大学物理振动

1、12005年年秋季学期秋季学期第第1章章振动自学总结振动自学总结（演示实验）（演示实验）陈信义编陈信义编 2 振动振动（vibration）是自然界中最普遍的一种是自然界中最普遍的一种运动形式。物体在平衡位置附近做往复的周期运动形式。物体在平衡位置附近做往复的周期性运动，称为机械振动。电流、电压、电场强性运动，称为机械振动。电流、电压、电场强度和磁场强度围绕某一平衡值做周期性变化，度和磁场强度围绕某一平衡值做周期性变化，称为电磁振动或电磁振荡。称为电磁振动或电磁振荡。 一般地说，任何一个物理量的值不断地经过一般地说，任何一个物理量的值不断地经过极大值和极小值而变化的现象，称为振动。极大值和极小

2、值而变化的现象，称为振动。 虽然各种振动的具体物理机制可能不同，但虽然各种振动的具体物理机制可能不同，但是作为振动这种运动的形式，它们却具有共同是作为振动这种运动的形式，它们却具有共同的特征。的特征。3一、简谐振动一、简谐振动 1 1、定义定义)cos( tAx x 可以是位移、电流、场强、温度可以是位移、电流、场强、温度这种用时间的正弦或余弦函数来描述的振动，这种用时间的正弦或余弦函数来描述的振动，称为称为简谐振动简谐振动（SHM）。）。受迫振动受迫振动（有（有阻尼阻尼） 共振共振简谐振动简谐振动阻尼振动阻尼振动（Simple Harmonic Motion SHM）42、SHM的判据的判据

3、（以机械振动为例以机械振动为例） （1）受力）受力kxF k 劲度系数劲度系数（stiffness）（2）微分方程）微分方程0dd222 xtx 角频率角频率（angular frequency） F 弹性力或准弹性力弹性力或准弹性力圆频率圆频率（circular frequency）5【思考思考】设地球密度均匀，质点通过穿过地球设地球密度均匀，质点通过穿过地球的直隧道的振动是的直隧道的振动是SHM吗吗?（3）能量特征）能量特征 ）（的的零零点点平平衡衡位位置置为为势势能能总总能能量量PppkEkxEEEE 21 .const 2 2241.constAkAEEEkp或或 以上（以上（1）、（

4、）、（2）、（）、（3）中任一条成立即）中任一条成立即可判定为可判定为SHM。6 3. SHM的特征量的特征量（1）角频率）角频率mk 由系统本身决定（固有角频率）由系统本身决定（固有角频率） 2 频率频率（frequency）周期周期（period） 21 T7（2）振幅）振幅 （amplitude）kExA222020 v 由初始条件和系统本身情况决定由初始条件和系统本身情况决定（3）位相）位相（phase）)(tg001x v （一般取主值）（一般取主值） 由初始条件及系统本身情况决定由初始条件及系统本身情况决定84、SHM的表示方式的表示方式( (1) )振动函数振动函数)cos( t

5、Ax)2 cos(dd tAtxvxtAtxa2222 ) cos(dd)( i tAex)cos(Re tAxx（复数形式复数形式） 只要给定振幅只要给定振幅A、角频率、角频率 和初位相和初位相 ，就等就等于给定了一个简谐振动。于给定了一个简谐振动。 9（2）振动曲线振动曲线xot 0 = /2 T=2A-A = 0omx0 = AxA(伸长量伸长量)om0 x0 AxAomx0 = 0 xA10（3）旋转矢量）旋转矢量确确定定 和研究振动合成很方便和研究振动合成很方便xv0 00 x0A/220Ax 00 v3 例如，已知例如，已知x 参考圆参考圆(circle of reference)

