一概念各种积分的统一概念 这章所讨