机械振动演示文稿(二)

1、tPkxxcxmcos txtxtx21 tx1 tAetxdtsin1 tx2 122cos2tAtx22 单自由度系统单自由度系统 二二 单自由系统的强迫振动单自由系统的强迫振动: 系统在外加随时间而变化的持续外力作用下产生的振动. 激振形式: 按激振力随时间变化规律分: 简谐激振 非谐周期性激振 非周期激振 随机激振 按激振力作用在振动系统上的方式分: 直接激振 间接激振基点激振 不平 衡激 振 旋转轴的临界速度1. 直接激振直接激振(简谐激励简谐激励) 二阶常系数线性非齐次方程 全解: 相应齐次方程的通解(自由振动)由于有阻尼,是瞬时振动, 称瞬态解 方程特解,是激振力作用下产生的受迫

2、振动, 称稳态解 只研究稳态解 此处有两个待定系统: A 稳态响应振幅. 响应与激励之间相位差2-1422,阻尼比频率比其中nn2222411;:kPAkP令静态位移式中 复数振幅特解响应实数激振力AeAtxPPetptiti:3221222241222222222arctgmkcarctgkPcmkPA称动态放大因子称动态放大因子,表示振幅表示振幅A较静态位移较静态位移P/k放大倍数放大倍数. 复数表示法复数表示法: 阻尼系统阻尼系统,简谐激振和响应用复数表示简谐激振和响应用复数表示,可引出有用的概念可引出有用的概念: 称复频响应或频率响应得微分方程,211:2ikHPetkxtxctxmt

3、i H(w)=x(t)/p(t) 是响应是响应x(t)和激振力和激振力p(t)的比例因子的比例因子.(谐波响应与谐波激励之比谐波响应与谐波激励之比)2-2 幅角模其中,12,211:,2222arctgkHeHHi titiiPeHPeeHtpHtx 信息复数振幅含振幅和相位,PeHAePeHtxitii 动态放大因子又有.:,kPAHkPAH H(w)的模和幅角的模和幅角: 系统谐波响应系统谐波响应x(t)另一表达形式另一表达形式 动态放大因子动态放大因子2-3iAeAA写成复指数形式：将)(22tfkzdtdzcdtzdm2( )1( )( )Z sH sF smscsk222()()()

4、11()1/212Z jH jF jm jcjkmjckkmcmjkkmkms2Z(s)+csZ(s)+kZ(s)=f(s) 令令s=j，则，则 )/(2)/(1111211222nnnnjkjk2222)/(4)/(111)(nnkA2)/(1)/(2)(nnarctg, 1准静态区称静变位时kPAn00An时很大小当时即, 0,1nn 分析幅频特性曲线图分析幅频特性曲线图: 激励为简谐,则响应也是简谐, 其振频= 激振频率 振幅A与系统参数m、k、c ,激振力 大小、频率有关,与初始条件无关 A在不同频率下特征不同 a. 很小,即 b. 很大,即受迫振动振幅主要取决于系统质量,称”惯性区”

5、c.称 时的为”共振”,此区域内,阻尼影响大称”阻尼区”nnnn0020max1 . 0.,21,时当稍小比在处不在n抑制振幅增大阻尼或弹性元件破坏已不是线性振动不可能时AA,1 共振区的说明共振区的说明: 实用上 为共振频率.2-4n21221为半功率点和 阻尼比的估算阻尼比的估算 共振区曲线形状与阻尼比有密切关系 实验测定阻尼比,常用共振峰的形状来估算.如图: 212 arctg090,1无论阻尼大小共振时反相同相时0180,0,:0nn相位突变前后,n,0时 相频特性曲线分析相频特性曲线分析 位移x(t)与激振力p(t)有相位差,其值为: 阻尼很小时,共振点前后相位变化率最大 (这是 “