6、 AA t+ ox tt = 0 x = A cos( t + ) 3 则由左图给出则由左图给出11例例. 已知：已知：U 形管内液体质量为形管内液体质量为m，密度为，密度为 ，管的截面积为管的截面积为S 。有一定的高度差，有一定的高度差，试判断液体柱振动的性质。试判断液体柱振动的性质。忽略管壁和液体间的摩擦。忽略管壁和液体间的摩擦。开始时，造成管两边液柱面开始时，造成管两边液柱面2p21)(kyygSyE 无损耗无损耗.const ESHM角频率角频率mSgmk 2 EP = 0S y y- y0gSk 2 解法解法1. 分析能量分析能量12解法解法2. 分析受力分析受力（压强差压强差）ky

7、 令令.const2 gSk SHM角频率角频率mSgmk 2 S y y- y0恢复力恢复力gSyF 2 13例例. . 稳定平衡位置附近的微振动是简谐振动稳定平衡位置附近的微振动是简谐振动 20220dd21dd) 0()(xxExxEExEpppp0dd, 0dd0220 xExEpp在在 x =0附近将势能展开附近将势能展开对对微振动，微振动，可只取到可只取到x2项，且取项，且取Ep(0)=0m fxxEp0 fx证明：证明：14kxxxExEfxEkkxxxExEppxppp 0220022202dddd0dd21dd21)(则有则有即，稳定平衡位置附近的微振动是简谐振动。即，稳定平

8、衡位置附近的微振动是简谐振动。 微振动例：原子核内质子和中子的振动、原微振动例：原子核内质子和中子的振动、原子和分子的振动、固体晶格格点的振动等。子和分子的振动、固体晶格格点的振动等。15例例. 光滑平面上两弹簧和小球在光滑平面上两弹簧和小球在 y 方向微振动，方向微振动，求振动频率。求振动频率。a0 - 自然长度自然长度a - 平衡长度平衡长度y - 位移位移aaa0a0 y y 0km势能：势能： 20222022212aaykaaykyEp16 maakmkaakkaakayaakyEayakyyEypyp000023222002202200121201212dd012dd体体系系体体系

9、系体体系系 17二、二、SHM的合成的合成 1、同方向合成、同方向合成( (1) ) 1= 2 = 1A2A1Axxx1x2 2 k212 l若若21AAA 则则 )12( kl若若|21AAA 则则)2,1 ,0( k,合振动仍是同频率的合振动仍是同频率的SHM。同相同相反相反相18（2） |2121 21 A1A2A12x0 A = Amax = A1+A2|21minAAAA |21 拍拍v，形成，形成“拍拍”（beat）21AA，同向重合时，同向重合时，若若反向重合时，反向重合时，21AA，若若拍频：拍频：19tx1 2tx2 1 = 1 - 2 tx|21 拍拍v202、互相垂直时的

10、合成、互相垂直时的合成（1） ，合成轨迹为合成轨迹为椭圆。椭圆。 yx xy 不同，椭圆形状、旋向不同。不同，椭圆形状、旋向不同。 = = 3 /2 = 5 /4 = 7 /4 = /2 = /4PQ = 0yx = 3 /4（-3 /4） （- /2） （- /4）21 （以（以 为界，决定超前、落后）为界，决定超前、落后） 、象限象限SHM = 0yx、象限象限SHM = = - /4y落后落后x左旋左旋 = /4PQy超前超前x右旋右旋22 （2） 为正整数为正整数nmnm,21， 合成轨迹为合成轨迹为稳定的闭合曲线稳定的闭合曲线 李萨如图李萨如图 yxA1A20-A2- A1达到最大的

11、次数达到最大的次数达到最大的次数达到最大的次数yxyxyx 例如左图：例如左图：23 yx 应用：应用：测定未知频率测定未知频率23 x y2 13 13 2 x = 0： y = 08 y 4 y 83 y 2 y y x024三、谐振分析三、谐振分析 利用付里叶分解，可将任意振动分解成若干利用付里叶分解，可将任意振动分解成若干SHM的叠加。的叠加。 对周期性振动：对周期性振动：)cos(2)(10kkktkAatx T 2= T 周期，周期，k = 1 基频（基频（ ） k = 2 二次谐频（二次谐频（2 ） k = 3 三次谐频（三次谐频（3 ）决定决定音调音调决定决定音色音色高次高次谐

