北京四中2016届高三第二学期开学考试数学(理)试题

1、高三数学（理科）第二学期开学测试卷（答案）（本卷答题时间120分钟，满分150分）班级 学号 姓名 （一）、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共30分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数( ) A. B. C. D.答案：D2已知集合，则 A B C D开始m =1, i=1m=m (2-i)+1i= i +1m=0?结束输出i是否答案：A3执行如图所示的程序框图，则输出的值为A B C D答案：B4 “”是“函数在上单调递增”的A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件答案：A5给出下列函数： ； ； ； .其中图象关于轴对称的是 A.

2、B. C. D. 答案：B6. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为（ ）A B C D答案： A7. 设斜率为2的直线过抛物线的焦点,且与轴交于点,若（为坐标原点）的面积为4,则抛物线方程为A. B. C. D. 8. 某地实行阶梯电价，以日历年(每年1月1日至12月31日)为周期执行居民阶梯电价，即：一户居民用户全年不超过2880度（1度=千瓦时）的电量，执行第一档电价标准，每度电0.4883元；全年超过2880度至4800度之间的电量，执行第二档电价标准，每度电0.5383元；全年超过4800度以上的电量，执行第三档电价标准，每度电0.7883元.下面是关于阶梯电价的

3、图形表示，其中正确的有 参考数据：0.4883元/度2880度=1406.30元，0.5383元/度(4800-2880)度+1406.30元=2439.84元.(A) (B) (C) (D)答案：B(二)、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共30分把答案填在答题纸上.9九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题: “今有圆堡瑽，周四丈八尺，高一丈一尺.问积几何？答曰：二千一百一十二尺.术曰：周自相乘，以高乘之，十二而一” .这里所说的圆堡瑽就是圆柱体，它的体积为“周自相乘，以高乘之，十二而一.”就是说：圆堡瑽(圆柱体)的体积为：V×(底面的圆周长的平方×高

4、)则圆周率的取值为 .答案：310口袋中有三个大小相同、颜色不同的小球各一个，每次从中取一个，记下颜色后放回，当三种颜色的球全部取出时停止取球，则恰好取了5次停止种数为 。答案：4211在各项均为正数的等比数列中，若，则的最小值是 答案：12. 过双曲线的左焦点作圆的切线,切点为,延长交双曲线的右支于点,若,则双曲线的离心率为 .答案：13如果实数满足关系则的取值范围为 .答案：14在 中，内角 所对的边分别为，若，且，则下列命题正确的序号是 .（1） （2）的周长为 （3）的面积为 （4）的外接圆半径为答案：（2），（3），（4） (三)、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，解答

5、过程书写在答题纸的对应位置. 本大题共6小题，共80分15.(本小题满分13分）已知函数的图象过点.（）求实数的值及函数的最小正周期；（）求函数在上的最小值. 解：（）由 . 因为函数的图象过点，所以.解得. 函数的最小正周期为. 7分（）因为，所以. 则.所以当，即时，函数在上的最小值为. 13分 16（本题满分13分）某网店营销部门为了统计某市猴年春节期间在某网店购物情况，随机抽查了该市除夕当天名网络购物金额情况，得到如下数据统计表（如图（1）：网购金额(单位:千元)频数频率合计(1)(2) 金额（千元）若购物金额超过千元的顾客定义为“网购达人”，网购金额不超过千元的顾客定义为“非网购达人

6、”，已知“非网购达人”与“网购达人”人数比恰好为（）试确定，的值并完成图(2)；（）该营销部门为了进一步了解这名网友的购物体验，从“非网购达人”、“网购达人”中用分层抽样的方法确定人，若需从这人中随机选取人进行问卷调查设为选取的人中“网购达人”的人数，求的分布列和数学期望解析：（）根据题意，有 解得 ， 6分（）用分层抽样的方法，从中选取人，则其中“网购达人”有人，“非网购达人”有人 故的可能取值为0，1，2，3； ， ， 所以的分布列为： 13分17（本题满分14分）如图1，梯形中，,点为边上一点，,把沿边翻折成图2，使.(1)求证: ；EABCD图1图2()求平面与平面所成锐二面角的余弦值

7、.证明：(1)取中点，连结，在中，AOBCDEFG 3分，yzxAOBCDE平面平面平面 平面4分四边形为直角梯形，四边形为正方形 6分又 平面7分()由(1)知两两互相垂直，故建立如图所示空间直角坐标系设，则，5分设平面的法向量为，则，取9分设平面的法向量为，则，取11分平面与平面所成锐二面角的余弦值为14分18（本题满分13分）设两个函数和，其中是三次函数，且对任意的实数，都有， .（1）求函数的极值；（2）证明：对于任意的都有成立.解：（1）由题意可设，则，得又，比较系数有，令，得；，得或故函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减故当时，当时，6分（2）要证明对于任意的都有成立只需证

8、当时，当时，则当时，当时，函数在上单调递减，在上单调递增由（1）知对任意，又， 当时，成立故对于任意的都有成立13分19. (本小题满分14分)已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在轴上的椭圆的右顶点和上顶点分别为、，若的面积为且直线经过点（1）求椭圆的方程； （2）过点的动直线l交椭圆C于两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点T，使得无论l如何转动，以为直径的圆恒过点T，若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由解析:（1）由题意，椭圆的上顶点为，右顶点为，则，即：，所以， 椭圆C的方程是x2+=15分 （2）若直线与轴重合，则以为直径的圆是，若直线垂直于轴，则以为直径的圆是由解得即两圆相切于

9、点因此所求的点T如果存在，只能是 事实上，点就是所求的点证明如下：当直线垂直于轴时，以为直径的圆过点若直线不垂直于轴，可设直线由 即记点, 则 又因为,所以，即以为直径的圆恒过点所以在坐标平面上存在一个定点满足条件14分20. (本小题满分13分） 已知直角的三边长，满足（1）在之间插入2016个数，使这2018个数构成以为首项的等差数列，且它们的和为2018，求斜边的最小值；（2）已知均为正整数，且成等差数列，将满足条件的三角形的面积从小到大排成一列，且，求满足不等式的所有的值；（3）已知成等比数列，若数列满足，证明：数列中的任意连续三项为边长均可以构成直角三角形，且是正整数.解：（1）是等差数列，即 所以，斜边的最小值为（当且仅当等号成立，此时数列中，） 4分（2）设的公差为，则设三角形的三边长为，面积，