6、相角法”识别系统固有频率点的依据) 工程上常用的有谐波响应轨迹工程上常用的有谐波响应轨迹(Nyquist 图图), 同时反映幅频和相频特性同时反映幅频和相频特性2-51、总幅值法、总幅值法 1) 固有频率固有频率n的估计的估计 221nr 若若0.1，r=n 若若不小于不小于0.1或要精确估计或要精确估计n值，值，需要先估计需要先估计的值的值 幅频曲线幅频曲线 2)阻尼率阻尼率的估计的估计 221nr2222)/(4)/(111)(nnkA221nrkkkkkAnnnnnrnrr2144411)21 (4)21 (11121421111)/(4)/(111)(42422222222222222

7、kAr21)(幅频曲线幅频曲线 22)22(nn2)(nnn212)(nnn若在若在n附近取附近取2-1=，2+1=2n，且，且足够小，此时足够小，此时=1，或，或=2，则，则单自由度系统的幅频特性曲线单自由度系统的幅频特性曲线 22221nnn224nnn22411 nk由于由于在在n附近，即附近，即/n1 22222, 1)/(4)/(111)(nnkAkkAAnr21411)()(222, 1 kAr21)(nn21单自由度系统的幅频特性曲线单自由度系统的幅频特性曲线 2242 n21)()(2, 1rAA若若 2142)()(222, 1nrAA222, 142)()( nrAA解上式

8、，得解上式，得 n2)/(2)/(1/1)(1)(22nnjkkcjjmjH2222222)()(1)(1)(cmkjcmkjcmkkcjjmjH22222)()(cmkmkRe2222)(cmkcIm实部部分：实部部分： 虚部部分：虚部部分： 2、分量法分量法 222222222222242222222222222222224111412241)(nnnnnnnekkmkkmckmcmkmkmkkmcmkmmkcmkmkR2222222222222222222222222222241242224221)(nnnnnnnmkkmkkmckmcmkmkkmcmkkmcmkmkckmcmkmccm

9、kcI222224111)(nnnekR2222412)(nnnmkI222224111)(nnnekR2222412)(nnnmkI实部频率曲线实部频率曲线 虚部频率曲线虚部频率曲线 kkkkkRe)1 (41)1 (411)22(421)21 (4421)21 (4)21 (1)21 (11)(22222max222224111)(nnnekR2222412)(nnnmkI分析分析 当当=n时，时，0)(neR 当当 211n时，实部具有最大值；时，实部具有最大值； 当当 211n时，时，实部实部具有最小值；具有最小值； kRe)1 (41)(maxkRe)1 (41)(minkkkkkR

10、e)1 (41)1 (411)22(421)21 (4421)21 (4)21 (1)21 (11)(22222min此时此时 nn)1 (211nn)1 (212n212则则实部频率曲线实部频率曲线 在在 24221122131nn时，时，kIm21)(min2222412)(nnnmkIIm()具有极小值具有极小值虚部频率曲线虚部频率曲线 当当 kIIImmm41)(21)()(min21n212时时 成立成立 可按如下方法求模态的固有频率和阻尼率可按如下方法求模态的固有频率和阻尼率 在同相分量曲线中，满足实部分模为零的频率为固有频率在同相分量曲线中，满足实部分模为零的频率为固有频率n ；

11、在正交分量曲线中，峰值对应的频率为固有频率在正交分量曲线中，峰值对应的频率为固有频率n 求系统的阻尼率求系统的阻尼率 实部频率曲线实部频率曲线 虚部频率曲线虚部频率曲线 n212n21221为半功率点和 阻尼比的估算阻尼比的估算 共振区曲线形状与阻尼比有密切关系 实验测定阻尼比,常用共振峰的形状来估算.如图: 212 arctg090,1无论阻尼大小共振时反相同相时0180,0,:0nn相位突变前后,n,0时 相频特性曲线分析相频特性曲线分析 位移x(t)与激振力p(t)有相位差,其值为: 阻尼很小时,共振点前后相位变化率最大 (这是 “相角法”识别系统固有频率点的依据) 工程上常用的有谐波响

