大学物理力学答案8

1、第8章弹性体的应力和应变习题解答 61 第8章弹性体的应力和应变习题解答第六章基本知识小结 开普勒定律 行星沿椭圆轨道绕太阳运行，太阳位于一个焦点上 行星位矢在相等时间内扫过相等面积 行星周期平方与半长轴立方成正比 T2/a3=C 万有引力定律 引力势能 三个宇宙速度环绕速度 脱离速度 = 11.2 km/s逃逸速度 V3 = 16.7 km/s.6.1.1设某行星绕中心天体以公转周期T沿圆轨道运行，试用开普勒第三定律证明：一个物体由此轨道自静止而自由下落至中心天体所需的时间为证明：物体自由下落的加速度就是在行星上绕中心天体公转的向心加速度：由自由落体公式：（此题原来答案是：，这里的更正与解答

2、仅供参考）6.2.1 土星质量为5.7×1026kg，太阳质量为2.0×1030kg，两者的平均距离是1.4×1012m.太阳对土星的引力有多大？设土星沿圆轨道运行，求它的轨道速度。解：据万有引力定律，太阳与土星之间的引力f =GMm/r2=6.51×10-11×2.0×1030×5.7×1026/(1.4×1012)2 3.8×1022N选择日心恒星参考系，对土星应用牛顿第二定律：f=mv2/r6.2.3 一个球形物体以角速度转动，如果仅有引力阻碍球的离心分解，此物体的最小密度是多少？由此估算

3、巨蟹座中转数为每秒30转的脉冲星的最小密度。这脉冲星是我国在1054年就观察到的超新星爆的结果。如果脉冲星的质量与太阳的质量相当（2×1030kg或3×105Me，Me为地球质量），此脉冲星的最大可能半径是多少？若脉冲星的密度与核物质相当，它的半径是多少？核密度约为1.2×1017kg/m3.解：设此球体半径为R,质量为m.考虑球体赤道上的质元m,它所受到的离心惯性力最大 f*=m2R，若不被分解，它所受到的引力至少等于离心惯性力,即 Gmm/R2=m2R m=2R3/G ，而 m=4R3/3，代如上式，可求得，脉冲星的最小密度据密度公式，m =V=4R3/3 ,

4、R3=3m/(4)6.2.4 距银河系中心约25000光年的太阳约以170000000年的周期在一圆周上运动。地球距太阳8光分。设太阳受到的引力近似为银河系质量集中在其中心对太阳的引力。试求以太阳质量为单位银河系的质量。解：设银河系、太阳、地球的质量分别为M、m、m'；太阳距银河系中心的距离为r=2.5×104光年=2.5×104×365×24×60光分=1.31×106光分，绕银河系中心公转角速度为=10-8×2/1.7年；地球距太阳的距离为r'=8光分，绕太阳公转角速度为'=2/年分别对地球和太阳

5、应用万有引力定律和牛顿第二定律：Gmm'/ r' 2 = m''2 r' （1） GMm / r2 = m2 r (2)由（1）可得G='2 r'3/m，代入（2）中，可求得6.2.5某彗星围绕太阳运动，远日点的速度为10km/s，近日点的速度为80km/s。若地球在半径为1.5×108km圆周轨道上绕日运动，速度为30km/s。求此彗星的远日点距离。解：角动量守恒 能量守恒 牛二定律 ,联立，解得 a = 3×108 km6.2.6 一匀质细杆长L，质量为M.求距其一端为d处单位质量质点受到的引力（亦称引力场强度）。

6、dL解：选图示坐标0-x,单位质 x dx o量质点在坐标原点处，在杆上取质元dm=dxM/L,其坐标为x,它对原点处质点的引力为：,由于各质元对质点的引力方向均沿x轴正向，杆对质点的引力方向沿x轴正向，大小为xyRRd6.2.7半径为R的细半圆环线密度为，求位于圆心处单位质量质点受到的引力（引力场强度）解：由对称性分析可知，引力场强度的x分量等于零。质元dm=Rd所受引力的y分量为6.3.1 考虑一转动的球形行星，赤道上各点的速度为V，赤道上的加速度是极点上的一半，求此行星极点处的粒子的逃逸速度。解： 设行星半径为R，质量为M，粒子m在极点处脱离行星所需的速度为v，在无穷远处的速度、引力势能

7、为零，由机械能守恒定律有 即 以球形行星为参考系（匀速转动参考系），设粒子m在赤道上和极点上的加速度分别为a1和a2。粒子m在赤道上除受引力作用外还受离心惯性力作用，由牛二定律有 粒子m在极点上只受引力作用，由牛二定律有 已知 由、可求得 代入中，得6.3.2 已知地球表面的重力加速度为9.8ms-2，围绕地球的大圆周长为4×107m，月球与地球的直径及质量之比分别是试计算从月球表面逃离月球引力场所必需的最小速度。解： 设质点m脱离月球的速度为v，在距月球无穷远处的速度、引力势能为零，由机械能守恒定律，有 将 Mm=0.0123Me，Rm=0.27Re 代入中，有 由牛二定律 代入中