12、频谐频25x2n = 0 , n = 1 , 2 , 3 , Ak02345 61()k分立谱：分立谱：例如对例如对方波：方波： x1t0 x3t0 x5t00ta0Tx0 +x1+x3+x5t0Tta0 / 20 x026关于阻尼振动要求搞清：关于阻尼振动要求搞清：（阻力（阻力 fr = v） m2 1、固有频率、固有频率mk 0 2、三种阻尼、三种阻尼过阻尼过阻尼临界阻尼临界阻尼欠阻尼欠阻尼xt0过阻尼过阻尼：0 临界阻尼临界阻尼：0 欠欠（弱弱）阻尼阻尼：0 teAA 0，阻尼系数阻尼系数时间常数：时间常数： 21 Q 值：值： 02 TQ振幅：振幅：能量：能量：teEE 20 27关于

13、受迫振动要求搞清：关于受迫振动要求搞清：1、受迫振动的概念、受迫振动的概念在驱动力在驱动力tH cos的作用下系统的振动的作用下系统的振动稳定时系统振动的频率稳定时系统振动的频率 = 驱动力的频率驱动力的频率 2、共振的意义和规律、共振的意义和规律在在弱阻尼弱阻尼即即 0的情况下，的情况下，系统的振动速度和振幅都达到最大值系统的振动速度和振幅都达到最大值 共振。共振。 受迫振动。受迫振动。应用：应用：声、光、电、原子内部、工程技术声、光、电、原子内部、工程技术同时要注意避免共振造成破坏。同时要注意避免共振造成破坏。当当 = 0时，时，28小号发出的声波足以使酒杯破碎小号发出的声波足以使酒杯破碎

14、29随后在大风中因产随后在大风中因产生共振而断塌生共振而断塌 1940年华盛顿的塔科曼年华盛顿的塔科曼大桥在大风中产生振动大桥在大风中产生振动 发生共振时由于振幅过大可能损坏机器、设发生共振时由于振幅过大可能损坏机器、设备或建筑。备或建筑。 30 由于共振可能引起巨大的损坏，所以在工程由于共振可能引起巨大的损坏，所以在工程技术中防振和减振是一项十分重要的任务。技术中防振和减振是一项十分重要的任务。 据报导，我国某城市有三栋新建的十一层居据报导，我国某城市有三栋新建的十一层居民楼经常摇晃，引起居民的恐慌。后来发现距民楼经常摇晃，引起居民的恐慌。后来发现距居民楼居民楼800米处有一家锯石厂，四台大

15、功率锯米处有一家锯石厂，四台大功率锯石机的工作频率为石机的工作频率为 ，恰好等于居民楼的，恰好等于居民楼的固有频率，楼的摇晃原来是一种共振现象。固有频率，楼的摇晃原来是一种共振现象。Hz5 . 131（1）受迫阻尼）受迫阻尼(欠阻尼欠阻尼, , 0 0 体系的振动特征体系的振动特征 022000cos teAxt =b/2m：阻尼系数阻尼系数 f=b(dx/dt): 阻力阻力 tA0e- tT补充：品质因数补充：品质因数（Quality factor） Q值值32 TtEtEtEtQ 22每每周周期期损损失失的的能能量量时时刻刻体体系系的的能能量量（2）品质因数）品质因数 Q值值 品质因数品质因数描述描述受迫阻尼振动体系受迫阻尼振动体系(例如例如弹簧，电感线圈弹簧，电感线圈)与与无阻尼简谐振动无阻尼简谐振动的的接近接近程度：程度：33（3）计算公式）计算公式固有频率固有频率 0 0 ，阻尼系数阻尼系数 200 Q其中其中 0 0 固有频率固有频率 无阻尼自由频率无阻尼自由频率 阻尼系数阻尼系数 1/ 1/（2 2 ） 时间常数时间常数 Q值值 34证明：证明： 2)()()(221121)()(,212121)(cos00202020220022000 TtEtEtEQTekAeekATtEtETekAekAtEteAxtTtttt表表达达能能量量衰衰减减快