12、应轨迹工程上常用的有谐波响应轨迹(Nyquist 图图), 同时反映幅频和相频特性同时反映幅频和相频特性2-5 小结小结: 从受力的观点分析从受力的观点分析.受迫振动方程的解受迫振动方程的解,可用旋转矢量表示可用旋转矢量表示 ,有以下关系有以下关系:tPkxxcxmtAxtAxtAxcos:180cos90cossin020 微分方程tkAkxsin020180cos90costmAxmtcAxc 0018090超前弹性恢复力惯性力超前弹性恢复力阻尼力 方程左边三项分别为：弹性恢复力滞后激振力以上三个力与激振力Pcoswt平衡,四个矢量构成封闭四边形2-6 212 arctgtPkxxcxmc

13、os tUtcos;2,21cos0121arctgUkPtPkckxxcxmxkxcxm 122222212222cos4141cos41tUtkPx2.间接激振间接激振基点激振基点激振在直接激振中: 激振力力幅P与W无关的常数激振力直接作用在振动质点上基点激振:基础有位移因此运动方程为此时扰动力的力幅与频率有关,参照直接激振公式又称传递率地基振幅响应振幅;41412222222UA动态放大系数:2-71, 21, 022和0,22当频段工作22 幅频特性曲线分析幅频特性曲线分析: 所有曲线都通过两点 地震仪 (传感器)设计时,大质量,软弹簧, 使固有频率小,让传感器 在 频段内,阻尼大,不

14、利隔振2-81mem21振动方向temcos21emPtPtemkxxcxmm21211;coscos: 运动方程tPkxxcxmcos 3.不平衡激振不平衡激振机器中有高速旋转部件时,常出现这种振动.设机器上有以w旋转的不平衡质量 ,转动半径为e,则不平衡质量产生离心惯性力为垂直分量为:可见激振力幅值与w平方有关.参照直接激振方程:特解 222222222221122221211222221222212414141141/41:cosarctgemmemkemmmmmkemkPAtAtx当其中2222231141当当令整个质量的当量偏心距eAemmme2-9 1,0, 0333emmm11

15、幅频特性曲线分析幅频特性曲线分析: 所有曲线经过两点: 高频时 趋近1,即A 可见减小e的重要性2-10 4.旋转轴的临界速度旋转轴的临界速度垂直旋转轴,两端简支,在轴中点,固定一轮子(质量m),其重心G,相对轮子几何轴心s有偏心距e.轴和轮子系统绕轴几何轴心线以w旋转.其偏心质量产生使轴弯曲的离心力:tmekyycymtmekxxcxmsincos22 几点假设 忽略轴质量 轴和支承在圆周方向刚度相等 轴承对轴不起力矩作用(对轴无阻尼) 轴本身对轴的弯曲有阻尼作用(粘性阻尼) 轴轮系统的几何中心s的运动方程式:2-11cos2;1241sin41cos41222322222222222222

16、222reeroGarctgeeyxrosteytex特解特解:从方程看出:轴和轮子的几何中心的运动并不是一般意义上的振动,而是当轴与轮子系统绕自身轴以w旋转时,由于轮子偏心质量产生的离心惯性力作用,使轴变形为弓形,此时,轴与轮子系统的运动是由以下两种运动合成:= 旋转运动(自转):轮子与轴绕自身轴的轴心线转动(G绕s的圆周运动),角速度为回旋运动(公转):弯曲成弓形的轴线 绕两支承的连线 与圆盘相同的角速度大小和方向的转动 (s 绕o点的圆周运动),即 =弓形回旋弓形回旋: 轴与轮子系统既作旋转运动又作回旋运动的运动.(又称涡动)2-120在位置A,轮子上的点1在外侧,点2在内侧位置B、C、

17、D,轮子上的点1仍在外侧,点2仍在内侧,轴轮绕s旋转了一周,轴轮系统绕O也回转了一周即 分析1: 系统的激励:轮子质心偏心,导致轮子自 转时产生惯性离心力,该力以w旋转. 系统响应:轮子绕o点的公转,转速仍为w. 当系统无阻尼时 ,0s与Gs在一条直线上0当系统有阻尼时 ,0s与Gs不在一条直线上,形成一定角度 (响应与激励有相位差) 分析2: 当轴旋转速度w取不同值时,o、s、G三 点 相对位置也不同.轴末弯曲时当,0 , 0, 00eGr的外侧点在时当OSGn,900 ,0=2-13系统共振时当max0,90,1osn 临界转速:旋转轴产生共振时的转速叫临界转速 数值上等于转子不转动而作横

