高一数学宝典三角函数解三角形平面向量要点

1、 三角函数、解三角形、平面向量1终边与终边相同(的终边在终边所在的射线上)2k(kz)，注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等任意角的三角函数的定义：设是任意一个角，p(x，y)是的终边上的任意一点(异于原点)，它与原点的距离是r>0，那么sin ，cos ，tan (x0)，三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点p的位置无关问题1已知角的终边经过点p(3，4)，则sin cos 的值为_答案2同角三角函数的基本关系式及诱导公式(1)平方关系：sin2cos21.(2)商数关系：tan .(3)诱导公式记忆口诀：奇变偶不变、符号看象限2sinsin sin sin sin

2、 cos coscos cos cos cos sin 问题2cos tansin 21的值为_答案3三角函数的图象与性质(1)五点法作图；(2)对称轴：ysin x，xk，kz；ycos x，xk，kz；对称中心：ysin x，(k，0)，kz；ycos x，kz；ytan x，kz.(3)单调区间：ysin x的增区间： (kz)，减区间： (kz)；ycos x的增区间： (kz)，减区间：2k，2k (kz)；ytan x的增区间： (kz)(4)周期性与奇偶性：ysin x的最小正周期为2，为奇函数；ycos x的最小正周期为2，为偶函数；ytan x的最小正周期为，为奇函数易错警示

3、：求yasin(x)的单调区间时，容易出现以下错误：(1)不注意的符号，把单调性弄反，或把区间左右的值弄反；(2)忘掉写2k，或k等，忘掉写kz；(3)书写单调区间时，错把弧度和角度混在一起如0,90°应写为.问题3函数ysin的递减区间是_答案(kz)4两角和与差的正弦、余弦、正切公式及倍角公式sin(±)sin cos ±cos sin sin 22sin cos .cos(±)cos cos sin sin cos 2cos2sin22cos2112sin2.tan(±).cos2，sin2，tan 2.在三角的恒等变形中，注意常见的拆角

4、、拼角技巧，如：()，2()()，()()()，.问题4已知，sin()，sin，则cos_.答案5解三角形(1)正弦定理：2r(r为三角形外接圆的半径)注意：正弦定理的一些变式：()abcsin asin bsin c；()sin a，sin b，sin c；()a2rsin a，b2rsin b，c2rsin c；已知三角形两边及一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解，要结合具体情况进行取舍在abc中a>bsin a>sin b.(2)余弦定理：a2b2c22bccos a，cos a等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状问题5在abc中，a，b，a60

5、6;，则b_.答案45°6向量的平行与垂直设a(x1，y1)，b(x2，y2)，且b0，则abbax1y2x2y10.ab (a0)a·b0x1x2y1y20.0看成与任意向量平行，特别在书写时要注意，否则有质的不同问题6下列四个命题：若|a|0，则a0；若|a|b|，则ab或ab；若ab，则|a|b|；若a0，则a0.其中正确命题是_答案7向量的数量积|a|2a2a·a，a·b|a|b|cos x1x2y1y2，cos ，a在b上的投影|a|cosa，b.注意：a，b为锐角a·b>0且a、b不同向；a，b为直角a·b0且a、b

6、0；a，b为钝角a·b<0且a、b不反向易错警示：投影不是“影”，投影是一个实数，可以是正数、负数或零问题7已知|a|3，|b|5，且a·b12，则向量a在向量b上的投影为_答案8当a·b0时，不一定得到ab，当ab时，a·b0；a·bc·b，不能得到ac，消去律不成立；(a·b)c与a(b·c)不一定相等，(a·b)c与c平行，而a(b·c)与a平行问题8下列各命题：若a·b0，则a、b中至少有一个为0；若a0，a·ba·c，则bc；对任意向量a、b、c，有