8、，有 第八章基本知识小结弹性体力学研究力与形变的规律；弹性体的基本形变有拉伸压缩形变和剪切形变，弯曲形变是由程度不同的拉伸压缩形变组成，扭转形变是由程度不同的剪切形变组成。应力就是单位面积上作用的内力；如果内力与面元垂直就叫正应力，用表示；如果内力方向在面元内，就叫切应力，用表示。应变就是相对形变；在拉压形变中的应变就是线应变，如果l0表示原长，l表示绝对伸长或绝对压缩，则线应变= l/l0；在剪切形变中的应变就是切应变，用切变角表示。力与形变的基本规律是胡克定律，即应力与应变成正比。在拉压形变中表示为 = Y，Y是由材料性质决定的杨氏模量，在剪切形变中表示为 = N，N是由材料性质决定的切变

9、模量。发生形变的弹性体具有形变势能：拉压形变的形变势能密度 ，剪切形变的形变势能密度 。梁弯曲的曲率与力偶矩的关系 杆的扭转角与力偶矩的关系 8.1.1 一钢杆的截面积为5.0×10-4m2，所受轴向外力如图所示，试计算A、B，B、C和C、D之间的应力。解： E G H F1 F2 F3 F4 A B C D根据杆的受力情况，可知杆处于平衡状态。分别在AB之间E处，BC之间G处，CD之间H处作垂直杆的假想截面S。隔离AE段，由平衡条件，E处S面上的内力F=F1,A、B之间的应力 隔离AG段，由平衡条件，G处S面上的内力F=F2-F1,B、C之间压应力 隔离HD段，由平衡条件，H处S面

10、上的内力F=F4,C、D之间的应力 8.1.2 利用直径为0.02m的 C0.8mW0.6m1.0m钢杆CD固定刚性杆AB.若CD杆内的应力不得超过max=16×107Pa T.问B处最多能悬挂多大重量？ A D B解：隔离AB，以A点为轴，由力矩平衡条件，有隔离CD，杆CD应力=T/S,T=S=(D/2)2.杆能承受的最大拉力 NB处能悬挂的最大重量 2m3m8.1.3 图中上半段为横截面等于4.0×10-4m2且杨氏模量为6.9×1010Pa的铝制杆，下半段为横截面等于1.0×10-4m2且杨氏模量为19.6×1010Pa的钢杆，又知铝杆内

11、允许最大应力为7.8×107Pa,钢杆内允许最大应力为13.7×107Pa.不计杆的自重，求杆下端所能承担的最大负荷以及在此负荷下杆的总伸长量。 F解：设铝杆与钢杆的长度、横截面、杨氏模量、应力分别为：l1、S1、Y1、1，l2、S2、Y2、2., 显然，1=F/S1，2=F/S2.设铝杆和钢杆所能承担的最大负荷分别为F1max，F2max，则整个杆的最大负荷应取钢杆的最大负荷：根据拉伸形变的胡克定律，对于铝杆 ，所以，；对于钢杆，同样有 . 整个杆的伸长量是：8.1.4 电梯用不在一条直线上的三根钢索悬挂。电梯质量为500kg。最大负载极限5.5kN。每根钢索都能独立承担

12、总负载，且其应力仅为允许应力的70%，若电梯向上的最大加速度为g/5,求钢索直径为多少？将钢索看作圆柱体，且不计其自重，取钢的允许应力为6.0×108Pa. T T T解：设每根钢索承受拉力为T,电梯自重为W=mg,负荷为W'=m'g.由牛顿第二定律，WWa设钢索直径为D，每根钢索的应力 8.1.5 矩形横截面杆在轴向拉力作用下拉伸应变为，此材料的泊松系数为，求证杆体积的相对改变为 (V-V0)/V0=(1-2)，V0表示原体即，V表示形变后体积. 上式是否适用于压缩？低碳钢杨氏模量为Y=19.6×1010Pa，泊松系数=0.3，受到的拉应力为=1.37Pa

13、，求杆件体积的相对改变。解：设杆原长为l0，矩形截面两边原长分别为a0和b0，据线应变定义：轴向应变，横向应变，所以：，由泊松系数定义，拉伸时，>0, 1<0, 1=- 对于压缩，<0, 1>0, 仍有1=-成立，因此上式对压缩情况仍然适用据胡克定律 8.1.6 杆受轴向拉力F，其横截面为S，材料的重度（单位体积物质的重量）为，试证明考虑材料的重量时，横截面内的应力为 。杆内应力如上式，试证明杆的总伸长量 x证明：建立图示坐标o-x，在坐标x处取一截面S，隔离o、x段杆，由平衡条件，截面 x dxoS上的内力 F=F+Sx ，据应力定义 F考虑x处的线元dx，该线元在重

14、力作用下的绝对伸长为dl,据胡克定律， 积分：8.2.1 在剪切材料时，由于刀口不快，没有切断，该钢板发生了切变。钢板的横截面积为S=90cm2.两刀口间的垂直距离为d=0.5cm.当剪切力为F=7×105N时，求：钢板中的 d切应力，钢板的切应变，与刀口相齐的两个截面所发生的相对滑移。已知钢的剪切模量N=8×1010Pa。解：据切应力定义 据胡克定律，8.3.1一铝管直径为4cm，壁厚1mm，长10m，一端固定，而另一端作用一力矩50Nm，求铝管的扭转角；对同样尺寸的钢管再计算一遍，已知铝的剪切模量N=2.63×1010Pa，钢的剪切模量为8.0×1010Pa解：设管的半径为R, 管壁厚d，管长为l, 外力矩为M，由于d<<R，可认为管壁截面上各处的切应力大小相等，设为，在平衡状态下，内、外力矩相等：据剪切形变的胡克定律：对于钢管：8.3.2矩形横截面长宽比为2:3的梁，在力偶矩作用下发生纯弯曲，各以横截面的长和宽作