18、向自由振动时的固有频率 (固有角速度) 共振是有害的,设计高速旋转轴时,要避开临界转速mkc内侧点移到时当osGcn,180901,00重合轴承连心线与系统重心时当oGeoscn,180,1,0 此时，轴及轮子系统绕系统重心此时，轴及轮子系统绕系统重心G作旋转称为作旋转称为自动定心自动定心小结小结: 高速旋转轴有一个临界转速, 要避开临界转速 一根 不转动的轴横向振动, 轴内产生交变应力. 而作 弓形 回旋的轴, 轴内不产生交变应力, 但 对轴两端支承(轴承)作用有交变力, 并导致 轴 承 系统强迫振动.2-1423 周期激励下的受迫振动周期激励下的受迫振动,Fourier级数级数一一. 叠加

19、原理叠加原理线性微分方程描述的系统称为线性系统.线性系统满足叠加原理.若系统有: 响应激励响应激励txtFtxtF2211 响应txCtxCtFCtFC22112211则在激励叠加原理对线性系统极重要,它使处理线性系统问题在理论和技术上成熟介绍 a. Fourier级数分析法 b. Fourier变换法 c. 脉冲响应函数法.这三种方法,是叠加原理,对线性系统成功应用。将任意复杂激励分解为一系列 简单激励.再将系统对这些简单激励的响应叠加,得系统对复杂激励的响应.系统总响应各谐波响应基波及高次谐波周期性激励叠加求分解系统总响应各谐波响应小的谐波全频率成份无限多无限任意激励叠加求分解系统响应各脉

20、冲响应无穷多幅值不同的脉冲任意激励叠加求分解2-15二二.周期激励下的受迫振动周期激励下的受迫振动. Fourier级数分析法级数分析法:由单自由度系统微分方程 tftxtxtxtkftkxtxctxmnnn222 10,2,0ptipptfTTeAtf的周期为为基频式中 22002,3 , 2TTtippdtetfTApp高次谐波f(t)周期函数，Fourier级数展开：（231）注： F(t):激振力函数（力量纲） f(t):激励函数（位移量纲）2-16 tiotioAeHtxAe系统的响应为激励022212211arctgHoo212ppoparctgp 112221121ptpippp

21、ptpipptpipopppopopoeXeAeApHtxtx对于基波：其中：由叠加原理，（231）式所示，一系列谐波激励下，其响应是一系列谐波响应的叠加：对于高次谐和波： potpipoptippoeApHtxeAp系统的响应为激励0:npppoppoparctgppH,12211222其中：2-17（232）讨论：讨论： 激励是周期为T 的函数，响应仍是周期为T 的函数 响应x(t)与激励f(t)波形有畸变。 （不同频率成份谐波激励系统时，放大倍数 和 相位角均不同） 对无阻尼系统onopopHppH时当,11, 02说明说明: 单自由度系统周期激励比谐波激励更容易激起共振。危险性更大。

22、（周 期激励的基频Wo,只要是系统固有频率Wn的整数分之一，就可能激起共振）2-18f(t)= -A -T/2t0 按付氏展开将为奇函数tftfoao ,例：例：求单自由度无阻尼系统对图示周期方波激励的响应解：由周期方波的图形，其在一个周期中的函数为A 0tT/2首先,由于f(t)均值为o,故 , 5 , 3 , 14cos14sinsin2sin2sincos22332200222222210ppAipTpAitdtpAtdtpATidttpitfTdttpitptfTdtetfTAeAtfoToToTToTTooTTtippptippo 取实部得上式,2,sin141pooTtppAtf2