7、(a·b)ca(b·c)；对任一向量a，有a2|a|2.其中正确命题是_答案9几个向量常用结论：0p为abc的重心；···p为abc的垂心；向量() (0)所在直线过abc的内心；|p为abc的外心易错点1图象变换方向或变换量把握不准致误例1要得到ysin(3x)的图象，需将y(cos 3xsin 3x)的图象向_平移_个单位(写出其中的一种特例即可)错解右或右找准失分点y(cos 3xsin 3x)sinsin.题目要求是由ysinysin(3x)右移平移方向和平移量都错了；右移平移方向错了正解y(cos 3xsin 3x)sinsin，要由

8、ysin得到ysin(3x)只需对x加上即可，因而是对y(cos 3xsin 3x)向左平移个单位答案左易错点2忽视隐含条件的挖掘致误例2已知cos ，sin()，0<<，0<<，求cos .错解由0<<，0<<，得0<<，则cos()±.由cos ，0<<，得sin .故cos cos()cos()cos sin()·sin 或.找准失分点由0<<，且sin()<，0<<或<<，又cos <，<<，即，cos().正解0<<且co

9、s <cos ，<<，又0<<，<<，又sin()<，<<.cos()，sin .cos cos()cos()cos sin()sin .易错点3忽视向量共线致误例3已知a(2,1)，b(，1)，r，a与b的夹角为.若为锐角，则的取值范围是_错解cos .因为锐角，有cos >0，>021>0，得>，的取值范围是.找准失分点为锐角，故0<cos <1，错解中没有排除cos 1即共线且同向的情况正解由为锐角，有0<cos <1.又cos ，0<1，解得的取值范围是.答案1(2014&

10、#183;大纲全国)已知角的终边经过点(4,3)，则cos ()a. b.c d答案d解析因为角的终边经过点(4,3)，所以x4，y3，r5，所以cos .2(2014·大纲全国)设asin 33°，bcos 55°，ctan 35°，则()aa>b>c bb>c>acc>b>a dc>a>b答案c解析asin 33°，bcos 55°sin 35°，ctan 35°，又0<cos 35°<1，c>b>a.3已知sin cos (0&

11、lt;<)，则sin cos 的值为()a. b c. d答案b解析sin cos ，(sin cos )21sin 2，sin 2，又0<<，sin <cos .sin cos .4已知a，b是单位向量，a·b0，若向量c满足|cab|1，则|c|的取值范围是()a1，1 b1，2c1，1 d1，2答案a解析a·b0，且a，b是单位向量，|a|b|1.又|cab|2c22c·(ab)2a·ba2b21，2c·(ab)c21.|a|b|1且a·b0，|ab|，c212|c|cos (是c与ab的夹角)又1cos

12、 1，0<c212|c|，c22|c|10，1|c|1.5.函数f(x)asin(2x)(a，r)的部分图象如图所示，那么f(0)等于()a b1c d答案b解析由题图可知，函数的最大值为2，因此a2.又因为函数经过点，则2sin2，即2×2k，kz，得2k，kz.f(0)2sin 2sin1.6在abc中，角a，b，c所对边的长分别为a，b，c，若a2b22c2，则cos c的最小值为()a. b. c. d答案c解析cos c，又a2b22ab，2ab2c2.cos c.cos c的最小值为.7(2014·山东)在abc中，已知·tan a，当a时，ab

13、c的面积为_答案解析已知a，由题意得|cos tan ，|，所以abc的面积s|sin ××.8(2014·江苏)已知函数ycos x与ysin(2x)(0<)，它们的图象有一个横坐标为的交点，则的值是_答案解析由题意，得sincos ，因为0<，所以.9已知函数f(x)asin()，xr(其中a>0，>0，<<)，其部分图象如图所示若横坐标分别为1,1,5的三点m，n，p都在函数f(x)的图象上，记mnp，则cos 2的值是_答案解析由图可知，a1，f(x)的最小正周期t8，所以t8，即.又f(1)sin()1，且<<，所以<<，即，所以.所以f(x)sin(x1)因为f(1)0，f(1)1，f(5)1，所以m(1,0)，n(1,1)，p(5，1)所以(2，1)，(4，2)，·6，|，|2，则cosmnp，即cos .于是cos 22cos21.10(2014·天津)已知函数f(x)cos x·sin(x)cos2x，xr.