8.5一元线性回归案例2

1、1.相关系数的计苏公式:相关系数的计算公式G111=1兀1歹1+兀2歹2 + + £几xy =xyn2、(1)其中归宜线方程:所求直线方程y = bx + a 叫做归直线方程;it工a-可(X-刃工 xrixyi=ln 1Z = 1 a -y -bxP 22“ -nxZ = 1(2) 相应的Jt线叫做回归直线。归分析。(3) 对两个变量进行的线性分析叫做线性(注意回归直线一定经过样本点的 中若点 (xif y )的分布趋于一条线，则Xj与 y 满足以下关系式：y. =bxi +a+ei.i = 1,2/ 山其中的弓疋2八，5 表示随机淚差。达个棋型称为一元线性EJ归棋型。解决模型问题

2、,只要求出一元线性归直线y = bx+a当厂0时, 点升趋势分布,贝Ub0；当厂< 0时,点呈下降趋势分布,贝l)b <0。案例1海牛是一种体型较大的水生哺乳动物，体重可达到700kg, 以水草为食。美洲海牛生活在美国的佛罗里达洲，在船舶运输繁忙 季节，经常被船的螺旋桨击伤致死。下面是佛罗里达洲记录的1977 年至1990年机动船只数目兀和被船只撞死的海牛数y的数据。年份1977197819791980198119821983船只数量兀447460481498513512526撞死海牛数y13212416242015年份1984198519861987198819891990船只数

3、量兀559585614645675711719撞死海牛数y34333339435047现在问：(1) 随着机动船的数量的增加，被撞死的海牛数是否会增加?当机动船增加到750只，被撞死的海牛会是多少？解：(1)首先画出案例一相应的散点图:1X22 X14471358111998091692460219660211600441348124115442313615764498167968248004256551324123122631695766512201024026214440075261578902766762258559341900631248111569585331930534222510

4、8910614332026237699610891164539251554160251521126754329025455625184913711503555050552125001471947337935169612209即回归所以，直线是：y = 0.125x 415当机动船只增加到750时，被撞死的海牛数的预测是y = 0.125x750-4L5u52（只）例1在7块并排、形状大小相同的试验田上 进行施肥量对水稻产量影响的试验，得 到如下所示的一组数据：（单位kg）施化肥量X15202530354045水稻产量y330345365405445450455（1）画出上表的散点图；（2）求出

5、回归直线并且画出图形yj500450'400,350,300。10152025303540452）列表11234567Xi15202530354045Vi330345365405445450455Xiyi4950690091251215015575180002047577x = 30,尸 399.3 ,工# 二 7000,工兀必二 87175i=z=l故可得到«4.75,87175-7x30x399.370007x302q = 3993 4.75x30257A从而得回归直线方程是y = 4.75x + 257.（图形略）利用回归直线方程对总体进行线性相关性的检验例2.炼钢是一

6、个氧化降碳的过程，钢水含碳量的多少直接影响冶炼时间的长短，必须掌握钢水含碳量和冶炼 时间的关系。如果已测得炉料熔化完毕时，钢水的含碳 量x与冶炼时间y (从炉料熔化完毕到出刚的时间)的一 列数据，如下爰所示：x (0.01%)104180190177147134150191204121y (min)100200210185155135170205235125(1) y与x是否具有线性相关关系;(2) 如果具有线性相关关系，求回归直线方程;(3)预测当钢水含碳量为160个0. 01%时，应冶炼多少分 钟？列出下表，并计算112345678910Xi104180190177147134150191

7、204121yi100200210185155135170205235125xiyi10400360003990032745227851809025500391554794015125X =159.8,7 = 172,10Ex?上1于是,10 210=265448, Yyr 312350, x.y. = 287640i=l 1i二1110 _ _TO"i=lq 0.9906.1010(£xz2-10x")(£X2-10j )i=li=(2)设所求的回归方程为y = bx+a10 a Hxiy-iQxy :.b =Q 1.267y r2-10V2AIa -

8、 y-bx -30.51.所以回归直线的方程为S1.267x-30.51当x=160时，y 267.160-30. 51=172练习1、假设关于某设备的使用年限X和所有支出的维修费用 y（万元）有如下的统计数据：X23Y2.23.84565.56.57.0若由此资料所知y对x呈线性相关关系，试求: 1回归直线方程2估计使用年限为10年时，维修费用是多少？解题步骤：1 作散点图2把数据列表，计算相应的值，求出回归系数3 写 出 回归方程,并按要求进行预测说明。解：(1)由已知数据制成表格。I12345合计xi23456202.23.85.56.57.0254.411.422.032.542.01

9、12.3xf4916253690_55兀= 4;y = 5；工兀=90;兀切=112.3.丿Z=1Z=1所以有 & = 1.23,5 = 0.08.y = 1.23x + 0.08.练习2 (2007年广东)下表提供了某厂节能降耗技术改造后生 产甲产品过程中记录的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标 准煤)的几组对应数据。X3456y2.5344.5请画出上表数据的散点图(2) 请根据上表提供禺数据，用最小二乘法求出y关于x的 性回归方程ybx+a(3) 已知该厂技改前100吨甲产品的生产能耗为90吨标准 煤，试根据(2)求出的线性回归方程，预测生产100 吨甲产品的生产能耗比技改前降低多少吨标准煤？（参考数值：3x2.5 + 4x3 + 5x4 + 6x4.5 = 66.5 ）小结：一般地，建立一元线性回归模型的基本步骤为:(1)画出确定好的解析变量和预报变量的散点图，观察它们 之间的关系