23、11nooppH , 5 , 3 , 125 , 3 , 121sin4sin411PnooponopptpAtppAptx代入（233）式对于无阻尼系统，频率响应: 2-19 之和为一系列谐波deFdeFtftiti21 H deFti deXtxFHXdeFHtxtiti2121记24 求解非周期激励的系统响应求解非周期激励的系统响应:Fourier变换法变换法设f(t) 任意(非周期)激励信号由:Fourier积分式:每个谐波激励引起系统响应为:将所有响应叠加(积分),得系统响应:小结小结: 用Fourier变换法,求解非周期激励f(t)下的响应，过程如下: 存在dtetfFti ,收敛

24、积分dtetfti 注意：注意：要保证, ， f(t)需满足两个条件（Dirichlet条件） f(t)在(- , )上仅有有限个不连续点2-20例：例：求单自由度无阻尼系统对图所示的矩形脉冲F(t)的响应x(t)解:令kf(t)=F(t) 则f(t)=1/kF(t)首先检查f(t)是否满足Dirichlet条件： TTOokTFdtkFdttf收敛2(1)Fourier正变换： TkFeekiFdtekFdtetfFTToTiTiotiotisin2 数无阻尼系统频率响应函211H(2)系统响应的频谱密度 221sin21kTFeekiFFHXoTiTio (3) Fourier逆变换：得系

25、统响应 deeekiFdteXtxtiTiTioti212212-21积分得x(t)=tTkFTtTtkFTtkFnnnnonosinsin2coscoscos10TtTtTTt对例题的讨论:kFostkFoTkFnosin2系统对矩形激励的响应是谐波函数，且振动频率等于系统固有频率。在-TtT以后，系统绕其静止位置x=0振动振 幅为 TkFTxTkFTxnoNno2sin2cos1n 对于tT系统振动，可解释为系统的自由振动：因为当tT后，矩形脉冲已消失， 由上式中第二式，当t=T时上式为tT以后系统振动的初始位移和速度(作自由振动)。其振动频率当然为2-22 tf一基本思路：将任意激励f(

26、t)分解为一系列强度为 的脉冲，求每一个脉冲单独 激励的响应.由叠加原理，将一系列脉冲响应叠加，得系统对整个激励f(t)的响应x(t)2-5 非周期激励下的受迫振动：脉冲响应函数法非周期激励下的受迫振动：脉冲响应函数法 op atptFo 211.MLTtFMLTpTo函数二单位脉冲函数：力学定义：单位脉冲函数描述了一个单位冲量在t=a时产生一个冲量为 的力F(t)，可按下式表达: 量纲：三单位脉冲响应函数：系统在单位脉冲函数的激励下的系统响应。 设脉冲力 作用单自由度系统: tptFo tptkxtxctxmo 0, 00ovoxx 初始条件: 由冲量定理: 动量的增量等于作用力的冲量 0t

27、 tptFo记作用以后的时刻为当t=o时刻突受脉冲力. 度作用后系统获得的初速脉冲力因tptFmpvxvxpxmxmooooo000002-23 tptFo瞬间在oot议论议论: 形式上虽然为一种过程激励,但其效果相当于初始速度激励. 因此,可将系统对过程激励的受迫振动问题转化为系统对初始激励的自由振动 问题来处理.(这是脉冲响应函数法解题的关键).瞬间在ootoox ,速度突变(因力幅无限大,则加速度无限大) 而 来不及积累位移变化,因此 脉冲作用后的初始条件: oovmpoxoox单自由度小阻尼系统响应为: nddtdodtdotemptevtxnn21sinsin当 得系统对单位脉冲激励的响应h(t)表示:1op 0sin1ttemthdtdn 00tth2-24引入单位阶跃函数:u(t)=0 t0单位脉冲响应函数h(t)可写成 tutemthdtdnsin1 temthdtdnsin1在t=0时刻，作用单位脉冲(t)，系统响应在t=a时刻，作用单位脉冲(t-a)，系统响应atemathdatdnsin1 tF F thF 四四 脉冲响应函数法脉冲响应函数法 对任意激励函数F可视为一系列脉冲的组合,设任意时刻: 脉冲力: ( 相当冲量值) 脉冲力激励的响应: 2-25在任意时刻t：由于t时刻以前各时刻的脉冲均会影响t时刻响应x(t)。t时刻的响应：应