(完整word版)专升本高等数学测试题(答案)(2)

1、专升本高等数学测试题1. 函数 y1 sin x 是（ D）（ A） 奇函数；（ B） 偶函数；（ C） 单调增加函数；（D） 有界函数解析因为1sin x1，即 01 sin x2 , 所以函数 y 1sin x 为有界函数2.若 f (u) 可导，且 yf (ex ) ，则有（B）；（ A ） dyf ' (ex )dx ；（ B） dyf ' (ex )exdx ；（ C） dyf (ex )exdx ；（ D） dy f (ex )' exdx 解析yf (ex ) 可以看作由yf (u) 和 uex 复合而成的复合函数由复合函数求导法yf(u) exf(u)e

2、x ，所以dyyxfxxxd' (e)e d3.e x dx =(B );0(A) 不收敛 ;(B)1;(C) ;(D)0.解析0e xdxe x01 104. y2 yy(x1)ex 的特解形式可设为（A）；(A) x2 (axb)e x ；(B)x(axb)ex ；(C)(ax)ex ；(D)(axb) x2b解析特征方程为 r 22r10 ，特征根为r1= r2 =1 =1 是特征方程的特征重根，于是有 y px2 (ax b)ex 5.x2y2dxdy( C )，其中D： x2y24；1D2 42 d r ；2 4(A)0dr(B)0dr d r ；11(C)2 22 d r

3、；(D)2 20dr0dr d r 11解析此题考察直角坐标系下的二重积分转化为极坐标形式当xr cos时 ， dxdyr dr d， 由 于1x2y24D1r 202，表 示 为，yr sin， 故x 2y2 dxdyrr drd222 dr d1rDD06.函数 y =1arcsin( x1) 的定义域3x22解由所给函数知，要使函数有定义，必须分母不为零且偶次根式的被开方式非负；反正弦函数符号内的式子绝对值小于等于 1.可建立不等式组，并求出联立不等式组的解.即3x0 ,3x3 ,3x 20 ,推得x11,0x4 ,2即 0 x3 , 因此，所给函数的定义域为0 ,3) .7. 求极限

4、lim 2x 2=x 22x解：原式 = lim( 2x2)( 2x2 )x2= limx2 21=.4(2x)( 2x2)1x 2（ 恒等变换 之后“ 能代就代 ”）xsint dt8. 求极限 lim1=x 11 cosx解： 此极限是“ 0 ”型未定型，由洛必达法则，得0xsint dtxsint dt)1(sinx11= lim1=limlim(1lim ()x 1 1cosx x 1cosx)x 1 sinxx 1xt,9.曲线在点（ 1， 1）处切线的斜率yt 3 ,解：由题意知：1t ,1 ,1t 3t,dyt 1(t 3 )t 13t 2t 13 ,dx(t )曲线在点（1，

5、1）处切线的斜率为 310. 方程 y' ' 2 y'y0, 的通解为解： 特征方程 r 22r10 ,特征根 r1 r2 1 ,通解为 y(C1C 2 x)ex .11. 交错级数( 1) n 11的敛散性为n 1n(n1)（ 4）( 1) n 11=1,n 1n(n1)n 1 n(n1)而级数1收敛，故原级数绝对收敛 .n 1 n(n1)12. lim (112 ) x . （第二个重要极限 ）xx1 ) x (11) x1 ) x1 ) x 1解一原式 = lim (1lim (1lim (1= ee 11，xxxx0xxx11解二原式 = lim (1(x2 )

6、(x )= e012 )xx13. lim 112 ln(1 x)x 0 xx解 所求极限为型，不能直接用洛必达法则，通分后可变成 0或型 .01 1xln(1x)111xln(1x)limlim 2limx22xx 0 xxx 0x 0lim 1x1lim1x)1.x0 2x(1x)x 02(1214.设 f ( x)xex，求 f ' ( x) .解： 令 yxe x,两边取对数得： ln yexln x ,两边关于 x 求导数得：1y' exln xexyxy'y(ex ln xex)x即y' x ex(e x ln xe x ) .x15.求 f ( x

7、)x3+ 3x 2在闭区间5,5 上的极大值与极小值，最大值与最小值.解： f ( x)3x 26x ,令 f ( x) 0 ,得 x10, x22 ,f (x) 6x 6 ,f (0) 6 0 ,f ( 2)6 0 , f (x) 的极大值为f ( 2)4，极小值为f (0)0 . f ( 5)50 ,f (5) 200 . 比较 f ( 5), f ( 2), f (0), f (5) 的大小可知：f ( x) 最大值为200， 最小值为50 .16.求不定积分1dx .11x解： 令1xt , 则xt 21 ,dx2tdt ,于是原式=2tdt = 2t11dt =2t 2 ln 1 t

8、 C11dt = 2 dt1ttt= 2 1 x 2 ln 11 x C .17.求定积分41x.0 1dxx解 :（ 1）利用换元积分法，注意在换元时必须同时换限令tx， xt 2， dx2tdt，当 x0时， t0 ，当 x4 时， t2 ，于是4x dx =2t 2tdt =22t4dt11 40 1x0 1t01t4t t 24ln 1244 ln 3.t018. 求方程 (exyex )dx(e x yey )d y0 的通解；解整理得ex (ey1)dxey (ex1)dy ，用分离变量法，得e ydyexeyexdx ，11两边求不定积分，得ln(e y1)ln(e x1)ln

9、C ，于是所求方程的通解为ey1C，ex1即eyC1ex119. u exsin xy , 求 u,u.x (0,1)y (1, 0)解： 因 uex sin xyex cos xyy ex (sin xy y cos xy) ,xuex cos xyx,yue0 (sin 0cos0)1,x (0 ,1)ue(cos 01)e .y (1,0)20.画出二次积分02dy24y 2fx, y dx 的积分区域 D 并交换积分次序 .24y20y2,y解： D：y 2y224x24的图形如右图，由图可知，D 也可表为0x4,O 2 4x0 y4 x x2 ,所以交换积分次序后，得4x04xx2f xydy.0 d,21.求平行于y 轴，且过点A (1, 5,1)与 B(3,2,3) 的平面方程.解一利用向量运算的方法。关键是求出平面的法向量n .因为平面平行于y 轴，所以nj.又因为平面过点A 与B ，所以必有 nAB .= jAB ,于是，取 nAB =2ijk= 4i2k而74，所以n= 010， ，274因此，由平面的点法式方程，得4( x1)0( y5)2( z1)0 ，即2xz 3 0.解二利用